صيغة لايبنتز لـπ

جزء من سلسلة مقالات حول
الثابت الرياضي π
3.14159 26535 89793 23846 26433...
الاستخدامات
مساحة الدائرة محيط الاستخدام في صيغ أخرى
ملكيات
اللاعقلانية التسامي
قيمة
أقل من 22/7 التقريبات مصطلح تصحيح مادهفا الحفظ
الناس
أرخميدس ليو هوي زو تشونغتشي أريابهاتا مادهفا جمشيد الكاشي لودولف فان سيولين فرانسوا فييت سيكي تاكاكازو تاكيبي كينكو وليام جونز جون ماشين وليام شانكس سرينيفاسا رامانوجان جون رينش Chudnovsky brothers Yasumasa Kanada
History
Chronology A History of Pi
In culture
Indiana pi bill Pi Day
Related topics
Squaring the circle Basel problem Six nines in π Other topics related to π
v t e

في الرياضيات ، تنص صيغة لايبنتز لـ π ، والتي سميت على اسم جوتفريد فيلهلم لايبنتز ، على أن$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}$$

سلسلة متناوبة .

يُطلق عليه أحيانًا اسم سلسلة مادهافا-لايبنتز حيث اكتشفها لأول مرة عالم الرياضيات الهندي مادهافا من سانجاماجراما أو أتباعه في القرنين الرابع عشر والخامس عشر (انظر سلسلة مادهافا )، ^[1] وأعيد اكتشافها لاحقًا بشكل مستقل بواسطة جيمس جريجوري في عام 1671 ولايبنتز في عام 1673. ^[2] سلسلة تايلور لدالة الظل العكسية ، والتي غالبًا ما تسمى سلسلة جريجوري ، هي $${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$$

صيغة لايبنتز هي الحالة الخاصة ^[3]${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

وهي أيضًا سلسلة دي ريتشليت L ذات الطابع غير الرئيسي لدي ريتشليت للمعامل 4 المقيم عند وبالتالي قيمة β (1) لدالة بيتا لدي ريتشليت . ${\displaystyle s=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}$$

إذا أخذنا في الاعتبار التكامل في الحد الأخير فقط، فلدينا: $${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

لذلك، وفقًا لنظرية الضغط ، حيث n → ∞ ، يتبقى لدينا متسلسلة لايبنيز: $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$

ليكن عندما تتقارب السلسلة بشكل منتظم، إذن ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}$$${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}$$

لذلك، إذا اقتربت بحيث تكون متصلة وتتقارب بشكل موحد، يكون الإثبات كاملاً، حيث تتقارب السلسلة وفقًا لاختبار لايبنيز ، وتقترب أيضًا من داخل زاوية ستولز، لذا من نظرية آبل هذا صحيح. ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$

تتقارب صيغة لايبنتز ببطء شديد: فهي تظهر تقاربًا دون خطي . يتطلب حساب π إلى 10 منازل عشرية صحيحة باستخدام الجمع المباشر للسلسلة خمسة مليارات حد على وجه التحديد لأن4/2 ك + 1< 10 ⁻¹⁰ لـ k > 2 × 10 ¹⁰ −1/2( يجب تطبيق حد خطأ كالابريس ). للحصول على 4 أرقام عشرية صحيحة (خطأ 0.00005) نحتاج إلى 5000 مصطلح. ^[4] تتوفر حدود خطأ أفضل حتى من حدود خطأ كالابريس أو جونسونباو. ^[5]

ومع ذلك، يمكن استخدام صيغة لايبنتز لحساب π بدقة عالية (مئات الأرقام أو أكثر) باستخدام تقنيات تسريع التقارب المختلفة . على سبيل المثال، يمكن تطبيق تحويل شانكس أو تحويل أويلر أو تحويل فان وينجاردن ، وهي طرق عامة للمتسلسلات المتناوبة، بشكل فعال على المجاميع الجزئية لمتسلسلة لايبنتز. علاوة على ذلك، فإن الجمع بين المصطلحات في أزواج يعطي المتسلسلة غير المتناوبة $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$$

والتي يمكن تقييمها بدقة عالية من عدد صغير من الحدود باستخدام استقراء ريتشاردسون أو صيغة أويلر-ماكلورين . ويمكن أيضًا تحويل هذه السلسلة إلى تكامل عن طريق صيغة آبل-بلانا وتقييمها باستخدام تقنيات التكامل العددي .

إذا تم قطع السلسلة في الوقت المناسب، فإن التوسع العشري للتقريب سوف يتفق مع التوسع في π للعديد من الأرقام الأخرى، باستثناء الأرقام المعزولة أو مجموعات الأرقام. على سبيل المثال، فإن أخذ خمسة ملايين حد يعطي $${\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}$$

حيث تكون الأرقام المسطرة أسفلها خاطئة. ويمكن في الواقع التنبؤ بالأخطاء؛ فهي تتولد من أرقام أويلر E _n وفقًا للصيغة المقاربة$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}$$

حيث N هو عدد صحيح قابل للقسمة على 4. إذا تم اختيار N ليكون قوة من عشرة، فإن كل حد في المجموع الصحيح يصبح كسرًا عشريًا منتهيًا. الصيغة هي حالة خاصة من صيغة مجموع أويلر-بول للمتسلسلات المتناوبة، مما يوفر مثالًا آخر لتقنية تسريع التقارب التي يمكن تطبيقها على سلسلة لايبنيز. في عام 1992، استخدم جوناثان بوروين ومارك ليمبر أول ألف رقم أويلر لحساب π إلى 5263 منزلة عشرية باستخدام صيغة لايبنيز. ^[6]

يمكن تفسير صيغة لايبنتز على أنها سلسلة دي ريتشليه باستخدام حرف دي ريتشليه غير الرئيسي الفريد modulo 4. كما هو الحال مع سلسلة دي ريتشليه الأخرى، فإن هذا يسمح بتحويل المجموع اللانهائي إلى حاصل لانهائي مع حد واحد لكل عدد أولي . يسمى هذا الحاصل حاصل أويلر . وهو: في هذا الحاصل، كل حد هو نسبة فوق خاصة ، وكل بسط هو عدد أولي فردي، وكل مقام هو أقرب مضاعف لـ 4 إلى البسط. ^[7] الحاصل متقارب شرطيًا؛ يجب أخذ حدوده بترتيب تزايد p . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$$

• قائمة الصيغ التي تتضمن π