يسار (يمين)

في نظرية المجموعات ، L(R) (تنطق L of R ) هي أصغر نموذج داخلي متعدٍ لـ ZF يحتوي على جميع الأعداد الترتيبية وجميع الأعداد الحقيقية .

يمكن بناء L(R) بطريقة مماثلة لبناء الكون القابل للبناء لغودل ، L، عن طريق إضافة جميع الأعداد الحقيقية في البداية، ثم تكرار عملية مجموعة القوى القابلة للتعريف من خلال جميع الأعداد الترتيبية.

بشكل عام، تفترض دراسة L(R) وجود مجموعة واسعة من بديهيات الأعداد الكبيرة ، إذ بدون هذه البديهيات لا يمكن إثبات حتى أن L(R) متميزة عن L. ولكن بافتراض وجود عدد كافٍ من الأعداد الكبيرة، فإن L(R) لا تحقق بديهية الاختيار ، بل بديهية الحتمية . ومع ذلك، ستظل L(R) تحقق بديهية الاختيار التابع ، شريطة أن يحقق كون فون نيومان ، V، هذه البديهية أيضًا.

بافتراض وجود بديهيات أساسية كبيرة وقوية بما فيه الكفاية، فإن بعض النتائج الإضافية للنظرية هي:

• L(R) تحقق ZF + AD ⁺ . (على وجه الخصوص، تحقق بديهية الحتمية .)
• كل مجموعة إسقاطية من الأعداد الحقيقية - وبالتالي كل مجموعة تحليلية وكل مجموعة بوريل من الأعداد الحقيقية - هي عنصر من L(R).
• كل مجموعة من الأعداد الحقيقية في L(R) قابلة للقياس وفقًا لـ Lebesgue (في الواقع، قابلة للقياس عالميًا ) ولها خاصية Baire وخاصية المجموعة الكاملة .
• لا يفي L(R) ببديهية التوحيد أو بديهية التحديد الحقيقي .
• R ^# ، وهي المجموعة الحادة لجميع الأعداد الحقيقية ، لها أصغر درجة وادج لأي مجموعة من الأعداد الحقيقية غير الموجودة في L(R).
• على الرغم من أن ليس كل علاقة على الأعداد الحقيقية في L(R) لها توحيد في L(R)، إلا أن كل علاقة من هذا القبيل لها توحيد في L(R ^# ).
• بالنظر إلى أي امتداد عام (بحجم مجموعة) V[G] للمجموعة V، فإن L(R) هو نموذج فرعي أولي لـ L(R) كما هو محسوب في V[G]. وبالتالي، لا يمكن تغيير نظرية L(R) عن طريق فرض .

• وودين، دبليو. هيو (1988). "الأعداد الكاردينالية فائقة التراص، ومجموعات الأعداد الحقيقية، والأشجار المتجانسة ضعيفًا" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 85 ( 18): 6587-6591 . doi : 10.1073/pnas.85.18.6587 . PMC 282022. PMID 16593979 .