الدقة (الجبر)

في الرياضيات ، وبشكل أكثر تحديدًا في الجبر المتجانس ، الدقة (أو الدقة اليسرى ؛ أو الحل الأساسي أو الدقة اليمنى ^[1] ) هي تسلسل دقيق من الوحدات (أو بشكل عام، من كائنات فئة أبيلية ) تُستخدم لتحديد الثوابت التي تميز بنية وحدة أو كائن معين من هذه الفئة. عندما يتم توجيه الأسهم إلى اليمين، كما هو الحال عادةً، يُفترض أن يكون التسلسل لا نهائيًا إلى اليسار للدقة (اليسار)، وإلى اليمين للدقة اليمنى. ومع ذلك، فإن الدقة المحدودة هي تلك التي يكون فيها عدد محدود فقط من الكائنات في التسلسل غير صفري ؛ وعادةً ما يتم تمثيلها بتسلسل دقيق محدود يكون فيه الكائن الموجود في أقصى اليسار (للدقة) أو الكائن الموجود في أقصى اليمين (للدقة الأساسية) هو الكائن الصفري . ^[2]

بشكل عام، تكون الكائنات في التسلسل مقيدة بامتلاك بعض الخصائص P (على سبيل المثال أن تكون حرة). وبالتالي، يمكننا التحدث عن دقة P. وعلى وجه الخصوص، تحتوي كل وحدة على دقة حرة ودقة إسقاطية ودقة مسطحة ، وهي دقة يسارية تتكون على التوالي من وحدات حرة أو وحدات إسقاطية أو وحدات مسطحة . وبالمثل، تحتوي كل وحدة على دقة حقن ، وهي دقة يمينية تتكون من وحدات حقن .

بالنظر إلى وحدة M على حلقة R ، فإن الدقة اليسرى (أو الدقة ببساطة ) لـ M هي تسلسل دقيق (ربما لا نهائي) من وحدات R

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}} {\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

تسمى التماثلات d _i خرائط حدودية. تسمى الخريطة ε خريطة زيادة . من أجل الإيجاز، يمكن كتابة الدقة أعلاه على النحو التالي

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

المفهوم المزدوج هو مفهوم الدقة الصحيحة (أو الحل الأساسي ، أو الدقة ببساطة ). على وجه التحديد، إذا أعطيت وحدة M على حلقة R ، فإن الدقة الصحيحة هي تسلسل دقيق لا نهائي محتمل من وحدات R

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^ {1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots،}$

حيث كل C ⁱ عبارة عن وحدة R (من الشائع استخدام حروف علوية على الكائنات في الدقة والخرائط بينها للإشارة إلى الطبيعة المزدوجة لمثل هذه الدقة). من أجل الإيجاز، يمكن كتابة الدقة أعلاه على النحو التالي

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

يقال إن الدقة (المشتركة) محدودة إذا كان عدد محدود فقط من الوحدات المعنية غير صفرية. طول الدقة المحدودة هو أقصى مؤشر n الذي يميز وحدة غير صفرية في الدقة المحدودة.

في العديد من الظروف ، تُفرض شروط على الوحدات النمطية E _i التي تحل الوحدة النمطية المعطاة M. على سبيل المثال، الدقة الحرة للوحدة النمطية M هي دقة يسارية حيث تكون جميع الوحدات النمطية E _i وحدات نمطية حرة R. وبالمثل، تكون الدقة الإسقاطية والمسطحة دقة يسارية بحيث تكون جميع الوحدات النمطية E _i وحدات نمطية إسقاطية ومسطحة R ، على التوالي. الدقة الحقنية هي دقة يمينية حيث تكون C ⁱ جميعها وحدات نمطية حقنية .

كل وحدة R تمتلك دقة يسارية حرة. ^[3] ومن باب أولى ، كل وحدة تقبل أيضًا الدقة الإسقاطية والمسطحة. فكرة الإثبات هي تعريف E ₀ لتكون وحدة R الحرة التي تولدها عناصر M ، ثم E ₁ لتكون وحدة R الحرة التي تولدها عناصر نواة الخريطة الطبيعية E ₀ → M وما إلى ذلك. ثنائيًا، تمتلك كل وحدة R دقة حقن. يمكن استخدام الدقة الإسقاطية (وبشكل عام، الدقة المسطحة) لحساب مُحوِّلات Tor .

الدقة الإسقاطية لوحدة M فريدة حتى تماثل السلسلة ، أي أنه إذا أعطيت دقتين إسقاطيتين P ₀ → M و P ₁ → M لـ M ، يوجد تماثل سلسلة بينهما.

تُستخدم الدقة لتحديد الأبعاد المتجانسة . يُطلق على الحد الأدنى لطول الدقة الإسقاطية المحدودة لوحدة M بُعدها الإسقاطي ويُشار إليه بـ pd( M ). على سبيل المثال، يكون للوحدة بُعد إسقاطي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت وحدة إسقاطية. إذا لم تقبل M دقة إسقاطية محدودة، فإن البعد الإسقاطي يكون لانهائيًا. على سبيل المثال، بالنسبة للحلقة المحلية التبادلية R ، يكون البعد الإسقاطي محدودًا إذا وفقط إذا كانت R منتظمة وفي هذه الحالة تتطابق مع بُعد كرول لـ R. وبالمثل، يتم تعريف البعد الحقني id( M ) والبعد المسطح fd( M ) للوحدات أيضًا.

تُستخدم الأبعاد الحقنية والإسقاطية في فئة وحدات R- اليمنى لتحديد بُعد متجانس لـ R يُسمى البعد العالمي الأيمن لـ R. وبالمثل، يُستخدم البعد المسطح لتحديد البعد العالمي الضعيف . يعكس سلوك هذه الأبعاد خصائص الحلقة. على سبيل المثال، يكون للحلقة بُعد عالمي أيمن 0 إذا وفقط إذا كانت حلقة شبه بسيطة ، ويكون للحلقة بُعد عالمي ضعيف 0 إذا وفقط إذا كانت حلقة فون نيومان منتظمة .

ليكن M وحدة متدرجة على جبر متدرج ، يتم إنشاؤه على حقل بواسطة عناصره ذات الدرجة الموجبة. عندئذٍ يكون لـ M دقة حرة يمكن فيها تصنيف الوحدات الحرة E _i بطريقة تجعل d _i وε عبارة عن خرائط خطية متدرجة . ومن بين هذه الدقة الحرة المتدرجة، تكون الدقة الحرة الدنيا هي تلك التي يكون فيها عدد العناصر الأساسية لكل E _i ضئيلاً. ويكون عدد العناصر الأساسية لكل E _i ودرجاتها هو نفسه لجميع الدقة الحرة الدنيا لوحدة متدرجة.

إذا كان I مثالًا متجانسًا في حلقة متعددة الحدود فوق حقل، فإن انتظام كاستيلنوفو-مومفورد للمجموعة الجبرية الإسقاطية المحددة بواسطة I هو الحد الأدنى لعدد صحيح r بحيث تكون درجات العناصر الأساسية لـ E _i في الحد الأدنى من الدقة الحرة لـ I أقل من ri .

مثال كلاسيكي للدقة الحرة يتم تقديمه بواسطة مجمع كوزول لتسلسل منتظم في حلقة محلية أو لتسلسل منتظم متجانس في جبر متدرج تم إنشاؤه بشكل محدود على حقل.

ليكن X فضاءً غير كروي ، أي أن غلافه الشامل E قابل للانكماش . عندئذٍ يكون كل مركب سلسلة مفرد (أو تبسيطي ) لـ E حلاً حرًا للوحدة Z ليس فقط على الحلقة Z ولكن أيضًا على حلقة المجموعة Z [ π ₁ ( X )].

تعريف دقة الكائن M في الفئة الإبيلية A هو نفسه المذكور أعلاه، ولكن E _i و C ⁱ عبارة عن كائنات في A ، وكل الخرائط المعنية عبارة عن أشكال متماثلة في A.

المفهوم التناظري للوحدات الإسقاطية والحقنية هو الأشياء الإسقاطية والحقنية ، وبالتالي الدقة الإسقاطية والحقنية. ومع ذلك، لا يلزم وجود مثل هذه الدقة في الفئة الإبيلية العامة A. إذا كان لكل كائن من A دقة إسقاطية (أو دقة حقنية)، فيقال إن A لديه عدد كافٍ من الإسقاطات (أو ما يكفي من الحقن ). وحتى إذا كانت موجودة، فغالبًا ما يكون من الصعب التعامل مع مثل هذه الدقة. على سبيل المثال، كما هو موضح أعلاه، كل وحدة R لها دقة حقنية، لكن هذه الدقة ليست دالة ، أي، مع التماثل M → M' ، جنبًا إلى جنب مع الدقة الحقنية

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

لا توجد بشكل عام طريقة وظيفية للحصول على خريطة بين و . ${\displaystyle I_{*}}$${\displaystyle I'_{*}}$

أحد فئات الأمثلة على الفئات الأبيلية التي لا تحتوي على دقة إسقاطية هي فئات الحزم المتماسكة على مخطط . على سبيل المثال، إذا كانت مساحة إسقاطية، فإن أي حزمة متماسكة على مخطط لها عرض يتم تقديمه بواسطة تسلسل دقيق ${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

المصطلحان الأولان ليسا إسقاطيين بشكل عام حيث بالنسبة لـ . ولكن كلا المصطلحين حران محليًا ومسطحان محليًا. يمكن استخدام كلا الفئتين من الحزم في مكانهما لبعض الحسابات، واستبدال الدقة الإسقاطية لحساب بعض المشتقات. ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$${\displaystyle s>0}$

في كثير من الحالات، لا يهتم المرء حقًا بالأشياء التي تظهر في دقة، ولكن بسلوك الدقة فيما يتعلق بمتجه معين. لذلك، في العديد من المواقف، يتم استخدام مفهوم الدقة غير الدورية : نظرًا لوجود متجه دقيق يساري F : A → B بين فئتين أبيليان، فإن الدقة

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

يُطلق على الدقة M لجسم ما من A اسم F- غير دورية، إذا اختفت الدوال المشتقة R _i F ( E _n ) لجميع i  > 0 و n  ≥ 0. ومن ناحية أخرى، تكون الدقة اليسرى غير دورية بالنسبة إلى الدوال الدقيقة اليمنى إذا اختفت الدوال المشتقة لها على أجسام الدقة.

على سبيل المثال، إذا أعطيت وحدة R - M ، فإن حاصل الضرب الموتر    هو دالة دقيقة يمينية Mod ( R ) → Mod ( R ). كل دقة مسطحة غير دورية بالنسبة لهذا الدال. الدقة المسطحة غير دورية لحاصل الضرب الموتر بمقدار كل M. وبالمثل، فإن الدقة غير الدورية لجميع الدالات Hom (⋅, M ) هي الدقة الإسقاطية وتلك التي تكون غير دورية للدالات Hom ( M , ⋅) هي الدقة الحقنية. ${\displaystyle \otimes _{R}M}$

أي قرار حقن (إسقاطي) هو F - غير دوري لأي متتبع دقيق يسار (دقيق يمين، على التوالي).

تكمن أهمية الدقة غير الدورية في حقيقة أنه يمكن الحصول على المتجهين المشتقين R _i F (للمتجه الدقيق الأيسر، وكذلك L _i F للمتجه الدقيق الأيمن) من خلال تشابه الدقة غير الدورية F : نظرًا للدقة غير الدورية لجسم M ، لدينا ${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

حيث أن الجانب الأيمن هو الكائن المتماثل رقم i للمركب${\displaystyle F(E_{*}).}$

ينطبق هذا الوضع في العديد من المواقف. على سبيل المثال، بالنسبة للحزمة الثابتة R على متعدد الشعب القابل للتفاضل، يمكن حل M بواسطة الحزم ذات الأشكال التفاضلية الملساء : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

تعتبر البكرات بكرات دقيقة ، ومن المعروف أنها غير دورية بالنسبة إلى المتجه الكلي للقسم . وبالتالي، يتم حساب تجانس البكرة ، وهو المتجه المشتق للمتجه الكلي للقسم Γ، على النحو التالي: ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

على نحو مماثل، تكون قرارات Godement غير دورية فيما يتعلق بوظيفة الأقسام العالمية.

• الدقة القياسية
• نظرية هيلبرت-بورش
• نظرية هيلبرت للاقتران
• عرض مجاني
• تحليل العوامل المصفوفية (الجبر)

• إيان ت. آدمسون (1972)، الحلقات والوحدات الأولية ، نصوص الرياضيات الجامعية، أوليفر وبويد، رقم ISBN 0-05-002192-3
• آيزنبود، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي. من منظور الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 150، برلين، نيويورك: دار نشر سبرينغر ، رقم ISBN 3-540-94268-8، MR  1322960، ZBL  0819.13001
• جاكوبسون، ناثان (2009) [1985]، الجبر الأساسي الثاني (الطبعة الثانية)، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-47187-7
• لانج، سيرج (1993)، الجبر (الطبعة الثالثة)، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-55540-0، زبل  0848.13001
• Weibel, Charles A. (1994). مقدمة في الجبر المتجانس . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد 38. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.