نظرية ماشكه

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 61 صور
الموسوعة الحرة
صورة فوتوغرافية لهينريش ماشكه (قبل عام 1906)

في الرياضيات ، تُعرف نظرية ماشكه [ 1 ] [ 2 ]، نسبةً إلى هاينريش ماشكه [ 3 ]، بأنها نظرية في تمثيل الزمر ، وتتعلق بتحليل تمثيلات الزمرة المنتهية إلى أجزاء غير قابلة للاختزال . تسمح نظرية ماشكه باستخلاص استنتاجات عامة حول تمثيلات الزمرة المنتهية G دون الحاجة إلى حسابها فعليًا. فهي تُبسط مهمة تصنيف جميع التمثيلات إلى مهمة أسهل تتمثل في تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال ، إذ أن أي تمثيل، عند تطبيق النظرية، هو مجموع مباشر لأجزاء (مكونات) غير قابلة للاختزال. علاوة على ذلك، يُستنتج من نظرية جوردان-هولدر أنه على الرغم من أن التحليل إلى مجموع مباشر لتمثيلات فرعية غير قابلة للاختزال قد لا يكون فريدًا، إلا أن للأجزاء غير القابلة للاختزال تعددية محددة جيدًا . على وجه الخصوص، يُحدد تمثيل الزمرة المنتهية على حقل ذي خاصية صفرية، حتى التشاكل، بواسطة خاصيته .

التركيبات

تتناول نظرية ماشكه السؤال التالي: متى يتم بناء تمثيل عام (محدود الأبعاد) من تمثيلات فرعية غير قابلة للاختزال باستخدام عملية الجمع المباشر ؟ يتم صياغة هذا السؤال (وإجابته) بشكل مختلف وفقًا لوجهات نظر مختلفة حول نظرية تمثيل المجموعة.

نظرية الزمر

تُصاغ نظرية ماشكه عادةً كنتيجة للنتيجة التالية:

نظرية — ليكنV{\displaystyle V}ليكن تمثيلاً لمجموعة منتهيةجي{\displaystyle G}فوق حقلF{\displaystyle \mathbb {F} }مع خاصية لا تقسم ترتيبجي{\displaystyle G}. لوV{\displaystyle V}له تمثيل فرعيدبليو{\displaystyle W}ثم يكون لها تمثيل فرعي آخريو{\displaystyle U}بحيثV=دبليو⊕يو{\displaystyle V=W\oplus U}[ 4 ] [ 5 ]​

ثم النتيجة المنطقية هي

نتيجة (مبرهنة ماشكه) - كل تمثيل لمجموعة منتهيةجي{\displaystyle G}فوق حقلF{\displaystyle \mathbb {F} }مع خاصية لا تقسم ترتيبجي{\displaystyle G}هو مجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال. [ 6 ] [ 7 ]

الفضاء المتجهي لدوال الفئة ذات القيم المركبة لمجموعةجي{\displaystyle G}يتمتع بخصائص طبيعيةجي{\displaystyle G}بنية الضرب الداخلي الثابتة ، الموصوفة في مقالة علاقات التعامد لشور . وقد تم إثبات نظرية ماشكه في الأصل لحالة التمثيلات علىج{\displaystyle \mathbb {C} }عن طريق البناءيو{\displaystyle U}باعتباره المكمل المتعامد لـدبليو{\displaystyle W}تحت هذا المنتج الداخلي.

نظرية الوحدات

إحدى طرق تمثيل المجموعات المنتهية هي من خلال نظرية الوحدات . تمثيلات المجموعةجي{\displaystyle G}يتم استبدالها بوحدات فوق جبر المجموعة الخاص بها ك[جي]{\displaystyle K[G]}(بتعبير أدق، هناك تماثل بين الفئات)ك[جي]-مود{\displaystyle K[G]{\text{-Mod}}}ومندوبجي{\displaystyle \operatorname {Rep} _{G}}، فئة تمثيلاتجي{\displaystyle G}تُقابل التمثيلات غير القابلة للاختزال الوحدات النمطية البسيطة . في لغة نظرية الوحدات النمطية، تسأل نظرية ماشكه: هل الوحدة النمطية العشوائية شبه بسيطة ؟ في هذا السياق، يمكن إعادة صياغة النظرية على النحو التالي:

نظرية ماشكه — ليكنجي{\displaystyle G}أن تكون مجموعة منتهية وك{\displaystyle K}حقل لا تقسم خصائصه ترتيبجي{\displaystyle G}. ثمك[جي]{\displaystyle K[G]}، الجبر الجماعي لـجي{\displaystyle G}، شبه بسيط . [ 8 ] [ 9 ]

تكمن أهمية هذه النتيجة في النظرية المتطورة للحلقات شبه البسيطة، ولا سيما تصنيفها كما هو موضح في نظرية ويدربورن-آرتين . عندماك{\displaystyle K}هو حقل الأعداد المركبة ، وهذا يدل على أن الجبرك[جي]{\displaystyle K[G]}هو نتاج عدة نسخ من جبر المصفوفات المعقدة ، نسخة لكل تمثيل غير قابل للاختزال. [ 10 ] إذا كان الحقلك{\displaystyle K}لها خاصية صفرية، لكنها ليست مغلقة جبريًا ، على سبيل المثال إذاك{\displaystyle K}إذا كان حقل الأعداد الحقيقية أو النسبية ، فإن عبارة أكثر تعقيدًا نوعًا ما تنطبق: جبر الزمرك[جي]{\displaystyle K[G]}هو ناتج جبر المصفوفات على حلقات القسمة علىك{\displaystyle K}تُقابل الحدود المُجمّعة تمثيلات غير قابلة للاختزال لـجي{\displaystyle G}زيادةك{\displaystyle K}[ 11 ]​

نظرية الفئات

تنص نظرية ماشكه، بعد إعادة صياغتها بلغة الفئات شبه البسيطة ، على ما يلي:

نظرية ماشكه - إذا كانت G مجموعة و F حقلًا له خاصية لا تقسم رتبة G ، فإن فئة تمثيلات G على F هي شبه بسيطة.

البراهين

نظرية الزمر

ليكن U فضاءً جزئياً من V ، ومكملاً لـ W.ص0:V→دبليو{\displaystyle p_{0}:V\to W}لتكن دالة الإسقاط، أيص0(w+u)=w{\displaystyle p_{0}(w+u)=w}لأيu∈يو،w∈دبليو{\displaystyle u\in U,w\in W}.

يُعرِّفص(x)=18جي∑ز∈جيز⋅ص0⋅ز-1(x){\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}، أينز⋅ص0⋅ز-1{\displaystyle g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}}هو اختصار لـρدبليوز⋅ص0⋅ρVز-1{\displaystyle \rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}}، معρدبليوز،ρVز-1{\displaystyle \rho _{W}{g},\rho _{V}{g^{-1}}}باعتبارها تمثيلاً لـ G على W و V. ثم،كير⁡ص{\displaystyle \ker p}يتم الحفاظ عليه بواسطة G تحت التمثيلρV{\displaystyle \rho _{V}}لأيw′∈كير⁡ص،ح∈جي{\displaystyle w'\in \ker p,h\in G}، ص(حw′)=ح⋅ح-118جي∑ز∈جيز⋅ص0⋅ز-1(حw′)=ح⋅18جي∑ز∈جي(ح-1⋅ز)⋅ص0⋅(ز-1ح)w′=ح⋅18جي∑ز∈جيز⋅ص0⋅ز-1w′=ح⋅ص(w′)=0{\displaystyle {\begin{aligned}p(hw')&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}}

لذاw′∈كير⁡ص{\displaystyle w'\in \ker p}يشير ذلك إلى أنحw′∈كير⁡ص{\displaystyle hw'\in \ker p}لذا فإن تقييدρV{\displaystyle \rho _{V}}علىكير⁡ص{\displaystyle \ker p}وهو أيضاً تمثيل.

بحسب تعريفص{\displaystyle p}، لأيw∈دبليو{\displaystyle w\in W}،ص(w)=w{\displaystyle p(w)=w}، لذادبليو∩كير⁡ ص={0}{\displaystyle W\cap \ker \ p=\{0\}}ولأيv∈V{\displaystyle v\in V}،ص(ص(v))=ص(v){\displaystyle p(p(v))=p(v)}. هكذا،ص(v-ص(v))=0{\displaystyle p(v-p(v))=0}، وv-ص(v)∈كير⁡ص{\displaystyle v-p(v)\in \ker p}. لذلك،V=دبليو⊕كير⁡ص{\displaystyle V=W\oplus \ker p}.

نظرية الوحدات

ليكن V وحدة فرعية من K [ G ]. سنثبت أن V عنصر مجموع مباشر. ليكن π أي إسقاط خطي من K [ G ] على V. لنعتبر التطبيق {φ:ك[جي]→Vφ:x↦18جي∑s∈جيs⋅π(s-1⋅x){\displaystyle {\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\\\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}}

إذن، φ هي إسقاط مرة أخرى: من الواضح أنها خطية بالنسبة لـ K ، وتسقط K [ G ] على V ، وتستحثّ التطابق على V (وبالتالي، تسقط K [ G ] على V ). علاوة على ذلك، لدينا

φ(ت⋅x)=18جي∑s∈جيs⋅π(s-1⋅ت⋅x)=18جي∑u∈جيت⋅u⋅π(u-1⋅x)=ت⋅φ(x)،{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}}

إذن، فإن φ في الواقع خطية بالنسبة لـ K [ G ]. وفقًا لفرضية التقسيم ،ك[جي]=V⊕كير⁡φ{\displaystyle K[G]=V\oplus \ker \varphi }وهذا يثبت أن كل وحدة فرعية هي مجموع مباشر، أي أن K [ G ] شبه بسيط.

بيان معكوس

يعتمد البرهان أعلاه على حقيقة أن G قابلة للعكس في K. قد يدفع هذا إلى التساؤل عما إذا كان عكس نظرية ماشكه صحيحًا أيضًا: إذا كانت خاصية K تقسم رتبة G ، فهل يترتب على ذلك أن K [ G ] ليست شبه بسيطة؟ الإجابة هي نعم . [ 12 ]

دليل. لـx=∑λزز∈ك[جي]{\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}يُعرِّفϵ(x)=∑λز{\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}. يتركأنا=كير⁡ϵ{\displaystyle I=\ker \epsilon }إذن، I هي وحدة فرعية من K [ G ]. سنثبت أنه لكل وحدة فرعية غير تافهة V من K [ G ]،أنا∩V≠0{\displaystyle I\cap V\neq 0}ليكن V معطى، وليكنv=∑μزز{\textstyle v=\sum \mu _{g}g}ليكن أي عنصر غير صفري من V. إذاϵ(v)=0{\displaystyle \epsilon (v)=0}، يكون الادعاء فوريًا. وإلا، فليكنs=∑1ز{\textstyle s=\sum 1g}. ثمϵ(s)=8جي⋅1=0{\displaystyle \epsilon (s)=\#G\cdot 1=0}لذاs∈أنا{\displaystyle s\in I}و sv=(∑1ز)(∑μزز)=∑ϵ(v)ز=ϵ(v)s{\displaystyle sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s}

لهذا السبب.sv{\displaystyle sv}هو عنصر غير صفري في كل من I و V. هذا يثبت أن V ليس مكملاً مباشراً لـ I لجميع V ، لذا فإن K [ G ] ليس شبه بسيط.

أمثلة مضادة

لا يمكن تطبيق النظرية في حالة كون G لانهائية، أو عندما يكون للحقل K خصائص تقسم G. على سبيل المثال،

  • لنفترض المجموعة اللانهائيةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }والتمثيلρ:Z→جيل2(ج){\displaystyle \rho :\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )} معرف بواسطةρ(ن)=[1101]ن=[1ن01]{\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}. يتركدبليو=ج⋅[10]{\displaystyle W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}، فضاء فرعي أحادي البعد منج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}ممتدة بواسطة[10]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}ثم تقييدρ{\displaystyle \rho }على W هو تمثيل فرعي تافه لـZ{\displaystyle \mathbb {Z} }ومع ذلك، لا يوجد U بحيث يكون كل من W و U تمثيلين فرعيين لـZ{\displaystyle \mathbb {Z} }وج2=دبليو⊕يو{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=W\oplus U}أي فضاء U من هذا القبيل يجب أن يكون أحادي البعد، ولكن أي فضاء جزئي أحادي البعد محفوظ بواسطةρ{\displaystyle \rho }يجب أن يمتد بواسطة متجه ذاتي لـ[1101]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}والمتجه الذاتي الوحيد لذلك هو[10]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}.
  • لنفترض عددًا أوليًا p ، والمجموعةZ/صZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }، مجالك=Fص{\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}}والتمثيلρ:Z/صZ→جيل2(Fص){\displaystyle \rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {F} _{p})} معرف بواسطةρ(ن)=[1ن01]{\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}تُظهر الحسابات البسيطة أنه لا يوجد سوى متجه ذاتي واحد لـ[1101]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}هنا، وبناءً على نفس الحجة، فإن التمثيل الفرعي أحادي البعد لـZ/صZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }فريد من نوعه، وZ/صZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }لا يمكن تحليلها إلى مجموع مباشر لتمثيلين فرعيين أحاديي البعد.

ملحوظات

  1. ^ ماشكي ، هاينريش (22/07/1898). "Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficien der Substitutionen endlicher Liner Substitutionsgruppen" [ حول الطابع الحسابي لمعاملات بدائل مجموعات الاستبدال الخطية المحدودة ] . الرياضيات. آن. (باللغة الألمانية). 50 (4): 492-498 . دوى : 10.1007 / BF01444297 . جي اف ام 29.0114.03 . السيد 1511011 .  
  2. ^ ماشكي ، هاينريش (27/07/1899). "Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen Linear Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficiency auftreten, intransitiv sind" [ إثبات نظرية أن مجموعات الاستبدال الخطية المحدودة تلك، التي يظهر فيها بعض المعاملات المتلاشية في كل مكان، هي لازمة ] . الرياضيات. آن. (باللغة الألمانية). 52 ( 2 – 3): 363 – 368. دوى : 10.1007 / BF01476165 . جي اف ام 30.0131.01 . السيد 1511061 .  
  3. ↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "هاينريش ماشكه" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  4. ↑ فولتون وهاريس 1991 ، الاقتراح 1.5.
  5. ↑ سير 1977 ، النظرية 1.
  6. ↑ فولتون وهاريس 1991 ، النتيجة 1.6.
  7. ↑ سير 1977 ، النظرية 2.
  8. ↑ يترتب على ذلك أن كل وحدة فوقك[جي]{\displaystyle K[G]}هو وحدة شبه بسيطة.
  9. ↑ ينطبق البيان العكسي أيضًا: إذا كانت خاصية الحقل تقسم رتبة المجموعة ( الحالة النمطية )، فإن جبر المجموعة ليس شبه بسيط.
  10. ↑ يمكن حساب عدد الحدود، ويتضح أنه يساوي عدد فئات الترافق للمجموعة.
  11. ↑ يجب توخي الحذر، لأن التمثيل قد يتحلل بشكل مختلف عبر الحقول المختلفة: قد يكون التمثيل غير قابل للاختزال على الأعداد الحقيقية ولكن ليس على الأعداد المركبة.
  12. ^ سيري 1977 ، التمرين 6.1.

مراجع