الإغلاق (الطوبولوجيا)

في علم الطوبولوجيا ، يتألف إغلاق مجموعة جزئية S من النقاط في فضاء طوبولوجي من جميع النقاط في S بالإضافة إلى جميع نقاط حدود S. ويمكن تعريف إغلاق S بشكل مكافئ على أنه اتحاد S وحدودها ، وأيضًا على أنه تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي على S. وبشكل بديهي، يمكن اعتبار الإغلاق جميع النقاط التي تقع إما في S أو "قريبة جدًا" منها . النقطة التي تقع في إغلاق S هي نقطة إغلاق S. ويُعد مفهوم الإغلاق، من نواحٍ عديدة ، مكافئًا لمفهوم الداخل .

لنفترض وجود كرة في فضاء ثلاثي الأبعاد. يوجد ضمنيًا منطقتان مهمتان تُشكلان هذه الكرة؛ الكرة نفسها وباطنها (الذي يُسمى كرة ثلاثية الأبعاد مفتوحة ). من المفيد التمييز بين باطن الكرة وسطحها، لذا نميز بين الكرة الثلاثية الأبعاد المفتوحة (باطن الكرة)، والكرة الثلاثية الأبعاد المغلقة - وهي إغلاق الكرة الثلاثية الأبعاد المفتوحة، أي الكرة الثلاثية الأبعاد المفتوحة بالإضافة إلى السطح (السطح الذي يُمثل الكرة نفسها).

في الفضاء الطوبولوجي :

• في أي مكان،${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$بمعنى آخر، إغلاق المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$يكون${\displaystyle \varnothing }$نفسها.
• في أي مكان${\displaystyle X,}$${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

العطاء${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$الطوبولوجيا القياسية (المترية) :

• لو${\displaystyle X}$الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية ، إذن${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$بمعنى آخر، إغلاق المجموعة${\displaystyle (0,1)}$كجزء من${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle [0,1]}$.
• لو${\displaystyle X}$الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم إغلاق المجموعة${\displaystyle \mathbb {Q} }$الفضاء بأكمله هو فضاء الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {R} .}$نقول ذلك${\displaystyle \mathbb {Q} }$كثيف في​${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• لو${\displaystyle X}$المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$ثم${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C}$ {z ∈ C :|z| ≥ 1} = {z ∈ C  :|z| ≥ 1}.}
• لو${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية منتهية من فضاء إقليدي${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$(بالنسبة للفضاء الطوبولوجي العام، فإن هذه الخاصية تعادل بديهية T _1. )

يمكن وضع طوبولوجيات أخرى غير الطوبولوجيا القياسية على مجموعة الأعداد الحقيقية.

• لو${\displaystyle X=\mathbb {R} }$إذا كانت مزودة بطوبولوجيا الحد الأدنى ، فعندئذٍ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• إذا أخذ المرء في الاعتبار${\displaystyle X=\mathbb {R} }$الطوبولوجيا المنفصلة التي تكون فيها كل مجموعة مغلقة (مفتوحة)، ثم${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• إذا أخذ المرء في الاعتبار${\displaystyle X=\mathbb {R} }$الطوبولوجيا التافهة التي تكون فيها المجموعات المغلقة (المفتوحة) الوحيدة هي المجموعة الفارغة و${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم نفسها${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

تُظهر هذه الأمثلة أن إغلاق مجموعة ما يعتمد على طوبولوجيا الفضاء الأساسي. المثالان الأخيران هما حالتان خاصتان مما يلي.

• في أي فضاء منفصل ، بما أن كل مجموعة مغلقة (ومفتوحة أيضًا)، فإن كل مجموعة تساوي إغلاقها.
• في أي فضاء غير منفصل${\displaystyle X,}$بما أن المجموعات المغلقة الوحيدة هي المجموعة الفارغة و${\displaystyle X}$وبالتالي، فإن إغلاق المجموعة الفارغة هو المجموعة الفارغة، ولكل مجموعة جزئية غير فارغة${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$بمعنى آخر، كل مجموعة جزئية غير فارغة من فضاء غير منفصل تكون كثيفة .

يعتمد إغلاق المجموعة أيضًا على الفضاء الذي نأخذ فيه الإغلاق. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة الأعداد النسبية، مع الطوبولوجيا النسبية المعتادة المستحثة بواسطة الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ,}$وإذا${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$ثم${\displaystyle S}$مغلق ومفتوح في آن واحد${\displaystyle \mathbb {Q} }$لأنه لا هذا ولا ذاك${\displaystyle S}$ولا يمكن أن يحتوي مكمله على${\displaystyle {\sqrt {2}}}$، وهو ما يمثل الحد الأدنى لـ${\displaystyle S}$، ولكن لا يمكن أن يكون في${\displaystyle S}$لأن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هذا غير منطقي. لذا،${\displaystyle S}$لا يوجد إغلاق محدد جيدًا بسبب عدم وجود عناصر الحدود في${\displaystyle \mathbb {Q} }$لكن إذا قمنا بدلاً من ذلك بتعريف${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة هي مجموعة الأعداد الحقيقية، وإذا تم تعريف الفترة بنفس الطريقة، فإن إغلاق تلك الفترة يكون مُعرَّفًا جيدًا، وسيكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

عامل إغلاق على مجموعة${\displaystyle X}$هي عبارة عن رسم تخطيطي لمجموعة القوى لـ${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$، إلى نفسها التي تحقق بديهيات إغلاق كوراتوفسكي . بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$، يؤدي الإغلاق الطوبولوجي إلى دالة${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$يتم تحديد ذلك عن طريق إرسال مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$ل${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$حيث الترميز${\displaystyle {\overline {S}}}$أو${\displaystyle S^{-}}$يمكن استخدام بديل. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle \mathbb {c} }$هو عامل إغلاق على مجموعة${\displaystyle X,}$ثم يتم الحصول على فضاء طوبولوجي بتعريف المجموعات المغلقة على أنها تلك المجموعات الجزئية تحديدًا.${\displaystyle S\subseteq X}$ذلك يرضي${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$(لذا فإن المكملات في${\displaystyle X}$تشكل هذه المجموعات الفرعية المجموعات المفتوحة للطوبولوجيا). ^{[ 6 ]}

عامل الإغلاق${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$وهو مزدوج بالنسبة للمؤثر الداخلي ، والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$بمعنى أن

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

وأيضًا

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

لذلك، يمكن ترجمة النظرية المجردة لمؤثرات الإغلاق وبديهيات إغلاق كوراتوفسكي بسهولة إلى لغة المؤثرات الداخلية عن طريق استبدال المجموعات بمكملاتها في${\displaystyle X.}$

بشكل عام، لا يتبادل عامل الإغلاق مع التقاطعات. ومع ذلك، في فضاء متري كامل، تتحقق النتيجة التالية:

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$مغلق في​${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$بخاصة:

• إغلاق المجموعة الفارغة هو المجموعة الفارغة؛
• إغلاق${\displaystyle X}$هو نفسه${\displaystyle X.}$
• إن إغلاق تقاطع المجموعات هو دائمًا مجموعة جزئية من (ولكن ليس بالضرورة أن يكون مساويًا لـ) تقاطع إغلاقات المجموعات.
• في اتحاد عدد محدود من المجموعات، يكون إغلاق الاتحاد واتحاد الإغلاقات متساويين؛ اتحاد المجموعات الصفرية هو المجموعة الفارغة، وبالتالي فإن هذا البيان يحتوي على البيان السابق حول إغلاق المجموعة الفارغة كحالة خاصة.
• إن إغلاق اتحاد عدد لا نهائي من المجموعات لا يشترط أن يساوي اتحاد الإغلاقات، ولكنه دائمًا ما يكون مجموعة فائقة لاتحاد الإغلاقات.
  • وهكذا، فكما أن اتحاد مجموعتين مغلقتين هو اتحاد مغلق، فإن الانغلاق يتوزع أيضاً على الاتحادات الثنائية: أي،${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$ولكن كما أن اتحاد عدد لا نهائي من المجموعات المغلقة ليس بالضرورة مغلقًا، فكذلك الإغلاق لا يتوزع بالضرورة على اتحادات لا نهائية: أي،${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$يكون ذلك ممكناً عندما${\displaystyle I}$لا نهائي.

لو${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$وإذا${\displaystyle T}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle X}$(بمعنى أن${\displaystyle T}$يتمتع بطوبولوجيا الفضاء الجزئي التي${\displaystyle X}$(يحفز عليه)، ثم${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$وإغلاق${\displaystyle S}$محسوب في${\displaystyle T}$يساوي تقاطع${\displaystyle T}$وإغلاق${\displaystyle S}$محسوب في${\displaystyle X}$: $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

ويترتب على ذلك أن${\displaystyle S\subseteq T}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle T}$إذا وفقط إذا${\displaystyle T}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$ من الممكن لـ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$أن تكون مجموعة فرعية مناسبة من${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$على سبيل المثال، خذ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle S=(0,1),}$و${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

لو${\displaystyle S,T\subseteq X}$لكن${\displaystyle S}$ليس بالضرورة مجموعة فرعية من${\displaystyle T}$عندها فقط $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$ مضمون دائمًا، حيث يمكن أن يكون هذا الاحتواء صارمًا (على سبيل المثال، انظر${\displaystyle X=\mathbb {R} }$مع البنية الطوبولوجية المعتادة،${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$و${\displaystyle S=(0,\infty )}$^{[ الإثبات 1 ]} )، على الرغم من أنه إذا${\displaystyle T}$يحدث لمجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle X}$ثم المساواة${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$سيبقى الأمر قائماً (بغض النظر عن العلاقة بين${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$).

وبالتالي، إذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$أي غطاء مفتوح لـ${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle S\subseteq X}$إذا كانت أي مجموعة جزئية: $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$ لأن${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$لكل${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$(حيث كل${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$يتم تزويدها بطوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليها بواسطة${\displaystyle X}$وتُعد هذه المساواة مفيدة بشكل خاص عندما${\displaystyle X}$هو متعدد الشعب والمجموعات في الغطاء المفتوح${\displaystyle {\mathcal {U}}}$هي مجالات مخططات الإحداثيات . بعبارة أخرى، تُظهر هذه النتيجة أن الإغلاق في${\displaystyle X}$من أي مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$يمكن حسابها "محليًا" في مجموعات أي غطاء مفتوح لـ${\displaystyle X}$ثم يتم دمجها معًا. وبهذه الطريقة، يمكن اعتبار هذه النتيجة مماثلة للحقيقة المعروفة بأن المجموعة الجزئية${\displaystyle S\subseteq X}$مغلق في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان " مغلقًا محليًا في${\displaystyle X}$بمعنى أنه إذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$أي غطاء مفتوح لـ${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle S}$مغلق في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S\cap U}$مغلق في${\displaystyle U}$لكل${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

يمكن تعريف عامل الإغلاق من حيث الأسهم العامة، كما يلي.

مجموعة القوى لمجموعة${\displaystyle X}$يمكن تحقيق ذلك كفئة طلب جزئي${\displaystyle P}$حيث تكون الكائنات عبارة عن مجموعات جزئية، وتكون التشاكلات عبارة عن خرائط تضمين.${\displaystyle A\to B}$حينما${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle B.}$علاوة على ذلك، الطوبولوجيا${\displaystyle T}$على${\displaystyle X}$هي فئة فرعية من${\displaystyle P}$مع دالة التضمين${\displaystyle I:T\to P.}$مجموعة المجموعات الفرعية المغلقة التي تحتوي على مجموعة فرعية ثابتة${\displaystyle A\subseteq X}$يمكن تحديدها باستخدام فئة الفاصلة${\displaystyle (A\downarrow I).}$ثم يكون لهذا التصنيف - وهو أيضًا ترتيب جزئي - كائن أولي${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$وبالتالي يوجد سهم عالمي من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle I,}$معطى من خلال التضمين${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

وبالمثل، بما أن كل مجموعة مغلقة تحتوي على${\displaystyle X\setminus A}$يتوافق مع مجموعة مفتوحة موجودة في${\displaystyle A}$يمكننا تفسير الفئة${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$باعتبارها مجموعة المجموعات الفرعية المفتوحة الموجودة في${\displaystyle A,}$مع كائن طرفي${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$الجزء الداخلي من${\displaystyle A.}$

يمكن استخلاص جميع خصائص الإغلاق من هذا التعريف، بالإضافة إلى بعض خصائص الفئات المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، يوضح هذا التعريف بدقة التشابه بين الإغلاق الطوبولوجي وأنواع الإغلاق الأخرى (مثل الإغلاق الجبري )، حيث أن جميعها أمثلة على الأسهم الشاملة .

• النقطة الملتصقة – النقطة التي تنتمي إلى إغلاق مجموعة جزئية معينة من فضاء طوبولوجي 
• جبر الإغلاق – صفحات البنية الجبرية التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• المجموعة المنتظمة المغلقة ، هي مجموعة تساوي إغلاق داخلها
• المجموعة المشتقة (في الرياضيات) - مجموعة جميع نقاط النهاية لمجموعة ما 
• الداخلية (الطوبولوجيا) - أكبر مجموعة جزئية مفتوحة من مجموعة معينة 
• نقطة النهاية لمجموعة – نقطة التجمع في فضاء طوبولوجي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• بيكر، كرامب دبليو (1991)، مقدمة في علم الطوبولوجيا ، دار نشر ويليام سي براون، رقم ISBN 0-697-05972-3
• كروم، فريد هـ. (1989)، مبادئ الطوبولوجيا ، دار نشر ساوندرز كوليدج، رقم ISBN 0-03-012813-7
• جيمينياني، مايكل سي. (1990) [1967]، الطوبولوجيا الأولية (  الطبعة الثانية)، دوفر، رقم ISBN 0-486-66522-4
• هوكينج، جون ج.؛ يونغ، غيل س. (1988) [1961]، الطوبولوجيا ، دوفر، ISBN 0-486-65676-4
• كوراتوفسكي، ك. (1966)، الطوبولوجيا ، المجلد  الأول، دار النشر الأكاديمية
• بيرفين، ويليام ج. (1965)، أسس الطوبولوجيا العامة ، دار النشر الأكاديمية
• شوبرت، هورست (1968)، الطوبولوجيا ، ألين وبيكون
• زالينسكو، قسطنطين (30 يوليو 2002). التحليل المحدب في الفضاءات المتجهة العامة . ريفر إيدج، نيوجيرسي. لندن: دار النشر العالمية العلمية . ISBN 978-981-4488-15-0MR 1921556 . OCLC 285163112 – عبر أرشيف الإنترنت .  

• "إغلاق مجموعة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]