ليون ميرسكي

انصبّ اهتمام ميرسكي المبكر على نظرية الأعداد . وقد أبدى اهتمامًا خاصًا بالأعداد الخالية من r ، وهي تعميم للأعداد الصحيحة الخالية من المربعات، وتتألف من الأعداد التي لا تقبل القسمة على أي قوة من الرتبة r . تُشكّل هذه الأعداد مجموعةً شاملةً للأعداد الأولية ، وقد برهن ميرسكي على نظرياتٍ لها تُشابه نظرية فينوغرادوف ، وتخمين غولدباخ ، وتخمين الأعداد الأولية التوأم للأعداد الأولية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في عام 1952، أثبت ميرسكي، بالتعاون مع بول إردوش، حدودًا تقاربية قوية على عدد القيم المختلفة التي تأخذها دالة القاسم d ( n ) التي تحسب عدد قواسم العدد n . إذا كان D ( n ) يمثل عدد القيم المختلفة لـ d ( m ) عندما m  ≤ n ، فإن ^{[ 2 ] [ 3 ]} 

${\displaystyle D(n)=\exp \left({\bigl (}1+o(1){\bigr )}{\frac {\pi {\sqrt {8\log n}}}{{\sqrt {3}}\log \log n}}\right).}$

تتعلق نظرية ميرسكي-نيومان بتقسيمات الأعداد الصحيحة إلى متتابعات حسابية ، وتنص على أن أي تقسيم من هذا القبيل يجب أن يحتوي على متتابعتين لهما نفس الفرق. أي أنه لا يمكن أن يوجد نظام تغطية يغطي كل عدد صحيح مرة واحدة فقط وله فروق مختلفة. هذه النتيجة هي حالة خاصة من حدسية هيرتسوغ-شونهايم في نظرية الزمر ؛ وقد طرحها بول إيردوس عام 1950 ، وأثبتها ميرسكي ودونالد ج. نيومان بعد ذلك بوقت قصير. مع ذلك، لم ينشر ميرسكي ونيومان برهانهما. وقد توصل هارولد دافنبورت وريتشارد رادو بشكل مستقل إلى البرهان نفسه . ^{[ 6 ]}

في عام 1947، طُلب من ميرسكي تدريس دورة في الجبر الخطي . وبعد ذلك بوقت قصير، ألّف كتابًا دراسيًا في هذا الموضوع بعنوان " مقدمة في الجبر الخطي" (منشورات جامعة أكسفورد، 1955)، بالإضافة إلى كتابة عدد من الأبحاث في هذا المجال. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في بحثه، قدم ميرسكي شروطًا ضرورية وكافية لوجود المصفوفات من أنواع مختلفة ( المصفوفات المتناظرة الحقيقية ، والمصفوفات المتعامدة ، والمصفوفات الهرميتية ، وما إلى ذلك) ذات عناصر قطرية محددة وقيم ذاتية محددة . ^{[ 2 ]}

توصل إلى تضييق لنظرية بيركوف-فون نيومان مع إتش كيه فرحات، حيث نص على أن كل مصفوفة عشوائية مزدوجة يمكن الحصول عليها كمزيج محدب من مصفوفات التبديل . وفي صيغة ميرسكي لهذه النظرية، أظهر أنه على الأكثر${\displaystyle n^{2}-2n+2}$يلزم استخدام مصفوفات التبديل لتمثيل كل${\displaystyle n\times n}$المصفوفة العشوائية المزدوجة، وأن بعض المصفوفات العشوائية المزدوجة تحتاج إلى هذا العدد من مصفوفات التبديل. في التوافقية متعددة السطوح الحديثة ، يمكن اعتبار هذه النتيجة حالة خاصة من نظرية كاراثيودوري المطبقة على متعدد السطوح بيركوف . كما عمل مع هازل بيرفكت على أطياف المصفوفات العشوائية المزدوجة. ^{[ 2 ]}

في منتصف ستينيات القرن العشرين، تحوّل تركيز ميرسكي البحثي مجددًا إلى التوافقية ، بعد استخدامه نظرية هول للزواج في سياق عمله على المصفوفات العشوائية المزدوجة. في هذا المجال، ألّف كتابًا دراسيًا بعنوان " نظرية المستعرض" (دار النشر الأكاديمية، 1971)، وفي الوقت نفسه حرّر كتابًا تذكاريًا لريتشارد رادو . ^{[ 3 ]} استنتج شروطًا لوجود مستعرضات متزامنة لأزواج من عائلات المجموعات، وهي شروط وثيقة الصلة بأعمال لاحقة حول مسائل تدفق الشبكات . ^{[ 2 ]} كما كان من أوائل من أدركوا أهمية المصفوفات المستعرضة ، ^{[ 2 ] [ 3 ]} وأظهر إمكانية تمثيلها باستخدام الجبر الخطي على امتدادات متسامية للأعداد النسبية . ^{[ 2 ]}

تنص نظرية ميرسكي ، وهي صيغة ثنائية لنظرية ديلورث التي نشرها ميرسكي عام 1971، على أنه في أي مجموعة جزئية مرتبة منتهية، يكون طول أطول سلسلة مساويًا لأصغر عدد من السلاسل المضادة التي يمكن تقسيم المجموعة إليها. ورغم سهولة إثباتها مقارنةً بنظرية ديلورث، إلا أنها تحمل العديد من النتائج نفسها. ^{[ 2 ] [ 3 ]}