عدد صحيح تربيعي

في نظرية الأعداد ، تُعدّ الأعداد الصحيحة التربيعية تعميمًا للأعداد الصحيحة العادية إلى الحقول التربيعية . يُطلق على العدد المركب اسم عدد صحيح تربيعي إذا كان جذرًا لكثير حدود أحادي ( كثير حدود معامله الرئيسي 1) من الدرجة الثانية، ومعاملاته أعداد صحيحة، أي أن الأعداد الصحيحة التربيعية هي أعداد صحيحة جبرية من الدرجة الثانية. وبالتالي، فإن الأعداد الصحيحة التربيعية هي تلك الأعداد المركبة التي تُمثّل حلولًا لمعادلات من الشكل التالي:

x² + bx + c = 0

مع $b$ و $c$ أعداد صحيحة (عادية). عند النظر في الأعداد الصحيحة الجبرية، غالبًا ما تسمى الأعداد الصحيحة العادية بالأعداد الصحيحة النسبية .

من الأمثلة الشائعة للأعداد الصحيحة التربيعية الجذور التربيعية للأعداد الصحيحة النسبية، مثل ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ والعدد المركب ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ ، والتي تولد الأعداد الصحيحة الغاوسية . مثال شائع آخر هو الجذر التكعيبي غير الحقيقي للوحدة ${\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$ ، والتي تولد أعداد أيزنشتاين الصحيحة .

تظهر الأعداد الصحيحة التربيعية في حلول العديد من المعادلات الديوفانتية ، مثل معادلات بيل ، وغيرها من المسائل المتعلقة بالصيغ التربيعية الصحيحة . وتُعدّ دراسة حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية أساسيةً للعديد من مسائل نظرية الأعداد الجبرية .

تاريخ

لقد اكتشف علماء الرياضيات الهنود في العصور الوسطى بالفعل ضرب الأعداد الصحيحة التربيعية ذات المميز نفسه $D$ ، مما سمح لهم بحل بعض حالات معادلة بيل .

تم تقديم التوصيف الوارد في § التمثيل الصريح للأعداد الصحيحة التربيعية لأول مرة بواسطة ريتشارد ديديكيند في عام 1871. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

تعريف

العدد الصحيح التربيعي هو عدد صحيح جبري من الدرجة الثانية. وبشكل أكثر تحديدًا، هو عدد مركب. $x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2$ ، الذي يحل معادلة على الصورة $x² + bx + c = 0$ ، حيث $b$ و $c$ عددان صحيحان . كل عدد صحيح تربيعي ليس عددًا صحيحًا ليس عددًا نسبيًا - أي أنه عدد حقيقي غير نسبي إذا $كان$ $b² - 4c > 0$ ، وغير حقيقي إذا كان $b²$ $- 4c < 0$ - ويقع في حقل تربيعي $محدد بشكل فريد$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ امتداد $\mathbb {Q}$ $يتم$ توليدها من الجذر التربيعي للعدد الصحيح الوحيد الخالي من المربعات $D$ الذي يحقق المعادلة $b² - 4c = De²$ لعدد صحيح $e$ . إذا كان $D$ موجبًا، فإن العدد الصحيح التربيعي حقيقي. أما إذا كان $D$ $< 0$ ، فهو تخيلي (أي مركب وغير حقيقي).

الأعداد الصحيحة التربيعية (بما في ذلك الأعداد الصحيحة العادية) التي تنتمي إلى حقل تربيعي $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ تشكل مجالًا تكامليًا يسمى حلقة الأعداد الصحيحة $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$

على الرغم من أن الأعداد الصحيحة التربيعية التي تنتمي إلى حقل تربيعي معين تشكل حلقة ، فإن مجموعة جميع الأعداد الصحيحة التربيعية ليست حلقة لأنها ليست مغلقة تحت عمليتي الجمع أو الضرب. على سبيل المثال، $1+{\sqrt {2}}$ و ${\sqrt {3}}$ هي أعداد صحيحة تربيعية، لكن $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ و $(1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}$ ليست كذلك، لأن كثيرات الحدود الدنيا الخاصة بها من الدرجة الرابعة.

التمثيل الصريح

هنا وفيما يلي، تنتمي الأعداد الصحيحة التربيعية التي يتم النظر فيها إلى حقل تربيعي $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),$ حيث $D$ عدد صحيح خالٍ من المربعات. هذا لا يقيد العمومية، لأن المساواة ${\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}}$ (لأي عدد صحيح موجب $a$ ) يستلزم ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

عنصر $x$ من ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ يكون عددًا صحيحًا تربيعيًا إذا وفقط إذا وُجد عددان صحيحان $a$ و $b$ بحيث يكون أحدهما

x=a+b{\sqrt {D}},

أو، إذا كان $D - 1$ من مضاعفات العدد $4$

x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},

مع كون

a

و

b

كلاهما فرديين .

بمعنى آخر، يمكن كتابة كل عدد صحيح تربيعي على الصورة $a + ωb$ ، حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان، و $ω$ معرفة بواسطة

\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}

(بما أن $D$ يفترض أنها خالية من المربعات) ${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$ هذا مستحيل، لأنه سيعني أن $D$ يقبل القسمة على المربع 4). ^{[ 3 ]}

القاعدة والتصريف

عدد صحيح تربيعي في $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ قد يكتب

{\textstyle a+b{\sqrt {D}}}

،

حيث يكون كل $من a$ و $b$ إما عددين صحيحين، أو، فقط إذا كان $D \equiv 1 (mod 4)$ ، نصفي عددين صحيحين فرديين . معيار هذا العدد التربيعي الصحيح هو

{\textstyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}.}

معيار العدد الصحيح التربيعي هو دائمًا عدد صحيح. إذا كان $D < 0$ ، فإن معيار العدد الصحيح التربيعي هو مربع قيمته المطلقة كعدد مركب (وهذا غير صحيح إذا ${\textstyle D>0}$ ). المعيار هو دالة ضربية تمامًا ، مما يعني أن معيار حاصل ضرب الأعداد الصحيحة التربيعية هو دائمًا حاصل ضرب معاييرها.

كل عدد صحيح تربيعي ${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$ له مرافق

{\textstyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.}

للعدد التربيعي نفس معيار مرافقه، وهذا المعيار هو حاصل ضرب العدد التربيعي في مرافقه. مرافق مجموع أو حاصل ضرب أعداد تربيعية هو مجموع أو حاصل ضرب مرافقيها (على التوالي). هذا يعني أن المرافق هو تشاكل ذاتي لحلقة الأعداد الصحيحة. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ – انظر § حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية ، أدناه.

حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية

كل عدد صحيح خالٍ من المربعات (يختلف عن 0 و1) $D$ يُعرّف حلقة أعداد صحيحة تربيعية ، وهي المجال التكاملي الذي يتكون من الأعداد الصحيحة الجبرية الموجودة في $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ إنها المجموعة $\mathbb {Z} [\omega ]=\{a+\omega b:a,b\in \mathbb {Z} \}$ أين $\omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ إذا كانت $D = 4k + 1$ ، و $ω = \sqrtD$ فيما عدا ذلك. ويُشار إليها غالبًا $بـ$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ لأنها حلقة الأعداد الصحيحة لـ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ ، وهو الإغلاق التكاملي لـ $\mathbb {Z}$ في $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ الخاتم $\mathbb {Z} [\omega ]$ يتكون من جميع جذور جميع المعادلات $x² + Bx + C = 0$ التي يكون $مميزها$ B² $- 4C هو$ حاصل ضرب $D$ في مربع عدد صحيح. على وجه الخصوص ، $ينتمي$ √D إلى $\mathbb {Z} [\omega ]$ ، كونه جذرًا للمعادلة $x 2 - D = 0$ ، والتي يكون مميزها $4 D.$

الجذر التربيعي لأي عدد صحيح هو عدد صحيح تربيعي، حيث يمكن كتابة كل عدد صحيح على الصورة $n = m 2 D$ ، حيث $D$ هو عدد صحيح خالٍ من المربعات، وجذره التربيعي هو جذر $x 2 - m 2 D = 0$ .

لا تنطبق النظرية الأساسية للحساب على العديد من حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية. مع ذلك، يوجد تحليل فريد للمثاليّات ، وهو ما يُعبَّر عنه بحقيقة أن كل حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية هي مجال ديديكيند . وباعتبارها أبسط أمثلة الأعداد الصحيحة الجبرية، تُعدّ الأعداد الصحيحة التربيعية عادةً الأمثلة الأولية لمعظم دراسات نظرية الأعداد الجبرية . ^{[ 4 ]}

تنقسم حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية إلى فئتين اعتمادًا على إشارة $D.$ إذا كانت $D > 0$ ، فإن جميع عناصر ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ عناصر حقيقية، والحلقة هي حلقة أعداد صحيحة تربيعية حقيقية . إذا كانت $D < 0$ ، فإن العناصر الحقيقية الوحيدة لـ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ هي الأعداد الصحيحة العادية، والحلقة هي حلقة أعداد صحيحة تربيعية معقدة .

بالنسبة لحلقات الأعداد الصحيحة التربيعية الحقيقية، يتم إعطاء رقم الفئة - الذي يقيس فشل التحليل الفريد - في OEIS A003649 ؛ أما بالنسبة للحالة التخيلية، فيتم إعطاؤها في OEIS A000924 .

الوحدات

العدد الصحيح التربيعي هو عنصر محايد في حلقة الأعداد الصحيحة $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ يكون معكوسه الضربي هو مرافقه إذا وفقط إذا كان معياره $1$ أو $-1$ . في الحالة الأولى، يكون معكوسه الضربي هو مرافقه. وفي الحالة الثانية، يكون معكوسه الضربي هو نفي مرافقه.

إذا كانت $D < 0$ ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة لـ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ يحتوي على ست وحدات على الأكثر. في حالة الأعداد الصحيحة الغاوسية ( $D = -1$ )، تكون الوحدات الأربع هي ${\textstyle 1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}}$ في حالة أعداد أيزنشتاين الصحيحة ( $D = -3$ )، تكون الوحدات الست هي ${\textstyle \pm 1,{\frac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$ أما بالنسبة لجميع قيم $D$ السالبة الأخرى ، فلا يوجد سوى وحدتين، وهما $1$ و $-1$ .

إذا كانت $D > 0$ ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة لـ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ يحتوي على عدد لا نهائي من الوحدات التي تساوي $\pm u i$ ، حيث $i$ عدد صحيح اختياري، و $u$ وحدة معينة تسمى الوحدة الأساسية . وبالنظر إلى وحدة أساسية $u$ ، توجد ثلاث وحدات أساسية أخرى، وهي مرافقاتها. ${\overline {u}},$ وأيضًا $-u$ و $-{\overline {u}}.$ يُطلق عادةً على الوحدة الأساسية اسم " الوحدة الفريدة" التي لها قيمة مطلقة أكبر من 1 (كعدد حقيقي). وهي الوحدة الأساسية الوحيدة التي يمكن كتابتها على الصورة $a + b \sqrt D$ ، حيث $a$ و $b$ عددان موجبان (أعداد صحيحة أو أنصاف أعداد صحيحة).

الوحدات الأساسية لأصغر عشرة أعداد موجبة خالية من المربعات $D$ هي ${\textstyle 1+{\sqrt {2}}}$ ( نسبة الفضة )، ${\textstyle 2+{\sqrt {3}}}$ ، ${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ( النسبة الذهبية )، ${\textstyle 5+2{\sqrt {6}}}$ ، ${\textstyle 8+3{\sqrt {7}}}$ ، ${\textstyle 3+{\sqrt {10}}}$ ، ${\textstyle 10+3{\sqrt {11}}}$ ، ${\textstyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$ ، ${\textstyle 15+4{\sqrt {14}}}$ ، ${\textstyle 4+{\sqrt {15}}}$ بالنسبة لقيم $D$ الكبيرة ، قد تكون معاملات الوحدة الأساسية كبيرة جدًا. على سبيل المثال، بالنسبة $لقيم D = 19، 31، 43$ ، تكون الوحدات الأساسية على التوالي ${\textstyle 170+39{\sqrt {19}}}$ ، ${\textstyle 1520+273{\sqrt {31}}}$ و ${\textstyle 3482+531{\sqrt {43}}}$ .

أمثلة على حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية المعقدة

الأعداد الصحيحة الغاوسية في المستوى المركب

أعداد أيزنشتاين الأولية في المستوى المركب

عندما يكون $D$ < 0، يكون $ω$ عددًا مركبًا ( تخيليًا أو غير حقيقي). لذلك، من الطبيعي التعامل مع حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية كمجموعة من الأعداد المركبة الجبرية .

ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]$ ، الأعداد الصحيحة الغاوسية ، التي قدمها كارل غاوس حوالي عام 1800 لبيان قانون التبادلية التربيعي الثنائي الخاص به. ^{[ 5 ]}
العناصر في ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-3}}~\!{\bigr )}\right]$ تُسمى هذه الأعداد بالأعداد الصحيحة أيزنشتاين .
العناصر في ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-7}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-7}}~\!{\bigr )}\right]$ تُسمى هذه الأعداد بالأعداد الصحيحة الكلاينية

الحلقتان الأوليان المذكورتان أعلاه هما حلقتان من الأعداد الصحيحة لحقول دائرية Q ( ζ ₄ ) و Q ( ζ ₃ ) على التوالي. في المقابل، $\mathbf {Z} {\bigl [}{\sqrt {-3}}~\!{\bigr ]}$ إنها ليست حتى من اختصاص ديديكيند .

جميع الأمثلة المذكورة أعلاه هي حلقات مثالية رئيسية ، وهي أيضًا مجالات إقليدية للمعيار. هذا ليس هو الحال بالنسبة لـ

{\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],

وهو ليس حتى مجال تحليل فريد . ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي.

في ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},$ لدينا

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

العوامل 3، $2+{\sqrt {-5}}$ و $2-{\sqrt {-5}}$ هي غير قابلة للاختزال ، لأن جميعها لها معيار 9، وإذا لم تكن غير قابلة للاختزال، فسيكون لها عامل معياره 3، وهو أمر مستحيل، لأن معيار العنصر المختلف عن $\pm1$ هو 4 على الأقل. وبالتالي فإن تحليل العدد 9 إلى عوامل غير قابلة للاختزال ليس فريدًا.

المُثُل $\langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle$ و $\langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle$ ليست رئيسية ، حيث تُظهر عملية حسابية بسيطة أن ناتجها هو المثالي الناتج عن 3، وإذا كانت رئيسية، فإن هذا يعني أن 3 لن تكون غير قابلة للاختزال.

أمثلة على حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية الحقيقية

الأعداد الأولية الذهبية $π = a + bω$ في المستوى الحقيقي، باستخدام الخريطة $x، y = (π, π)$ وحذف المضاعفات $\pmω n π$ مع $n \neq 0.$

عندما يكون $D$ $> 0$ ، فإن $ω$ عدد حقيقي غير نسبي موجب ، وحلقة الأعداد الصحيحة التربيعية المقابلة هي مجموعة من الأعداد الحقيقية الجبرية. حلول معادلة بيل $X² - DY² = 1$ ، وهي معادلة ديوفانتية دُرست على نطاق واسع، هي وحدات هذه الحلقات، عندما يكون $D \equiv 2، 3 (mod 4$ $)$ .

عندما يكون $D$ $= 5$ ، $فإن$ $ω = 1/2 (1 + \sqrt5) هي$ النسبة الذهبية . وقد درس بيتر غوستاف ليجون ديريشليه $هذه الحلقة$ الذهبية للأعداد الصحيحة . وحداتها تأخذ الشكل $\pm$ $ωn$ $،$ حيث $n عدد صحيح اختياري. تنشأ هذه الحلقة أيضًا$ $من$ دراسة التناظر الدوراني الخماسي على المستوى الإقليدي ، على سبيل المثال، تبليطات بنروز . ^[⁶^]
قام عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا بمعالجة معادلة بيل $X² - 61Y² = 1 ،$ والتي تُقابل الحلقة $Z [\sqrt61] . وقدّم$ بيير فيرما بعض النتائج للمجتمع الأوروبي في عام $1657$ $.$

الحلقات الرئيسية للأعداد الصحيحة التربيعية

لا تتحقق خاصية التحليل الفريد دائمًا لحلقات الأعداد الصحيحة التربيعية، كما رأينا سابقًا في حالة $Z [\sqrt -5]$ . مع ذلك، وكما هو الحال في أي مجال ديديكيند ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية تكون مجال تحليل فريد إذا وفقط إذا كانت مجالًا مثاليًا رئيسيًا . ويتحقق هذا إذا وفقط إذا كان عدد فئات الحقل التربيعي المقابل يساوي واحدًا.

تم تحديد الحلقات التخيلية للأعداد الصحيحة التربيعية التي تمثل حلقات مثالية رئيسية بشكل كامل. هذه هي ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ل

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163

.

افترض غاوس هذه النتيجة لأول مرة ، ثم أثبتها كورت هيغنر ، إلا أن برهان هيغنر لم يُصدّق حتى قدّم هارولد ستارك برهانًا لاحقًا في عام 1967 (انظر نظرية ستارك-هيغنر ). وهذه حالة خاصة من مسألة عدد الفئات الشهيرة .

توجد العديد من الأعداد الصحيحة الموجبة المعروفة $D > 0$ التي تُشكّل حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية حلقة مثالية رئيسية لها. مع ذلك، فإن القائمة الكاملة غير معروفة؛ بل ولا يُعرف حتى ما إذا كان عدد هذه الحلقات المثالية الرئيسية محدودًا أم لا.

حلقات إقليدية من الأعداد الصحيحة التربيعية

عندما تكون حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية مجالًا مثاليًا رئيسيًا، فمن المهم معرفة ما إذا كانت مجالًا إقليديًا . وقد تم حل هذه المسألة بالكامل على النحو التالي.

مجهز بالمعيار $N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|$ كدالة إقليدية ، ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ هو مجال إقليدي لقيم $D$ السالبة عندما

D = -1, -2, -3, -7, -11

,^{[ 7 ]}

وبالنسبة لقيمة $D$ الموجبة ، عندما

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

(التسلسل A048981 في OEIS ) .

لا توجد حلقة أخرى من الأعداد الصحيحة التربيعية تكون إقليدية ويكون معيارها دالة إقليدية. ^{[ 8 ]} بالنسبة لـ $D$ السالبة ، تكون حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية إقليدية إذا وفقط إذا كان معيارها دالة إقليدية لها. ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لـ

D = -19، -43، -67، -163

،

تُعد الحلقات الأربع المقابلة للأعداد الصحيحة التربيعية من بين الأمثلة النادرة المعروفة لمجالات المثالي الرئيسي التي ليست مجالات إقليدية.

من جهة أخرى، تفترض فرضية ريمان المعممة أن حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية الحقيقية التي تمثل مجالًا مثاليًا رئيسيًا هي أيضًا مجال إقليدي لدالة إقليدية ما، والتي قد تختلف بالفعل عن المعيار المعتاد. ^{[ 9 ]} وكانت القيمتان D = 14 و69 هما أول قيمتين ثبت عندهما أن حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية إقليدية، ولكنها ليست إقليدية معيارية. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

ملحوظات

^ ديديكيند 1871 ، الملحق العاشر، ص. 447
↑ بورباكي 1994 ، ص 99
↑ "لماذا تُعرَّف حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية بهذه الطريقة؟" . math.stackexchange.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-12-2016 .
↑ آرتين ، الفصل 13
↑ دوميت وفوت 2004 ، ص 229
↑ دي بروين 1981
↑ دوميت وفوت 2004 ، ص 272
^ ليفيك 2002 ، ص. الثاني:57، 81
↑ P. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers . In: Analytic Number Theory (St. Louis, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.
↑ هاربر 2004
↑ كلارك 1994

مراجع

آرتين، م، الجبر ( الطبعة الثانية)
بورباكي، نيكولاس (1994). عناصر من تاريخ الرياضيات . ترجمة جون ميلدروم . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-64767-6MR 1290116
كلارك، ديفيد أ. (1994)، "حقل تربيعي إقليدي ولكنه ليس معياريًا إقليديًا" (ملف PDF) ، مخطوطات رياضية ، 83 : 327-330 ، doi : 10.1007/BF02567617 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 29 يناير 2015
de Bruijn ، NG (1981)، “النظرية الجبرية لبلاطات بنروز غير الدورية للمستوى، I، II” (PDF) ، Indagationes Mathematicae ، 43 (1): 39–66
ديديكيند ، ريتشارد (1871)، Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet ( الطبعة الثانية)، Vieweg ، استرجاعها 2009-08-05
Dummit, DS; Foote, RM (2004), Abstract Algebra (3rd ed.)
هاربر، م. (2004)، " $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ إقليدية "، Can. J. Math. 56 ، 56 : 55–70 ، doi : 10.4153/CJM-2004-003-9
ليفيك، ويليام ج. (2002) [1956]. مواضيع في نظرية الأعداد، المجلدان الأول والثاني . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .

للمزيد من القراءة

جيه إس ميلن. نظرية الأعداد الجبرية ، الإصدار 3.01، 28 سبتمبر 2008. ملاحظات المحاضرة على الإنترنت

[FOOTNOTEDedekind1871Supplement_X,_p._447-1] ديديكيند 1871 ، الملحق العاشر، ص. 447

[FOOTNOTEBourbaki199499-2] بورباكي 1994 ، ص 99

[3] "لماذا تُعرَّف حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية بهذه الطريقة؟" . math.stackexchange.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-12-2016 .

[FOOTNOTEArtinCh_13-4] آرتين ، الفصل 13

[FOOTNOTEDummitFoote2004229-5] دوميت وفوت 2004 ، ص 229

[FOOTNOTEde_Bruijn1981-6] دي بروين 1981

[FOOTNOTEDummitFoote2004272-7] دوميت وفوت 2004 ، ص 272

[FOOTNOTELeVeque2002II:57,_81-8] ليفيك 2002 ، ص. الثاني:57، 81

[9] P. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers . In: Analytic Number Theory (St. Louis, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.

[FOOTNOTEHarper2004-10] هاربر 2004

[FOOTNOTEClark1994-11] كلارك 1994

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗