نسبة فوقية

في الرياضيات ، النسبة الفائقة الخاصة ، والتي تسمى أيضًا العدد الفائق الخاص أو النسبة فوق الخاصة ، هي نسبة عددين صحيحين متتاليين .

وبشكل أكثر تحديداً، تأخذ النسبة الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}}$ حيث n عدد صحيح موجب .

هكذا:

العدد الفائق هو عدد كبير يحتوي على عدد أصغر منه، يُقارن به، وفي الوقت نفسه يُمثل جزءًا منه. على سبيل المثال، عند مقارنة 3 و2، نجد أنهما يحتويان على 2، بالإضافة إلى أن 3 يحتوي على 1، وهو نصف 2. وعند مقارنة 3 و4، نجد أن كليهما يحتوي على 3، وأن 4 يحتوي على 1، وهو ثلث 3. كذلك، عند مقارنة 5 و4، نجد أنهما يحتويان على العدد 4، وأن 5 يحتوي على 1، وهو ربع 4، وهكذا.

كتب نيكوماخوس عن النسب الفائقة في كتابه " مقدمة في الحساب" . ورغم أن لهذه الأعداد تطبيقات في الرياضيات البحتة الحديثة ، فإن أكثر مجالات الدراسة التي تشير إلى النسب الفائقة بهذا الاسم هي نظرية الموسيقى ^{[ 2 ]} وتاريخ الرياضيات ^{[ 3 ]} .

كما لاحظ ليونارد أويلر ، فإن الأعداد فوق الجزئية (بما في ذلك النسب فوق الجزئية المضاعفة، وهي الأعداد التي تتكون من إضافة عدد صحيح غير واحد إلى كسر الوحدة ) هي تحديدًا الأعداد النسبية التي ينتهي كسرها المستمر البسيط بعد حدين. أما الأعداد التي ينتهي كسرها المستمر بحد واحد فهي الأعداد الصحيحة، بينما الأعداد المتبقية، التي تحتوي كسورها المستمرة على ثلاثة حدود أو أكثر، هي أعداد فوق جزئية . ^{[ 4 ]}

منتج واليس

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

يمكن تمثيل العدد غير النسبي π بعدة طرق كحاصل ضرب نسب فائقة الخصوصية ومعكوساتها . كما يمكن تحويل صيغة لايبنتز لـ π إلى حاصل ضرب أويلر لنسب فائقة الخصوصية، حيث يكون لكل حد عدد أولي في بسطه وأقرب مضاعف للعدد أربعة في مقامه: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots }$

في نظرية الرسم البياني ، تنشأ الأعداد الفائقة (أو بالأحرى مقلوباتها، 1/2، 2/3، 3/4، إلخ) عبر نظرية إردوش-ستون كقيم محتملة للكثافة العليا لرسم بياني لانهائي. ^{[ 6 ]}

في دراسة التناغم الموسيقي ، يمكن التعبير عن العديد من الفواصل الموسيقية كنسبة فوق خاصة (على سبيل المثال، نظرًا لتكافؤ الأوكتاف ، يمكن التعبير عن التوافقي التاسع، 9/1، كنسبة فوق خاصة، 9/8). في الواقع، كان كون النسبة فوق خاصة المعيار الأهم في صياغة بطليموس للتناغم الموسيقي. ^{[ 7 ]} في هذا التطبيق، يمكن استخدام نظرية ستورمر لحصر جميع الأعداد الفوق خاصة الممكنة لنهاية معينة ؛ أي جميع النسب من هذا النوع التي يكون فيها كل من البسط والمقام أعدادًا صحيحة . ^{[ 2 ]}

تُعدّ هذه النسب مهمة أيضاً في التناغم البصري. فنسب العرض إلى الارتفاع 4:3 و3:2 شائعة في التصوير الرقمي ، ^{[ 8 ]} بينما تُستخدم نسب 7:6 و5:4 في التصوير متوسط ​​الحجم وكبير الحجم على التوالي. ^{[ 9 ]}

كل زوج من الأعداد الصحيحة الموجبة المتجاورة يمثل نسبة فائقة الخصوصية، وبالمثل، كل زوج من التوافقيات المتجاورة في السلسلة التوافقية (الموسيقى) يمثل نسبة فائقة الخصوصية. العديد من النسب الفائقة الخصوصية لها أسماء خاصة بها، سواء في الرياضيات التاريخية أو في نظرية الموسيقى. وتشمل هذه ما يلي:

أمثلة

نسبة	سنتات	الاسم/الفاصل الموسيقي	تدوين بن جونستون فوق دو	صوتي
2:1	1200	دوبلكس: [ أ ] أوكتاف	ج
3:2	701.96	sesquialterum: [ أ ] خامسة مثالية	جي
4:3	498.04	sesquitertium: [ a ] ​​رابعة تامة	F
5:4	386.31	sesquiquartum: [ a ] ثالثة كبيرة	هـ
6:5	315.64	سيسكويكوينتوم: [ أ ] ثالثة صغيرة	مي بيمول
7:6	266.87	الثلث الحاجزي الصغير	مي بيمول
8:7	231.17	الحاجز الثاني الكبير	د -
9:8	203.91	sesquioctavum: [ a ] ثانية كبيرة	د
10:9	182.40	sesquinona: [ a ] نغمة صغيرة	د -
11:10	165.00	أكبر من 10 أرقام محايدة ثانية	D ↑ ♭ -
12:11	150.64	أصغر من 10 أرقام محايدة ثانية	D ↓
15:14	119.44	نصف نغمة حاجزية دياتونية	دو ♯
16:15	111.73	نصف نغمة دياتونية خالصة	D ♭ -
17:16	104.96	نصف نغمة دياتونية صغيرة	دو ♯
21:20	84.47	نصف نغمة كروماتية حاجزية	D ♭
25:24	70.67	نصف نغمة لونية فقط	دو ♯
28:27	62.96	النغمة الثالثة الحاجزية	D ♭ -
32:31	54.96	التوافقي الفرعي الحادي والثلاثون ، ربع نغمة سفلي	D ♭ -
49:48	35.70	انحلال الحاجز	D ♭
50:49	34.98	النغمة السادسة الحاجزية	ب♯ -​
64:63	27.26	الفاصلة الحاجزية ، التوافقي الفرعي الثالث والستون	ج -
81:80	21.51	الفاصلة التركيبية	ج +
126:125	13.79	الفاصلة الحاجزية	د
128:127	13.58	التوافقي الفرعي رقم 127
225:224	7.71	الحاجز الكلوي	ب♯​
256:255	6.78	التوافقي الفرعي رقم 255	د -
4375:4374	0.40	راجيزما	دو دييز -

إن أصل بعض هذه المصطلحات يأتي من الكلمة اللاتينية sesqui- بمعنى "واحد ونصف" (من semis بمعنى "نصف" و -que بمعنى "و") والتي تصف النسبة 3:2.

• تطبيق الأعداد الفائقة الخاصة لبناء السلالم الخماسية بواسطة ديفيد كانرايت .
• De Institue Arithmetica، liber II بقلم أنيسيوس مانليوس سيفيرينوس بوثيوس