متوسط ​​معدني

نسب الذهب والفضة والبرونز داخل مستطيلاتها الخاصة.

المتوسط ​​المعدني (ويُسمى أيضًا النسبة المعدنية ، أو الثابت المعدني ، أو المتوسط ​​النبيل ^{[ 1 ]} ) لعدد طبيعي n هو عدد حقيقي موجب ، ويُرمز إليه هنا بـ${\displaystyle S_{n},}$والتي تستوفي الخصائص المكافئة التالية:

• العدد الحقيقي الموجب الوحيد${\displaystyle x}$بحيث${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$
• الجذر الموجب للمعادلة التربيعية${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$
• الرقم${\textstyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}={\frac {2}{{\sqrt {n^{2}+4}}-n}}}$
• العدد الذي يمكن التعبير عنه ككسر مستمر هو$${\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}}$$

المعادن هي مشتقات (متتالية) من الذهب (${\displaystyle n=1}$) ونسب الفضة (${\displaystyle n=2}$وتتشابه في بعض خصائصها المثيرة للاهتمام. مصطلح "نسبة البرونز" (${\displaystyle n=3}$) (انظر العصر الذهبي والميداليات الأولمبية ) وحتى معادن مثل النحاس (${\displaystyle n=4}$) والنيكل (${\displaystyle n=5}$تُوجد هذه المصطلحات أحيانًا في المراجع. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ أ ]}

من منظور نظرية الأعداد الجبرية ، فإن المتوسطات المعدنية هي بالضبط الأعداد الصحيحة التربيعية الحقيقية الأكبر من${\displaystyle 1}$ولديه${\displaystyle -1}$كأمر طبيعي بالنسبة لهم .

المعادلة الحاسمة${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$المتوسط ​​المعدني النوني هو المعادلة المميزة لعلاقة تكرارية خطية من الشكل التالي :${\displaystyle x_{k}=nx_{k-1}+x_{k-2}.}$وبناءً على ذلك، فإنه في حالة وجود مثل هذا التكرار، يمكن التعبير عن الحل على النحو التالي:

${\displaystyle x_{k}=aS_{n}^{k}+b\left({\frac {-1}{S_{n}}}\right)^{k},}$

أين${\displaystyle S_{n}}$يمثل المتوسط ​​المعدني رقم n ، و a و b ثابتان يعتمدان فقط على${\displaystyle x_{0}}$و${\displaystyle x_{1}.}$بما أن معكوس المتوسط ​​المعدني أقل من 1 ، فإن هذه الصيغة تعني أن ناتج قسمة عنصرين متتاليين من مثل هذا التسلسل يميل إلى المتوسط ​​المعدني، عندما يميل k إلى اللانهاية.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle S_{n}}$هي النسبة الذهبية . إذا${\displaystyle x_{0}=0}$و${\displaystyle x_{1}=1,}$المتتالية هي متتالية فيبوناتشي ، والصيغة أعلاه هي صيغة بينيه . إذا${\displaystyle n=1,x_{0}=2,x_{1}=1}$أحدهما لديه أرقام لوكاس . إذا${\displaystyle n=2,}$يُطلق على المتوسط ​​المعدني اسم نسبة الفضة ، وعناصر المتتالية التي تبدأ بـ${\displaystyle x_{0}=0}$و${\displaystyle x_{1}=1}$تُسمى هذه الأرقام بأرقام بيل .

النسبة الذهبية داخل النجمة الخماسية ( φ = أحمر/أخضر = أخضر/أزرق = أزرق/بنفسجي) والنسبة الفضية داخل الشكل الثماني.

المعادلة الحاسمة${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$يؤدي المتوسط ​​المعدني رقم n إلى التفسير الهندسي التالي.

لنفترض مستطيلاً تكون نسبة طوله L إلى عرضه W هي النسبة المعدنية رقم n . إذا أزلنا من هذا المستطيل n مربعاً طول ضلعها W ، نحصل على مستطيل مشابه للمستطيل الأصلي؛ أي مستطيل له نفس نسبة الطول إلى العرض (انظر الأشكال).

تظهر بعض الأشكال المعدنية على هيئة قطع مستقيمة في الشكل الناتج عن مضلع منتظم وأقطاره. وينطبق هذا بشكل خاص على النسبة الذهبية والخماسي ، وعلى النسبة الفضية والثماني ؛ انظر الأشكال.

يشير إلى${\displaystyle S_{m}}$المتوسط ​​المعدني لـ m الذي يمتلكه المرء

${\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{n-1},}$

حيث الأرقام${\displaystyle K_{n}}$يتم تعريفها بشكل متكرر بواسطة الشروط الأولية K ₀ = 0 و K ₁ = 1 ، وعلاقة التكرار

${\displaystyle K_{n}=mK_{n-1}+K_{n-2}.}$

البرهان: المساواة صحيحة مباشرة لـ${\displaystyle n=1.}$تشير علاقة التكرار إلى${\displaystyle K_{2}=m,}$مما يجعل المساواة صحيحة بالنسبة لـ${\displaystyle k=2.}$بافتراض صحة المساواة حتى${\displaystyle n-1,}$يمتلك المرء

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{n}&=mS_{m}^{n-1}+S_{m}^{n-2}&&{\text{(defining equation)}}\\&=m(K_{n-1}S_{n}+K_{n-2})+(K_{n-2}S_{m}+K_{n-3})&&{\text{(recurrence hypothesis)}}\\&=(mK_{n-1}+K_{n-2})S_{n}+(mK_{n-2}+K_{n-3})&&{\text{(regrouping)}}\\&=K_{n}S_{m}+K_{n-1}&&{\text{(recurrence on }}K_{n}).\end{aligned}}}$

انتهى البرهان.

أحدهم لديه أيضًا

${\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-(m-S_{m})^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}$

القوى الفردية للوسط المعدني هي نفسها أوساط معدنية. بتعبير أدق، إذا كان n عددًا طبيعيًا فرديًا، فإن${\displaystyle S_{m}^{n}=S_{M_{n}},}$أين${\displaystyle M_{n}}$يتم تعريفها من خلال علاقة التكرار${\displaystyle M_{n}=mM_{n-1}+M_{n-2}}$والشروط الأولية${\displaystyle M_{0}=2}$و${\displaystyle M_{1}=m.}$

البرهان: ليكن${\displaystyle a=S_{m}}$و${\displaystyle b=-1/S_{m}.}$يشير تعريف الوسائل المعدنية إلى أن${\displaystyle a+b=m}$و${\displaystyle ab=-1.}$يترك${\displaystyle M_{n}=a^{n}+b^{n}.}$منذ${\displaystyle a^{n}b^{n}=(ab)^{n}=-1}$إذا كان n فرديًا، فإن القوة${\displaystyle a^{n}}$هو جذر${\displaystyle x^{2}-M_{n}-1=0.}$لذا، يبقى إثبات ذلك${\displaystyle M_{n}}$هو عدد صحيح يحقق علاقة التكرار المعطاة. وينتج هذا عن المتطابقة

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}+b^{n}&=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+a^{n-2})\\&=m(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+a^{n-2}).\end{aligned}}}$

وبهذا يكتمل البرهان، بشرط أن تكون القيم الأولية سهلة التحقق.

على وجه الخصوص، يمتلك المرء

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{3}&=S_{m^{3}+3m}\\S_{m}^{5}&=S_{m^{5}+5m^{3}+5m}\\S_{m}^{7}&=S_{m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m}\\S_{m}^{9}&=S_{m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m}\\S_{m}^{11}&=S_{m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m}\end{aligned}}}$

وبشكل عام،

${\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{M},}$

أين

${\displaystyle M=\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}.}$

بالنسبة للقوى الزوجية، يصبح الأمر أكثر تعقيدًا. إذا كان n عددًا صحيحًا زوجيًا موجبًا، فإن

${\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

بالإضافة إلى ذلك،

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}$

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}$

بالنسبة لمربع النسبة المعدنية، لدينا:${\displaystyle S_{m}^{2}=[m{\sqrt {m^{2}+4}}+(m+2)]/2=(p+{\sqrt {p^{2}+4}})/2}$

أين${\displaystyle p=m{\sqrt {m^{2}+4}}}$يقع بشكل صارم بين${\displaystyle m^{2}+1}$و${\displaystyle m^{2}+2}$. لذلك

${\displaystyle S_{m^{2}+1}<S_{m}^{2}<S_{m^{2}+2}}$

يمكن تعريف المتوسط ​​المعدني${\displaystyle S_{-n}}$عدد صحيح سالب − n كحل موجب للمعادلة${\displaystyle x^{2}-(-n)x-1.}$المتوسط ​​المعدني لـ − n هو المعكوس الضربي للمتوسط ​​المعدني لـ n :

${\displaystyle S_{-n}={\frac {1}{S_{n}}}.}$

يتمثل تعميم آخر في تغيير المعادلة المحددة من${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ل${\displaystyle x^{2}-nx-c=0}$. لو

${\displaystyle R={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}},}$

إذا كان أي جذر من جذر المعادلة، فإن المرء يكون

${\displaystyle R-n={\frac {c}{R}}.}$

يُعطى المتوسط ​​الفضي لـ m أيضًا بواسطة التكامل ^{[ 4 ]}

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

شكل آخر للمتوسط ​​المعدني هو ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }.}$

صيغة نصف الزاوية الظلية تعطي $${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1}{2\cot {\frac {\theta }{2}}}}}$$ والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle \cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-(2\cot \theta )\cot {\frac {\theta }{2}}-1=0\,.}$$ أي، بالنسبة للقيمة الموجبة لـ${\textstyle \cot {\frac {\theta }{2}}}$، المتوسط ​​المعدني $${\displaystyle S_{2\cot \theta }=\cot {\frac {\theta }{2}}\,,}$$ وهو أمر ذو مغزى خاص عندما${\textstyle 2\cot \theta }$هو عدد صحيح موجب، كما هو الحال مع بعض المثلثات الفيثاغورية.

بالنسبة للمثلث الفيثاغورسي الأولي ، a² + b² = ^c² ، ^حيث a < b < c أعداد صحيحة موجبة أولية فيما بينها ، إذا كان الفرق بين الوتر c والضلع الأطول b يساوي 1 أو 2 أو 8 ^، فإن المثلث الفيثاغورسي يُظهر متوسطًا معدنيًا. تحديدًا، ظل تمام ربع الزاوية الحادة الأصغر في المثلث الفيثاغورسي هو متوسط ​​معدني. ^{[ 5 ]}

وبشكل أدق، بالنسبة لثلاثية فيثاغورس الأولية ( أ ، ب ، ج ) حيث أ < ب < ج ، فإن الزاوية الحادة الأصغر α تحقق $${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\frac {c-b}{a}}\,.}$$ عندما يكون c − b ∈ {1, 2, 8} ، سنحصل دائمًا على ذلك $${\displaystyle n=2\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2a}{c-b}}}$$ هو عدد صحيح وهذا $${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{4}}=S_{n}\,,}$$المتوسط ​​المعدني رقم n .

ينطبق العكس أيضًا. بالنسبة لـ n ≥ 5 ، فإن الثلاثية الفيثاغورية الأولية التي تعطي المتوسط ​​المعدني من ^الرتبة n تُعطى بالصيغة ( n , n² ^/ 4 - 1, n² /4 + 1) إذا كان n من مضاعفات 4، وتُعطى بالصيغة ( n /2, ( n² ^- 4)/8, ( n² + 4)/8) إذا كان n زوجيًا وليس من مضاعفات 4، وتُعطى بالصيغة (4n , n² - ⁴ , ^n² + 4) إذا كان n فرديًا . على سبيل المثال، الثلاثية الفيثاغورية الأولية (20، 21، 29) تعطي المتوسط ​​المعدني من الرتبة 5؛ و(3، 4، 5) تعطي المتوسط ​​المعدني من الرتبة 6؛ و( ²⁸ ، 45، 53) تعطي المتوسط ​​المعدني من الرتبة 7؛ و(8، 15، 17) تعطي المتوسط ​​المعدني من الرتبة 8؛ وهكذا.

ال${\displaystyle k}$يُستخدم المتوسط ​​المعدني رقم -th كنسبة تضخم لتبليطات الاستبدال أحادية البعد، مثل${\displaystyle a\to a^{k}b}$و${\displaystyle b\to a}$تُظهر هذه المتتاليات ترتيبًا غير دوري طويل المدى. بتطبيق عملية إزالة الفترات على هذه التبليطات، يمكن إنشاء مجموعات كانتور ذاتية التشابه حيث يتم تحديد بُعد هاوسدورف بواسطة عامل القياس المتوسط ​​المعدني. ^{[ 19 ]}

• ثابت
• يقصد
• نسبة
• نسبة البلاستيك

• ستاخوف، أليكسي بيتروفيتش (2009). رياضيات الانسجام: من إقليدس إلى الرياضيات وعلوم الحاسوب المعاصرة ، ص  228، 231. دار النشر العالمية. ISBN 9789812775832.

• كريستينا إيلينا هريكانو وميرسيا كراسمارينو (2013). " الهياكل المعدنية على المتشعبات الريمانية "، Revista de la Union Matemática Argentina .
• Rakočević, Miloje M. “ المزيد من التعميم للنسبة الذهبية فيما يتعلق بمعادلة أويلر 'الإلهية' “, Arxiv.org .