وحدة بسيطة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، تُعرَّف الوحدات البسيطة على الحلقة R بأنها الوحدات (اليسرى أو اليمنى) على R التي لا تساوي الصفر ولا تحتوي على وحدات فرعية فعلية غير صفرية. وبصورة مكافئة، تكون الوحدة M بسيطة إذا وفقط إذا كان كل وحدة فرعية دورية مُولَّدة بواسطة عنصر غير صفري من M تساوي M. تُشكِّل الوحدات البسيطة لبنات بناء للوحدات ذات الطول المحدود ، وهي تُشابه الزمر البسيطة في نظرية الزمر .

في هذه المقالة، سيتم افتراض أن جميع الوحدات النمطية هي وحدات نمطية يمينية أحادية على حلقة R.

تُعتبر وحدات Z هي نفسها الزمر الأبيلية ، لذا فإن وحدة Z البسيطةهي زمرة أبيلية لا تحتوي على زمر جزئية فعلية غير صفرية . هذه هي الزمر الدورية ذات الرتبة الأولية .

إذا كان I مثاليًا يمينيًا في R ، فإن I يكون بسيطًا كوحدة نمطية يمينية إذا وفقط إذا كان I مثاليًا يمينيًا غير صفري أدنى. إذا كانت M وحدة نمطية جزئية فعلية غير صفرية من I ، فهي أيضًا مثالي يمينيًا، وبالتالي فإن I ليس أدنى. على العكس ، إذا لم يكن I أدنى، فإنه يوجد مثالي يميني غير صفري J مُحتوى بشكل صحيح في I. J وحدة نمطية جزئية يمينية من I ، وبالتالي فإن I ليس بسيطًا.

إذا كان I مثاليًا يمينيًا في R ، فإن وحدة القسمة R / I تكون بسيطة إذا وفقط إذا كان I مثاليًا يمينيًا أعظميًا . إذا كانت M وحدة جزئية فعلية غير صفرية من R / I ، فإن الصورة العكسية لـ M تحت تطبيق القسمة R → R / I هي مثالي يمينيًا لا يساوي R ويحتوي I بشكل صحيح . لذلك، فإن I ليس أعظميًا. على العكس من ذلك، إذا لم يكن I أعظميًا، فإنه يوجد مثالي يمينيًا J يحتوي I بشكل صحيح . تطبيق القسمة R / I → R / J له نواة غير صفرية لا تساوي R / I ، وبالتالي فإن R / I ليس بسيطًا.

كل وحدة نمطية بسيطة على R متماثلة مع خارج قسمة R / m ، حيث m مثالي أيمن أقصى في R. ^{[ 1 ]} بناءً على الفقرة السابقة، فإن أي خارج قسمة R / m هو وحدة نمطية بسيطة. على العكس، لنفترض أن M وحدة نمطية بسيطة على R. عندئذٍ، لأي عنصر غير صفري x في M ، يجب أن تساوي الوحدة النمطية الجزئية الدورية xR تساوي M. لنثبت x . إن العبارة xR = M مكافئة لشمولية التشاكل R → M الذي يرسل r إلى xr . نواة هذا التشاكل هي مثالي أيمن I في R ، وتنص نظرية قياسية على أن M متماثلة مع R / I. بناءً على الفقرة السابقة، نجد أن I مثالي أيمن أقصى. لذلك، فإن M متماثلة مع خارج قسمة R على مثالي أيمن أقصى.

إذا كان k حقلاً و G زمرة ، فإن تمثيل الزمرة لـ G هو وحدة نمطية يسارية فوق حلقة الزمرة k [ G ] (للمزيد من التفاصيل، انظر الصفحة الرئيسية حول هذه العلاقة ). ^{[ 2 ]} تُعرف الوحدات النمطية البسيطة k [ G ] أيضًا بالتمثيلات غير القابلة للاختزال . يتمثل أحد الأهداف الرئيسية لنظرية التمثيل في فهم التمثيلات غير القابلة للاختزال للزمر.

الوحدات البسيطة هي تحديداً الوحدات ذات الطول 1؛ هذه إعادة صياغة للتعريف.

كل وحدة بسيطة غير قابلة للتجزئة ، ولكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام.

كل وحدة نمطية بسيطة هي وحدة نمطية دورية ، أي أنها تتولد من عنصر واحد.

لا تحتوي كل وحدة نمطية على وحدة نمطية فرعية بسيطة؛ على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الوحدة النمطية Z في ضوء المثال الأول أعلاه.

ليكن M و N وحدتين نمطيتين (يسارية أو يمينية) على نفس الحلقة، وليكن f  : M → N تشاكلًا نمطيًا. إذا كانت M بسيطة، فإن f إما تشاكل صفري أو أحادي لأن نواة f هي وحدة نمطية جزئية من M. إذا كانت N بسيطة، فإن f إما تشاكل صفري أو شامل لأن صورة f هي وحدة نمطية جزئية من N. إذا كانت M = N ، فإن f تشاكل داخلي لـ M ، وإذا كانت M بسيطة، فإن العبارتين السابقتين تستلزمان أن f إما تشاكل صفري أو تماثل. بالتالي، فإن حلقة التشاكلات الداخلية لأي وحدة نمطية بسيطة هي حلقة قسمة . تُعرف هذه النتيجة باسم مبرهنة شور .

إن عكس مبرهنة شور ليس صحيحًا بشكل عام. على سبيل المثال، فإن وحدة Z - module Q ليست بسيطة، لكن حلقة التشكل الداخلي الخاصة بها متماثلة مع الحقل Q.

إذا كانت M وحدة نمطية تحتوي على وحدة نمطية فعلية غير صفرية N ، فإنه يوجد تسلسل تام قصير

${\displaystyle 0\to N\to M\to M/N\to 0.}$

تتمثل إحدى الطرق الشائعة لإثبات حقيقة ما حول M في إظهار أن هذه الحقيقة صحيحة بالنسبة للحد الأوسط لمتتالية تامة قصيرة عندما تكون صحيحة بالنسبة للحدين الأيسر والأيمن، ثم إثبات هذه الحقيقة بالنسبة لـ N و M / N. إذا كان لـ N وحدة فرعية فعلية غير صفرية، فيمكن تكرار هذه العملية. ينتج عن ذلك سلسلة من الوحدات الفرعية.

${\displaystyle \cdots \subset M_{2}\subset M_{1}\subset M.}$

لإثبات هذه الحقيقة بهذه الطريقة، نحتاج إلى شروط على هذه المتتالية وعلى الوحدات النمطية M _{_i} / M _{_{i +1}} . أحد الشروط المفيدة بشكل خاص هو أن يكون طول المتتالية محدودًا وأن تكون كل وحدة نمطية خارج القسمة M _{_i} / M _{_{i +1}} بسيطة. في هذه الحالة، تُسمى المتتالية متسلسلة تركيب لـ M. لإثبات عبارة استقرائيًا باستخدام متسلسلة التركيب، تُثبت العبارة أولًا للوحدات النمطية البسيطة، التي تُشكل الحالة الأساسية للاستقراء، ثم يُثبت أن العبارة تظل صحيحة عند تمديد وحدة نمطية بوحدة نمطية بسيطة. على سبيل المثال، تُظهر مبرهنة فيتينغ أن حلقة التشاكلات الداخلية لوحدة نمطية غير قابلة للتحليل ذات طول محدود هي حلقة محلية ، وبالتالي فإن مبرهنة كرول-شميدت القوية صحيحة، وأن فئة الوحدات النمطية ذات الطول المحدود هي فئة كرول-شميدت .

تصف نظرية جوردان -هولدر ونظرية شراير للتنقيح العلاقات بين جميع سلاسل التركيب لوحدة نمطية واحدة. تتجاهل زمرة غروتينديك الترتيب في سلسلة التركيب، وتعتبر كل وحدة نمطية ذات طول محدود مجموعًا رسميًا لوحدات نمطية بسيطة. في الحلقات شبه البسيطة ، لا يُعد هذا خسارة، لأن كل وحدة نمطية هي وحدة نمطية شبه بسيطة ، وبالتالي مجموع مباشر لوحدات نمطية بسيطة. توفر نظرية الأحرف العادية تحكمًا حسابيًا أفضل، وتستخدم وحدات C G البسيطة لفهم بنية الزمر المنتهية G. تستخدم نظرية التمثيل النمطي أحرف براور للنظر إلى الوحدات النمطية على أنها مجاميع رسمية لوحدات نمطية بسيطة، ولكنها تهتم أيضًا بكيفية ربط هذه الوحدات النمطية البسيطة معًا ضمن سلاسل التركيب. يتم صياغة هذا رسميًا من خلال دراسة دالة Ext ووصف فئة الوحدات النمطية بطرق مختلفة، بما في ذلك الرسوم البيانية (التي تكون عقدها هي الوحدات النمطية البسيطة وحوافها هي سلاسل تركيب لوحدات نمطية غير شبه بسيطة بطول 2) ونظرية أوسلاندر-رايتن حيث يحتوي الرسم البياني المرتبط على رأس لكل وحدة نمطية غير قابلة للتحليل.

كان من أهم التطورات في نظرية الوحدات البسيطة نظرية كثافة جاكوبسون . وتنص نظرية كثافة جاكوبسون على ما يلي:

ليكن U وحدة نمطية يمينية بسيطة على R، وليكن D = End _R ( U ). ليكن A أي مؤثر خطي D على U ^، وليكن X مجموعة جزئية منتهية ومستقلة خطيًا D من U. عندئذٍ يوجد عنصر r من R بحيث يكون x ⋅ A = x ⋅ r لكل x في X. [ ^{3 ]}

على وجه الخصوص، يمكن اعتبار أي حلقة بدائية بمثابة (أي متماثلة مع) حلقة من المؤثرات الخطية D على بعض الفضاء D.

من نتائج نظرية كثافة جاكوبسون نظرية ويدربورن؛ وهي أن أي حلقة أرتينية بسيطة يمنى متماثلة مع حلقة مصفوفات كاملة من المصفوفات من الرتبة n × n فوق حلقة قسمة لبعض قيم n . ويمكن إثبات ذلك أيضًا كنتيجة لنظرية أرتين -ويدربورن .

• الوحدات شبه البسيطة هي وحدات يمكن كتابتها كمجموع وحدات فرعية بسيطة.
• مثال لا يُختزل
• التمثيل غير القابل للاختزال