نظرية ليوفيل (التحليل المركب)

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 76 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل المركب ، تنص نظرية ليوفيل على أن كل دالة كاملة محدودة يجب أن تكون ثابتة . أي أن كل دالة تحليلية شكليةو{\displaystyle f}والتي يوجد لها عدد موجبم{\displaystyle M}بحيث|و(z)|≤م{\displaystyle |f(z)|\leq M}للجميعz∈ج{\displaystyle z\in \mathbb {C} }ثابت. وبالمثل، الدوال التحليلية غير الثابتة علىج{\displaystyle \mathbb {C} }تحتوي على صور غير محدودة.

سميت النظرية باسم جوزيف ليوفيل ، على الرغم من أن النظرية تم إثباتها لأول مرة بواسطة كوشي في عام 1844. [ 1 ] تم تحسين النظرية بشكل كبير بواسطة نظرية بيكارد الصغيرة ، والتي تنص على أن كل دالة كاملة تحذف صورتها عددين مركبين أو أكثر يجب أن تكون ثابتة.

إفادة

نظرية ليوفيل: كل دالة تحليليةو:ج→ج{\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }والتي يوجد لها عدد موجبم{\displaystyle M}بحيث|و(z)|≤م{\displaystyle |f(z)|\leq M}للجميعz∈ج{\displaystyle z\in \mathbb {C} }ثابت .​

وبصورة أكثر إيجازًا، تنص نظرية ليوفيل على أن كل دالة كاملة محدودة يجب أن تكون ثابتة.

دليل

لهذه النظرية المهمة عدة براهين.

يعتمد البرهان التحليلي القياسي على حقيقة أن الدوال الهولومورفية هي دوال تحليلية .

دليل

لوو{\displaystyle f}إذا كانت دالة كاملة، فيمكن تمثيلها بواسطة متسلسلة تايلور الخاصة بها حول الصفر:

و(z)=∑ك=0∞أكzك{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}}

حيث (بحسب صيغة كوشي التكاملية )

أك=و(ك)(0)ك!=12πأنا∮جرو(ζ)ζك+1دζ{\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta }

وجر{\displaystyle C_{r}}هل الدائرة التي نصف قطرها حوالي صفر هي دائرة نصف قطرها صفر؟ر>0{\displaystyle r>0}. يفترضو{\displaystyle f}محدود: أي يوجد ثابتم{\displaystyle M}بحيث|و(z)|≤م{\displaystyle |f(z)|\leq M}للجميعz{\displaystyle z}يمكننا التقدير مباشرة

|أك|≤12π∮جر|و(ζ)||ζ|ك+1|دζ|≤12π∮جرمرك+1|دζ|=م2πرك+1∮جر|دζ|=م2πرك+12πر=مرك،\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},}

حيث استخدمنا في المتباينة الثانية حقيقة أن|z|=ر{\displaystyle |z|=r}على الدائرةجر{\displaystyle C_{r}}(يُعرف هذا التقدير بتقدير كوشي ). لكن اختيارر{\displaystyle r}في المعادلة أعلاه، يمثل عددًا موجبًا اختياريًا. لذلك، بفرضر{\displaystyle r}نميل إلى اللانهاية (ندعر{\displaystyle r}تميل إلى اللانهاية لأنو{\displaystyle f}(وهي دالة تحليلية على المستوى بأكمله) تعطيأك=0{\displaystyle a_{k}=0}للجميعك≥1{\displaystyle k\geq 1}. هكذاو(z)=أ0{\displaystyle f(z)=a_{0}}وهذا يثبت صحة النظرية.

يستخدم برهان آخر خاصية القيمة المتوسطة للدوال التوافقية.

البرهان [ 2 ]

بفرض وجود نقطتين، اختر كرتين مركزهما هاتان النقطتان ولهما نفس نصف القطر. إذا كان نصف القطر كبيرًا بما يكفي، فإن الكرتين ستتطابقان تمامًا باستثناء جزء صغير جدًا من حجمهما.و{\displaystyle f}إذا كانت محدودة، فإن متوسطاتها على الكرتين تكون متقاربة بشكل تعسفي، وهكذاو{\displaystyle f}تأخذ نفس القيمة عند أي نقطتين.

يمكن تكييف البرهان مع الحالة التي تكون فيها الدالة التوافقيةو{\displaystyle f}هي محدودة من الأعلى أو الأسفل فقط. انظر الدالة التوافقية# نظرية ليوفيل .

ثمة طريقة أخرى لإثبات النظرية وهي

البرهان [ 3 ]

يفترض|و(z)|≤م{\displaystyle |f(z)|\leq M}للجميعz{\displaystyle z}في المستوى المركب، يمكننا تطبيق تقدير كوشي على مركز القرص عند أيz0{\displaystyle z_{0}}من أي نصف قطرρ{\displaystyle \rho }للحصول على: |و′(z0)|≤مρ{\displaystyle |f'(z_{0})|\leq {\frac {M}{\rho }}}.

يتركρ{\displaystyle \rho }يميل إلى+∞{\displaystyle +\infty }، نحصلو′(z0)=0{\displaystyle f'(z_{0})=0}بما أن هذا ينطبق على الجميعz0{\displaystyle z_{0}}،و(z){\displaystyle f(z)}ثابت.

النتائج المترتبة

النظرية الأساسية للجبر

يوجد برهان قصير للنظرية الأساسية في الجبر باستخدام نظرية ليوفيل. [ 4 ]

البرهان ( النظرية الأساسية في الجبر )

لنفترض جدلاً وجود متعددة حدود غير ثابتةص{\displaystyle p}بدون جذر مركب. لاحظ أن|ص(z)|→∞{\displaystyle |p(z)|\to \infty }مثلz→∞{\displaystyle z\to \infty }ثم بالنسبة لقيمة R كبيرة بما فيه الكفاية، لدينا|ص(z)|>1{\displaystyle |p(z)|>1}للجميعz∉ب(0،R){\displaystyle z\not \in B(0,R)}.

لأنص{\displaystyle p}ليس لها جذور، الوظيفةq(z)=1/ص(z){\displaystyle q(z)=1/p(z)}كاملة ، وذات شكل كامل من الداخلب(0،R){\displaystyle B(0,R)}وبالتالي فهي متصلة أيضًا عند إغلاقهاب¯(0،R){\displaystyle {\overline {B}}(0,R)}بحسب نظرية القيمة القصوى ، فإن الدالة المتصلة على مجموعة مغلقة ومحدودة تحصل على قيمها القصوى، مما يعني أن1/|ص(z)|≤ج{\displaystyle 1/|p(z)|\leq C}لبعض الثوابتج{\displaystyle C}وz∈ب¯(0،R){\displaystyle z\in {\overline {B}}(0,R)}.

وبالتالي، فإن الوظيفةq(z){\displaystyle q(z)}محصور فيج{\displaystyle \mathbb {C} }وبحسب نظرية ليوفيل، فإن قيمة ثابتة ، وهو ما يتناقض مع افتراضنا بأنص{\displaystyle p}غير ثابت.

لا تهيمن أي دالة كاملة على دالة كاملة أخرى

من نتائج هذه النظرية أن الدوال الكاملة "المختلفة حقًا" لا يمكنها أن تهيمن على بعضها البعض، أي إذاو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}كاملة، و|و|≤|ز|{\displaystyle |f|\leq |g|}في كل مكان، إذنو=αز{\displaystyle f=\alpha g}لبعض الأعداد المركبةα{\displaystyle \alpha }ضع ذلك في اعتبارك بالنسبة لـز=0{\displaystyle g=0}النظرية بديهية، لذلك نفترضز≠0{\displaystyle g\neq 0}ضع في اعتبارك الدالةح=و/ز{\displaystyle h=f/g}يكفي إثبات ذلكح{\displaystyle h}يمكن تعميم ذلك على دالة كاملة، وفي هذه الحالة تتبع النتيجة من خلال نظرية ليوفيل. التماثل التام لـح{\displaystyle h}واضح باستثناء بعض النقاط فيز-1(0){\displaystyle g^{-1}(0)}لكن منذ ذلك الحينح{\displaystyle h}محدودة وجميع أصفارز{\displaystyle g}إذا كانت معزولة، فيجب أن تكون أي نقاط تفرد قابلة للإزالة. وبالتالي، فإن ذلك يعني أن أي نقاط تفرد يجب أن تكون قابلة للإزالة.ح{\displaystyle h}يمكن توسيعها لتشمل دالة محدودة كاملة، والتي بموجب نظرية ليوفيل تعني أنها ثابتة.

إذا كانت قيمة f أقل من أو تساوي قيمة عددية مضروبة في مدخلاتها، فإنها تكون خطية

لنفترض أنو{\displaystyle f}كامل و|و(z)|≤م|z|{\displaystyle |f(z)|\leq M|z|}، لم>0{\displaystyle M>0}يمكننا تطبيق صيغة كوشي التكاملية؛ لدينا أن

|و′(z)|=12π|∮جرو(ζ)(ζ-z)2دζ|≤12π∮جر|و(ζ)||(ζ-z)2||دζ|≤12π∮جرم|ζ||(ζ-z)2||دζ|=مأنا2π|f'(z)|=\frac{1}{2\pi}\left|\oint_{C_{r}}{\frac{f(\zeta)}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta\right|\leq\frac{1}{2\pi}}\oint_{C_{r}}{\frac{|f(\zeta)|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta|\leq\frac{1}{2\pi}}\oint_{C_{r}}{\frac{M|\zeta|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta\right|=\frac{MI}{2\pi}}}

أينأنا{\displaystyle I}تمثل قيمة التكامل المتبقي. وهذا يدل على أنو′{\displaystyle f'}بما أن الدالة محدودة وكاملة، فلا بد أن تكون ثابتة، وفقًا لنظرية ليوفيل. ومن ثم، يُظهر التكامل أنو{\displaystyle f}وهي خطية ، ثم بالرجوع إلى المتباينة الأصلية، نجد أن الحد الثابت يساوي صفرًا.

لا يمكن تعريف الدوال الإهليلجية غير الثابتة على المستوى المركب

يمكن أيضًا استخدام النظرية لاستنتاج أن مجال دالة إهليلجية غير ثابتةو{\displaystyle f}لا يمكن أن يكونج{\displaystyle \mathbb {C} }لنفترض أنه كان كذلك. إذن، إذاأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هما فترتان منو{\displaystyle f}بحيثأب{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}ليس حقيقياً، انظر إلى متوازي الأضلاعP{\displaystyle P}رؤوسها تساوي صفرًا،أ{\displaystyle a}،ب{\displaystyle b}، وأ+ب{\displaystyle a+b}ثم صورةو{\displaystyle f}يساويو(P){\displaystyle f(P)}. منذو{\displaystyle f}متصل و​P{\displaystyle P}صغير الحجم ،و(P){\displaystyle f(P)}وهي أيضًا متراصة، وبالتالي فهي محدودة. إذن،و{\displaystyle f}ثابت.

حقيقة أن مجال دالة إهليلجية غير ثابتةو{\displaystyle f}لا يمكن أن يكونج{\displaystyle \mathbb {C} }هذا ما أثبته ليوفيل بالفعل عام 1847، باستخدام نظرية الدوال الإهليلجية. [ 5 ] في الواقع، كان كوشي هو من أثبت نظرية ليوفيل. [ 6 ] [ 7 ]

تحتوي الوظائف الكاملة على صور كثيفة

لوو{\displaystyle f}إذا كانت دالة كاملة غير ثابتة، فإن صورتها تكون كثيفة فيج{\displaystyle \mathbb {C} }قد تبدو هذه النتيجة أقوى بكثير من نظرية ليوفيل، لكنها في الواقع نتيجة منطقية سهلة. إذا كانت صورةو{\displaystyle f}إذا لم تكن كثيفة، فإن العدد المركب هوw{\displaystyle w}وعدد حقيقي ر>0{\displaystyle r>0}بحيث يكون القرص المفتوح متمركزًا عندw{\displaystyle w}بنصف قطرر{\displaystyle r}لا يحتوي على أي عنصر من عناصر صورةو{\displaystyle f}. يُعرِّف

ز(z)=1و(z)-w.{\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.}

ثمز{\displaystyle g}هي دالة كاملة محدودة، لأن لكلz{\displaystyle z}،

|ز(z)|=1|و(z)-w|<1ر.{\displaystyle |g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}<{\frac {1}{r}}.}

لذا،ز{\displaystyle g}ثابت، وبالتاليو{\displaystyle f}ثابت.

على أسطح ريمان المدمجة

أي دالة تحليلية على سطح ريمان مضغوط تكون ثابتة بالضرورة. [ 8 ]

يتركو(z){\displaystyle f(z)}أن تكون هولومورفية على سطح ريمان مضغوطم{\displaystyle M}. من خلال التراص، توجد نقطةص0∈م{\displaystyle p_{0}\in M}أين|و(ص)|{\displaystyle |f(p)|}يصل إلى أقصى حد له. عندها يمكننا إيجاد مخطط من جوارص0{\displaystyle p_{0}}إلى القرص الصلبد{\displaystyle \mathbb {D} }بحيثو(φ-1(z)){\displaystyle f(\varphi ^{-1}(z))}دالة تامة الشكل على قرص الوحدة ولها قيمة عظمى عندφ(ص0)∈د{\displaystyle \varphi (p_{0})\in \mathbb {D} }لذلك فهو ثابت، وفقًا لمبدأ القيمة المطلقة القصوى .

ملاحظات

يتركج∪{∞}{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}ليكن التكثيف ذو النقطة الواحدة للمستوى المركبج{\displaystyle \mathbb {C} }بدلاً من الدوال التحليلية المعرفة على المناطق فيج{\displaystyle \mathbb {C} }يمكن للمرء أن ينظر إلى المناطق فيج∪{∞}{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}. من هذا المنظور، فإن التفرد الوحيد الممكن للدوال الكاملة، المعرفة علىج⊂ج∪{∞}{\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}هذه هي النقطة∞{\displaystyle \infty }إذا كانت وظيفة كاملةو{\displaystyle f}تقع ضمن نطاق حي∞{\displaystyle \infty }، ثم∞{\displaystyle \infty }هي نقطة تفرد قابلة للإزالة منو{\displaystyle f}، أيو{\displaystyle f}لا يمكن أن ينفجر أو يتصرف بشكل غير منتظم في∞{\displaystyle \infty }في ضوء توسيع متسلسلة القوى ، ليس من المستغرب أن تكون نظرية ليوفيل صحيحة.

وبالمثل، إذا كانت الدالة بأكملها تحتوي على قطب من الرتبةن{\displaystyle n}في∞{\displaystyle \infty }أي أن حجمه ينمو بشكل مماثل لـzن{\displaystyle z^{n}}في أحد أحياء∞{\displaystyle \infty }- ثمو{\displaystyle f}هي دالة كثيرة الحدود. يمكن صياغة هذه النسخة الموسعة من نظرية ليوفيل بدقة أكبر على النحو التالي: إذا|و(z)|≤م|z|ن{\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}ل|z|{\displaystyle |z|}كبيرة بما يكفي، إذنو{\displaystyle f}هي متعددة حدود من الدرجة على الأكثرن{\displaystyle n}يمكن إثبات ذلك على النحو التالي. خذ مرة أخرى تمثيل متسلسلة تايلور لـو{\displaystyle f}،

و(z)=∑ك=0∞أكzك.{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}

تُظهر الحجة المستخدمة أثناء البرهان باستخدام تقديرات كوشي أنه بالنسبة لجميعك≥0{\displaystyle k\geq 0}،

|أك|≤مرن-ك.{\displaystyle |a_{k}|\leq Mr^{n-k}.}

لذا، إذاك>ن{\displaystyle k>n}، ثم

|أك|≤ليمر→∞مرن-ك=0.{\displaystyle |a_{k}|\leq \lim _{r\to \infty }Mr^{n-k}=0.}

لذلك،أك=0{\displaystyle a_{k}=0}.

لا تمتد نظرية ليوفيل إلى تعميمات الأعداد المركبة المعروفة بالأعداد المزدوجة والأعداد الثنائية . [ 9 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ سولومينتسيف، إد. ستيبانوف، سا. Kvasnikov، IA (2001) [1994]، “نظريات ليوفيل” ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
  2. ↑ نيلسون، إدوارد (1961). "برهان على نظرية ليوفيل" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
  3. ^ جاميلين ، ثيودور دبليو (2004). التحليل المعقد . سبرينغر. رقم ISBN 9788181281142.
  4. ↑ بنيامين فاين؛ جيرهارد روزنبرغر (1997). النظرية الأساسية للجبر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 70-71 . ISBN  978-0-387-94657-3.
  5. ^ ليوفيل، جوزيف (1847)، “Leçons sur les fonctions doublement périodiques” ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ، المجلد. 88 (نشرت عام 1879)، الصفحات من 277 إلى 310، ISSN 0075-4102   {{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  6. ↑ كوشي، أوغستين لويس (1844)، "مذكرات حول الوظائف التكميلية" ، أعمال كاملة من أوغستين كوشي ، 1، المجلد. 8، باريس: غوتييه فيلار (نشرت عام 1882) 
  7. ↑ لوتزن، يسبر (1990)، جوزيف ليوفيل 1809-1882: ماجستير في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، دراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية، المجلد 15، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN  3-540-97180-7
  8. ↑ دورة موجزة في التحليل المركب وأسطح ريمان، بقلم فيلهلم شلاغ، النتيجة 4.8، صفحة 77. http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf مؤرشف بتاريخ 30 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
  9. ↑ دينهارتيغ، كايل؛ فليم، راشيل (15 يناير 2017). "نظريات ليوفيل في المستويين المزدوج والثنائي" . مجلة روز-هولمان للرياضيات الجامعية . 12 (2).