كومرسبيس

يترك${\displaystyle K\subset \mathbb {P} ^{3}}$ليكن سطحًا رباعيًا له نقطة مزدوجة عادية p ، بالقرب منها يبدو K كمخروط تربيعي. أي خط إسقاطي يمر عبر p يتقاطع مع K بتكرار اثنين عند p ، وبالتالي سيتقاطع مع السطح الرباعي K في نقطتين أخريين فقط. تحديد الخطوط في${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$من خلال النقطة p مع${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$، نحصل على غطاء مزدوج من انفجار K عند p إلى${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$يتم توفير هذا الغطاء المزدوج عن طريق إرسال q  ≠ p ↦   ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {pq}}}$وأي خط في المخروط المماس لـ p في K إلى نفسه. موضع تفرع الغطاء المزدوج هو منحنى مستوٍ C من الدرجة 6، وجميع عقد K التي ليست p تُسقط على عقد C. 

باستخدام صيغة درجة الجنس ، يتم الحصول على الحد الأقصى لعدد العقد الممكنة على منحنى سداسي عندما يكون المنحنى اتحادًا لـ${\displaystyle 6}$في هذه الحالة، لدينا 15 عقدة. وبالتالي، فإن الحد الأقصى لعدد العقد على منحنى رباعي هو 16، وفي هذه الحالة تكون جميعها عقدًا بسيطة (لإثبات ذلك).${\displaystyle p}$(هو مشروع بسيط من عقدة أخرى). يُطلق على الرباعي الذي يحصل على هذه العقد الـ 16 اسم رباعي كومر، وسنركز عليها فيما يلي.

منذ${\displaystyle p}$إذا كانت النقطة عقدة بسيطة، فإن المخروط المماس لها يُرسم على شكل قطع مخروطي تحت الغطاء المزدوج. هذا القطع المخروطي في الواقع مماس للخطوط الستة (بدون برهان). على العكس من ذلك، إذا كان لدينا شكل قطع مخروطي وستة خطوط مماسة له في المستوى، فيمكننا تعريف الغطاء المزدوج للمستوى المتفرع فوق اتحاد هذه الخطوط الستة. يمكن رسم هذا الغطاء المزدوج على${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$، تحت خريطة تدمر الغطاء المزدوج للقطع المخروطي الخاص، وهو تماثل في مكان آخر (بدون برهان).

انطلاقاً من منحنى سلس${\displaystyle C}$بالنسبة للجنس 2، يمكننا تحديد جاكوبيان${\displaystyle Jac(C)}$ مع${\displaystyle Pic^{2}(C)}$أسفل الخريطة${\displaystyle x\mapsto x+K_{C}}$نلاحظ الآن حقيقتين: بما أن${\displaystyle C}$المنحنى الزائدي هو الخريطة الناتجة عن الضرب المتناظر ${\displaystyle Sym^{2}C}$ل${\displaystyle Pic^{2}C}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle \{p,q\}\mapsto p+q}$، هو تحويل الرسم البياني للالتفاف الزائدي الإهليلجي إلى فئة القواسم الأساسية . علاوة على ذلك، الخريطة الأساسية${\displaystyle C\to |K_{C}|^{*}}$هو غلاف مزدوج. ومن ثم نحصل على غلاف مزدوج${\displaystyle Kum(C)\to Sym^{2}|K_{C}|^{*}}$.

هذا الغلاف المزدوج هو نفسه الذي ظهر أعلاه: الخطوط الستة هي صور لقواسم ثيتا المتناظرة الفردية على${\displaystyle Jac(C)}$بينما يمثل القطع المخروطي صورةً للصفر المكبر. ويُعتبر القطع المخروطي متماثلاً مع النظام الكنسي عبر التماثل.${\displaystyle T_{0}Jac(C)\cong |K_{C}|^{*}}$وكل من الخطوط الستة متماثل بشكل طبيعي مع النظام الكنسي الثنائي${\displaystyle |K_{C}|^{*}}$من خلال تحديد قواسم ثيتا وإزاحات المنحنى${\displaystyle C}$توجد علاقة تناظرية بين أزواج من قواسم ثيتا الفردية المتناظرة ونقاط الالتواء من الدرجة الثانية على مصفوفة جاكوبي، وذلك بسبب حقيقة أن${\displaystyle (\Theta +w_{1})\cap (\Theta +w_{2})=\{w_{1}-w_{2},0\}}$، أين${\displaystyle w_{1},w_{2}}$هي نقاط فايرشتراس (وهي خصائص ثيتا الفردية في هذا الجنس 2). ومن ثم نقاط التفرع للخريطة المتعارف عليها${\displaystyle C\mapsto |K_{C}|^{*}}$تظهر على كل نسخة من هذه النسخ من النظام الكنسي كنقاط تقاطع الخطوط ونقاط التماس بين الخطوط والقطع المخروطي.

وأخيرًا، بما أننا نعلم أن كل سطح كومر رباعي هو تنوع كومر لمصفوفة جاكوبية لمنحنى زائد إهليلجي، فإننا نوضح كيفية إعادة بناء سطح كومر الرباعي مباشرةً من مصفوفة جاكوبية لمنحنى من النوع 2: مصفوفة جاكوبية لـ${\displaystyle C}$الخرائط إلى مجمع الخطوط الكامل${\displaystyle |O_{Jac(C)}(2\Theta _{C})|\cong \mathbb {P} ^{2^{2}-1}}$(انظر المقال حول الأصناف الأبيلية ). تُحلل هذه الخريطة صنف كومر كخريطة من الدرجة الرابعة تحتوي على 16 عقدة عند صور نقاط الالتواء الثنائي على${\displaystyle Jac(C)}$.

بشكل عام، يكون للمركب الخطي التربيعي المحدد بمعادلة تربيعية واحدة ثلاثة أبعاد، لذا يمر عبر كل نقطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يوجد خط أحادي البعد كامل يرسم مخروطًا تربيعيًا. ويمكن إنشاء هذا المخروط بتقاطع القيد التربيعي مع القيد الخطي المتمثل في "المرور إلى نقطة".

مع ذلك، توجد مجموعة ثنائية الأبعاد من النقاط التي ينهار عندها هذا الشرط. تحديدًا، عند هذه النقاط، يتحول المخروط التربيعي إلى مستويين مسطحين. هذه النقاط هي النقاط الشاذة للمركب الخطي التربيعي. مجموعة هذه النقاط هي سطحه الشاذ . هذا السطح الشاذ هو سطح كومر.

هناك عدة نقاط حاسمة تربط بين الجوانب الهندسية والجبرية والتوافقية لتكوين عقد الرباعية كومر:

• أي قاسم فردي متناظر لـ θ على${\displaystyle Jac(C)}$يتم تحديدها بواسطة النقاط المحددة${\displaystyle \{qw|q\in C\}}$حيث w هي نقطة فايرشتراس على${\displaystyle C}$يحتوي قاسم ثيتا هذا على ست نقاط التواء من الدرجة الثانية:${\displaystyle w'-w}$بحيث${\displaystyle w'}$هي نقطة في شارع فايرشتراس.
• قاسمان فرديان لـ θ يُعطيان بواسطة نقاط فايرشتراس${\displaystyle w,w'}$يتقاطعان عند${\displaystyle 0}$وفي${\displaystyle ww'}$.
• إن ترجمة جاكوبيان بنقطة التواء ثنائية هي تماثل جاكوبيان كسطح جبري ، والذي يرسم مجموعة نقاط الالتواء الثنائية إلى نفسها.
• في النظام الخطي الكامل${\displaystyle |2\Theta _{C}|}$على${\displaystyle Jac(C)}$أي قاسم فردي لـ θ يُحوّل إلى قطع مخروطي، وهو تقاطع منحنى كومر الرباعي مع مستوى. علاوة على ذلك، فإن هذا النظام الخطي الكامل ثابت تحت الإزاحات بنقاط الالتواء من الدرجة الثانية.

وبالتالي لدينا تكوين من${\displaystyle 16}$القطوع المخروطية في${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$حيث تحتوي كل عقدة على 6 عقد، ويكون تقاطع كل عقدتين على طول عقدتين. يُطلق على هذا التكوين اسم${\displaystyle 16_{6}}$التكوين أو تكوين كومر .

تقبل نقاط الالتواء الثنائي على تنوع أبيلي شكلاً ثنائياً خطياً متماثلاً يُسمى اقتران ويل . في حالة جاكوبيان منحنيات من النوع الثاني، تُعبَّر كل نقطة التواء ثنائي غير تافهة بشكل فريد كفرق بين نقطتين من نقاط فايرشتراس الست للمنحنى. يُعطى اقتران ويل في هذه الحالة بواسطة ${\displaystyle \langle p_{1}-p_{2},p_{3}-p_{4}\rangle =\#\{p_{1},p_{2}\}\cap \{p_{3},p_{4}\}}$يمكن للمرء استعادة الكثير من الثوابت النظرية للمجموعة.${\displaystyle Sp_{4}(2)}$عن طريق هندسة${\displaystyle 16_{6}}$إعدادات.

فيما يلي قائمة بالثوابت النظرية للمجموعات وتجسيدها الهندسي في التكوين 16 ₆ .

• الخطوط القطبية
• المركبات غير القطبية
• تكوين كلاين
• الأسطح التربيعية الأساسية
• رباعيات الأوجه الأساسية
• رباعيات روزنهاين
• رباعيات غوبل