إسقاط لامبرت السمتي متساوي المساحة

إسقاط لامبرت السمتي متساوي المساحة هو إسقاط خاص من كرة إلى قرص . يُمثل هذا الإسقاط المساحة بدقة في جميع مناطق الكرة، ولكنه لا يُمثل الزوايا بدقة . سُمي هذا الإسقاط نسبةً إلى عالم الرياضيات السويسري يوهان هاينريش لامبرت ، الذي أعلن عنه عام ١٧٧٢. ^{[ ١ ]} ولأن كلمة "سمتي" مرادفة لكلمة "سمتي"، يُعرف هذا الإسقاط أيضًا باسم إسقاط لامبرت السمتي متساوي المساحة . ^{[ ٢ ]}

يُستخدم إسقاط لامبرت السمتي كإسقاط خرائطي في علم الخرائط . فعلى سبيل المثال، يستخدم الأطلس الوطني للولايات المتحدة إسقاط لامبرت السمتي متساوي المساحة لعرض المعلومات في تطبيق Map Maker الإلكتروني، ^{[ 3 ]} وتوصي وكالة البيئة الأوروبية باستخدامه في رسم الخرائط الأوروبية لأغراض التحليل الإحصائي والعرض. ^{[ 4 ]} كما يُستخدم في تخصصات علمية مثل الجيولوجيا لرسم اتجاهات الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ويُساعد في هذا الرسم نوع خاص من ورق الرسم البياني يُسمى شبكة شميدت . ^{[ 5 ]}

لتعريف الإسقاط السمتي لامبرت، تخيل مستوىً مماسًا للكرة عند نقطة ما S عليها. ولتكن P أي نقطة على الكرة باستثناء النقطة المقابلة لـ S. ولتكن d المسافة بين S و P في الفضاء ثلاثي الأبعاد ( وليست المسافة على سطح الكرة). عندئذٍ، يُرسل الإسقاط P إلى نقطة P′ على المستوى، والتي تبعد مسافة d عن S.

لتوضيح ذلك بدقة أكبر، توجد دائرة وحيدة مركزها النقطة S ، تمر بالنقطة P ، وعمودية على المستوى. تتقاطع هذه الدائرة مع المستوى في نقطتين؛ ولتكن P ′ هي النقطة الأقرب إلى P. هذه هي النقطة المسقطة. انظر الشكل. يُستثنى متقابل S من الإسقاط لأن الدائرة المطلوبة ليست وحيدة. حالة S حالة شاذة؛ حيث تُسقط S على نفسها، على طول دائرة نصف قطرها صفر. ^{[ 6 ]}

تتطلب عملية الإسقاط على الحاسوب استخدام صيغ صريحة . لنفترض الإسقاط المتمركز عند النقطة ⁠${\displaystyle S=(0,0,-1)}$على الكرة الوحدة ،وهي مجموعة النقاط${\displaystyle (x,y,z)}$في الفضاء ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$بحيث​${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$في الإحداثيات الديكارتية​${\displaystyle (x,y,z)}$على الكرة و${\displaystyle (X,Y)}$على المستوى ، يتم وصف الإسقاط ومعكوسه بواسطة $$\begin{aligned}(X,Y)&=\left(\sqrt{\frac{2}{1-z}}}\,x,\sqrt{\frac{2}{1-z}}}\,y\right),\\(x,y,z)&=\left(\sqrt{1-\frac{X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,X,\sqrt{1-\frac{X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,Y,-1+\frac{X^{2}+Y^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$$

في الإحداثيات الكروية${\displaystyle (\psi ,\theta )}$على الكرة ( مع${\displaystyle \psi }$خط العرضو​​${\displaystyle \theta }$خط الطول ) والإحداثيات القطبية${\displaystyle (R,\Theta )}$على القرص ، يتم إعطاء الخريطة وعكسها بواسطة ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left(2\cos {\tfrac {1}{2}}\psi ,-\theta \right),\\(\psi ,\theta )&=\left(2\arccos {\tfrac {R}{2}},-\Theta \right).\end{aligned}}}$$

في الإحداثيات الأسطوانية${\displaystyle (r,\theta ,z)}$على الكرة والإحداثيات القطبية${\displaystyle (R,\Theta )}$على المستوى، تُعطى الخريطة ومعكوسها بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\sqrt {2(1+z)}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left(R{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{4}}}},\Theta ,-1+{\frac {R^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$$

يمكن توسيط الإسقاط عند نقاط أخرى، وتحديده على كرات ذات نصف قطر مختلف عن 1، باستخدام صيغ مماثلة. ^{[ 7 ]}

كما هو مُعرَّف في القسم السابق، فإن إسقاط لامبرت السمتي للكرة الوحدة غير مُعرَّف عند ⁠${\displaystyle (0,0,1)}$⁠ . ثم يرسل الجزء المتبقي من الكرة إلى القرص المفتوح الذي يبلغ نصف قطره 2 والمتمركز عند نقطة الأصل ⁠${\displaystyle (0,0)}$في الطائرة. يرسل النقطة${\displaystyle (0,0,-1)}$إلى​​${\displaystyle (0,0)}$خط الاستواء${\displaystyle z=0}$إلى دائرة نصف قطرها${\displaystyle {\sqrt {2}}}$متمركزة في${\displaystyle (0,0)}$، والنصف السفلي من الكرة المخية${\displaystyle z<0}$إلى القرص المفتوح الموجود داخل تلك الدائرة.

الإسقاط هو تماثل تفاضلي ( تقابل قابل للتفاضل بلا حدود في كلا الاتجاهين) بين الكرة (ناقص ⁠${\displaystyle (0,0,1)}$) والقرص المفتوح بنصف قطر 2. وهي خريطة تحافظ على المساحة (متساوية المساحة)، ويمكن ملاحظة ذلك بحساب عنصر مساحة الكرة عند تمثيلها بمعامل معكوس الإسقاط. في الإحداثيات الديكارتية، تكون $${\displaystyle dA=dX\;dY.}$$ وهذا يعني أن قياس مساحة منطقة على الكرة يعادل قياس مساحة المنطقة المقابلة على القرص.

من جهة أخرى، لا يحافظ الإسقاط على العلاقات الزاوية بين المنحنيات على سطح الكرة. لا يمكن لأي تحويل بين جزء من الكرة والمستوى أن يحافظ على الزوايا والمساحات معًا. (لو كان الأمر كذلك، لكان تحويلًا متساوي القياس محليًا ، ولحافظ على انحناء غاوس ؛ لكن الكرة والقرص لهما انحناءات مختلفة، لذا فهذا مستحيل). هذه الحقيقة، وهي أن الصور المسطحة لا يمكنها تمثيل مناطق الكرات تمثيلًا دقيقًا، هي المشكلة الأساسية في علم الخرائط.

ونتيجة لذلك، قد تُسقط مناطق على الكرة على المستوى بأشكال مشوهة للغاية. ويكون هذا التشوه واضحًا بشكل خاص بعيدًا عن مركز الإسقاط .${\displaystyle (0,0,-1)}$⁠ . في الممارسة العملية، غالبًا ما يقتصر الإسقاط على نصف الكرة الأرضية المتمركز عند تلك النقطة؛ ويمكن رسم خريطة لنصف الكرة الأرضية الآخر بشكل منفصل، باستخدام إسقاط ثانٍ متمركز عند النقطة المقابلة.

تم تصميم إسقاط لامبرت السمتي في الأصل كإسقاط خرائطي متساوي المساحة. ويُستخدم الآن أيضًا في تخصصات مثل الجيولوجيا لرسم البيانات الاتجاهية، كما يلي.

يُقابل كل اتجاه في الفضاء ثلاثي الأبعاد خطًا يمر بنقطة الأصل. ومجموعة كل هذه الخطوط هي فضاء بحد ذاتها، تُسمى في الرياضيات المستوى الإسقاطي الحقيقي . يتقاطع كل خط يمر بنقطة الأصل مع كرة الوحدة في نقطتين فقط، إحداهما تقع على نصف الكرة السفلي.${\displaystyle z\leq 0}$(تتقاطع الخطوط الأفقية مع خط الاستواء)${\displaystyle z=0}$في نقطتين متقابلتين. من المفهوم أن النقاط المتقابلة على خط الاستواء تمثل خطًا واحدًا. (انظر طوبولوجيا القسمة ). وبالتالي، فإن الاتجاهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد تتطابق (بشكل شبه تام) مع النقاط على نصف الكرة السفلي. ويمكن بعد ذلك تمثيل نصف الكرة كقرص نصف قطره${\displaystyle {\sqrt {2}}}$باستخدام إسقاط لامبرت السمتي.

وبالتالي، يسمح لنا إسقاط لامبرت السمتي برسم الاتجاهات كنقاط على قرص. وبفضل خاصية تساوي مساحة الإسقاط، يمكن إجراء التكامل على مناطق المستوى الإسقاطي الحقيقي (فضاء الاتجاهات) عن طريق إجراء التكامل على المناطق المقابلة على القرص. وهذا مفيد للتحليل الإحصائي للبيانات الاتجاهية، ^{[ 6 ]} بما في ذلك الدوران الصلب العشوائي . ^{[ 8 ]}

لا يقتصر استخدام إسقاط لامبرت السمتي على رسم الخطوط فحسب، بل يمكن أيضًا رسم المستويات المارة بنقطة الأصل. يتقاطع المستوى مع نصف الكرة الأرضية في قوس دائري، يُسمى أثر المستوى، والذي يُسقط لأسفل على شكل منحنى (عادةً ما يكون غير دائري) على القرص. يمكن رسم هذا المنحنى، أو يمكن استبدال المستوى بالخط العمودي عليه، والذي يُسمى القطب ، ورسم هذا الخط بدلاً منه. عند رسم العديد من المستويات معًا، فإن رسم الأقطاب بدلاً من الآثار يُنتج رسمًا بيانيًا أقل ازدحامًا.

يستخدم الباحثون في الجيولوجيا البنيوية إسقاط لامبرت السمتي لرسم المحاور والأوجه البلورية ، والتخطيط والتورق في الصخور، وأسطح الانزلاق في الصدوع ، وغيرها من السمات الخطية والمستوية. في هذا السياق، يُطلق على هذا الإسقاط اسم الإسقاط نصف الكروي متساوي المساحة . كما يوجد أيضًا إسقاط نصف كروي متساوي الزاوية يُحدد بواسطة الإسقاط المجسم . ^{[ 6 ]}

ركز النقاش هنا على نظرة من الداخل إلى الخارج لنصف الكرة السفلي.${\displaystyle z\leq 0}$(كما قد يُرى في خريطة النجوم)، لكن بعض التخصصات (مثل رسم الخرائط) تُفضل منظورًا خارجيًا لنصف الكرة العلوي.${\displaystyle z\geq 0}$^{[ 6 ]} في الواقع ، يمكن استخدام أي نصف كرة لتسجيل الخطوط التي تمر عبر نقطة الأصل في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

مقارنة بين إسقاط لامبرت السمتي متساوي المساحة وبعض الإسقاطات السمتية المتمركزة على خط عرض 90 درجة  شمالاً على نفس المقياس، مرتبة حسب ارتفاع الإسقاط بنصف قطر الأرض ( انقر  للحصول على  التفاصيل )

يترك${\displaystyle (u,\phi )}$ليكن معاملان بحيث${\displaystyle -1<u\leq 1}$و${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$. يترك${\displaystyle H}$يمكن اعتبارها معلمة "زمنية" (تساوي ارتفاع، أو سمك، الغلاف في الرسوم المتحركة). إذا تم رسم شبكة مستطيلة منتظمة في${\displaystyle (u,\phi )}$في الفضاء، يتم تحويل أي نقطة في هذه الشبكة إلى نقطة${\displaystyle (x,y,z)}$على غلاف كروي ارتفاعه${\displaystyle H}$وفقًا للخريطة $${\displaystyle x=\lambda (u,H)\cos(\phi )}$$$${\displaystyle y=\lambda (u,H)\sin(\phi )}$$$${\displaystyle z={\frac {Hu}{2}}}$$ أين${\displaystyle \lambda (u,H)={\frac {1}{2}}{\sqrt {(1-u)\left[8-H^{2}(1-u)\right]}}}$كل إطار في الرسوم المتحركة يمثل رسمًا بيانيًا بارامتريًا للشبكة المشوهة عند قيمة ثابتة لارتفاع الغلاف${\displaystyle H}$(يتراوح من 0 إلى 2). جسديًا،${\displaystyle \lambda }$يمثل امتداد الخط المتناهي الصغر (الطول المشوه مقسومًا على الطول الأصلي).${\displaystyle d\phi }$يمكن تحويل هذه الخريطة إلى خريطة تُبقي القطب الجنوبي ثابتًا باستخدام القطع المستقيمة.${\displaystyle z={\frac {H(1-u)}{2}}.}$

بغض النظر عن قيم${\displaystyle (u,\phi ,H)}$تكون مصفوفة جاكوبي لهذا التحويل مساويةً للواحد في كل مكان، مما يدل على أنه تحويل متساوي المساحة في جميع أنحاء الرسوم المتحركة. يتضمن هذا التحويل المعمم إسقاط لامبرت كحالة خاصة عندما${\displaystyle H=0}$.

التطبيق: يمكن أن يساعد هذا التخطيط في شرح معنى إسقاط لامبرت من خلال إظهار أنه "يفتح" الكرة عند أحد القطبين، ويحولها إلى قرص دون تغيير المساحة المحصورة بخلايا الشبكة.

• قائمة إسقاطات الخرائط
• إسقاط متساوي البعد في السمت
• شبكة الكهرباء الأوروبية
• إسقاط المطرقة

• شرح تحويلات الإحداثيات باستخدام الرسوم التوضيحية
• الوسائط المتعلقة بإسقاط لامبرت السمتي متساوي المساحة على ويكيميديا ​​كومنز
• مولد الخرائط السمتية - أداة تفاعلية لإنشاء خرائط إسقاط سمتية متساوية المساحة قابلة للتخصيص تتمركز حول أي موقع، مع خيارات تصميم وتصدير مخصصة.