Measure theory in topological vector spaces

Let ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ be two vector spaces in duality. A set of the form

${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X\colon (\langle x,f_{1}\rangle ,\dots ,\langle x,f_{n}\rangle )\in B\}}$

for ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ and ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in Y}$ is called a cylinder set and if ${\displaystyle B}$ is open, then it's an open cylinder set. The set of all cylinders is ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$ and the set of all open cylinders is ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O}}$. If one takes the product ${\displaystyle \otimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$, this only produces an algebra. The σ-algebra

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)=\sigma \left({\mathcal {Zyl}}(X,Y)\right)=\sigma \left(\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}\right)}$

is called the cylindrical σ-algebra.^[1] The sets of cylinders and the set of open cylinders generate the same cylindrical σ-algebra, i.e. ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}})=\sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O})}$.

For the weak topology${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ the cylindrical σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ is the Baire σ-algebra of ${\displaystyle (X,T_{s})}$.^[2] One uses the cylindrical σ-algebra because the Borel σ-algebra can lead to measurability problems in infinite-dimensional space. In connection with integrals of continuous functions it is difficult or even impossible to extend them to arbitrary borel sets.^[3] For non-separable spaces it can happen that the vector addition is no longer measurable to the product algebra of borel σ-algebras because in general ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)\subset {\mathcal {B}}(X\times Y)}$, however for the cylindrical σ-algebra one has ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\otimes {\mathcal {E}}(Y,Y')={\mathcal {E}}(X\times Y,X'\times Y')}$.^[4]

• Let ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ليكن فضاء متجهي طوبولوجي ولتكن${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$لتكن الطوبولوجيا الضعيفة، إذن${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$هو بالضبط جبر باير σ${\displaystyle (X,T_{s})}$[ ^{2 ]​}
• يترك${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$أن تكون فضاءً قابلاً للفصل والقياس ومحدبًا محليًا و${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$لتكن الطوبولوجيا الضعيفة. ثم${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$،${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$و${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$متكافئة بموجب${\displaystyle {\mathcal {T}}}$و${\displaystyle T_{s}}$[ ^{2 ]​}

يترك${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ليكن فضاء متجهي طوبولوجي على${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle X^{*}}$فضاءها الجبري المزدوج . علاوة على ذلك، ليكن${\displaystyle F}$ليكن فضاء متجهي للدوال الخطية على${\displaystyle X}$، إنه${\displaystyle F\subseteq X^{*}}$.

دالة المجموعة

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {Zyl}}(X,F)\to \mathbb {R} +}

يُطلق عليه اسم مقياس أسطواني إذا كان، لكل مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle G:=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subseteq F}$مع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، التقييد

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {E}}(X,G)\to \mathbb {R} +}

هي دالة جمعية من نوع سيجما، أي${\displaystyle \nu }$هو مقياس. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle \Gamma \subset X^{*}}$. مقياس أسطواني${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle X}$يقال إن لديه نظامًا ضعيفًا${\displaystyle p}$(أو أن يكون من النوع الضعيف)${\displaystyle p}$) إذا كان${\displaystyle p}$توجد لحظة ضعيفة من الرتبة n ، أي

${\displaystyle \int _{E}|\langle f,x\rangle |^{p}d\mu (f)<\infty }$

للجميع${\displaystyle f\in \Gamma }$[ ^{6 ]​}

كل مقياس رادون يُنتج مقياسًا أسطوانيًا، لكن العكس غير صحيح. ^{[ 7 ]} ليكن${\displaystyle E}$و${\displaystyle G}$ليكن فضاءان محدبان محليًا، إذن مؤثر${\displaystyle T:E\to G}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle (q,p)}$عامل تحويل الرادون، إذا كان ذلك لقياس أسطواني${\displaystyle \mu }$من النظام${\displaystyle q}$على${\displaystyle E}$قياس الصورة${\displaystyle T_{*}\mu }$هو مقياس رادون للنظام${\displaystyle p}$على${\displaystyle G}$[ ^{8 ] [ 9 ] [ 10 ]​}

هناك العديد من النتائج حول متى يمكن تمديد المقياس الأسطواني إلى مقياس رادون، مثل نظرية مينلوس ^{[ 11 ]} ونظرية سازونوف ^{[ 12 ]} .

يترك${\displaystyle A}$ليكن مجموعة جزئية متوازنة ومحدبة ومحدودة ومغلقة من فضاء محدب محليًا${\displaystyle E}$، ثم${\displaystyle E_{A}}$يشير إلى الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle E}$والتي يتم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle A}$مجموعة جزئية متوازنة ومحدبة ومحدودة${\displaystyle A}$فضاء هاوسدورف محدب محليًا${\displaystyle E}$تُسمى مجموعة هيلبرت إذا كانت فضاءات باناخ${\displaystyle E_{A}}$له بنية فضاء هيلبرت ، أي المعيار${\displaystyle \|\cdot \|_{E_{A}}}$ل${\displaystyle E_{A}}$يمكن استنتاجه من حاصل الضرب القياسي و${\displaystyle E_{A}}$مكتمل. ^{[ 13 ]}