طريقة الإنهاك

طريقة الاستنفاد ( باللاتينية : methodus exhaustionis ) هي طريقة لإيجاد مساحة شكل ما عن طريق رسم سلسلة من المضلعات (واحدًا تلو الآخر) داخله، بحيث تتقارب مساحاتها مع مساحة الشكل المحيط . إذا تم إنشاء السلسلة بشكل صحيح، فإن الفرق في المساحة بين المضلع رقم n والشكل المحيط سيصبح صغيرًا جدًا كلما كبرت قيمة n . ومع ازدياد هذا الفرق، تُستنفد القيم الممكنة لمساحة الشكل بشكل منهجي من خلال حدود المساحات الدنيا التي تحددها عناصر السلسلة تباعًا.

تتطلب طريقة الاستنفاد عادةً شكلاً من أشكال البرهان بالتناقض، يُعرف باسم " البرهان بالخلف ". ويتمثل هذا في إيجاد مساحة منطقة ما بمقارنتها أولاً بمساحة منطقة أخرى، يمكن "استنفادها" بحيث تصبح مساحتها قريبة جدًا من المساحة الحقيقية. يتضمن البرهان افتراض أن المساحة الحقيقية أكبر من مساحة المنطقة الثانية، ثم إثبات خطأ هذا الافتراض، ثم افتراض أنها أصغر من مساحة المنطقة الثانية، ثم إثبات خطأ هذا الافتراض أيضًا.

نشأت الفكرة في أواخر القرن الخامس قبل الميلاد مع أنطيفون ، على الرغم من أنه ليس من الواضح تمامًا مدى فهمه لها. ^{[ 1 ]} وقد طُورت النظرية بدقة بعد بضعة عقود على يد إيدوكسوس الكنيدي ، الذي استخدمها لحساب المساحات والأحجام. ثم أعاد ليو هوي ابتكارها في الصين في القرن الثالث الميلادي لإيجاد مساحة الدائرة. ^{[ 2 ]} وكان أول استخدام للمصطلح في عام 1647 من قبل غريغوريوس القديس فنسنت في كتابه "Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum" .

تُعتبر طريقة الاستنفاد مقدمةً لطرق حساب التفاضل والتكامل . وقد أدى تطور الهندسة التحليلية وحساب التكامل الدقيق في القرنين السابع عشر والتاسع عشر إلى دمج طريقة الاستنفاد، بحيث لم تعد تُستخدم صراحةً لحل المسائل. وكان مبدأ كافالييري ، المعروف أيضًا بطريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة ، نهجًا بديلًا هامًا، والذي تطور لاحقًا إلى حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر الذي وضعه روبرفال ، وتوريتشيلي ، وواليس ، وليبنيز ، وغيرهم.

أرخميدس

استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لحساب مساحة الدائرة عن طريق ملء الدائرة بسلسلة من المضلعات ذات عدد متزايد من الأضلاع ، وبالتالي زيادة مقابلة في المساحة. يمكن جعل ناتج قسمة مساحة هذه المضلعات على مربع نصف قطر الدائرة قريبًا جدًا من π كلما ازداد عدد أضلاع المضلع، مما يثبت أن مساحة الدائرة التي نصف قطرها r تساوي πr² ^، حيث π هي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ( C / d ).

كما قدم الحدود 3  + ¹⁰ / ₇₁ < π < 3 + ¹⁰ / ₇₀        (مما يعطي نطاقًا قدره ¹ / ₄₉₇ ) من خلال مقارنة محيطات الدائرة بمحيطات المضلعات المنتظمة ذات 96 ضلعًا المحاطة والمحاطة بها .

ومن النتائج الأخرى التي حصل عليها باستخدام طريقة الإنهاك ما يلي: ^{[ 9 ]}

• المساحة المحصورة بين تقاطع خط مستقيم وقطع مكافئ تساوي 4/3 مساحة المثلث الذي له نفس القاعدة والارتفاع ( تربيع القطع المكافئ ).
• مساحة القطع الناقص تتناسب مع مساحة المستطيل الذي تساوي أضلاعه محوريه الرئيسي والثانوي.
• حجم الكرة يساوي 4 أضعاف حجم المخروط الذي له قاعدة بنفس نصف القطر وارتفاع يساوي نصف القطر هذا.
• حجم الأسطوانة التي يساوي ارتفاعها قطرها يساوي 3/2 حجم الكرة التي لها نفس القطر.
• المساحة المحصورة بين دورة حلزونية واحدة وخط مستقيم تساوي ثلث مساحة الدائرة التي نصف قطرها يساوي طول القطعة المستقيمة.
• كما أدى استخدام طريقة الاستنفاد إلى التقييم الناجح لسلسلة هندسية لانهائية (للمرة الأولى).

قام أرخميدس بحساب مساحة لفة واحدة من اللولب${\textstyle S}$مقدم من${\textstyle r=\theta }$ووجد أن${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$أي ثلث${\textstyle a(C)}$، مساحة الدائرة التي تحيط بها.

للحصول على فكرة موجزة عن البرهان، لنفترض أننا نرغب في إثبات أن${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}a(C)}$على سبيل التناقض، افترض أن${\textstyle a(S)<{\frac {1}{3}}a(C)}$قسّم الفترة${\textstyle [0,2\pi ]}$داخل${\textstyle n}$قطع متساوية${\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$ولكل فترة جزئية، أوجد أصغر وأكبر القطاعات الدائرية التي تحيط باللولب. انظر الصورة الثانية للتوضيح. ليكن${\textstyle P}$لتكن مجموعة القطاعات الموجودة داخل اللولب، و${\textstyle Q}$مجموعة القطاعات الخارجية. ثم،${\textstyle a(P)}$يُعد هذا تقديرًا أقل من المساحة الحقيقية للحلزون، و${\textstyle a(Q)}$مبالغة. استطاع أرخميدس أن يثبت ذلك، من أجل${\textstyle n}$كبيرة بما فيه الكفاية،${\textstyle a(Q)-a(P)<\epsilon }$لأي${\textstyle 0<\epsilon }$.

والآن، حدد${\textstyle \epsilon$ :={\frac {1}{3}}a(C)-a(S)} . ثم لدينا${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)-a(S)>a(Q)-a(P)}$بناءً على الافتراض، وبالتالي${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)>a(Q)+a(S)-a(P)>a(Q)}$لأن اللولب يحيط${\textstyle P}$لكن يمكننا حساب مساحة بشكل صريح${\textstyle Q}$لأنها تساوي مجموع مساحات${\displaystyle n}$قطاعات دائرية خارجية، لكل منها مساحة${\textstyle {\frac {\theta }{2}}r_{i}^{2},}$ل${\textstyle i\in \{1,\dots ,n\}}$. إنه،

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(Q)&={\frac {\theta }{2}}r_{1}^{2}+{\frac {\theta }{2}}r_{2}^{2}+...+{\frac {\theta }{2}}r_{n}^{2}\\&={\frac {\theta }{2}}\left(\theta ^{2}+(2\theta )^{2}+...+(n\theta )^{2}\right)\\&={\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\end{aligned}}}$$

باستخدام صيغة مجموع المربعات ، والتي اكتشفها أرخميدس أيضًا.

وبالتالي نعود إلى المتباينة التي لدينا

$${\displaystyle {\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {1}{3}}a(C).}$$

بما أن نصف قطر الدائرة كان${\textstyle 2\pi }$مساحة الدائرة هي${\textstyle a(C)=4\pi ^{3}}$بمجرد إدخالها في المتباينة أعلاه، بالإضافة إلى${\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$، فنحصل على:

$${\displaystyle {\frac {8\pi ^{3}}{12n^{3}}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {4}{3}}\pi ^{3}.}$$

والذي يُختزل بدوره إلى ما يعادله:

$${\displaystyle \left(n+1\right)\left(2n+1\right)<2n^{2}.}$$

لكن هذا غير صحيح بالنسبة لجميع الحالات الإيجابية${\textstyle n}$، لأن الحد الأول على الجانب الأيسر أكبر من${\textstyle n}$والثاني أكبر من${\textstyle 2n}$لذا فإن ناتجهما أكبر من${\textstyle 2n^{2}}$وهكذا وصلنا إلى تناقض.

الدليل على ذلك${\textstyle a(S)>{\frac {1}{3}}a(C)}$بل هو متطابق تماماً. ولأن مساحة اللولب لا تقل عن ثلث مساحة الدائرة ولا تزيد عنها، فقد استنتج أرخميدس أنهما متساويتان. ^{[ 12 ]}

هذا البيان الذي${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$يُنسب هذا إلى إيدوكسوس، لكن شرحه لم ينجُ – فقد تم إعادة إنتاجه في كتاب إقليدس الثاني عشر، القضية 2.

للحصول على ملخص للبرهان، افترض على سبيل التناقض أن${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\iff a(C_{1})>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}).}$ يترك${\textstyle P_{1},P_{2}}$يكون${\textstyle n}$المضلعات المحدبة المنتظمة ذات الأضلاع n التي تحيط بـ${\textstyle C_{1},C_{2}}$على التوالي. عرّف${\textstyle \epsilon$ :=a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})} . ثم، بحسب القضية 1 من كتاب إقليدس العاشر، يمكننا إيجاد${\textstyle N}$بحيث كلما${\textstyle n>N}$،${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<\epsilon }$وبالتالي، باستخدام تعريف${\textstyle \epsilon }$نحصل ${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}),\quad \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<a(P_{1}).}$

لكن بالنسبة لأي مضلعين محدبين منتظمين ، وليسا دائرتين، فمن السهل إثبات ذلك. ${\textstyle {\frac {a(P_{1})}{a(P_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$، متاح${\displaystyle n}$ثابت. إدخال هذا في العبارة السابقة يعطي

$${\displaystyle \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(P_{2})\implies a(C_{2})<a(P_{2}).}$$

لكن هذا تناقض، لأن${\textstyle P_{2}\subset C_{2}}$الخطوة التالية هي إثبات ذلك. ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$وهذا غير صحيح أيضاً. ومع ذلك، فإن تصنيف${\textstyle C_{1},C_{2}}$كان الأمر تعسفيًا تمامًا؛ وبإعادة تسمية هذه الحالة، يترتب على ذلك أيضًا دون الحاجة إلى مزيد من الأدلة. لذلك، لدينا أن${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$[ ^{13 ]​}

يمكن اعتبار كل من تقريب التكامل باستخدام مجموع ريمان أو باستخدام قاعدة شبه المنحرف بمثابة نسخ حديثة من طريقة الاستنفاد. ^{[ 14 ]}

• طريقة النظريات الميكانيكية
• تربيع القطع المكافئ
• قاعدة شبه المنحرف
• نظرية فيثاغورس