الشبكة (الرياضيات)

شبكة${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$يقال إنها في النهاية أو بشكل متبقٍ في مجموعة${\displaystyle S}$إذا كان هناك بعض${\displaystyle a\in A}$بحيث يكون لكل${\displaystyle b\in A}$مع${\displaystyle b\geq a,}$النقطة${\displaystyle x_{b}\in S.}$نقطة${\displaystyle x\in X}$يُطلق عليه اسمنقطة الحد أوحد الشبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$في${\displaystyle X}$حينما:

لكل حي مفتوح${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x,}$الشبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$في نهاية المطاف${\displaystyle U}$،

ويمكن التعبير عنها بشكل مكافئ على النحو التالي: الشبكةيتقارب نحو${\displaystyle x}$أو لديه${\displaystyle x}$كحدّ ؛ ويُشار إليه بأشكال مختلفة على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}}$$لو${\displaystyle X}$إذا كان ذلك واضحاً من السياق، فيمكن حذفه من الترميز.

لو${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$وهذا الحد فريد (أي${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$فقط لـ${\displaystyle x=y}$ثم يكتب المرء:$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$باستخدام علامة المساواة بدلاً من السهم${\displaystyle \to .}$^{[ 4 ]} فيفضاء هاوسدورف، تكون نهاية الشبكة المتقاربة فريدة. ^{[ 4 ]} لا يميز بعض المؤلفين بين الرموز${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$و${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$لكن هذا قد يؤدي إلى غموض إذا كانت المساحة المحيطة${\displaystyle X}$ليس هاوسدورف.

شبكة${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$يقال إنهبشكل متكرر أوأخيرًا في${\displaystyle S}$إذا لكل${\displaystyle a\in A}$يوجد بعض${\displaystyle b\in A}$بحيث${\displaystyle b\geq a}$و${\displaystyle x_{b}\in S.}$^{[ 5 ]} نقطة${\displaystyle x\in X}$يقال إنهنقطة التراكم أونقطة التجمعفي الشبكة إذا كانت لكل حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x,}$الشبكة غالباً/أخيراً في${\displaystyle U.}$^{[ 5 ]} في الواقع،${\displaystyle x\in X}$تُعتبر نقطة تجميع إذا وفقط إذا كان لديها شبكة فرعية تتقارب إلى${\displaystyle x.}$^{[ 6 ]} المجموعة${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$من بين جميع نقاط التجمع لـ${\displaystyle x_{\bullet }}$في${\displaystyle X}$يساوي${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$لكل${\displaystyle a\in A}$، أين${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$.

المفهوم المقابل لـ " التسلسل الفرعي " في الشبكات هو مفهوم "الشبكة الفرعية". توجد عدة تعريفات مختلفة وغير متكافئة لـ "الشبكة الفرعية"، وستستخدم هذه المقالة التعريف الذي قدمه ستيفن ويلارد عام 1970، ^{[ 7 ]} وهو كما يلي: إذا${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$و${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$هل الشباك إذن${\displaystyle s_{\bullet }}$يُطلق عليه اسم الشبكة الفرعية أوشبكة ويلارد الفرعية ^{[ 7 ]} من${\displaystyle x_{\bullet }}$إذا وُجدت خريطة تحافظ على الترتيب${\displaystyle h:I\to A}$بحيث${\displaystyle h(I)}$هي مجموعة فرعية نهائية مشتركة من${\displaystyle A}$و $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ لجميع }}i\in I.}$$ الخريطة${\displaystyle h:I\to A}$يُطلق عليه اسم "حافظ للترتيب" و "تشاكل ترتيب" إذا كان كلما${\displaystyle i\leq j}$ثم${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ المجموعة${\displaystyle h(I)}$المشاركة في النهائيات${\displaystyle A}$يعني ذلك أنه لكل${\displaystyle a\in A,}$يوجد بعض${\displaystyle b\in h(I)}$بحيث${\displaystyle b\geq a.}$

لو${\displaystyle x\in X}$هي نقطة تجميع لشبكة فرعية ما من${\displaystyle x_{\bullet }}$ثم${\displaystyle x}$وهي أيضاً نقطة تجمع لـ${\displaystyle x_{\bullet }.}$^{[ 6 ]}

شبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$في المجموعة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمشبكة عالمية أو شبكةشبكة فائقة إذا كان لكل مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$في نهاية المطاف${\displaystyle S}$أو${\displaystyle x_{\bullet }}$وفي النهاية يكون في المكمل${\displaystyle X\setminus S.}$^{[ 5 ]}

كل شبكة ثابتة هي شبكة فائقة (بسيطة). كل شبكة فرعية من شبكة فائقة هي شبكة فائقة. ^{[ 8 ]} بافتراض بديهية الاختيار ، فإن لكل شبكة شبكة فرعية ما هي شبكة فائقة، ولكن لم يتم إنشاء أي شبكات فائقة غير بسيطة بشكل صريح. ^{[ 5 ]} إذا${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$هو شبكة فائقة السرعة في${\displaystyle X}$و${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$هو شبكة فائقة السرعة في${\displaystyle Y.}$^{[ 5 ]}

منح${\displaystyle x\in X,}$تجمع شبكة فائقة السرعة في${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا تقاربت إلى${\displaystyle x.}$^{[ 5 ]}

تعمم شبكة كوشي مفهوم متتالية كوشي إلى الشبكات المعرفة على الفضاءات المنتظمة . ^{[ 9 ]}

شبكة${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$هوشبكة كوشي إذا كان لكلحاشية${\displaystyle V}$يوجد${\displaystyle c\in A}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle a,b\geq c,}$${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$هو عضو في${\displaystyle V.}$^{[ 9 ] [ 10 ]} وبشكل أعم، فيفضاء كوشي، شبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$يكون مرشح كوشي إذا كان المرشح الناتج عن الشبكة مرشح كوشي .

يُطلق على الفضاء المتجهي الطوبولوجي اسم "كامل" إذا تقاربت جميع شبكات كوشي فيه إلى نقطة ما. أما الفضاء المعياري ، وهو نوع خاص من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية، فيُعتبر فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا كاملًا (أو فضاء باناخ ) إذا وفقط إذا تقاربت جميع متتاليات كوشي فيه إلى نقطة ما (وهي خاصية تُسمى الاكتمال التسلسلي ). مع أن شبكات كوشي ليست ضرورية لوصف اكتمال الفضاءات المعيارية، إلا أنها ضرورية لوصف اكتمال الفضاءات المتجهة الطوبولوجية الأكثر عمومية (والتي قد لا تكون معيارية ).

مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$مغلق في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كانت كل نقطة حدية في${\displaystyle X}$من شبكة في${\displaystyle S}$يكمن بالضرورة في${\displaystyle S}$وهذا يعني صراحةً أنه إذا${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$هي شبكة مع${\displaystyle s_{a}\in S}$للجميع${\displaystyle a\in A}$، و${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle x\in S.}$

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle S\subseteq X}$أي مجموعة جزئية ، إغلاق${\displaystyle S}$هي مجموعة النقاط${\displaystyle x\in X}$مع${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$لبعض الشبكات${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$في${\displaystyle S}$[ ^{6 ]​}

مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$يكون مفتوحًا إذا وفقط إذا لم يكن هناك شبكة في${\displaystyle X\setminus S}$يتقارب إلى نقطة${\displaystyle S.}$^{[ 11 ]} أيضًا، مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$تكون الشبكة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت كل شبكة تتقارب إلى عنصر من${\displaystyle S}$يتم احتواؤه في النهاية في${\displaystyle S.}$ إنّ هذه الخصائص لمفهوم " المجموعة المفتوحة " هي التي تُمكّن الشبكات من وصف البنى الطوبولوجية . ويمكن أيضاً وصف البنى الطوبولوجية باستخدام المجموعات المغلقة، إذ تكون المجموعة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مكملتها مغلقة. لذا، يمكن استخدام خصائص " المجموعة المغلقة " من منظور الشبكات لوصف البنى الطوبولوجية أيضاً.

وظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$تكون المسافة بين الفضاءات الطوبولوجية متصلة عند نقطة${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا كان لكل شبكة${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$في المجال،${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle X}$يشير إلى${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$في${\displaystyle Y.}$^{[ 6 ]} باختصار، دالة${\displaystyle f:X\to Y}$تكون متصلة إذا وفقط إذا${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle X}$يشير إلى${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$في${\displaystyle Y.}$ بشكل عام، لن تكون هذه العبارة صحيحة إذا استُبدلت كلمة "net" بكلمة "sequence"؛ أي أنه من الضروري السماح بمجموعات موجهة أخرى غير الأعداد الطبيعية فقط إذا${\displaystyle X}$ليس فضاءً قابلاً للعد من الدرجة الأولى (أو ليس فضاءً تسلسلياً ).

مساحة${\displaystyle X}$تكون الشبكة مضغوطة إذا وفقط إذا كانت كل شبكة${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$في${\displaystyle X}$يحتوي على شبكة فرعية ذات حد في${\displaystyle X.}$يمكن اعتبار هذا تعميمًا لنظرية بولزانو-ويرستراس ونظرية هاين-بوريل .

مجموعة نقاط التجميع لشبكة ما تساوي مجموعة حدود شبكاتها الفرعية المتقاربة .

تكون للشبكة حدود إذا وفقط إذا كانت جميع شبكاتها الفرعية لها حدود. في هذه الحالة، يكون كل حد للشبكة حدًا لكل شبكة فرعية.

بشكل عام، شبكة في مساحة${\displaystyle X}$يمكن أن يكون هناك أكثر من حد، ولكن إذا${\displaystyle X}$إذا كان فضاء هاوسدورف ، فإن نهاية الشبكة، إن وجدت، تكون فريدة. وعلى العكس من ذلك، إذا${\displaystyle X}$إذا لم يكن هاوسدورف، فهناك شبكة على${\displaystyle X}$مع وجود حدين متميزين. وبالتالي، فإن تفرد الحد يكافئ شرط هاوسدورف على الفضاء، ويمكن اعتبار هذا تعريفًا له. تعتمد هذه النتيجة على شرط التوجيه؛ فقد يكون للمجموعة المفهرسة بترتيب جزئي أو ترتيب جزئي عام نقاط حد متميزة حتى في فضاء هاوسدورف.

إذا كانت المجموعة${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$يتم تزويدها بطوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليها بواسطة${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle S.}$وبهذا الشكل، يصبح السؤال مطروحاً حول ما إذا كانت الشبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$يتقارب إلى النقطة المعطاة${\displaystyle x}$يعتمد فقط على هذا الفضاء الطوبولوجي الفرعي${\displaystyle S}$يتكون من${\displaystyle x}$وصورة الشبكة (أي نقاطها )${\displaystyle x_{\bullet }.}$

بشكل بديهي، تقارب الشبكة${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$هذا يعني أن القيم${\displaystyle x_{a}}$تعالوا وابقوا على مقربة منا كما نشاء${\displaystyle x}$كبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle a.}$بافتراض نقطة${\displaystyle x}$في فضاء طوبولوجي، ليكن${\displaystyle N_{x}}$يرمز إلى مجموعة جميع الجوارات التي تحتوي${\displaystyle x.}$ثم${\displaystyle N_{x}}$هي مجموعة موجهة، حيث يتم تحديد الاتجاه عن طريق الاحتواء العكسي، بحيث${\displaystyle S\geq T}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$موجود في${\displaystyle T.}$ل${\displaystyle S\in N_{x},}$يترك${\displaystyle x_{S}}$كن نقطة في${\displaystyle S.}$ثم${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$هي شبكة. كما${\displaystyle S}$يزداد بالنسبة إلى${\displaystyle \,\geq ,}$النقاط${\displaystyle x_{S}}$تقتصر المناطق الموجودة في الشبكة على التواجد في نطاقات متناقصة من${\displaystyle x,}$لذلك، في نظام الجوار هذا لنقطة${\displaystyle x}$،${\displaystyle x_{S}}$يتقارب بالفعل إلى${\displaystyle x}$وفقًا لتعريف التقارب الصافي.

بافتراض قاعدة فرعية${\displaystyle {\mathcal {B}}}$بالنسبة للطوبولوجيا على${\displaystyle X}$(مع ملاحظة أن كل قاعدة في الطوبولوجيا هي أيضًا قاعدة فرعية) وبافتراض نقطة${\displaystyle x\in X,}$شبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$في${\displaystyle X}$يتقارب إلى${\displaystyle x}$بشرط أن يكون موجودًا في كل حي في نهاية المطاف${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ل${\displaystyle x.}$يمتد هذا التوصيف إلى القواعد الفرعية المجاورة (وبالتالي القواعد المجاورة أيضًا ) للنقطة المعطاة${\displaystyle x.}$

تكون للشبكة في فضاء المنتج حد إذا وفقط إذا كان لكل إسقاط حد.

بصراحة، دع${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$لتكن فضاءات طوبولوجية، قم بتزويدها بضربها الديكارتي$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$ مع بنية المنتج ، وذلك لكل فهرس${\displaystyle l\in I,}$يشير إلى الإسقاط المتعارف عليه إلى${\displaystyle X_{l}}$بواسطة $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

يترك${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$كن شبكة في${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$إخراج${\displaystyle A}$ولكل مؤشر${\displaystyle i\in I,}$يترك $${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$ يشير إلى نتيجة "التوصيل"${\displaystyle f_{\bullet }}$داخل${\displaystyle \pi _{i}}$مما ينتج عنه صافي${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ من المفيد أحيانًا التفكير في هذا التعريف من منظور تركيب الدوال : الشبكة${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$يساوي تركيب الصافي${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$مع الإسقاط${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$إنه،${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

لأي نقطة معينة${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$الشبكة${\displaystyle f_{\bullet }}$يتقارب إلى${\displaystyle L}$في مجال المنتجات${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$إذا وفقط إذا كان لكل فهرس${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$يتقارب إلى${\displaystyle L_{i}}$في${\displaystyle X_{i}.}$^{[ 15 ]} وكلما كانت الشبكة${\displaystyle f_{\bullet }}$تجمعات في${\displaystyle L}$في${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ثم${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$تجمعات في${\displaystyle L_{i}}$لكل فهرس${\displaystyle i\in I.}$^{[ 8 ]} ومع ذلك، فإن العكس لا يصح بشكل عام. ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$ودع${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$يشير إلى التسلسل${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$التي تتناوب بين${\displaystyle (1,1)}$و${\displaystyle (0,0).}$ثم${\displaystyle L_{1}:=0}$و${\displaystyle L_{2}:=1}$هي نقاط تجمع لكليهما${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$و${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$في${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$لكن${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$ليست نقطة تجمع لـ${\displaystyle f_{\bullet }}$بما أن الكرة المفتوحة نصف قطرها${\displaystyle 1}$مركزها في${\displaystyle (0,1)}$لا يحتوي على نقطة واحدة${\displaystyle f_{\bullet }}$

إذا لم يكن كذلك${\displaystyle L\in X}$يُعطى ولكن لكل${\displaystyle i\in I,}$يوجد بعض${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$بحيث${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$في${\displaystyle X_{i}}$ثم المجموعة المحددة بواسطة${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$سيكون هناك حد لـ${\displaystyle f_{\bullet }}$في${\displaystyle X.}$ ومع ذلك، قد يلزم افتراض بديهية الاختيار للتوصل إلى استنتاج مفاده أن هذه المجموعة${\displaystyle L}$موجود؛ لا حاجة إلى بديهية الاختيار في بعض الحالات، مثل عندما${\displaystyle I}$محدود أو عندما يكون كل${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$هو الحد الفريد للشبكة${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$(لأنه حينها لن يكون هناك ما يُختار بينه)، وهو ما يحدث على سبيل المثال، عندما يكون كل${\displaystyle X_{i}}$هو فضاء هاوسدورف . إذا${\displaystyle I}$لا نهائي و${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$إذا لم تكن فارغة، فإن بديهية الاختيار ستظل (بشكل عام) ضرورية للاستنتاج بأن الإسقاطات${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$هي خرائط شاملة .

تُكافئ بديهية الاختيار نظرية تيكونوف ، التي تنص على أن حاصل ضرب أي مجموعة من الفضاءات الطوبولوجية المتراصة يكون متراصًا. ولكن إذا كان كل فضاء متراص هو أيضًا فضاء هاوسدورف، فيمكن استخدام ما يُسمى "نظرية تيكونوف للفضاءات الهاوسدورفية المتراصة" بدلاً من ذلك، وهي تُكافئ لِمّة المرشح الفائق ، وبالتالي فهي أضعف من بديهية الاختيار . يمكن استخدام الشبكات لتقديم براهين مختصرة لكلا نسختي نظرية تيكونوف باستخدام توصيف تقارب الشبكة المذكور أعلاه، بالإضافة إلى حقيقة أن الفضاء متراص إذا وفقط إذا كانت كل شبكة تحتوي على شبكة فرعية متقاربة .

يمكن تعريف الحد الأعلى والحد الأدنى لشبكة من الأعداد الحقيقية بطريقة مشابهة لتعريفها في المتتاليات. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} بل إن بعض المؤلفين يعملون مع هياكل أكثر عمومية من خط الأعداد الحقيقية، مثل الشبكات الكاملة . ^{[ 19 ]}

لشبكة${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$يضع $${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

تتمتع النهاية العليا لشبكة من الأعداد الحقيقية بالعديد من الخصائص المشابهة لحالة المتتابعات. على سبيل المثال، $${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$ حيث تتحقق المساواة كلما كانت إحدى الشبكات متقاربة.

يمكن تفسير تعريف قيمة التكامل الريماني على أنه نهاية لشبكة من مجاميع ريمان حيث تكون المجموعة الموجهة للشبكة هي مجموعة جميع تقسيمات فترة التكامل، مرتبة جزئيًا حسب الاحتواء.

يفترض${\displaystyle (M,d)}$هو فضاء متري (أو فضاء شبه متري ) و${\displaystyle M}$مُزوَّد بالطوبولوجيا المترية . إذا${\displaystyle m\in M}$هذه نقطة و${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$إذا كانت شبكة،${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$في${\displaystyle (M,d)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$أين${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$هي شبكة من الأعداد الحقيقية . بعبارة أخرى ، تعني هذه الخاصية أن الشبكة تتقارب إلى نقطة في الفضاء المتري إذا وفقط إذا كانت المسافة بين الشبكة والنقطة تتقارب إلى الصفر.${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$إذا كان فضاءً معيارياً (أو فضاءً شبه معياري )،${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$في${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$أين${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

لو${\displaystyle (M,d)}$إذا كان لدينا نقطتان على الأقل، فيمكننا تثبيت نقطة.${\displaystyle c\in M}$(مثل${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$باستخدام المقياس الإقليدي مع${\displaystyle c:=0}$(كونها الأصل، على سبيل المثال) وتوجيه المجموعة${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$بالعكس حسب المسافة من${\displaystyle c}$بإعلان ذلك${\displaystyle i\leq j}$إذا وفقط إذا${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$بمعنى آخر، العلاقة هي "على الأقل نفس المسافة إلى${\displaystyle c}$كما هو الحال"، بحيث تعني عبارة "كبير بما فيه الكفاية" فيما يتعلق بهذه العلاقة "قريب بما فيه الكفاية من"${\displaystyle c}$". بالنظر إلى أي دالة ذات مجال${\displaystyle M,}$تقييدها لـ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$يمكن تفسيرها بشكل أساسي على أنها شبكة موجهة بواسطة${\displaystyle (I,\leq ).}$^{[ 8 ]}

شبكة${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$في النهاية يكون ضمن مجموعة فرعية${\displaystyle S}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان هناك شيء ما${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$بحيث يكون لكل${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$مُرضٍ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$النقطة${\displaystyle f(m)}$هو في${\displaystyle S.}$ مثل هذه الشبكة${\displaystyle f}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى نقطة معينة${\displaystyle L\in X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$بالمعنى المعتاد (بمعنى أنه لكل حي${\displaystyle V}$ل${\displaystyle L,}$${\displaystyle f}$في نهاية المطاف${\displaystyle V}$). ^{[ 8 ]}