نقطة التراكم

في الرياضيات، نقطة النهاية ، أو نقطة التراكم ، أو نقطة التجمع لمجموعة${\displaystyle S}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هذه نقطة${\displaystyle x}$التي يمكن "تقريبها" بنقاط${\displaystyle S}$بمعنى أن كل حي من أحياء${\displaystyle x}$يحتوي على نقطة من${\displaystyle S}$بخلاف${\displaystyle x}$نفسها. نقطة حدية لمجموعة${\displaystyle S}$لا يشترط أن يكون عنصراً من عناصر${\displaystyle S.}$ يوجد أيضًا مفهوم وثيق الصلة بالتسلسلات ، وهو نقطة التكتل أو نقطة التراكم في التسلسل.${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هذه نقطة${\displaystyle x}$بحيث يكون ذلك لكل حي${\displaystyle V}$ل${\displaystyle x,}$يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle x_{n}\in V.}$هذا التعريف لمجموعة أو نقطة تراكم في سلسلة ما ينطبق على الشبكات والمرشحات .

يشير مفهوم نقطة النهاية للمتتالية ^{[ 1 ]} (أو نقطة النهاية للمرشح [ ^{2 ]} ، أو نقطة النهاية للشبكة ^[ 3] ) - والذي يحمل اسمًا مشابهًا - بحسب التعريف، إلى النقطة التي تتقارب إليها المتتالية (أي أن المرشح يتقارب إليها ، والشبكة تتقارب إليها ). ومن المهم ملاحظة أنه على الرغم من أن "نقطة النهاية لمجموعة" مرادفة لـ "نقطة التجميع/التراكم لمجموعة"، إلا أن هذا لا ينطبق على المتتاليات (ولا على الشبكات أو المرشحات). أي أن مصطلح "نقطة النهاية لمتتالية" ليس مرادفًا لـ "نقطة التجميع/التراكم لمتتالية".

لا ينبغي الخلط بين نقاط النهاية لمجموعة ما والنقاط الملتصقة (وتسمى أيضًا نقاط الإغلاق ) التي يكون لكل جوار لها${\displaystyle x}$يحتوي على نقطة ما من${\displaystyle S}$بخلاف نقاط الحد، فإن النقطة الملتزمة${\displaystyle x}$ل${\displaystyle S}$قد يكون هناك حي لا يحتوي على نقاط أخرى غير${\displaystyle x}$بحد ذاتها. يمكن وصف نقطة الحد بأنها نقطة متصلة وليست نقطة معزولة .

يجب عدم الخلط بين نقاط النهاية لمجموعة ما ونقاط الحدود . على سبيل المثال،${\displaystyle 0}$هي نقطة حدودية (وليست نقطة نهاية) للمجموعة${\displaystyle \{0\}}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$مع الطوبولوجيا القياسية . ومع ذلك،${\displaystyle 0.5}$هي نقطة حدية (وإن لم تكن نقطة حدودية) للفترة${\displaystyle [0,1]}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$باستخدام الطوبولوجيا القياسية (للحصول على مثال أقل وضوحًا لنقطة حدية، انظر التعليق الأول). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

يُعمم هذا المفهوم بشكلٍ مفيد فكرة النهاية ، وهو أساس مفاهيم مثل المجموعة المغلقة والإغلاق الطوبولوجي . في الواقع، تكون المجموعة مغلقة إذا وفقط إذا احتوت على جميع نقاط نهايتها، ويمكن اعتبار عملية الإغلاق الطوبولوجي عملية تُثري المجموعة بربطها بنقاط نهايتها.

كل تسلسل${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$في${\displaystyle X}$هي بحكم تعريفها مجرد خريطة${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$بحيث تكون صورتها${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$يمكن تعريفها بالطريقة المعتادة.

• إذا كان هناك عنصر${\displaystyle x\in X}$يحدث ذلك مرات لا حصر لها في التسلسل،${\displaystyle x}$هي نقطة تراكم في التسلسل. لكن${\displaystyle x}$ليس بالضرورة أن تكون نقطة تراكم للمجموعة المقابلة${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$على سبيل المثال، إذا كانت المتتالية هي متتالية ثابتة ذات قيمة${\displaystyle x,}$لدينا${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$و${\displaystyle x}$هي نقطة معزولة من${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$وليس نقطة تراكم لـ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• إذا لم يتكرر أي عنصر عددًا لا نهائيًا من المرات في المتتالية، على سبيل المثال إذا كانت جميع العناصر متميزة، فإن أي نقطة تراكم في المتتالية هي${\displaystyle \omega }$- نقطة تراكم المجموعة المرتبطة${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

على العكس من ذلك، بالنظر إلى مجموعة غير منتهية قابلة للعد${\displaystyle A\subseteq X}$في${\displaystyle X,}$يمكننا تعداد جميع عناصر${\displaystyle A}$من نواحٍ عديدة، حتى مع التكرارات، وبالتالي ربطها بالعديد من التسلسلات${\displaystyle x_{\bullet }}$هذا سيرضي${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• أي${\displaystyle \omega }$- نقطة تراكم${\displaystyle A}$هي نقطة تراكم لأي من المتتاليات المقابلة (لأن أي جوار للنقطة سيحتوي على عدد لا نهائي من عناصر${\displaystyle A}$وبالتالي، يوجد أيضاً عدد لا نهائي من الحدود في أي متتالية مرتبطة بها).

• نقطة${\displaystyle x\in X}$هذا ليس​${\displaystyle \omega }$- نقطة تراكم${\displaystyle A}$لا يمكن أن تكون نقطة تراكم لأي من التسلسلات المرتبطة بها دون تكرارات لا نهائية (لأن${\displaystyle x}$يحتوي على جوار لا يحتوي إلا على عدد محدود من النقاط (وربما لا يحتوي على أي منها)${\displaystyle A}$ولا يمكن أن يحتوي هذا الحي إلا على عدد محدود من حدود هذه المتتاليات).

كل نهاية لمتتالية غير ثابتة هي نقطة تراكم للمتتالية. وبحسب التعريف، فإن كل نقطة نهاية هي نقطة ملتصقة .

الإغلاق${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$من مجموعة${\displaystyle S}$هو اتحاد منفصل لنقاطه الحدية${\displaystyle L(S)}$ونقاط معزولة${\displaystyle I(S)}$؛ إنه، $${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

نقطة${\displaystyle x\in X}$هي نقطة حدية لـ${\displaystyle S\subseteq X}$إذا وفقط إذا كان ذلك في إغلاق${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

إذا استخدمنا${\displaystyle L(S)}$للدلالة على مجموعة نقاط النهاية لـ${\displaystyle S,}$ثم لدينا التوصيف التالي لإغلاق${\displaystyle S}$إغلاق${\displaystyle S}$يساوي اتحاد${\displaystyle S}$و${\displaystyle L(S).}$تُعتبر هذه الحقيقة أحيانًا تعريفًا للإغلاق .

تُعطينا نتيجةٌ لهذه النتيجة وصفًا للمجموعات المغلقة: مجموعة${\displaystyle S}$تكون مغلقة إذا وفقط إذا كانت تحتوي على جميع نقاطها الحدية.

لا توجد نقطة معزولة تمثل نقطة نهاية لأي مجموعة.

مساحة${\displaystyle X}$تكون منفصلة إذا وفقط إذا لم تكن هناك مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$له نقطة حدية.

إذا كانت هناك مساحة${\displaystyle X}$له بنية طوبولوجية بسيطة و${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$إذا كان هناك أكثر من عنصر واحد، فإن جميع عناصر${\displaystyle X}$هي نقاط حدية لـ${\displaystyle S.}$لو${\displaystyle S}$إذا كان عنصرًا منفردًا، فإن كل نقطة من${\displaystyle X\setminus S}$هي نقطة حدية لـ${\displaystyle S.}$

• النقطة الملتصقة – النقطة التي تنتمي إلى إغلاق مجموعة جزئية معينة من فضاء طوبولوجي 
• نقطة التكثيف – نوع من نقاط التراكم 
• مرشح متقارب
• المجموعة المشتقة (في الرياضيات) - مجموعة جميع نقاط النهاية لمجموعة ما 
• المرشحات في علم الطوبولوجيا
• النقطة المعزولة – نقطة في مجموعة جزئية S لا توجد حولها أي نقاط أخرى من S 
• نهاية الدالة – ​​النقطة التي تتقارب إليها الدوال في التحليل 
• نهاية متتالية – القيمة التي تميل إليها متتالية غير منتهية 
• النهاية المتتابعة – نهاية متتابعة فرعية ما 

• بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
• "نقطة النهاية لمجموعة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]