نظرية لاغرانج (نظرية الزمر)

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة
G هي المجموعةZ/8Z{\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }، الأعداد الصحيحة modulo 8 تحت عملية الجمع. تحتوي المجموعة الجزئية H على 0 و4 فقط، وهي متماثلة معZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }توجد أربع مجموعات مشاركة يسارية للمجموعة H: H نفسها، و1+H، و2+H، و3+H (مكتوبة باستخدام الترميز الجمعي لأنها مجموعة جمعية ). تقسم هذه المجموعات المجموعة G بأكملها إلى مجموعات متساوية الحجم وغير متداخلة. وبالتالي، فإن دليل [G  : H] هو 4.

في مجال نظرية الزمر الرياضية ، تنص نظرية لاغرانج على أنه إذا كانت H زمرة جزئية من أي زمرة منتهية G ، فإن|ح|{\displaystyle |H|}هو قاسم لـ|جي|{\displaystyle |G|}أي أن ترتيب (عدد العناصر) كل مجموعة فرعية يقسم ترتيب المجموعة بأكملها.

سُميت النظرية نسبةً إلى جوزيف لويس لاغرانج . وينص الشكل التالي على أنه بالنسبة لمجموعة جزئيةح{\displaystyle H}من مجموعة منتهيةجي{\displaystyle G}ليس الأمر كذلك فحسب|جي|/|ح|{\displaystyle |G|/|H|}عدد صحيح، لكن قيمته هي الفهرس[جي:ح]{\displaystyle [G:H]}، ويُعرَّف بأنه عدد المجموعات المشاركة اليسرى لـح{\displaystyle H}فيجي{\displaystyle G}.

نظرية لاغرانج - إذا كانت H زمرة جزئية من زمرة G ، فإن|جي|=[جي:ح]⋅|ح|.{\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}

هذا التباين يبقى ساريًا حتى لوجي{\displaystyle G}لا نهائي، بشرط أن|جي|{\displaystyle |G|}،|ح|{\displaystyle |H|}، و[جي:ح]{\displaystyle [G:H]}تُفسَّر على أنها أعداد أصلية .

دليل

تُمثل المجموعات المشاركة اليسرى لـ H في G فئات التكافؤ لعلاقة تكافؤ معينة على G : تحديدًا، يُقال إن x و y في G متكافئان إذا وُجد h في H بحيث x = yh . بالتالي، تُشكل مجموعة المجموعات المشاركة اليسرى تجزئة لـ G. لكل مجموعة مشاركة يسرى aH نفس عدد عناصر H لأنx↦أx{\displaystyle x\mapsto ax}يُعرّف التناظرح→أح{\displaystyle H\to aH}(والعكس هوy↦أ-1y{\displaystyle y\mapsto a^{-1}y}عدد المجموعات المشاركة اليسرى هو المؤشر [ G  : H ] . بناءً على الجمل الثلاث السابقة،

|جي|=[جي:ح]⋅|ح|.{\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}

امتداد

يمكن توسيع نظرية لاغرانج لتشمل معادلة المؤشرات بين ثلاث مجموعات فرعية من G. [ 1 ]

امتداد لنظرية لاغرانج - إذا كانت H زمرة جزئية من G و K زمرة جزئية من H ، فإن

[جي:ك]=[جي:ح][ح:ك].{\displaystyle [G:K]=[G:H]\,[H:K].}
دليل

ليكن S مجموعة من ممثلي المشاركة لـ K في H ، لذلكح=⨆s∈Ssك{\displaystyle H=\bigsqcup _{s\in S}sK}(اتحاد منفصل)، و|S|=[ح:ك]{\displaystyle |S|=[H:K]}لأيأ∈جي{\displaystyle a\in G}الضرب من اليسار في a هو تقابلجي→جي{\displaystyle G\to G}، لذاأح=⨆s∈Sأsك{\displaystyle aH=\bigsqcup _{s\in S}asK}وبالتالي، فإن كل مجموعة مشاركة يسارية من H تتحلل إلى[ح:ك]{\displaystyle [H:K]}المجموعات المشاركة اليسرى لـ K. بما أن G تتحلل إلى[جي:ح]{\displaystyle [G:H]}المجموعات المشاركة اليسرى لـ H ، والتي تتحلل كل منها إلى[ح:ك]{\displaystyle [H:K]}المجموعات المشاركة اليسرى لـ K ، العدد الإجمالي[جي:ك]{\displaystyle [G:K]}من المجموعات المشاركة اليسرى لـ K في G هو[جي:ح][ح:ك]{\displaystyle [G:H][H:K]}.

إذا اعتبرنا K = { e } (حيث e هو العنصر المحايد في G )، فإن [ G  : { e }] = | G | و [ H  : { e }] = | H | . وبالتالي، يمكننا استعادة المعادلة الأصلية | G | = [ G  : H ] | H | .

التطبيقات

من نتائج هذه النظرية أن رتبة أي عنصر a في زمرة منتهية (أي أصغر عدد صحيح موجب k بحيث يكون a = k = e ، حيث e هو العنصر المحايد في الزمرة) تقسم رتبة تلك الزمرة، لأن رتبة a تساوي رتبة الزمرة الجزئية الدورية المولدة بواسطة a . وإذا كانت الزمرة تحتوي على n عنصرًا، فإنه يتبع ذلك

أن=هـ.{\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}}

يمكن استخدام هذا لإثبات نظرية فيرما الصغرى وتعميمها، نظرية أويلر . وقد عُرفت هذه الحالات الخاصة قبل وقت طويل من إثبات النظرية العامة.

تُظهر النظرية أيضًا أن أي مجموعة ذات رتبة أولية تكون دورية وبسيطة ، لأن المجموعة الفرعية المولدة بواسطة أي عنصر غير محايد يجب أن تكون المجموعة بأكملها نفسها.

يمكن أيضًا استخدام نظرية لاغرانج لإثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية : لنفترض وجود أكبر عدد أوليص{\displaystyle p}أي قاسم أوليq{\displaystyle q}من عدد ميرسين2ص-1{\displaystyle 2^{p}-1}يرضي2ص≡1(مودq){\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {q}}}(انظر الحساب النمطي )، مما يعني أن رتبة2{\displaystyle 2}في المجموعة الضربية(Z/qZ)*{\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}يكونص{\displaystyle p}بحسب نظرية لاغرانج، فإن رتبة2{\displaystyle 2}يجب تقسيم ترتيب(Z/qZ)*{\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}، وهوq-1{\displaystyle q-1}. لذاص{\displaystyle p}يقسمq-1{\displaystyle q-1}، إعطاءص<q{\displaystyle p<q}، مما يناقض الافتراض القائل بأنص{\displaystyle p}هو أكبر عدد أولي. [ 2 ]

وجود مجموعات فرعية من رتبة معينة

تُثير نظرية لاغرانج السؤال المعاكس حول ما إذا كان كل قاسم من رتبة زمرة ما هو رتبة زمرة جزئية. هذا لا ينطبق عمومًا: فإذا كانت لدينا زمرة منتهية G وقاسم d للزمرة | G |، فليس بالضرورة أن توجد زمرة جزئية من G رتبتها d . أصغر مثال على ذلك هو A⁴ ( الزمرة المتناوبة من الدرجة 4)، التي تحتوي على 12 عنصرًا ولكن ليس لديها زمرة جزئية رتبتها 6.

زمرة "عكس نظرية لاغرانج" (CLT) هي زمرة منتهية تتميز بخاصية أنه لكل قاسم من رتبة الزمرة، توجد زمرة جزئية من تلك الرتبة. من المعروف أن زمرة CLT يجب أن تكون قابلة للحل، وأن كل زمرة فائقة الحل هي زمرة CLT. مع ذلك، توجد زمر قابلة للحل ليست زمرة CLT (على سبيل المثال، A⁴ ) ، وزمر CLT ليست فائقة الحل (على سبيل المثال، S⁴ ، الزمرة المتناظرة من الدرجة 4).

توجد صيغ عكسية جزئية لنظرية لاغرانج. بالنسبة للمجموعات العامة، تضمن نظرية كوشي وجود عنصر، وبالتالي وجود مجموعة جزئية دورية، من رتبة أي عدد أولي يقسم رتبة المجموعة. وتوسع نظرية سيلو هذا ليشمل وجود مجموعة جزئية من رتبة تساوي أعلى قوة لأي عدد أولي يقسم رتبة المجموعة. أما بالنسبة للمجموعات القابلة للحل، فتؤكد نظريات هول وجود مجموعة جزئية من رتبة تساوي أي قاسم وحدوي لرتبة المجموعة (أي قاسم أولي نسبيًا لمرافقه).

مثال مضاد لعكس نظرية لاغرانج

ينص عكس نظرية لاغرانج على أنه إذا كان d قاسمًا لرتبة مجموعة G ، فإنه توجد مجموعة فرعية H حيث | H | = d .

سنقوم بدراسة المجموعة المتناوبة A 4 ، وهي مجموعة التباديل الزوجية كمجموعة فرعية من المجموعة المتناظرة S 4 .

أ 4 = { ه , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)} .

| A⁴ | = 12، لذا فإن القواسم هي 1، 2، 3، 4، 6، 12. لنفترض عكس ذلك، أي أن هناك زمرة جزئية H في A⁴ بحيث | H | = 6 .

ليكن V هو المجموعة الفرعية غير الدورية من A 4 والتي تسمى مجموعة كلاين الرباعية .

V = { ه , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} .

ليكن K = H ⋂ V. بما أن كلاً من H و V عبارة عن مجموعات جزئية من A 4 ، فإن K هي أيضًا مجموعة جزئية من A 4 .

بحسب نظرية لاغرانج، يجب أن يقسم العدد K كلاً من 6 و 4 ، وهما رتبتا العددين H و V على التوالي. العددان الصحيحان الموجبان الوحيدان اللذان يقسمان كلاً من 6 و 4 هما 1 و 2 . إذن ، | K | = 1 أو 2 .

بافتراض أن | K | = 1 ، فإن K = { e } . إذا لم تشترك H في أي عناصر مع V ، فإن العناصر الخمسة في H بالإضافة إلى عنصر الوحدة e يجب أن تكون على الشكل ( abc ) حيث a و b و c عناصر مميزة في {1، 2، 3، 4} .

بما أن أي عنصر من الشكل ( abc ) تربيع يساوي ( acb ) ، و ( abc )( acb ) = e ، فإن أي عنصر من H على الشكل ( abc ) يجب أن يكون مقترنًا بمعكوسه. تحديدًا، يجب أن تأتي العناصر الخمسة المتبقية من H من أزواج مختلفة من العناصر في A⁴ غير الموجودة في V. هذا مستحيل لأن أزواج العناصر يجب أن تكون زوجية ولا يمكن أن يصل مجموعها إلى 5 عناصر. بالتالي، فإن الافتراض بأن | K | = 1 خاطئ، لذا | K | = 2 .

إذن، K = { e , v } حيث v ∈ V ، ويجب أن يكون v على الصورة ( ab )( cd ) حيث a و b و c و d عناصر مميزة من المجموعة {1، 2، 3، 4} . أما العناصر الأربعة الأخرى في H فهي دورات طولها 3.

لاحظ أن المجموعات المشاركة المولدة بواسطة زمرة جزئية من زمرة ما تُشكل تجزئةً لتلك الزمرة. وتكون المجموعات المشاركة المولدة بواسطة زمرة جزئية محددة إما متطابقة أو منفصلة . يُعرَّف دليل الزمرة الجزئية في الزمرة [ A⁴ : H ] = | A⁴ | / | H |  بأنه عدد المجموعات المشاركة المولدة بواسطة تلك الزمرة الجزئية. بما أن | A⁴ | = 12 و | H | = 6 ، فإن H ستولد مجموعتين مشاركتين يساريتين، إحداهما تساوي H والأخرى gH ، طولها 6 وتشمل جميع العناصر الموجودة في A⁴ وغير الموجودة في H.

بما أن هناك مجموعتين مشاركتين مختلفتين فقط مولدتين بواسطة H ، فإن H يجب أن تكون مجموعة طبيعية. ولهذا السبب، فإن H = gHg −1 (لكل g ∈ A 4 ) . وبالتحديد، هذا صحيح بالنسبة لـ g = ( abc ) ∈ A 4. وبما أن H = gHg −1 ، فإن gvg −1 ∈ H.

دون الإخلال بعمومية الحل، نفترض أن a = 1 ، b = 2 ، c = 3 ، d = 4. عندئذٍ، g ​​= (1 2 3) ، v = (1 2)(3 4) ، g⁻¹ = (1 3 2) ، gv = (1 3 4) ، gvg⁻¹ = ( 1 4)(2 3) . بالتحويل العكسي، نحصل على gvg⁻¹ = ( ad ) ( bc ) . ولأن V تحتوي على جميع التبديلات المنفصلة في A⁴ ، فإن gvg⁻¹ ∈ V. بالتالي ، gvg⁻¹ ∈ H ⋂ V = K.

بما أن gvg −1 ≠ v ، فقد أثبتنا وجود عنصر ثالث في K. لكننا افترضنا سابقًا أن | K | = 2 ، لذا لدينا تناقض.

لذلك، فإن افتراضنا الأصلي بوجود زمرة جزئية من الرتبة 6 غير صحيح، وبالتالي لا توجد زمرة جزئية من الرتبة 6 في A4 ، وعكس نظرية لاغرانج ليس صحيحًا بالضرورة.

تاريخ

لم يُثبت لاغرانج بنفسه النظرية بصيغتها العامة. فقد ذكر في مقالته "تأملات حول الحل الجبري للمعادلات" [ 3 ] أنه إذا تم تبديل متغيرات كثيرة الحدود في n متغيرًا بجميع الطرق الممكنة n !، فإن عدد كثيرات الحدود المختلفة الناتجة يكون دائمًا عاملًا من عوامل n !. (على سبيل المثال، إذا تم تبديل المتغيرات x و y و z بجميع الطرق الست الممكنة في كثيرة الحدود x + y − z ، فسنحصل على 3 كثيرات حدود مختلفة: x + y − z ، و x + z − y ، و y + z − x . لاحظ أن 3 عامل من عوامل 6). عدد هذه كثيرات الحدود هو دليل المجموعة الجزئية H للتبديلات التي تحافظ على كثيرة الحدود في المجموعة المتناظرة Sn . (في مثال x + y − z ، تحتوي المجموعة الجزئية H في S3 على العنصر المحايد وعملية النقل ( xy ) ). لذا فإن حجم H يقسم n !. مع التطور اللاحق للمجموعات المجردة، تم الاعتراف بأن نتيجة لاغرانج هذه حول كثيرات الحدود تمتد إلى النظرية العامة حول المجموعات المنتهية التي تحمل اسمه الآن.

في كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" عام 1801، أثبت كارل فريدريش غاوس نظرية لاغرانج للحالة الخاصة لـ(Z/صZ)*{\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}، وهي المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة غير الصفرية بتردد p ، حيث p عدد أولي. [ 4 ] في عام 1844، أثبت أوغستين لويس كوشي نظرية لاغرانج للمجموعة المتناظرة S n . [ 5 ]

أثبت كاميل جوردان أخيرًا نظرية لاغرانج لحالة أي مجموعة تبديل في عام 1861. [ 6 ]

ملحوظات

  1. ↑ براي، نيكولاس، "نظرية زمرة لاغرانج" ، عالم الرياضيات
  2. ↑ أيغنر، مارتن ؛ زيغلر، غونتر م. (2018)، "الفصل 1"، براهين من الكتاب (الطبعة السادسة المنقحة والموسعة )، برلين: سبرينغر، ص 3-8 ، ISBN   978-3-662-57264-1
  3. ^ لاغرانج، جوزيف لويس (1771)، “Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. القسم troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs.” [ سلسلة تأملات في الحلول الجبرية للمعادلات. القسم الثالث. حول حل معادلات الدرجة الخامسة والدرجات العليا ] مذكرات الأكاديمية الملكية للعلوم والآداب في برلين الجديدة : 138 – 254 انظر على وجه الخصوص الصفحات 202-203.
  4. ^ غاوس، كارل فريدريش (1801)، Disquisitiones Arithmeticae (باللاتينية)، لايبزيغ (ليبسيا): ج. فلايشر، الصفحات 41-45، المادة 45-49.
  5. ^ أوغسطين لويس كوشي ، §VI. — Sur les dérivées d'une ou de plussieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées [في منتجات واحد أو أكثر من التباديل، وعلى أنظمة التباديل المترافقة] من: "Mémoire sur les الترتيبات التي يمكن أن تكون سابقة مع الحروف données، وsur les التباديل أو البدائل à l'aide desquelles on passe d'un ترتيب à un autre" [مذكرات عن الترتيبات التي يمكن للمرء تشكيلها بأحرف معينة، وعن التباديل أو البدائل التي ينتقل من خلالها الشخص من ترتيب إلى آخر] في: تمارين التحليل والفيزياء الرياضية [تمارين في التحليل والفيزياء الرياضية]، المجلد. 3 (باريس، فرنسا: باشولييه، 1844)، الصفحات من 183 إلى 185.
  6. ^ جوردان، كاميل (1861)، “Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions” [ مذكرات حول عدد قيم الوظائف ] ، Journal de l'École Polytechnique ، 22 : 113– 194 يظهر تعميم جوردان لنظرية لاغرانج في الصفحة 166.

مراجع

  • براي، هنري ج. (1968)، "ملاحظة حول مجموعات CLT"، مجلة باسيفيك للرياضيات ، 27 (2): 229-231 ، doi : 10.2140/pjm.1968.27.229
  • جاليان ، جوزيف (2006)، الجبر التجريدي المعاصر (  الطبعة السادسة)، بوسطن: هوتون ميفلين، ISBN 978-0-618-51471-7
  • دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (2004)، الجبر المجرد (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ISBN 978-0-471-43334-7MR 2286236​ 
  • روث، ريتشارد ر. (2001)، "تاريخ نظرية لاغرانج حول المجموعات"، مجلة الرياضيات ، 74 (2): 99-108 ، doi : 10.2307/2690624 ، JSTOR 2690624