فضاء المتجهات الطوبولوجي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 397 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ الفضاء الشعاعي الطوبولوجي (ويُسمى أيضًا الفضاء الشعاعي الخطي ، ويُختصر عادةً بـ TVS أو tvs ) أحد البنى الأساسية التي تُدرس في التحليل الوظيفي . الفضاء الشعاعي الطوبولوجي هو فضاء شعاعي يتميز بكونه فضاءً طوبولوجيًا ، حيث تكون عملياته (جمع المتجهات وضربها في عدد قياسي) دوالًا متصلة . تُسمى هذه الطوبولوجيا بالطوبولوجيا الشعاعية ، ولكل فضاء شعاعي طوبولوجي بنية طوبولوجية منتظمة ، مما يُتيح مفهومي التقارب المنتظم والكمال . يشترط بعض الباحثين أن يكون الفضاء فضاء هاوسدورف (مع أن هذه المقالة لا تشترط ذلك). من أكثر فئات الفضاءات الشعاعية الطوبولوجية دراسةً هي الفضاءات الشعاعية الطوبولوجية المحدبة محليًا . تُركز هذه المقالة على الفضاءات الشعاعية الطوبولوجية التي ليست بالضرورة محدبة محليًا. من الأمثلة الأخرى المعروفة للفضاءات الشعاعية الطوبولوجية فضاءات باناخ ، وفضاءات هيلبرت، وفضاءات سوبوليف .

العديد من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية هي فضاءات للدوال ، أو المؤثرات الخطية التي تعمل على الفضاءات المتجهة الطوبولوجية، وغالبًا ما يتم تعريف الطوبولوجيا بحيث تلتقط مفهومًا معينًا لتقارب متواليات الدوال.

في هذه المقالة، سيُفترض أن الحقل القياسي لفضاء متجهي طوبولوجي هو إما الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }أو الأعداد الحقيقيةR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}ما لم يُنص على خلاف ذلك بوضوح.

تحفيز

المساحات المعيارية

لكل فضاء متجهي معياري بنية طوبولوجية طبيعية : فالمعيار يُولّد مقياسًا ، والمقياس يُولّد طوبولوجيا. وهذا فضاء متجهي طوبولوجي لأن :

  1. خريطة جمع المتجهات⋅+⋅:X×X→X{\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}محدد بواسطة(x،y)↦x+y{\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}تكون متصلة (بشكل مشترك) بالنسبة لهذه الطوبولوجيا. وينتج هذا مباشرة من متباينة المثلث التي يحققها المعيار.
  2. خريطة الضرب القياسي⋅:ك×X→X{\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X} معرفة بواسطة(s،x)↦s⋅x،{\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}أينك{\displaystyle \mathbb {K} }هو الحقل القياسي الأساسي لـX،{\displaystyle X,}هي متصلة (بشكل مشترك). وينتج هذا من متباينة المثلث وتجانس المعيار.

وبالتالي فإن جميع فضاءات باناخ وفضاءات هيلبرت هي أمثلة على فضاءات المتجهات الطوبولوجية.

المساحات غير المعيارية

توجد فضاءات متجهة طوبولوجية لا تُستحث طوبولوجيتها بواسطة معيار، لكنها مع ذلك تحظى باهتمام في التحليل. من أمثلة هذه الفضاءات: فضاءات الدوال التحليلية على مجال مفتوح، وفضاءات الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود ، وفضاءات شوارتز ، وفضاءات دوال الاختبار وفضاءات التوزيعات عليها. [ 1 ] جميع هذه أمثلة على فضاءات مونتيل . فضاء مونتيل ذو الأبعاد اللانهائية غير قابل للتطبيع. يُحدد وجود معيار لفضاء متجه طوبولوجي معين بواسطة معيار كولموغوروف للتطبيع .

الحقل الطوبولوجي هو فضاء متجهي طوبولوجي فوق كل حقل فرعي من حقوله .

تعريف

تُحدد مجموعة من الجوارات حول نقطة الأصل، والتي تتمتع بالخاصيتين المذكورتين أعلاه، فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا بشكل فريد. ويتم الحصول على نظام الجوارات لأي نقطة أخرى في الفضاء المتجهي عن طريق الإزاحة .

فضاء متجهي طوبولوجي ( TVS )X{\displaystyle X}هو فضاء متجهي فوق حقل طوبولوجيك{\displaystyle \mathbb {K} }(غالبًا ما تكون الأعداد الحقيقية أو المركبة مع بنيتها الطوبولوجية القياسية) التي تتمتع ببنية طوبولوجية بحيث يكون جمع المتجهات⋅+⋅:X×X→X{\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}والضرب القياسي⋅:ك×X→X{\displaystyle \cdot الدوال {\mathbb {K} \times X\to X} هي دوال متصلة (حيث تكون مجالات هذه الدوال مزودة بطوبولوجيات ضربية ). تسمى هذه الطوبولوجيا بـطوبولوجيا المتجهات أو أمخطط شبكة TVSX.{\displaystyle X.}

كل فضاء متجهي طوبولوجي هو أيضًا مجموعة طوبولوجية تبديلية تحت عملية الجمع.

افتراض هاوسدورف

يشترط العديد من المؤلفين (على سبيل المثال، والتر رودين )، ولكن ليس هذه الصفحة، وجود بنية طوبولوجية علىX{\displaystyle X}لكي يكون T 1 ؛ يترتب على ذلك أن الفضاء هو فضاء هاوسدورف ، بل وحتى فضاء تيكونوف . يُقال إن الفضاء المتجهي الطوبولوجي هومنفصلة إذا كانت من نوع هاوسدورف؛ ومن المهم ملاحظة أن "منفصلة" لا تعنيقابلة للفصل. يمكن ربط البنيتين الطوبولوجية والجبرية الخطية معًا بشكل أوثق بافتراضات إضافية، وأكثرها شيوعًا مذكورةأدناه.

الفئات والتشكلات

فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية على حقل طوبولوجي معينك{\displaystyle \mathbb {K} }يُشار إليه عادةً بـتيVSك{\displaystyle \mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }}أوتيVهـجتك.{\displaystyle \mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.}الكائنات هي فضاءات المتجهات الطوبولوجية علىك{\displaystyle \mathbb {K} }والتشاكلات هي متصلة​ك{\displaystyle \mathbb {K} }-الخرائط الخطية من كائن إلى آخر.

أتماثل الفضاء المتجهي الطوبولوجي (مختصر)تماثل TVS )، ويسمى أيضًاالتشاكل الطوبولوجي ، [ 2 ] [ 3 ] هوتطبيق خطيمتصلu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية (TVSs) بحيث تكون الخريطة المستحثةu:X→أنا⁡u{\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}هي خريطة مفتوحة عندماأنا⁡u:=u(X)،{\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}وهو نطاق أو صورةu،{\displaystyle u,}يتم إعطاء طوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة بواسطةY.{\displaystyle Y.}

أتضمين الفضاء المتجهي الطوبولوجي (مختصر)تضمين TVS )، ويسمى أيضًاالتشاكل الطوبولوجي الأحادي هوحقني. وبالمثل، فإن تضمين TVS هو تطبيق خطي هو أيضًاتضمين طوبولوجي. [ 2 ]

أتماثل الفضاء المتجهي الطوبولوجي (مختصر)تماثل TVS )، ويسمى أيضًاالتشاكل الشعاعي الطوبولوجي [ 4 ] أوالتشاكل في فئة TVSs هوتشاكلخطي . وبصورة مكافئة، هوتضمين TVSشامل [ 2 ].

العديد من خصائص TVSs التي تمت دراستها، مثل التحدب المحلي ، وقابلية القياس ، والكمال ، والتطبيع ، ثابتة تحت تماثلات TVS.

شرط ضروري لطوبولوجيا المتجهات

مجموعةشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}يُطلق على مجموعة جزئية من فضاء متجه اسم المجموعة الجمعية [ 5 ] إذا كان لكلشمال∈شمال،{\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}يوجد بعضيو∈شمال{\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}بحيثيو+يو⊆شمال.{\displaystyle U+U\subseteq N.}

توصيف استمرارية الجمع عند0{\displaystyle 0}[ 5 ] —إذا(X،+){\displaystyle (X,+)}هي مجموعة (كما هو الحال مع جميع الفضاءات المتجهة)،τ{\displaystyle \tau }هي طوبولوجيا علىX،{\displaystyle X,}وX×X{\displaystyle X\times X}إذا كانت مزودة بطوبولوجيا الضرب ، فإن خريطة الجمعX×X→X{\displaystyle X\times X\to X}(محدد بواسطة(x،y)↦x+y{\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}) متصلة عند نقطة الأصلX×X{\displaystyle X\times X}إذا وفقط إذا كانت مجموعة جوارات الأصل في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}وهي إضافة. وتبقى هذه العبارة صحيحة إذا تم استبدال كلمة "neighborhood" بـ "open neighborhood".

وبالتالي، فإن جميع الشروط المذكورة أعلاه ضرورية لكي تشكل الطوبولوجيا طوبولوجيا متجهة.

تحديد البنى الطوبولوجية باستخدام جوارات الأصل

بما أن كل طوبولوجيا متجهة ثابتة تحت الإزاحة (مما يعني أنه بالنسبة لجميعx0∈X،{\displaystyle x_{0}\in X,}الخريطةX→X{\displaystyle X\to X}محدد بواسطةx↦x0+x{\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}(هو تماثل تماثلي )، لتحديد طوبولوجيا متجهة يكفي تحديد أساس الجوار (أو الأساس الفرعي) لها عند الأصل.

النظرية [ 6 ] (مرشح الجوار للأصل) — لنفترض أن X{\displaystyle X}هو فضاء متجهي حقيقي أو مركب. إذاب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هي مجموعة إضافية غير فارغة من مجموعات فرعية متوازنة وممتصة منX{\displaystyle X}ثمب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هي قاعدة محلية في0{\displaystyle 0}للحصول على طوبولوجيا متجهة علىX.{\displaystyle X.}أي أن الافتراضات هي أنب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هي قاعدة تصفية تستوفي الشروط التالية:

  1. كلب∈ب{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}متوازن وجذاب ،​​
  2. ب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هي خاصية تراكمية: لكلب∈ب{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}يوجديو∈ب{\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}بحيثيو+يو⊆ب،{\displaystyle U+U\subseteq B,}

لوب{\displaystyle {\mathcal {B}}}إذا استوفى الشرطين المذكورين أعلاه ولكنه ليس قاعدة ترشيح، فإنه سيشكل قاعدة فرعية مجاورة عند0{\displaystyle 0}(بدلاً من أساس الجوار) لطوبولوجيا متجهة علىX.{\displaystyle X.}

بشكل عام، فإن مجموعة جميع المجموعات الجزئية المتوازنة والممتصة لفضاء متجهي لا تحقق شروط هذه النظرية ولا تشكل أساسًا للجوار عند نقطة الأصل لأي طوبولوجيا متجهة. [ 5 ]

تحديد البنى باستخدام السلاسل النصية

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاءً متجهيًا ولتكنيو∙=(يوأنا)أنا=1∞{\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}لتكن سلسلة من المجموعات الفرعية منX.{\displaystyle X.}كل مجموعة في التسلسليو∙{\displaystyle U_{\bullet }}يُطلق عليه اسمعقدة منيو∙{\displaystyle U_{\bullet }}ولكل مؤشرأنا،{\displaystyle i,}يوأنا{\displaystyle U_{i}}يُطلق عليه اسمأنا{\displaystyle i}العقدة رقم - منيو∙.{\displaystyle U_{\bullet }.}المجموعةيو1{\displaystyle U_{1}}يُطلق عليه بدايةيو∙.{\displaystyle U_{\bullet }.}التسلسليو∙{\displaystyle U_{\bullet }}is/is a: [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

  • تجميعي إذايوأنا+1+يوأنا+1⊆يوأنا{\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}لكل فهرسأنا.{\displaystyle i.}
  • متوازن (أو ماص ، مغلق ، [ ملاحظة 1 ] محدب ، مفتوح ، متناظر ، برميلي ، محدب/قرصي مطلق ، إلخ) إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لكليوأنا.{\displaystyle U_{i}.}
  • سلسلة إذايو∙{\displaystyle U_{\bullet }}هو شامل، ومُستوعب، ومتوازن.
  • سلسلة طوبولوجية أو أسلسلة محلية في تلفزيونX{\displaystyle X}لويو∙{\displaystyle U_{\bullet }}هو خيط، وكل عقدة من عقده تمثل جوارًا للأصل فيX.{\displaystyle X.}

لويو{\displaystyle U}قرص ماص في فضاء متجهيX{\displaystyle X}ثم التسلسل المحدد بواسطةيوأنا:=21-أنايو{\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}يشكل سلسلة تبدأ بـيو1=يو.{\displaystyle U_{1}=U.}يُطلق على هذا اسم السلسلة الطبيعية لـيو{\displaystyle U}[ 7 ] علاوة على ذلك، إذا كان فضاء متجهيX{\displaystyle X}إذا كان للسلسلة بُعد قابل للعد، فإن كل سلسلة تحتوي على سلسلة محدبة مطلقاً .

تتميز المتتاليات التجميعية للمجموعات بخاصية مميزة، وهي أنها تُعرّف دوالًا فرعية جمعية حقيقية متصلة غير سالبة . ويمكن استخدام هذه الدوال لإثبات العديد من الخصائص الأساسية للفضاءات المتجهة الطوبولوجية.

نظرية ( R{\displaystyle \mathbb {R} }دالة ذات قيم مُستحثة بواسطة سلسلة نصية) — ليكنيو∙=(يوأنا)أنا=0∞{\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}لتكن مجموعة من المجموعات الجزئية من فضاء متجهي بحيث0∈يوأنا{\displaystyle 0\in U_{i}}ويوأنا+1+يوأنا+1⊆يوأنا{\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}للجميعأنا≥0.{\displaystyle i\geq 0.}للجميعu∈يو0،{\displaystyle u\in U_{0},}يتركS(u):={ن∙=(ن1،...،نك) : ك≥1،نأنا≥0 للجميع أنا، و u∈يون1+⋯+يونك}.{\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ لجميع }}i,{\text{ و }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}

يُعرِّفو:X→[0،1]{\displaystyle f:X\to [0,1]}بواسطةو(x)=1{\displaystyle f(x)=1}لوx∉يو0{\displaystyle x\not \in U_{0}}وإلا فليكنو(x):=معلومات{2-ن1+⋯2-نك : ن∙=(ن1،...،نك)∈S(x)}.{\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}

ثمو{\displaystyle f}هي شبه جمعية (بمعنىو(x+y)≤و(x)+و(y){\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}للجميعx،y∈X{\displaystyle x,y\in X}) وو=0{\displaystyle f=0}على⋂أنا≥0يوأنا؛{\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}لذا على وجه الخصوص،و(0)=0.{\displaystyle f(0)=0.}إذا كان كل شيءيوأنا{\displaystyle U_{i}}إذا كانت المجموعات متناظرةو(-x)=و(x){\displaystyle f(-x)=f(x)}وإذا كان كل شيءيوأنا{\displaystyle U_{i}}ثم تكون متوازنةو(sx)≤و(x){\displaystyle f(sx)\leq f(x)}لجميع الكميات القياسيةs{\displaystyle s}بحيث|s|≤1{\displaystyle |s|\leq 1}وكل شيءx∈X.{\displaystyle x\in X.}لوX{\displaystyle X}هو فضاء متجهي طوبولوجي، وإذا كان كليوأنا{\displaystyle U_{i}}هل الأحياء الأصلية إذنو{\displaystyle f}متصلة، حيث إذا بالإضافة إلى ذلكX{\displaystyle X}هو هاوسدورف ويو∙{\displaystyle U_{\bullet }}يشكل أساسًا للأحياء المتوازنة للأصل فيX{\displaystyle X}ثمد(x،y):=و(x-y){\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}هو مقياس يحدد طوبولوجيا المتجهات علىX.{\displaystyle X.}

تم تقديم برهان على النظرية المذكورة أعلاه في المقالة المتعلقة بالفضاءات المتجهة الطوبولوجية القابلة للقياس .

لويو∙=(يوأنا)أنا∈شمال{\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}وV∙=(Vأنا)أنا∈شمال{\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}هما مجموعتان من المجموعات الجزئية لفضاء متجهيX{\displaystyle X}وإذاs{\displaystyle s}إذا كان عددًا قياسيًا، فبحسب التعريف: [ 7 ]

  • V∙{\displaystyle V_{\bullet }}يتضمنيو∙{\displaystyle U_{\bullet }}: يو∙⊆V∙{\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}إذا وفقط إذايوأنا⊆Vأنا{\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}لكل فهرسأنا.{\displaystyle i.}
  • مجموعة من العقد : العقد⁡يو∙:={يوأنا:أنا∈شمال}.{\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}
  • النواة : كير⁡يو∙:=⋂أنا∈شماليوأنا.{\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}
  • مضاعف عددي : sيو∙:=(sيوأنا)أنا∈شمال.{\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}
  • مجموع : يو∙+V∙:=(يوأنا+Vأنا)أنا∈شمال.{\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}
  • تقاطع : يو∙∩V∙:=(يوأنا∩Vأنا)أنا∈شمال.{\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}

لوS{\displaystyle \mathbb {S} }هي مجموعة من تسلسلات المجموعات الفرعية منX،{\displaystyle X,}ثمS{\displaystyle \mathbb {S} }يُقال إنها موجهة ( إلى الأسفل ) في حالة التضمين أو ببساطة موجهة إلى الأسفل إذاS{\displaystyle \mathbb {S} }ليس فارغًا وللجميعيو∙،V∙∈S،{\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}يوجد بعضدبليو∙∈S{\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }بحيثدبليو∙⊆يو∙{\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}ودبليو∙⊆V∙{\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}(بمعنى آخر، إذا وفقط إذاS{\displaystyle \mathbb {S} }هو مرشح أولي فيما يتعلق بالاحتواء⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}(كما هو موضح أعلاه).

الترميز : ليكنالعقد⁡S:=⋃يو∙∈Sالعقد⁡يو∙{\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }} لتكن مجموعة جميع العقد لجميع الأوتار فيS.{\displaystyle \mathbb {S} .}

يُعد تعريف طوبولوجيا المتجهات باستخدام مجموعات من السلاسل مفيدًا بشكل خاص لتعريف فئات TVSs التي ليست بالضرورة محدبة محليًا.

النظرية [ 7 ] (الطوبولوجيا المستحثة بواسطة الأوتار) — إذا (X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كان فضاء متجهًا طوبولوجيًا، فإنه توجد مجموعةS{\displaystyle \mathbb {S} }[ البرهان 1 ] لسلاسل الجوار فيX{\displaystyle X}أي موجهة للأسفل بحيث تكون مجموعة جميع عقد جميع الخيوط فيS{\displaystyle \mathbb {S} }يُعد أساس الجوار عند نقطة الأصل لـ(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}يقال إن مثل هذه المجموعة من الأوتار هيτ{\displaystyle \tau }أساسي .

على العكس من ذلك، إذاX{\displaystyle X}هو فضاء متجهي وإذاS{\displaystyle \mathbb {S} }هي مجموعة من السلاسل فيX{\displaystyle X}أي موجه للأسفل، ثم المجموعةالعقد⁡S{\displaystyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} }من جميع العقد في جميع الخيوط فيS{\displaystyle \mathbb {S} }يشكل أساسًا للجوار عند نقطة الأصل لطوبولوجيا متجهة علىX.{\displaystyle X.}في هذه الحالة، يُشار إلى هذه البنية الطوبولوجية بـτS{\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }}ويُطلق عليها اسم الطوبولوجيا المتولدة بواسطةS.{\displaystyle \mathbb {S} .}

لوS{\displaystyle \mathbb {S} }هي مجموعة جميع السلاسل الطوبولوجية في TVS(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}ثمτS=τ.{\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}[ 7 ] يكون فضاء هاوسدورف الطوبولوجيقابلاً للقياسإذا وفقط إذاكان من الممكن استنتاج طوبولوجيته بواسطة سلسلة طوبولوجية واحدة. [ 10 ]

البنية الطوبولوجية

الفضاء المتجهي هو زمرة تبديلية بالنسبة لعملية الجمع، وفي الفضاء المتجهي الطوبولوجي تكون العملية العكسية متصلة دائمًا (لأنها تُعادل الضرب في-1{\displaystyle -1}وبالتالي، فإن كل فضاء متجهي طوبولوجي هو زمرة طوبولوجية أبيلية . كل فضاء متجهي طوبولوجي منتظم تمامًا، ولكن ليس بالضرورة أن يكون فضاء متجهي طوبولوجي طبيعيًا . [ 11 ]

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا. بالنظر إلى فضاء جزئيم⊆X،{\displaystyle M\subseteq X,}فضاء القسمةX/م{\displaystyle X/M}تكون فضاءات المتجهات الطوبولوجية هاوسدورف ذات طوبولوجيا القسمة المعتادة إذا وفقط إذام{\displaystyle M}مغلق. [ ملاحظة 2 ] وهذا يسمح بالبناء التالي: بالنظر إلى فضاء متجهي طوبولوجيX{\displaystyle X}(وهذا على الأرجح ليس هاوسدورف)، شكل فضاء القسمةX/م{\displaystyle X/M}أينم{\displaystyle M}هل إغلاق{0}.{\displaystyle \{0\}.}X/م{\displaystyle X/M}إذن، هو فضاء متجهي طوبولوجي هاوسدورف يمكن دراسته بدلاً منX.{\displaystyle X.}

ثبات طوبولوجيا المتجهات

من أكثر خصائص طوبولوجيا المتجهات استخدامًا أن كل طوبولوجيا متجهة هيثابت الترجمة :

للجميعx0∈X،{\displaystyle x_{0}\in X,}الخريطةX→X{\displaystyle X\to X}محدد بواسطةx↦x0+x{\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}هو تماثل شكلي ، ولكن إذاx0≠0{\displaystyle x_{0}\neq 0}إذن فهو ليس خطيًا وبالتالي ليس تماثلًا من نوع TVS.

الضرب القياسي بعدد قياسي غير صفري هو تماثل TVS. هذا يعني أنه إذاs≠0{\displaystyle s\neq 0}ثم الخريطة الخطيةX→X{\displaystyle X\to X}محدد بواسطةx↦sx{\displaystyle x\mapsto sx}هو تماثل شكلي. باستخدامs=-1{\displaystyle s=-1}ينتج خريطة النفيX→X{\displaystyle X\to X}محدد بواسطةx↦-x،{\displaystyle x\mapsto -x,}وبالتالي فهو تماثل خطي وبالتالي تماثل TVS.

لوx∈X{\displaystyle x\in X}وأي مجموعة فرعيةS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}ثمclX⁡(x+S)=x+clX⁡S{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}[ 6 ] وعلاوة على ذلك، إذا0∈S{\displaystyle 0\in S}ثمx+S{\displaystyle x+S}هو حي (أو حي مفتوح، أو حي مغلق) منx{\displaystyle x}فيX{\displaystyle X}إذا وفقط إذا كان الأمر نفسه ينطبق علىS{\displaystyle S}في الأصل.

المفاهيم المحلية

مجموعة فرعيةهـ{\displaystyle E}فضاء متجهيX{\displaystyle X}يقال إنه

  • امتصاص (فيX{\displaystyle X}): إذا لكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}يوجد حقيقير>0{\displaystyle r>0}بحيثجx∈هـ{\displaystyle cx\in E}لأي كمية قياسيةج{\displaystyle c}مُرضٍ|ج|≤ر.{\displaystyle |c|\leq r.}[ 12 ]
  • متوازن أو محاط بدائرة : إذاتهـ⊆هـ{\displaystyle tE\subseteq E}لكل عدد قياسي|ت|≤1.{\displaystyle |t|\leq 1.}[ 12 ]
  • محدب : إذاتهـ+(1-ت)هـ⊆هـ{\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}لكل حقيقي0≤ت≤1.{\displaystyle 0\leq t\leq 1.}[ 12 ]
  • قرص أو محدب تمامًا : إذاهـ{\displaystyle E}محدب ومتوازن.
  • متناظر : إذا-هـ⊆هـ،{\displaystyle -E\subseteq E,}أو ما يعادل ذلك، إذا-هـ=هـ.{\displaystyle -E=E.}

كل جوار للأصل هو مجموعة ممتصة ويحتوي على جوار مفتوح متوازن من0{\displaystyle 0}[ 6 ] لذلك، فإن كل فضاء متجهي طوبولوجي له قاعدة محلية منمجموعات ماصة ومتوازنة. حتى أن نقطة الأصل لها قاعدة جوار تتكون من جوارات مغلقة ومتوازنة من0؛{\displaystyle 0;}إذا كان الفضاء محدبًا محليًا، فإنه يحتوي أيضًا على أساس جوار يتكون من جوارات محدبة مغلقة ومتوازنة للأصل.

المجموعات الجزئية المحدودة

مجموعة فرعيةهـ{\displaystyle E}فضاء متجهي طوبولوجيX{\displaystyle X}تكون محدودة [ 13 ] إذا كان لكل جوارV{\displaystyle V}يوجد أصلت{\displaystyle t}بحيثهـ⊆تV{\displaystyle E\subseteq tV}.

يمكن تخفيف تعريف التقييد قليلاً؛هـ{\displaystyle E}تكون المجموعة محدودة إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية قابلة للعد منها محدودة. وتكون المجموعة محدودة إذا وفقط إذا كانت كل متتالية جزئية منها مجموعة محدودة. [ 14 ] كذلك،هـ{\displaystyle E}تكون محدودة إذا وفقط إذا كان لكل جوار متوازنV{\displaystyle V}من الأصل، يوجدت{\displaystyle t}بحيثهـ⊆تV.{\displaystyle E\subseteq tV.}

علاوة على ذلك، عندماX{\displaystyle X}إذا كانت محدبة محليًا، فيمكن وصف محدوديتها بواسطة المعايير الجزئية : المجموعة الجزئيةهـ{\displaystyle E}تكون محدودة إذا وفقط إذا كان كل شبه معيار مستمرص{\displaystyle p}يحدهاهـ.{\displaystyle E.}[ 15 ]

كل مجموعة محدودة تمامًا تكون محدودة. [ 14 ] إذام{\displaystyle M}هو فضاء متجهي فرعي من فضاء متجهيX،{\displaystyle X,}ثم مجموعة فرعية منم{\displaystyle M}محصور فيم{\displaystyle M}إذا وفقط إذا كانت محدودة فيX.{\displaystyle X.}[ 14 ]

قابلية القياس

نظرية بيركوف-كاكوتاني – إذا(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كانت فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا، فإن الشروط الأربعة التالية متكافئة: [ 16 ] [ ملاحظة 3 ]

  1. الأصل{0}{\displaystyle \{0\}}مغلق فيX{\displaystyle X}وهناك أساس قابل للعد للأحياء عند نقطة الأصل فيX.{\displaystyle X.}
  2. (X،τ){\displaystyle (X,\tau )}قابل للقياس (كفضاء طوبولوجي).
  3. يوجد مقياس ثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}ذلك يحفزX{\displaystyle X}الطوبولوجياτ،{\displaystyle \tau ,}وهي الطوبولوجيا المعطاة علىX.{\displaystyle X.}
  4. (X،τ){\displaystyle (X,\tau )}هو فضاء متجهي طوبولوجي قابل للقياس . [ ملاحظة 4 ]

وبحسب نظرية بيركوف-كاكتاني، يترتب على ذلك وجود مقياس مكافئ غير متغير تحت الإزاحة.

تكون فضاءات التباين المكاني قابلة للقياس الزائف إذا وفقط إذا كان لها أساس جوار قابل للعد عند نقطة الأصل، أو ما يعادل ذلك، إذا وفقط إذا كانت طوبولوجيتها مولدة بواسطة شبه معيار F. وتكون فضاءات التباين المكاني قابلة للقياس إذا وفقط إذا كانت هاوسدورف وقابلة للقياس الزائف.

بتعبير أدق: يُقال إن الفضاء المتجهي الطوبولوجي قابل للتطبيع إذا أمكن استنتاج طوبولوجيته بواسطة معيار. ويكون الفضاء المتجهي الطوبولوجي قابلاً للتطبيع إذا وفقط إذا كان هاوسدورف وله جوار محدب ومحدود حول نقطة الأصل. [ 17 ]

يتركك{\displaystyle \mathbb {K} }ليكن حقلاً طوبولوجياً غير منفصل ومتراص محلياً ، على سبيل المثال الأعداد الحقيقية أو المركبة. فضاء متجهي طوبولوجي هاوسدورف علىك{\displaystyle \mathbb {K} }تكون المجموعة متراصة محليًا إذا وفقط إذا كانت ذات أبعاد منتهية ، أي متماثلة معكن{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}لبعض الأعداد الطبيعيةن.{\displaystyle n.}[ 18 ]

اكتمال وبنية موحدة

التوحيد المتعارف عليه [ 19 ] على TVS(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إنها خاصية التوحيد الفريدة غير المتغيرة تحت الإزاحة التي تُنتج الطوبولوجياτ{\displaystyle \tau }علىX.{\displaystyle X.}

يُفترض أن كل فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) يتمتع بهذا التوحيد المتعارف عليه، مما يجعل جميع فضاءات TVS فضاءات موحدة . وبالتالي، فإن هذا يُضفي معنىً على المفاهيم ذات الصلة مثل الاكتمال ، والتقارب الموحد ، وشبكات كوشي، والاستمرارية الموحدة ، وما إلى ذلك، والتي يُفترض دائمًا أنها مرتبطة بهذا التوحيد (إلا إذا ذُكر خلاف ذلك). وهذا يعني أن كل فضاء متجهي طوبولوجي هاوسدورف هو فضاء تيكونوف . [ 20 ] تكون المجموعة الجزئية من فضاء TVS متراصة إذا وفقط إذا كانت كاملة ومحدودة كليًا (بالنسبة لفضاءات TVS الهاوسدورفية، فإن كون المجموعة محدودة كليًا يُكافئ كونها شبه متراصة ). ولكن إذا لم يكن فضاء TVS هاوسدورفيًا، فستوجد مجموعات جزئية متراصة غير مغلقة. ومع ذلك، فإن إغلاق مجموعة جزئية متراصة من فضاء TVS غير هاوسدورفي يكون متراصًا أيضًا (لذا فإن المجموعات الجزئية المتراصة تكون متراصة نسبيًا ).

فيما يتعلق بهذا التوحيد، فإن الشبكة (أو التسلسل )x∙=(xأنا)أنا∈أنا{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}تكون كوشي إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا لكل حيV{\displaystyle V}ل0،{\displaystyle 0,}يوجد فهرس مان{\displaystyle n}بحيثxأنا-xج∈V{\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}حينماأنا≥ن{\displaystyle i\geq n}وج≥ن.{\displaystyle j\geq n.}

كل متتالية كوشي محدودة، مع أن شبكات كوشي ومرشحات كوشي قد لا تكون محدودة. يُطلق على الفضاء المتجهي الطوبولوجي الذي تتقارب فيه كل متتالية كوشي اسم الفضاء المتسلسل الكامل ؛ وبشكل عام، قد لا يكون كاملاً (بمعنى أن جميع مرشحات كوشي تتقارب).

عملية الجمع في الفضاء المتجهي متصلة بانتظام وهي دالة مفتوحة . أما الضرب القياسي فهو متصل وفقًا لمعيار كوشي، ولكنه عمومًا نادرًا ما يكون متصلًا بانتظام. ولهذا السبب، يمكن إكمال أي فضاء متجهي طوبولوجي، وبالتالي فهو فضاء جزئي خطي كثيف من فضاء متجهي طوبولوجي كامل .

  • لكل نظام TVS اكتمال، ولكل نظام TVS هاوسدورف اكتمال هاوسدورف. [ 6 ] كل نظام TVS (حتى تلك التي هي هاوسدورف و/أو كاملة) لها عدد لا نهائي من الاكتمالات غير المتماثلة وغير الهاوسدورفية.
  • تُعتبر المجموعة الجزئية المدمجة من فضاء التباين المكاني (ليس بالضرورة فضاء هاوسدورف) مجموعة كاملة. [ 21 ] وتُعتبر المجموعة الجزئية الكاملة من فضاء هاوسدورف للتباين المكاني مجموعة مغلقة. [ 21 ]
  • لوج{\displaystyle C}إذا كانت مجموعة جزئية كاملة من مجموعة TVS، فإن أي مجموعة جزئية منج{\displaystyle C}مغلق فيج{\displaystyle C}مكتمل. [ 21 ]
  • مشهد من فيلم كوشي في تلفزيون هاوسدورفX{\displaystyle X}ليس بالضرورة أن يكون مضغوطًا نسبيًا (أي أن إغلاقه فيX{\displaystyle X}(ليس بالضرورة أن يكون مضغوطًا).
  • إذا كان مرشح كوشي في جهاز TVS يحتوي على نقطة تراكمx{\displaystyle x}ثم يتقارب إلىx.{\displaystyle x.}
  • إذا كانت سلسلة∑أنا=1∞xأنا{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}يتقارب [ ملاحظة 5 ] في TVSX{\displaystyle X}ثمx∙→0{\displaystyle x_{\bullet }\to 0}فيX.{\displaystyle X.}[ 22 ]

أمثلة

أدق وأخشن طوبولوجيا متجهة

يتركX{\displaystyle X}أن يكون فضاء متجه حقيقي أو مركب.

الطوبولوجيا التافهة

الطوبولوجيا التافهة أو الطوبولوجيا غير المنفصلة{X،∅}{\displaystyle \{X,\varnothing \}}تُعتبر دائمًا طوبولوجيا TVS على أي فضاء متجهيX{\displaystyle X}وهي أدق بنية ممكنة لـ TVS. ومن النتائج المهمة لذلك أن تقاطع أي مجموعة من بنيات TVS علىX{\displaystyle X}يحتوي دائمًا على طوبولوجيا TVS. أي فضاء متجهي (بما في ذلك الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية) مزود بالطوبولوجيا التافهة هو فضاء متجهي طوبولوجي متراص (وبالتالي متراص محليًا ) كامل قابل للقياس الزائف وشبه معياري ومحدب محليًا . وهو فضاء هاوسدورف إذا وفقط إذاخافت⁡X=0.{\displaystyle \dim X=0.}

أفضل تصميم متجهي

توجد بنية TVSτو{\displaystyle \tau _{f}}علىX،{\displaystyle X,}يُطلق عليه اسمأفضل تصميم طوبولوجيا متجهة علىX،{\displaystyle X,}هذا أدق من أي بنية TVS أخرى علىX{\displaystyle X}(أي، أي بنية TVS علىX{\displaystyle X}هي بالضرورة مجموعة فرعية منτو{\displaystyle \tau _{f}}). [ 23 ] [ 24 ] كل خريطة خطية من(X،τو){\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}الانتقال إلى متغير تلفزيوني آخر يكون بالضرورة مستمراً. إذاX{\displaystyle X}إذا كان له أساس هامل غير قابل للعد،τو{\displaystyle \tau _{f}}ليست محدبة محليًا وليست قابلة للقياس . [ 24 ]

منتجات ديكارتية

إنّ حاصل الضرب الديكارتي لمجموعة من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية، عند تزويدها بطوبولوجيا الضرب ، هو فضاء متجه طوبولوجي. لنأخذ على سبيل المثال المجموعةX{\displaystyle X}من بين جميع الوظائفو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }أينR{\displaystyle \mathbb {R} }تحمل هذه المجموعة بنيتها الطوبولوجية الإقليدية المعتادة.X{\displaystyle X}هو فضاء متجهي حقيقي (حيث يتم تعريف الجمع والضرب القياسي نقطيًا، كالمعتاد) يمكن تحديده مع (بل غالبًا ما يُعرَّف على أنه) الضرب الديكارتيRR،{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}والتي تحمل بنية المنتج الطبيعي . مع بنية المنتج هذه،X:=RR{\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}يصبح فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا تُسمى طوبولوجيته طوبولوجيا التقارب النقطي علىR.{\displaystyle \mathbb {R} .}والسبب وراء هذه التسمية هو التالي: إذا(ون)ن=1∞{\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}هي سلسلة (أو بشكل أعم، شبكة ) من العناصر فيX{\displaystyle X}وإذاو∈X{\displaystyle f\in X}ثمون{\displaystyle f_{n}}يتقارب إلىو{\displaystyle f}فيX{\displaystyle X}إذا وفقط إذا كان لكل عدد حقيقيx،{\displaystyle x,}ون(x){\displaystyle f_{n}(x)}يتقارب إلىو(x){\displaystyle f(x)}فيR.{\displaystyle \mathbb {R} .} هذا الفضاء المتجهي كامل ، وهاوسدورف ، ومحدب محليًا ولكنه غير قابل للقياس وبالتالي غير قابل للتطبيع ؛ في الواقع، تحتوي كل جوار للأصل في طوبولوجيا الضرب على خطوط (أي فضاءات متجهة أحادية البعد، وهي مجموعات جزئية من الشكلRو:={رو:ر∈R}{\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}معو≠0{\displaystyle f\neq 0}).

الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة

بحسب نظرية ف. ريز ، فإن الفضاء المتجهي الطوبولوجي هاوسدورف يكون محدود الأبعاد إذا وفقط إذا كان مضغوطًا محليًا ، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا كان لديه جوار مضغوط للأصل.

يتركك{\displaystyle \mathbb {K} }دلR{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }ومنحك{\displaystyle \mathbb {K} }مع طوبولوجيا إقليدية معيارية هاوسدورف المعتادة . ليكنX{\displaystyle X}ليكن فضاء متجهي علىك{\displaystyle \mathbb {K} }ذو أبعاد محدودةن:=خافت⁡X{\displaystyle n:=\dim X}وبالتاليX{\displaystyle X}الفضاء المتجهي متماثل معكن{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}(بشكل صريح، هذا يعني وجود تماثل خطي بين الفضاءات المتجهة)X{\displaystyle X}وكن{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}). هذا الفضاء المتجهي ذو الأبعاد المحدودةX{\displaystyle X}يمتلك دائمًا بنية متجه هاوسدورف فريدة ، مما يجعله متماثلًا مع TVS.كن،{\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}أينكن{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}تتمتع هذه المجموعة بالطوبولوجيا الإقليدية المعتادة (وهي نفسها طوبولوجيا الضرب ). كما أن طوبولوجيا متجهات هاوسدورف هذه هي أرقى طوبولوجيا متجهات (فريدة) علىX.{\displaystyle X.}X{\displaystyle X}تتمتع بطوبولوجيا متجهة فريدة إذا وفقط إذاخافت⁡X=0.{\displaystyle \dim X=0.}لوخافت⁡X≠0{\displaystyle \dim X\neq 0}ثم على الرغم منX{\displaystyle X}لا يمتلك بنية متجهة فريدة، ولكنه يمتلك بنية متجهة هاوسدورف فريدة .

  • لوخافت⁡X=0{\displaystyle \dim X=0}ثمX={0}{\displaystyle X=\{0\}}يمتلك فضاء المتجهات طوبولوجيا متجهة واحدة فقط: الطوبولوجيا التافهة ، والتي تكون في هذه الحالة (وفقط في هذه الحالة) طوبولوجيا هاوسدورف. تكون الطوبولوجيا التافهة على فضاء متجهي طوبولوجيا هاوسدورف إذا وفقط إذا كان للفضاء المتجهي بُعد0.{\displaystyle 0.}
  • لوخافت⁡X=1{\displaystyle \dim X=1}ثمX{\displaystyle X}يحتوي على بنيتين متجهتين: البنية الإقليدية المعتادة والبنية التافهة (غير هاوسدورف).
    • منذ المجالك{\displaystyle \mathbb {K} }هو نفسه1{\displaystyle 1}فضاء متجهي طوبولوجي ذو أبعاد n علىك{\displaystyle \mathbb {K} }وبما أن هذا يلعب دورًا مهمًا في تعريف فضاءات المتجهات الطوبولوجية، فإن هذا التقسيم يلعب دورًا مهمًا في تعريف المجموعة الممتصة وله عواقب تتردد أصداؤها في جميع أنحاء التحليل الوظيفي .
مخطط البرهان

إن برهان هذه الثنائية (أي أن طوبولوجيا المتجهات إما تافهة أو متماثلة معك{\displaystyle \mathbb {K} }(الموضوع واضح ومباشر، لذا سيتم تقديم ملخص فقط يتضمن الملاحظات المهمة. وكالعادة،ك{\displaystyle \mathbb {K} }يُفترض أن لها طوبولوجيا إقليدية (معيارية). ليكنبر:={أ∈ك:|أ|<ر}{\displaystyle B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}} للجميعر>0.{\displaystyle r>0.}يتركX{\displaystyle X}كن1{\displaystyle 1}فضاء متجهي ذو أبعاد n علىك.{\displaystyle \mathbb {K} .}لوS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}وب⊆ك{\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }هي كرة مركزها0{\displaystyle 0}ثمب⋅S=X{\displaystyle B\cdot S=X}حينماS{\displaystyle S}يحتوي على "متتالية غير محدودة"، ويقصد بذلك متتالية من الشكل التالي:(أأناx)أنا=1∞{\displaystyle \left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }}أين0≠x∈X{\displaystyle 0\neq x\in X}و(أأنا)أنا=1∞⊆ك{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} }غير محدود في الفضاء المعياريك{\displaystyle \mathbb {K} }(بالمعنى المعتاد). أي طوبولوجيا متجهة علىX{\displaystyle X}سيكون ثابتًا تحت التحويلات الإزاحية وثابتًا تحت الضرب القياسي غير الصفري، ولكل0≠x∈X،{\displaystyle 0\neq x\in X,}الخريطةمx:ك→X{\displaystyle M_{x}:\mathbb {K} \to X}مقدم منمx(أ):=أx{\displaystyle M_{x}(a):=ax}هي دالة تقابل خطية متصلة. لأنX=كx{\displaystyle X=\mathbb {K} x}لأي من هذا القبيلx،{\displaystyle x,}كل مجموعة فرعية منX{\displaystyle X}يمكن كتابتها على النحو التاليFx=مx(F){\displaystyle Fx=M_{x}(F)}لبعض المجموعات الفرعية الفريدةF⊆ك.{\displaystyle F\subseteq \mathbb {K} .}وإذا كانت هذه الطوبولوجيا المتجهة علىX{\displaystyle X}يوجد حيدبليو{\displaystyle W}الأصل الذي لا يساوي كلX،{\displaystyle X,}ثم استمرارية الضرب القياسيك×X→X{\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}يضمن الأصل وجود كرة مفتوحةبر⊆ك{\displaystyle B_{r}\subseteq \mathbb {K} }مركزها في0{\displaystyle 0}وحي مفتوحS{\displaystyle S}من أصل فيX{\displaystyle X}بحيثبر⋅S⊆دبليو≠X،{\displaystyle B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,}مما يعني أنS{\displaystyle S}لا يحتوي على أي "متتالية غير محدودة". وهذا يعني أنه لكل0≠x∈X،{\displaystyle 0\neq x\in X,}يوجد عدد صحيح موجبن{\displaystyle n}بحيثS⊆بنx.{\displaystyle S\subseteq B_{n}x.}ومن هذا، يمكن استنتاج أنه إذاX{\displaystyle X}لا يحمل بنية طوبولوجية تافهة، وإذا0≠x∈X،{\displaystyle 0\neq x\in X,}ثم لأي كرةب⊆ك{\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }المركز عند 0 فيك،{\displaystyle \mathbb {K} ,}مx(ب)=بx{\displaystyle M_{x}(B)=Bx}يحتوي على جوار مفتوح للأصل فيX،{\displaystyle X,}وهذا يثبت أنمx{\displaystyle M_{x}}هو التماثل الخطي . QED◼{\displaystyle \blacksquare }

  • لوخافت⁡X=ن≥2{\displaystyle \dim X=n\geq 2}ثمX{\displaystyle X}يحتوي على عدد لا نهائي من التكوينات الشعاعية المتميزة:
    • بعض هذه البنى الطوبولوجية موصوفة الآن: كل دالة خطيةو{\displaystyle f}علىX،{\displaystyle X,}وهو فضاء متجهي متماثل معكن،{\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}يُحفز شبه معيار|و|:X→R{\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }محدد بواسطة|و|(x)=|و(x)|{\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}أينكير⁡و=كير⁡|و|.{\displaystyle \ker f=\ker |f|.}كل شبه معيار يُنشئ طوبولوجيا متجهة ( محدبة محليًا وقابلة للقياس الزائف ) علىX{\displaystyle X}وتؤدي المعايير الجزئية ذات النوى المتميزة إلى طوبولوجيات متميزة، بحيث تكون المعايير الجزئية على وجه الخصوصX{\displaystyle X}التي يتم توليدها بواسطة الدوال الخطية ذات النوى المتميزة ستؤدي إلى توليد طوبولوجيات متجهة متميزة علىX.{\displaystyle X.}
    • ومع ذلك، على الرغم من وجود عدد لا نهائي من طوبولوجيات المتجهات علىX{\displaystyle X}متىخافت⁡X≥2،{\displaystyle \dim X\geq 2,}لا يوجد، حتى تماثل TVS ، إلا1+خافت⁡X{\displaystyle 1+\dim X}طوبولوجيا المتجهات علىX.{\displaystyle X.}على سبيل المثال، إذان:=خافت⁡X=2{\displaystyle n:=\dim X=2}ثم طوبولوجيا المتجهات علىX{\displaystyle X}تتألف من الطوبولوجيا التافهة، وطوبولوجيا هاوسدورف الإقليدية، ثم العدد اللانهائي من طوبولوجيات المتجهات غير التافهة وغير الإقليدية المتبقية علىX{\displaystyle X}جميعها متماثلة مع بعضها البعض من حيث TVS.

الطوبولوجيات غير المتجهة

الطوبولوجيات المنفصلة والمحدودة

لوX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً متجهيًا غير تافه (أي ذو بُعد غير صفري)، فإن الطوبولوجيا المنفصلة علىX{\displaystyle X}(وهي قابلة للقياس دائمًا ) ليست طوبولوجيا TVS لأنه على الرغم من جعل الجمع والنفي مستمرين (مما يجعلها مجموعة طوبولوجية تحت الجمع)، إلا أنها تفشل في جعل الضرب القياسي مستمرًا. الطوبولوجيا المحدودة المشتركة علىX{\displaystyle X}(حيث تكون المجموعة الجزئية مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مكملتها منتهية) ليست أيضًا طوبولوجيا TVS علىX.{\displaystyle X.}

الخرائط الخطية

المؤثر الخطي بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين، والذي يكون متصلاً عند نقطة واحدة، يكون متصلاً على كامل المجال. علاوة على ذلك، فإن المؤثر الخطيو{\displaystyle f}تكون متصلة إذاو(X){\displaystyle f(X)}محدودة (كما هو محدد أدناه) لبعض الجوارX{\displaystyle X}من الأصل.

مستوى فائق في فضاء متجهي طوبولوجيX{\displaystyle X}إما أن تكون كثيفة أو مغلقة. دالة خطيةو{\displaystyle f}على فضاء متجهي طوبولوجيX{\displaystyle X}إما أن يكون له نواة كثيفة أو مغلقة. علاوة على ذلك،و{\displaystyle f}تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت نواتها مغلقة .

الأنواع

بحسب التطبيق، تُفرض عادةً قيود إضافية على البنية الطوبولوجية للفضاء. في الواقع، لا تنطبق عدة نتائج رئيسية في التحليل الوظيفي بشكل عام على فضاءات المتجهات الطوبولوجية: نظرية الرسم البياني المغلق ، ونظرية التطبيق المفتوح ، وحقيقة أن الفضاء الثنائي للفضاء يفصل النقاط فيه.

فيما يلي بعض فضاءات المتجهات الطوبولوجية الشائعة، مرتبة تقريبًا حسب تزايد "اللطف".

مساحة مزدوجة

لكل فضاء متجهي طوبولوجي فضاء ثنائي متصل - مجموعةX′{\displaystyle X'}من بين جميع الدوال الخطية المتصلة، أي الخرائط الخطية المتصلة من الفضاء إلى الحقل الأساسيك.{\displaystyle \mathbb {K} .}يمكن تعريف الطوبولوجيا على الفضاء الثنائي بأنها أدق طوبولوجيا بحيث يكون الاقتران الثنائي لكل تقييم نقطيX′→ك{\displaystyle X'\to \mathbb {K} }متصلة. هذا يحوّل الفضاء الثنائي إلى فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا. تُسمى هذه الطوبولوجيا بالطوبولوجيا الضعيفة* . [ 27 ] قد لا تكون هذه الطوبولوجيا الطبيعية الوحيدة على الفضاء الثنائي؛ على سبيل المثال، للفضاء الثنائي المُعَيَّر معيار طبيعي مُعَرَّف عليه. ومع ذلك، فهي مهمة جدًا في التطبيقات نظرًا لخصائص التراص الخاصة بها (انظر نظرية باناخ-ألاوغلو ). تنبيه: كلماX{\displaystyle X}إذا كانت فضاءً محدبًا محليًا غير قابل للتطبيع، فإن خريطة الاقترانX′×X→ك{\displaystyle X'\times X\to \mathbb {K} }لا تكون متصلة أبدًا، بغض النظر عن طوبولوجيا فضاء المتجهات التي يختارها المرء.X′.{\displaystyle X'.}يكون للفضاء المتجهي الطوبولوجي فضاء ثنائي مستمر غير تافه إذا وفقط إذا كان له جوار محدب مناسب للأصل. [ 28 ]

ملكيات

لأيS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}من تلفزيونX،{\displaystyle X,}الهيكل المحدب (أو المتوازن ، أو القرصي ، أو المحدب المغلق، أو المتوازن المغلق، أو القرصي المغلق ) لـS{\displaystyle S}هي أصغر مجموعة جزئية منX{\displaystyle X}الذي يمتلك هذه الخاصية ويحتوي علىS.{\displaystyle S.}إغلاق (على التوالي، داخلي، هيكل محدب ، هيكل متوازن، هيكل قرصي) لمجموعةS{\displaystyle S}يُشار إليه أحيانًا بـclX⁡S{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}(على التوالى،عدد صحيحX⁡S،{\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S,}شركة⁡S،{\displaystyle \operatorname {co} S,}بال⁡S،{\displaystyle \operatorname {bal} S,}الكوبالت⁡S{\displaystyle \operatorname {cobal} S}).

الهيكل المحدبشركة⁡S{\displaystyle \operatorname {co} S}من مجموعة جزئيةS{\displaystyle S}يساوي مجموعة جميع التوليفات المحدبة للعناصر فيS،{\displaystyle S,}وهي عبارة عن تركيبات خطية محدودة من الشكلت1s1+⋯+تنsن{\displaystyle t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}}أينن≥1{\displaystyle n\geq 1}هو عدد صحيح،s1،...،sن∈S{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}وت1،...،تن∈[0،1]{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]}المجموع إلى1.{\displaystyle 1.}[ 29 ] تقاطع أي مجموعة من المجموعات المحدبة يكون محدبًا، والغلاف المحدب لمجموعة جزئية يساوي تقاطع جميع المجموعات المحدبة التي تحتويها. [ 29 ]

الأحياء والمواقع المفتوحة

خصائص الجوار والمجموعات المفتوحة

كل مجموعة TVS متصلة [ 6 ] ومتصلة محليًا [ 30 ] ، وأي مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من مجموعة TVS تكون متصلة قوسيًا . إذاS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}ويو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}ثمS+يو{\displaystyle S+U}هي مجموعة مفتوحة فيX{\displaystyle X}[ 6 ] وإذاS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}إذا كان يحتوي على مساحة داخلية غير فارغةS-S{\displaystyle S-S}هي منطقة الأصل. [ 6 ]

المجموعات الفرعية المحدبة المفتوحة لـ TVSX{\displaystyle X}(ليس بالضرورة أن تكون من نوع هاوسدورف أو محدبة محليًا) هي تحديدًا تلك التي تكون على الشكلz+{x∈X:ص(x)<1} = {x∈X:ص(x-z)<1}{\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}بالنسبة للبعضz∈X{\displaystyle z\in X}وبعض الدوال الخطية الفرعية المستمرة الموجبةص{\displaystyle p}علىX.{\displaystyle X.}[ 28 ]

لوك{\displaystyle K}هو قرص ماص في جهاز TVSX{\displaystyle X}وإذاص:=صك{\displaystyle p:=p_{K}}دالة مينكوفسكي لـك{\displaystyle K}ثم [ 31 ]عدد صحيحX⁡ك ⊆ {x∈X:ص(x)<1} ⊆ ك ⊆ {x∈X:ص(x)≤1} ⊆ clX⁡ك{\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}والأهم من ذلك، أنه لم يُفترض أنك{\displaystyle K}لم يكن لها أي خصائص طوبولوجية ولا ذلكص{\displaystyle p}كانت متصلة (وهذا يحدث إذا وفقط إذاك{\displaystyle K}(حي الأصل).

يتركτ{\displaystyle \tau }وν{\displaystyle \nu }لنفترض وجود بنيتين متجهتين علىX.{\displaystyle X.}ثمτ⊆ν{\displaystyle \tau \subseteq \nu }إذا وفقط إذا كان كلما كانت الشبكةx∙=(xأنا)أنا∈أنا{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}فيX{\displaystyle X}يتقارب0{\displaystyle 0}في(X،ν){\displaystyle (X,\nu )}ثمx∙→0{\displaystyle x_{\bullet }\to 0}في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}[ 32 ]

يتركشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}أن يكون أساسًا محليًا للأصل فيX،{\displaystyle X,}يتركS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}ودعx∈X.{\displaystyle x\in X.}ثمx∈clX⁡S{\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}إذا وفقط إذا كانت هناك شبكةs∙=(sشمال)شمال∈شمال{\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}فيS{\displaystyle S}(مفهرسة بواسطةشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}) بحيثs∙→x{\displaystyle s_{\bullet }\to x}فيX.{\displaystyle X.}[ 33 ] وهذا يوضح، على وجه الخصوص، أنه غالبًا ما يكفي النظر في الشبكات المفهرسة بواسطة أساس الجوار للأصل بدلاً من الشبكات على مجموعات موجهة عشوائية.

لوX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً متحولًا من النوع الثاني (أي فضاءً غير ضئيل )، فإن أي مجموعة فرعية مغلقة محدبة ماصة منX{\displaystyle X}هي جوار نقطة الأصل. [ 34 ] لم يعد هذا مضمونًا إذا لم تكن المجموعة محدبة (يوجد مثال مضاد حتى فيX=R2{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}) أو إذاX{\displaystyle X}[ 34 ] لا ينتمي إلى الفئة الثانية في حد ذاته.

التصميم الداخلي

لوR،S⊆X{\displaystyle R,S\subseteq X}وS{\displaystyle S}إذا كان يحتوي على مساحة داخلية غير فارغة عدد صحيحX⁡S = عدد صحيحX⁡(clX⁡S)  و  clX⁡S = clX⁡(عدد صحيحX⁡S){\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)} و عدد صحيحX⁡(R)+عدد صحيحX⁡(S) ⊆ R+عدد صحيحX⁡S⊆عدد صحيحX⁡(R+S).{\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}

لا يكون الجزء الداخلي الطوبولوجي للقرص فارغًا إذا وفقط إذا كان هذا الجزء الداخلي يحتوي على نقطة الأصل. [ 35 ] وبشكل أعم، إذاS{\displaystyle S}هي مجموعة متوازنة ذات تصميم داخلي غير فارغعدد صحيحX⁡S≠∅{\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }في تلفزيونX{\displaystyle X}ثم{0}∪عدد صحيحX⁡S{\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}[ 6 ] وبالتالي، ستكون متوازنة بالضرورة؛عدد صحيحX⁡S{\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}سيكون متوازنًا إذا وفقط إذا احتوى على الأصل. [ البرهان 2 ] لهذا (أي0∈عدد صحيحX⁡S{\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}لكي يكون ذلك صحيحًا، يكفي أنS{\displaystyle S}أن يكون محدبًا أيضًا (بالإضافة إلى كونه متوازنًا وله باطن غير فارغ).؛ [ 6 ] الاستنتاج0∈عدد صحيحX⁡S{\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}قد يكون ذلك خطأً إذاS{\displaystyle S}ليست محدبة أيضًا؛ [ 35 ] على سبيل المثال، فيX:=R2،{\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}الجزء الداخلي من المجموعة المغلقة والمتوازنةS:={(x،y):xy≥0}{\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}يكون{(x،y):xy>0}.{\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}

لوج{\displaystyle C}محدب و0<ت≤1،{\displaystyle 0<t\leq 1,}ثم [ 36 ]تعدد صحيح⁡ج+(1-ت)cl⁡ج ⊆ عدد صحيح⁡ج.{\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.} وهذا يعني صراحةً أنه إذاج{\displaystyle C}هي مجموعة فرعية محدبة من TVSX{\displaystyle X}(ليس بالضرورة هاوسدورف أو محدب محليًا)،y∈عدد صحيحX⁡ج،{\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}وx∈clX⁡ج{\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}ثم قطعة الخط المفتوحة التي تربطx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}ينتمي إلى الجزء الداخلي منج؛{\displaystyle C;}إنه،{تx+(1-ت)y:0<ت<1}⊆عدد صحيحX⁡ج.{\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}[ 37 ] [ 38 ] [ الإثبات 3 ]

لوشمال⊆X{\displaystyle N\subseteq X}أي جوار متوازن للأصل فيX{\displaystyle X}ثمعدد صحيحX⁡شمال⊆ب1شمال=⋃0<|أ|<1أشمال⊆شمال{\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}أينب1{\displaystyle B_{1}}هي مجموعة جميع الكميات العدديةأ{\displaystyle a}بحيث|أ|<1.{\displaystyle |a|<1.}

لوx{\displaystyle x}ينتمي إلى داخل مجموعة محدبةS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}وy∈clX⁡S،{\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}ثم قطعة الخط نصف المفتوحة[x،y):={تx+(1-ت)y:0<ت≤1}⊆عدد صحيحX⁡ لو x≠y{\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}و [ 37 ][x،x)=∅ لو x=y.{\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.} لوشمال{\displaystyle N}حي متوازن من0{\displaystyle 0}فيX{\displaystyle X}وب1:={أ∈ك:|أ|<1}،{\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},} ثم من خلال النظر في تقاطعات من الشكلشمال∩Rx{\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}(وهي جوارات متناظرة محدبة لـ0{\displaystyle 0}في أجهزة التلفزيون الحقيقيةRx{\displaystyle \mathbb {R} x}وبناءً على ذلك:عدد صحيح⁡شمال=[0،1)عدد صحيح⁡شمال=(-1،1)شمال=ب1شمال،{\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}وعلاوة على ذلك، إذاx∈عدد صحيح⁡شمال و ر:=رشفة{ر>0:[0،ر)x⊆شمال}{\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}ثمر>1 و [0،ر)x⊆عدد صحيح⁡شمال،{\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}وإذار≠∞{\displaystyle r\neq \infty }ثمرx∈cl⁡شمال∖عدد صحيح⁡شمال.{\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}

الفضاءات غير الهاوسدورفية وإغلاق الأصل

فضاء متجهي طوبولوجيX{\displaystyle X}تكون هاوسدورف إذا وفقط إذا{0}{\displaystyle \{0\}}هي مجموعة فرعية مغلقة منX،{\displaystyle X,}أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا{0}=clX⁡{0}.{\displaystyle \{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}لأن{0}{\displaystyle \{0\}}هو فضاء متجهي جزئي منX،{\displaystyle X,}وينطبق الأمر نفسه على إغلاقهclX⁡{0}،{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}والذي يُشار إليه باسم إغلاق نقطة الأصل فيX.{\displaystyle X.}هذا الفضاء المتجهي يحققclX⁡{0}=⋂شمال∈شمال(0)شمال{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N}بحيث يكون كل حي من أحياء الأصل على وجه الخصوص فيX{\displaystyle X}يحتوي على فضاء المتجهاتclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}كمجموعة جزئية. طوبولوجيا الفضاء الجزئي علىclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}هي دائمًا الطوبولوجيا التافهة ، مما يعني على وجه الخصوص أن الفضاء المتجهي الطوبولوجيclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}فضاء مضغوط (حتى لو كان بُعده غير صفري أو حتى لانهائيًا)، وبالتالي فهو أيضًا مجموعة جزئية محدودة منX.{\displaystyle X.}في الواقع، يكون الفضاء المتجهي الجزئي من فضاء متجهي محدودًا إذا وفقط إذا كان محصورًا في إغلاق{0}.{\displaystyle \{0\}.}[ 14 ] كل مجموعة فرعية منclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}كما أنها تحمل الطوبولوجيا التافهة، وبالتالي فهي فضاء جزئي مضغوط، وبالتالي كامل أيضًا (انظر الحاشية للاطلاع على البرهان). [ البرهان 4 ] على وجه الخصوص، إذاX{\displaystyle X}إذا لم تكن المجموعة هاوسدورف، فستوجد مجموعات جزئية متراصة وكاملة ولكنها غير مغلقة فيX{\displaystyle X}; [ 39 ] على سبيل المثال، سيكون هذا صحيحًا بالنسبة لأي مجموعة جزئية فعلية غير فارغة منclX⁡{0}.{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}

لوS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}مضغوطة، إذنclX⁡S=S+clX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}وهذه المجموعة متراصة. وبالتالي، فإن إغلاق مجموعة جزئية متراصة من فضاء طوبولوجي متراص هو متراص (بمعنى آخر، جميع المجموعات المتراصة متراصة نسبيًا )، [ 40 ] وهو أمر غير مضمون بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية غير الهاوسدورفية . [ ملاحظة 6 ]

لكل مجموعة جزئيةS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}S+clX⁡{0}⊆clX⁡S{\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}وبالتالي، إذاS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}مفتوح أم مغلق فيX{\displaystyle X}ثمS+clX⁡{0}=S{\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}[ البرهان 5 ] (بحيث تكون هذهالمفتوحةأوالمغلقةاختياريةS{\displaystyle S}يمكن وصفها بأنها "أنبوب" يكون جانبه الرأسي هو فضاء المتجهاتclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}). لأي مجموعة جزئيةS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}من هذا التلفزيونX،{\displaystyle X,}ما يلي متكافئ:

  • S{\displaystyle S}محدد تمامًا .
  • S+clX⁡{0}{\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}[ 41 ]​
  • clX⁡S{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}محدد تمامًا. [ 42 ] [ 43 ]
  • الصورة إذاS{\displaystyle S}في ظل خريطة القسمة المتعارف عليهاX→X/clX⁡({0}){\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}[ 41 ]​

لوم{\displaystyle M}هو فضاء متجهي فرعي من فضاء متجهيX{\displaystyle X}ثمX/م{\displaystyle X/M}تكون هاوسدورف إذا وفقط إذام{\displaystyle M}مغلق فيX.{\displaystyle X.} علاوة على ذلك، خريطة القسمةq:X→X/clX⁡{0}{\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}هي دائماً خريطة مغلقة على (بالضرورة) Hausdorff TVS. [ 44 ]

كل فضاء متجهي جزئي منX{\displaystyle X}هذا هو المكمل الجبري لـclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}(أي فضاء متجهي جزئي)ح{\displaystyle H}ذلك يرضي{0}=ح∩clX⁡{0}{\displaystyle \{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}}وX=ح+clX⁡{0}{\displaystyle X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}) هو مكمل طوبولوجي لـclX⁡{0}.{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.} وبالتالي، إذاح{\displaystyle H}هو مكمل جبري لـclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}فيX{\displaystyle X}ثم خريطة الجمعح×clX⁡{0}→X،{\displaystyle H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,}محدد بواسطة(ح،ن)↦ح+ن{\displaystyle (h,n)\mapsto h+n}هو تماثل TVS، حيثح{\displaystyle H}هو بالضرورة هاوسدورف وclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}له بنية غير منفصلة . [ 45 ] علاوة على ذلك، إذاج{\displaystyle C}هو أحد إنجازات هاوسدورفح{\displaystyle H}ثمج×clX⁡{0}{\displaystyle C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}يُعدّ ذلك إتمامًا لـX≅ح×clX⁡{0}.{\displaystyle X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}[ 41 ]

مجموعات مغلقة ومدمجة

مجموعات مدمجة ومحدودة تمامًا

تكون المجموعة الجزئية من فضاء متجهي طوبولوجي متراصة إذا وفقط إذا كانت كاملة ومحدودة كليًا . [ 39 ] وبالتالي، في فضاء متجهي طوبولوجي كامل ، تكون المجموعة الجزئية المغلقة والمحدودة كليًا متراصة. [ 39 ] المجموعة الجزئيةS{\displaystyle S}من تلفزيونX{\displaystyle X}تكون محدودة تمامًا إذا وفقط إذاclX⁡S{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}تكون محدودة تمامًا، [ 42 ] [ 43 ] إذا وفقط إذا كانت صورتها تحت خريطة القسمة المتعارف عليهاX→X/clX⁡({0}){\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}[ 41 ]​

كل مجموعة متراصة نسبيًا تكون محدودة تمامًا [ 39 ] ، وإغلاق المجموعة المحدودة تمامًا يكون محدودًا تمامًا أيضًا. [ 39 ] صورة المجموعة المحدودة تمامًا تحت تأثير دالة متصلة بانتظام (مثل دالة خطية متصلة على سبيل المثال) تكون محدودة تمامًا. [ 39 ] إذاS{\displaystyle S}هي مجموعة فرعية من TVSX{\displaystyle X}بحيث يكون كل تسلسل فيS{\displaystyle S}يوجد نقطة تجمع فيS{\displaystyle S}ثمS{\displaystyle S}[ 41 ]​

لوك{\displaystyle K}هي مجموعة فرعية مضغوطة من TVSX{\displaystyle X}ويو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}يحتوي علىك،{\displaystyle K,}ثم يوجد حيشمال{\displaystyle N}من 0 بحيثك+شمال⊆يو.{\displaystyle K+N\subseteq U.}[ 46 ]

إغلاق ومجموعة مغلقة

تتمتع المجموعة المغلقة لأي مجموعة جزئية محدبة (أو متوازنة أو ماصة) من أي مجموعة TVS بهذه الخاصية نفسها. وعلى وجه الخصوص، فإن المجموعة المغلقة لأي مجموعة جزئية محدبة ومتوازنة وماصة هي مجموعة برميلية .

إغلاق فضاء متجهي جزئي من فضاء متجهي افتراضي هو فضاء متجهي جزئي. كل فضاء متجهي جزئي محدود الأبعاد من فضاء متجهي افتراضي هاوسدورف هو فضاء متجهي جزئي مغلق. مجموع فضاء متجهي جزئي مغلق وفضاء متجهي جزئي محدود الأبعاد هو فضاء متجهي جزئي مغلق. [ 6 ] إذام{\displaystyle M}هو فضاء متجهي جزئي منX{\displaystyle X}وشمال{\displaystyle N}هي منطقة مغلقة للأصل فيX{\displaystyle X}بحيثيو∩شمال{\displaystyle U\cap N}مغلق فيX{\displaystyle X}ثمم{\displaystyle M}مغلق فيX.{\displaystyle X.}[ 46 ] مجموع مجموعة مضغوطة ومجموعة مغلقة هو مجموعة مغلقة. ومع ذلك، قد لا يكون مجموع مجموعتين جزئيتين مغلقتين مجموعة مغلقة [ 6 ] (انظر هذه الحاشية [ ملاحظة 7 ] للاطلاع على أمثلة).

لوS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}وأ{\displaystyle a}إذا كان كمية قياسيةأclX⁡S⊆clX⁡(أS)،{\displaystyle a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),}أين إذاX{\displaystyle X}هو هاوسدورف،أ≠0، أو S=∅{\displaystyle a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing }إذن، تتحقق المساواة:clX⁡(أS)=أclX⁡S.{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.}على وجه الخصوص، كل مضاعف عددي غير صفري لمجموعة مغلقة هو مجموعة مغلقة.S⊆X{\displaystyle S\subseteq X}وإذاأ{\displaystyle A}هي مجموعة من القيم العددية بحيث لاcl⁡S ولا cl⁡أ{\displaystyle \operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A}إذا احتوى على صفر، فإن [ 47 ](cl⁡أ)(clX⁡S)=clX⁡(أS).{\displaystyle \left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).}

لوS⊆X و S+S⊆2clX⁡S{\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S}ثمclX⁡S{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}محدب. [ 47 ]

لوR،S⊆X{\displaystyle R,S\subseteq X}ثم [ 6 ]clX⁡(R)+clX⁡(S) ⊆ clX⁡(R+S)  و  clX⁡[clX⁡(R)+clX⁡(S)] = clX⁡(R+S){\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)}وبالتالي، إذاR+S{\displaystyle R+S}مغلق إذن فهو كذلكclX⁡(R)+clX⁡(S).{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).}[ 47 ]

لوX{\displaystyle X}هذا تلفزيون حقيقي وS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}ثم⋂ر>1رS⊆clX⁡S{\displaystyle \bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}حيث يكون الجانب الأيسر مستقلاً عن الطوبولوجيا علىX؛{\displaystyle X;}علاوة على ذلك، إذاS{\displaystyle S}إذا كانت منطقة محدبة مجاورة للأصل، فإن المساواة تتحقق.

لأي مجموعة جزئيةS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}clX⁡S = ⋂شمال∈شمال(S+شمال){\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)}أينشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}هل أي أساس محلي في الأصل لـX.{\displaystyle X.}[ 48 ] ​​ومع ذلك،clX⁡يو ⊇ ⋂{يو:S⊆يو،يو مفتوح في X}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}}ومن الممكن أن يكون هذا الاحتواء مناسبًا [ 49 ] (على سبيل المثال، إذاX=R{\displaystyle X=\mathbb {R} }وS{\displaystyle S}(الأعداد النسبية). ويترتب على ذلك أنclX⁡يو⊆يو+يو{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U}لكل حييو{\displaystyle U}من أصل فيX.{\displaystyle X.}[ 50 ]

هياكل مغلقة

في الفضاء المحدب محلياً، تكون الأغلفة المحدبة للمجموعات المحدودة محدودة. وهذا لا ينطبق على فضاءات التباين المكاني بشكل عام. [ 14 ]

  • الغلاف المحدب المغلق لمجموعة ما يساوي إغلاق الغلاف المحدب لتلك المجموعة؛ أي يساويclX⁡(شركة⁡S).{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}[ 6 ]
  • الهيكل المتوازن المغلق لمجموعة ما يساوي إغلاق الهيكل المتوازن لتلك المجموعة؛ أي يساويclX⁡(بال⁡S).{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).}[ 6 ]
  • الغلاف القرصي المغلق لمجموعة ما يساوي إغلاق الغلاف القرصي لتلك المجموعة؛ أي يساويclX⁡(الكوبالت⁡S).{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).}[ 51 ]

لوR،S⊆X{\displaystyle R,S\subseteq X}والهيكل المحدب المغلق لإحدى المجموعاتS{\displaystyle S}أوR{\displaystyle R}إذا كان مضغوطًا [ 51 ]clX⁡(شركة⁡(R+S)) = clX⁡(شركة⁡R)+clX⁡(شركة⁡S).{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).} لوR،S⊆X{\displaystyle R,S\subseteq X}لكل منها غلاف محدب مغلق مضغوط (أي،clX⁡(شركة⁡R){\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)}وclX⁡(شركة⁡S){\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)}(مضغوطة) ثم [ 51 ]clX⁡(شركة⁡(R∪S)) = شركة⁡[clX⁡(شركة⁡R)∪clX⁡(شركة⁡S)].{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].}

الهياكل والتماسك

في نظام TVS العام، قد لا يكون الغلاف المحدب المغلق لمجموعة متراصة متراصة. ويتمتع الغلاف المتوازن لمجموعة متراصة (أو محدودة كليًا ) بهذه الخاصية نفسها. [ 6 ] ويكون الغلاف المحدب لاتحاد منتهٍ لمجموعات محدبة متراصة متراصة ومحدبة أيضًا. [ 6 ]

خصائص أخرى

هزيل، غير كثيف في أي مكان، وباير

لا يكون القرص في فضاء متجهي ثنائي الأبعاد كثيفًا في أي مكان إذا وفقط إذا كان إغلاقه جوارًا للأصل. [ 9 ] الفضاء المتجهي الجزئي من فضاء متجهي ثنائي الأبعاد المغلق ولكنه ليس مفتوحًا يكون كثيفًا في أي مكان . [ 9 ]

يفترضX{\displaystyle X}هو TVS لا يحمل الطوبولوجيا غير المنفصلة . إذنX{\displaystyle X}تكون مساحة باير إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}لا يوجد لديه مجموعة فرعية متوازنة ماصة غير كثيفة في أي مكان. [ 9 ]

تلفزيونX{\displaystyle X}تكون مساحة باير إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}غير ضئيلة ، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا لم تكن هناك مجموعة غير كثيفة في أي مكاند{\displaystyle D}بحيثX=⋃ن∈شمالند.{\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}[ 9 ] كلفضاء TVS محدب محليًاوغير ضئيلفضاء أسطواني. [ 9 ]

حقائق جبرية مهمة ومفاهيم خاطئة شائعة

لوS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}ثم2S⊆S+S{\displaystyle 2S\subseteq S+S}؛ لوS{\displaystyle S}إذا كانت الدالة محدبة، فإن المساواة تتحقق. أما إذا لم تتحقق المساواة، فلنفترضx{\displaystyle x}يجب أن يكون غير صفري وتعيينهS={-x،x}؛{\displaystyle S=\{-x,x\};}S={x،2x}{\displaystyle S=\{x,2x\}}يعمل أيضاً.

مجموعة فرعيةج{\displaystyle C}تكون محدبة إذا وفقط إذا(s+ت)ج=sج+تج{\displaystyle (s+t)C=sC+tC}لكل شيء إيجابي حقيقيs>0 و ت>0،{\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}[ 29 ] أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذاتج+(1-ت)ج⊆ج{\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}للجميع0≤ت≤1.{\displaystyle 0\leq t\leq 1.}[ 52 ]

الهيكل المحدب المتوازن لمجموعةS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}يساوي الغلاف المحدب للغلاف المتوازن لـS؛{\displaystyle S;}أي أنه يساويشركة⁡(بال⁡S).{\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}لكن بشكل عام،بال⁡(شركة⁡S) ⊆ الكوبالت⁡S = شركة⁡(بال⁡S)،{\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}حيث قد يكون التضمين صارمًا لأن الغلاف المتوازن لمجموعة محدبة ليس بالضرورة أن يكون محدبًا (توجد أمثلة مضادة حتى فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}).

لوR،S⊆X{\displaystyle R,S\subseteq X}وأ{\displaystyle a}إذا كان عددًا قياسيًا [ 6 ]أ(R+S)=أR+أS،  و  شركة⁡(R+S)=شركة⁡R+شركة⁡S،  و  شركة⁡(أS)=أشركة⁡S.{\displaystyle a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.} لوR،S⊆X{\displaystyle R,S\subseteq X}هي مجموعات محدبة غير فارغة منفصلة وx∉R∪S،{\displaystyle x\not \in R\cup S,}ثمS∩شركة⁡(R∪{x})=∅{\displaystyle S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing }أوR∩شركة⁡(S∪{x})=∅.{\displaystyle R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .}

في أي فضاء متجهي غير تافهX،{\displaystyle X,}يوجد مجموعتان جزئيتان محدبتان غير فارغتين منفصلتان يكون اتحادهما هوX.{\displaystyle X.}

خصائص أخرى

يمكن توليد كل طوبولوجيا TVS بواسطة عائلة من شبه المعايير F. [ 53 ]

لوP(x){\displaystyle P(x)}هو عبارة أحادية (عبارة صحيحة أو خاطئة تعتمد علىx∈X{\displaystyle x\in X}) ثم لأيz∈X،{\displaystyle z\in X,}z+{x∈X:P(x)}={x∈X:P(x-z)}.{\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.}[ البرهان 6 ] على سبيل المثال، إذاP(x){\displaystyle P(x)}يشير إلى "‖x‖<1{\displaystyle \|x\|<1}"ثم لأيz∈X،{\displaystyle z\in X,}z+{x∈X:‖x‖<1}={x∈X:‖x-z‖<1}.{\displaystyle z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.}وبالمثل، إذاs≠0{\displaystyle s\neq 0}إذا كان كمية قياسيةs{x∈X:P(x)}={x∈X:P(1sx)}.{\displaystyle s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.}العناصرx∈X{\displaystyle x\in X}يجب أن تتراوح هذه المجموعات على فضاء متجهي (أي علىX{\displaystyle X}) بدلاً من مجرد مجموعة فرعية وإلا فإن هذه المساواة لم تعد مضمونة؛ وبالمثل،z{\displaystyle z}يجب أن ينتمي إلى هذا الفضاء المتجهي (أي،z∈X{\displaystyle z\in X}).

الخصائص المحفوظة بواسطة عوامل المجموعة

  • يتمتع الهيكل المتوازن لمجموعة مضغوطة (على التوالي، محدودة تمامًا ، مفتوحة) بنفس الخاصية. [ 6 ]
  • تتمتع مجموع مجموعتين متراصتين (أو محدودتين، أو متوازنتين، أو محدبتين) وفقًا لمفهوم مينكوفسكي بنفس الخاصية. [ 6 ] ولكن مجموع مجموعتين مغلقتين ليس بالضرورة أن يكون مغلقًا.
  • الغلاف المحدب لمجموعة متوازنة (أو مفتوحة) يكون متوازنًا (أو مفتوحًا). مع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون الغلاف المحدب لمجموعة مغلقة مغلقًا. [ 6 ] كما أن الغلاف المحدب لمجموعة محدودة ليس بالضرورة أن يكون محدودًا.

يوضح الجدول التالي لون كل خلية، مما يشير إلى ما إذا كانت خاصية معينة لمجموعات فرعية منX{\displaystyle X}يتم الاحتفاظ بالخاصية (المشار إليها باسم العمود، مثل "محدب") ضمن عامل المجموعة (المشار إليه باسم الصف، مثل "إغلاق"). إذا تم الاحتفاظ بخاصية ما في كل جدول بيانات متغير (TVS) ضمن عامل المجموعة المشار إليه، فسيتم تلوين تلك الخلية باللون الأخضر؛ وإلا فسيتم تلوينها باللون الأحمر.

فعلى سبيل المثال، بما أن اتحاد مجموعتين ماصتين هو اتحاد ماص أيضاً، فإن الخلية في الصف "R∪S{\displaystyle R\cup S}الخلية في الصف "التقاطعات العشوائية (لمجموعة واحدة على الأقل)" والعمود "الامتصاص" ملونة باللون الأخضر. ولكن بما أن التقاطع العشوائي للمجموعات الممتصة ليس بالضرورة أن يكون امتصاصيًا، فإن الخلية في الصف "التقاطعات العشوائية (لمجموعة واحدة على الأقل)" والعمود "الامتصاص" ملونة باللون الأحمر. إذا لم تكن الخلية ملونة، فهذا يعني أن هذه المعلومات لم تُملأ بعد.

الخصائص المحفوظة بواسطة عوامل المجموعة
عمليةملكيةR،{\displaystyle R,}S،{\displaystyle S,}وأي مجموعات فرعية أخرى منX{\displaystyle X}هذا يعتبر
امتصاصمتوازنمحدبمتماثلمتوازن محدبالفضاء الفرعي المتجهييفتححيّ من 0مغلقمغلق ومتوازنمحدب مغلقمغلق محدب متوازنبرميلفضاء متجهي مغلقمحدد بالكاملصغير الحجممحدب مضغوطصغير الحجم نسبياًمكتملمكتمل بالتسلسلقرص باناشمحدودآكلات الثمارآكلات الألياف الغذائيةلا يوجد مكان كثيف (فيX{\displaystyle X})هزيلقابل للفصلقابل للقياس الزائفعملية
R∪S{\displaystyle R\cup S}نعمنعملانعملالانعمنعمنعمنعملالالانعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمR∪S{\displaystyle R\cup S}
∪{\displaystyle \cup } سلسلة غير  فارغة متزايدة  نعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملالالالالالالالالالالالالانعمنعملالا∪{\displaystyle \cup } سلسلة غير  فارغة متزايدة  
الاتحادات العشوائية  ( لمجموعة واحدة  على  الأقل )  نعمنعملانعملالانعمنعملالالالالالالالالالالالالانعمنعملالاالاتحادات العشوائية  ( لمجموعة واحدة  على  الأقل )  
R∩S{\displaystyle R\cap S}نعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمR∩S{\displaystyle R\cap S}
∩{\displaystyle \cap } سلسلة غير  فارغة متناقصة  لانعمنعمنعمنعمنعملالانعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعم∩{\displaystyle \cap } سلسلة غير  فارغة متناقصة  
التقاطعات العشوائية  ( لمجموعة واحدة  على  الأقل )  لانعمنعمنعمنعملانعملانعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمالتقاطعات العشوائية  ( لمجموعة واحدة  على  الأقل )  
R+S{\displaystyle R+S}نعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملالانعمنعمنعمR+S{\displaystyle R+S}
مضاعف قياسيلانعمنعمنعمنعمنعملالالالالالالالانعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملالانعمنعمنعمنعممضاعف قياسي
مضاعف قياسي غير صفرينعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعممضاعف قياسي غير صفري
مضاعف قياسي موجبنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعممضاعف قياسي موجب
إنهاءنعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمإنهاء
التصميم الداخليلالانعمنعملانعمنعملالالالالالالالانعمنعملاالتصميم الداخلي
مركز متوازننعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعممركز متوازن
هيكل متوازننعمنعملانعمنعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعملالاهيكل متوازن
الهيكل المحدبنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعملالاالهيكل المحدب
هيكل محدب متوازننعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعملالاهيكل محدب متوازن
هيكل متوازن مغلقنعمنعملانعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملالاهيكل متوازن مغلق
هيكل محدب مغلقنعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعملالاهيكل محدب مغلق
هيكل محدب مغلق متوازننعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمنعملالاهيكل محدب مغلق متوازن
امتداد خطينعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملالالالانعملانعمنعملالاامتداد خطي
الصورة الأولية تحت خريطة خطية متصلةنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملالالالالالالاالصورة الأولية تحت خريطة خطية متصلة
صورة تحت خريطة خطية متصلةلانعمنعمنعمنعمنعملالالالالالالالانعمنعمنعمنعملانعمصورة تحت خريطة خطية متصلة
صورة تحت إسقاط خطي مستمرنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعمنعملانعمصورة تحت إسقاط خطي مستمر
مجموعة فرعية غير فارغة منR{\displaystyle R}لالالالالالالالالالالالالالانعملالالالانعملالانعمنعمنعممجموعة فرعية غير فارغة منR{\displaystyle R}
عمليةامتصاصمتوازنمحدبمتماثلمتوازن محدبالفضاء الفرعي المتجهييفتححيّ من 0مغلقمغلق ومتوازنمحدب مغلقمغلق محدب متوازنبرميلفضاء متجهي مغلقمحدد بالكاملصغير الحجممحدب مضغوطصغير الحجم نسبياًمكتملمكتمل بالتسلسلقرص باناشمحدودآكلات الثمارآكلات الألياف الغذائيةلا يوجد مكان كثيف (فيX{\displaystyle X})هزيلقابل للفصلقابل للقياس الزائفعملية

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ تتطلب الخصائص الطوبولوجية بالطبع أنX{\displaystyle X}كن تلفزيونًا.
  2. ↑ على وجه الخصوص،X{\displaystyle X}تكون مجموعة هاوسدورف إذا وفقط إذا{0}{\displaystyle \{0\}}مغلق (أي،X{\displaystyle X}(هو فضاء T 1 ).
  3. ↑ في الواقع، هذا صحيح بالنسبة للمجموعة الطوبولوجية، لأن البرهان لا يستخدم الضرب القياسي.
  4. ↑ يُطلق عليه أيضًا اسم الفضاء الخطي المتري ، مما يعني أنه فضاء متجه حقيقي أو معقد بالإضافة إلى مقياس ثابت تحت الإزاحة تكون فيه عملية الجمع والضرب القياسي متصلة.
  5. ↑ سلسلة∑أنا=1∞xأنا{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}يقال إنها تتقارب في TVSX{\displaystyle X}إذا تقاربت متتالية المجاميع الجزئية.
  6. ↑ في الطوبولوجيا العامة، قد لا يكون إغلاق مجموعة جزئية مضغوطة من فضاء غير هاوسدورف مضغوطًا (على سبيل المثال، طوبولوجيا النقطة الخاصة على مجموعة لانهائية). تُظهر هذه النتيجة أن هذا لا يحدث في فضاءات التباين الزمني غير الهاوسدورف.S+clX⁡{0}{\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}هي مضغوطة لأنها صورة المجموعة المضغوطةS×clX⁡{0}{\displaystyle S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}في إطار خريطة الجمع المستمر⋅+⋅:X×X→X.{\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.}تذكر أيضًا أن مجموع مجموعة مضغوطة (أي،S{\displaystyle S}) والمجموعة المغلقة هي مجموعة مغلقة، لذاS+clX⁡{0}{\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}مغلق فيX.{\displaystyle X.}
  7. ↑ فيR2،{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}مجموعy{\displaystyle y}المحور السيني ورسم بياني لـy=1x،{\displaystyle y={\frac {1}{x}},}وهو مكمل لـy{\displaystyle y}المحور - مفتوح فيR2.{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}فيR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}مجموع مينكوفسكيZ+2Z{\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }هي مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد منR{\displaystyle \mathbb {R} }لذا فهي ليست مغلقةR.{\displaystyle \mathbb {R} .}

البراهين

  1. ↑ يتحقق هذا الشرط إذاS{\displaystyle \mathbb {S} }يشير إلى مجموعة جميع السلاسل الطوبولوجية في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}
  2. ↑ هذا لأن كل مجموعة متوازنة غير فارغة يجب أن تحتوي على نقطة الأصل ولأن0∈عدد صحيحX⁡S{\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}إذا وفقط إذاعدد صحيحX⁡S={0}∪عدد صحيحX⁡S.{\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.}
  3. ↑ إصلاح0<ر<1{\displaystyle 0<r<1}لذا يبقى أن نثبت ذلكw0 =تعريف رx+(1-ر)y{\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}ينتمي إلىعدد صحيحX⁡ج.{\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}عن طريق الاستبدالج،x،y{\displaystyle C,x,y}معج-w0،x-w0،y-w0{\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}إذا لزم الأمر، يمكننا أن نفترض دون فقدان للعمومية أنرx+(1-ر)y=0،{\displaystyle rx+(1-r)y=0,}وبالتالي يبقى أن نثبت ذلكج{\displaystyle C}هي منطقة مجاورة للأصل. ليكنs =تعريف رر-1<0{\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}لهذا السبب.y=رر-1x=sx.{\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}بما أن الضرب القياسي بواسطةs≠0{\displaystyle s\neq 0}هو تماثل خطيX→X،{\displaystyle X\to X,}clX⁡(1sج)=1sclX⁡ج.{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}منذx∈عدد صحيح⁡ج{\displaystyle x\in \operatorname {int} C}وy∈cl⁡ج،{\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}ويترتب على ذلك أنx=1sy∈cl⁡(1sج)∩عدد صحيح⁡ج{\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}أين لأنعدد صحيح⁡ج{\displaystyle \operatorname {int} C}مفتوح، يوجد بعضج0∈(1sج)∩عدد صحيح⁡ج،{\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}وهو ما يرضيsج0∈ج.{\displaystyle sc_{0}\in C.}يُعرِّفح:X→X{\displaystyle h:X\to X}بواسطةx↦رx+(1-ر)sج0=رx-رج0،{\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}وهو تماثل شكلي لأن0<ر<1.{\displaystyle 0<r<1.}المجموعةح(عدد صحيح⁡ج){\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}وبالتالي فهي مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}وهذا يحتوي أيضًاح(ج0)=رج0-رج0=0.{\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}لوج∈عدد صحيح⁡ج{\displaystyle c\in \operatorname {int} C}ثمح(ج)=رج+(1-ر)sج0∈ج{\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}منذج{\displaystyle C}محدب،0<ر<1،{\displaystyle 0<r<1,}وsج0،ج∈ج،{\displaystyle sc_{0},c\in C,}مما يثبت أنح(عدد صحيح⁡ج)⊆ج.{\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}هكذاح(عدد صحيح⁡ج){\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}هي مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}الذي يحتوي على الأصل وهو موجود فيج.{\displaystyle C.}QED
  4. ↑ منذclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}تتمتع الفضاءات المنتظمة ببنية طوبولوجية بسيطة، وكذلك كل مجموعة جزئية منها، مما يجعلها جميعًا متراصة. ومن المعروف أن أي مجموعة جزئية من أي فضاء منتظم تكون متراصة إذا وفقط إذا كانت كاملة ومحدودة تمامًا.
  5. ↑ إذاs∈S{\displaystyle s\in S}ثمs+clX⁡{0}=clX⁡(s+{0})=clX⁡{s}⊆clX⁡S.{\displaystyle s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.}لأنS⊆S+clX⁡{0}⊆clX⁡S،{\displaystyle S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}لوS{\displaystyle S}إذا كانت المجموعة مغلقة، فإن المساواة تتحقق. باستخدام حقيقة أنclX⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}إذا كان فضاءً متجهيًا، فمن السهل التحقق من أن المتمم فيX{\displaystyle X}من أي مجموعةS{\displaystyle S}تحقيق المساواةS+clX⁡{0}=S{\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}يجب أن تحقق هذه المساواة أيضًا (عندماX∖S{\displaystyle X\setminus S}يتم استبدالها بـS{\displaystyle S}).
  6. ↑z+{x∈X:P(x)}={z+x:x∈X،P(x)}={z+x:x∈X،P((z+x)-z)}{\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}}وبالتالي باستخدامy=z+x{\displaystyle y=z+x}وحقيقة أنz+X=X،{\displaystyle z+X=X,}هذا يساوي{y:y-z∈X،P(y-z)}={y:y∈X،P(y-z)}={y∈X:P(y-z)}.{\displaystyle \{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.}QED◼{\displaystyle \blacksquare }

الاقتباسات

  1. ^ رودين 1991 ، ص. 4-5 §1.3.
  2. 1 2 3 Köthe 1983 ، ص. 91.
  3. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 74-78.
  4. ↑ غروتينديك 1973 ، ص 34-36.
  5. 1 2 3 ويلانسكي 2013 ، ص 40-47.
  6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Narici & Beckenstein 2011 , pp. 67–113.
  7. 1 2 3 4 5 أداش، إرنست وكيم 1978 ، ص 5-9.
  8. ^ شيشتر 1996 ، ص 721-751.
  9. 1 2 3 4 5 6 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 371-423.
  10. ^ أداش وإرنست وكيم 1978 ، ص 10-15.
  11. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 53.
  12. 1 2 3 رودين 1991 ، ص. 6 §1.4.
  13. ↑ رودين 1991 ، ص 8.
  14. 1 2 3 4 5 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 155-176.
  15. ↑ رودين 1991 ، ص 27-28 نظرية 1.37.
  16. ↑ Köthe 1983 ، القسم 15.11.
  17. ↑ "الفضاء المتجهي الطوبولوجي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994] ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 فبراير 2021
  18. ↑ رودين 1991 ، ص. 17 نظرية 1.22.
  19. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 12-19.
  20. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 16.
  21. 1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 115-154.
  22. ^ سوارتز 1992 ، ص 27-29.
  23. ↑ "تطبيق سريع لنظرية الرسم البياني المغلق" . ما الجديد . 22-04-2016 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 07-10-2020 .
  24. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 111.
  25. 1 2 3 رودين 1991 ، ص. 9 §1.8.
  26. ↑ رودين 1991 ، ص. 27 نظرية 1.36.
  27. ^ رودين 1991 ، ص. 62-68 §3.8-3.14.
  28. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 177-220.
  29. 1 2 3 رودين 1991 ، ص 38.
  30. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 35.
  31. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 119-120.
  32. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 43.
  33. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 42.
  34. 1 2 رودين 1991 ، ص 55.
  35. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 108.
  36. ↑ جارشو 1981 ، ص 101-104.
  37. 1 2 Schaefer & Wolff 1999 ، ص 38.
  38. ↑ كونواي 1990 ، ص 102.
  39. 1 2 3 4 5 6 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-66.
  40. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 156.
  41. 1 2 3 4 5 Schaefer & Wolff 1999 ، ص 12-35.
  42. 1 2 Schaefer & Wolff 1999 ، ص. 25.
  43. 1 2 جارشو 1981 ، ص 56-73.
  44. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 107-112.
  45. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 63.
  46. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 19-45.
  47. 1 2 3 ويلانسكي 2013 ، ص 43-44.
  48. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 80.
  49. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 108-109.
  50. ↑ جارشو 1981 ، ص 30-32.
  51. 1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 109.
  52. ↑ رودين 1991 ، ص. 6.
  53. ↑ Swartz 1992 ، ص 35.

فهرس

  • أداش، نوربرت؛ إرنست، برونو؛ كيم، ديتر (1978). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية: النظرية بدون شروط التحدب . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  639. برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
  • جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 . 
  • كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
  • ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
  • رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
  • شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
  • ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 . 

للمزيد من القراءة

  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بالفضاءات المتجهة الطوبولوجية على ويكيميديا ​​كومنز