مشعب شبه ريماني

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء الرياضية ، يُعرف المشعب شبه الريماني ، [ 1 ] [ 2 ] والذي يُسمى أيضًا المشعب شبه الريماني ، بأنه مشعب قابل للتفاضل ذو موتر متري غير منحل في كل مكان . وهو تعميم للمشعب الريماني حيث تم تخفيف شرط الإيجابية المحددة .

كل فضاء مماس لمتشعب ريماني زائف هو فضاء متجه إقليدي زائف .

إحدى الحالات الخاصة المستخدمة في النسبية العامة هي مشعب لورنتز رباعي الأبعاد لنمذجة الزمكان ، حيث يمكن تصنيف متجهات المماس على أنها زمنية، معدومة، ومكانية .

مقدمة

مشعبات

في الهندسة التفاضلية ، يُعرف الفضاء التفاضلي بأنه فضاء مشابه محليًا للفضاء الإقليدي . في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، يمكن تحديد أي نقطة بواسطة n عددًا حقيقيًا، تُسمى إحداثيات تلك النقطة.

الفضاء التفاضلي ذو البعد n هو تعميم للفضاء الإقليدي ذي البعد n . في هذا الفضاء، قد يكون من الممكن تحديد الإحداثيات محليًا فقط . ويتحقق ذلك بتحديد رقع الإحداثيات : وهي مجموعات جزئية من الفضاء يمكن تمثيلها في الفضاء الإقليدي ذي البعد n .

انظر إلى Manifold و Differentiable manifold و Coordinate patch لمزيد من التفاصيل.

الفضاءات المماسية والموترات المترية

مرتبط بكل نقطةص{\displaystyle p}فين{\displaystyle n}مشعب تفاضلي ذو أبعادم{\displaystyle M}هو فضاء مماس (يرمز له بـتيصم{\displaystyle T_{p}M}هذان{\displaystyle n}فضاء متجهي ذو أبعاد n يمكن اعتبار عناصره فئات تكافؤ للمنحنيات التي تمر عبر النقطةص{\displaystyle p}.

الموتر المتري هو دالة ثنائية الخطية ، غير منحلة ، سلسة، متناظرة، تُسند عددًا حقيقيًا لأزواج متجهات المماس في كل فضاء مماس للمتشعب. يُرمز للموتر المتري بـز{\displaystyle g}يمكننا التعبير عن ذلك على النحو التالي:

ز:تيصم×تيصم→R.{\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}

الخريطة متناظرة وثنائية الخطية، لذا إذاX،Y،Z∈تيصم{\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}هي متجهات مماسية عند نقطةص{\displaystyle p}إلى المشعبم{\displaystyle M}ثم لدينا

  • ز(X،Y)=ز(Y،X){\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}
  • ز(أX+Y،Z)=أز(X،Z)+ز(Y،Z){\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}

لأي عدد حقيقيأ∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }.

الذي - التيز{\displaystyle g}يعني مصطلح "غير منحط" أنه لا يوجد عدد غير صفري.X∈تيصم{\displaystyle X\in T_{p}M}بحيثز(X،Y)=0{\displaystyle g(X,Y)=0}للجميعY∈تيصم{\displaystyle Y\in T_{p}M}.

التوقيعات المترية

بفرض وجود موتر متري g على مشعب حقيقي ذي n بُعد، فإن الصيغة التربيعية q ( x ) = g ( x , x ) المرتبطة بالموتر المتري المطبق على كل متجه من أي أساس متعامد تُنتج n قيمة حقيقية. وبحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، فإن عدد كل من القيم الموجبة والسالبة والصفرية الناتجة بهذه الطريقة هي ثوابت للموتر المتري، بغض النظر عن اختيار الأساس المتعامد. ويُعطي توقيع الموتر المتري ( p , q , r ) هذه الأعداد، مُرتبةً بنفس الترتيب. الموتر المتري غير المنحط له r = 0، ويمكن الإشارة إلى توقيعه بـ ( p , q ) ، حيث p + q = n .

تعريف

المتشعب شبه الريماني ( M , g ) هو متشعب قابل للتفاضل M مزود بموتر متري غير منحل، أملس، ومتماثل g في كل مكان .

يُطلق على هذا النوع من المقاييس اسم المقياس شبه الريماني . عند تطبيقه على حقل متجهي، يمكن أن تكون قيمة الحقل القياسي الناتج عند أي نقطة من المتشعب موجبة أو سالبة أو صفر.

تُعرف إشارة المقياس شبه الريماني بالرمز ( p , q ) ، حيث يكون كل من p و q غير سالبين. ويشترط شرط عدم الانحلال، بالإضافة إلى شرط الاستمرارية، أن يظل كل من p و q ثابتين في جميع أنحاء المتشعب (بافتراض أنه متصل).

متعدد الشعب اللورنتزي

يُعدّ المشعب اللورنتزي حالةً خاصةً مهمةً من المشعب شبه الريماني، حيث تكون إشارة المقياس فيه (1، n − 1) (أو ما يكافئها، ( n − 1، 1) ؛ انظر اصطلاح الإشارة ). تُسمى هذه المقاييس بالمقاييس اللورنتزية ، نسبةً إلى الفيزيائي الهولندي هندريك لورنتز .

تطبيقات في الفيزياء

بعد المشعبات الريمانية، تُشكل المشعبات اللورنتزية أهم فئة فرعية من المشعبات شبه الريمانية. وهي مهمة في تطبيقات النسبية العامة .

من المبادئ الأساسية للنسبية العامة أن الزمكان يُمكن نمذجته كمتشعب لورنتزي رباعي الأبعاد ذي إشارة (3، 1) أو بصورة مكافئة (1، 3) . على عكس المتشعبات الريمانية ذات المقاييس الموجبة المحددة، تسمح الإشارة غير المحددة بتصنيف متجهات المماس إلى متجهات زمنية ، أو صفرية ، أو مكانية . وبإشارة ( p ، 1) أو (1، q ) ، يكون المتشعب قابلاً للتوجيه الزمني محليًا (وربما عالميًا) (انظر البنية السببية ).

خصائص مشعبات ريمان الزائفة

تمامًا مثل الفضاء الإقليديRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يمكن اعتبارها نموذجًا محليًا لمتشعب ريماني ، فضاء مينكوفسكيRن-1،1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}باستخدام مقياس مينكوفسكي المسطح، يكون النموذج المحلي لمتشعب لورنتزي. وبالمثل، فإن فضاء النموذج لمتشعب ريماني زائف ذي إشارة ( p , q ) هو فضاء إقليدي زائف.Rص،q{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}، والتي توجد لها إحداثيات x i بحيث

ز=دx12+⋯+دxص2-دxص+12-⋯-دxص+q2{\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}

يمكن تعميم بعض نظريات الهندسة الريمانية لتشمل حالة شبه الريمانية. على وجه الخصوص، تنطبق النظرية الأساسية للهندسة الريمانية على جميع المشعبات شبه الريمانية. وهذا يسمح بالحديث عن اتصال ليفي-تشيفيتا على مشعب شبه ريماني، بالإضافة إلى موتر الانحناء المرتبط به . من ناحية أخرى، هناك العديد من النظريات في الهندسة الريمانية التي لا تنطبق في الحالة المعممة. على سبيل المثال، ليس صحيحًا أن كل مشعب أملس يقبل مقياسًا شبه ريمانيًا ذا إشارة معينة؛ فهناك بعض العوائق الطوبولوجية . علاوة على ذلك، لا يرث المشعب الفرعي دائمًا بنية المشعب شبه الريماني؛ على سبيل المثال، يصبح موتر المقياس صفرًا على أي منحنى ضوئي . يوفر طارة كليفتون -بول مثالاً على مشعب ريماني زائف مضغوط ولكنه غير كامل، وهو مزيج من الخصائص التي لا تسمح بها نظرية هوبف-رينو للمشعبات الريمانية. [ 3 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  • بين، آي إم؛ تاكر، آر دبليو (1987)، مقدمة في السبينورات والهندسة مع تطبيقات في الفيزياء (نُشرت لأول مرة  عام 1987)، آدم هيلجر، رقم ISBN 0-85274-169-3
  • بيشوب، ريتشارد ل .؛ غولدبيرغ، صموئيل آي. (1968)، تحليل الموترات على المشعبات (الطبعة الأولى من دوفر 1980  )، شركة ماكميلان، رقم ISBN 0-486-64039-6
  • تشين، بانغ-ين (2011)، الهندسة شبه الريمانية، ثوابت دلتا وتطبيقاتها ، دار النشر العالمية العلمية، رقم ISBN 978-981-4329-63-7
  • أونيل، باريت (1983)، الهندسة شبه الريمانية مع تطبيقات في النسبية ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  103، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 9780080570570
  • فرنسينو، ج.؛ Roşca، R. (1976)، مقدمة في النسبية والهندسة الريمانية الزائفة ، بوخارست: Editura Academiei Republicii Socialiste România
  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بمتشعبات لورنتزية على ويكيميديا ​​كومنز