نظرية المجموعات غير المؤسسة على أسس متينة

تُعدّ نظريات المجموعات غير المؤسسة جيدًا (أو غير المؤسسة جيدًا ، كما في ^{[ 1 ]} أو سيئة التأسيس ^{[ 2 ]} ) من أشكال نظرية المجموعات البديهية التي تسمح للمجموعات بأن تكون عناصر في ذاتها، وإلا فإنها تنتهك قاعدة التأسيس الجيد . في هذه النظريات، يُستبدل بديهية التأسيس في نظرية ZFC ببديهيات تستلزم نفيها.

بدأ ديمتري ميريمانوف دراسة المجموعات غير المؤسسة جيدًا في سلسلة من الأبحاث بين عامي 1917 و1920، حيث صاغ التمييز بين المجموعات المؤسسة جيدًا والمجموعات غير المؤسسة جيدًا؛ ولم يعتبر المؤسسة الجيدة بديهية . وعلى الرغم من اقتراح عدد من الأنظمة البديهية للمجموعات غير المؤسسة جيدًا لاحقًا، إلا أنها لم تجد تطبيقات واسعة حتى صدور كتاب " المجموعات غير المؤسسة جيدًا" لبيتر أكسل الذي قدم نظرية المجموعات الفائقة عام 1988. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

تم تطبيق نظرية المجموعات غير المؤسسة جيدًا في النمذجة المنطقية للعمليات الحسابية غير المنتهية في علوم الحاسوب ( جبر العمليات والدلالات النهائية )، واللغويات ودلالات اللغة الطبيعية ( نظرية الموقف )، والفلسفة (العمل على ^مفارقة الكاذب )، وفي سياق مختلف، التحليل غير القياسي . ^{[ 6} ]

في عام 1917، قدم ديمتري ميريمانوف ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} مفهوم الأساس الجيد للمجموعة:

تكون المجموعة x₀ مؤسسة جيدًا إذا لم يكن لها تسلسل عضوية تنازلي _{لانهائي}${\displaystyle \cdots \in x_{2}\in x_{1}\in x_{0}.}$

في نظرية ZFC، لا توجد متتالية تنازلية لانهائية من نوع ∈ وفقًا لبديهية الانتظام . في الواقع، تُسمى بديهية الانتظام غالبًا بديهية الأساس ، إذ يُمكن إثباتها ضمن ZFC- ⁽ أي ZFC بدون بديهية الانتظام) بأن الأساس الجيد يستلزم الانتظام. في متغيرات ZFC التي لا تتضمن بديهية الانتظام ، تظهر إمكانية وجود مجموعات غير مؤسسة جيدًا ذات سلاسل ∈ شبيهة بالمجموعات. على سبيل المثال، المجموعة A التي تحقق الشرط A ∈ A هي مجموعة غير مؤسسة جيدًا.

Although Mirimanoff also introduced a notion of isomorphism between possibly non-well-founded sets, he considered neither an axiom of foundation nor of anti-foundation.^[9] In 1926, Paul Finsler introduced the first axiom that allowed non-well-founded sets. After Zermelo adopted Foundation into his own system in 1930 (from von Neumann's 1925–1929 work), interest in non-well-founded sets waned for decades.^[11] An early non-well-founded set theory was Willard Van Orman Quine's New Foundations, although it is not merely ZF with a replacement for Foundation.

Several proofs of the independence of Foundation from the rest of ZF were published in 1950s particularly by Paul Bernays (1954), following an announcement of the result in an earlier paper of his from 1941, and by Ernst Specker who gave a different proof in his Habilitationsschrift of 1951, proof which was published in 1957. Then in 1957 Rieger's theorem was published, which gave a general method for such a proof to be carried out, rekindling some interest in non-well-founded axiomatic systems.^[12] The next axiom proposal came in a 1960 congress talk of Dana Scott (never published as a paper), proposing an alternative axiom now called SAFA.^[13] Another axiom proposed in the late 1960s was Maurice Boffa's axiom of superuniversality, described by Aczel as the highpoint of research of its decade.^[14] Boffa's idea was to make foundation fail as badly as it can (or rather, as extensionality permits): Boffa's axiom implies that every extensionalset-like relation is isomorphic to the elementhood predicate on a transitive class.

A more recent approach to non-well-founded set theory, pioneered by M. Forti and F. Honsell in the 1980s, borrows from computer science the concept of a bisimulation. Bisimilar sets are considered indistinguishable and thus equal, which leads to a strengthening of the axiom of extensionality. In this context, axioms contradicting the axiom of regularity are known as anti-foundation axioms, and a set that is not necessarily well-founded is called a hyperset.

Four mutually exclusive anti-foundation axioms are well-known, sometimes abbreviated by the first letter in the following list:

1. A FA ("مبدأ مناهضة الأساس") – بسبب M. Forti و F. Honsell (يُعرف هذا أيضًا باسم مبدأ مناهضة الأساس لـ Aczel ) ؛
2. S AFA (مؤسسة سكوت لكرة القدم الأمريكية) – بسبب دانا سكوت ،
3. F AFA (Finsler's AFA) – بسبب بول فينسلر ،
4. B AFA ("Boffa's AFA") - بسبب موريس بوفا .

تُقابل هذه المفاهيم أساسًا أربعة مفاهيم مختلفة للمساواة في المجموعات غير المؤسسة جيدًا. أولها، AFA، يعتمد على الرسوم البيانية الموجهة المتاحة (apg)، وينص على أن مجموعتين فائقتين متساويتان إذا وفقط إذا أمكن تمثيلهما بنفس الرسم البياني الموجه المتاح. ضمن هذا الإطار، يمكن إثبات أن المعادلة x = { x } لها حل واحد فقط، وهو ذرة كوين الفريدة في النظرية.

كل بديهية من البديهيات المذكورة أعلاه توسع نطاق البديهية السابقة، بحيث: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. في عالم بوفا، تشكل ذرات كوين المتميزة فئة مناسبة . ^{[ 15 ]}

من الجدير بالذكر أن نظرية المجموعات الفائقة هي امتداد لنظرية المجموعات الكلاسيكية وليست بديلاً عنها: فالمجموعات المؤسسة جيدًا داخل مجال المجموعة الفائقة تتوافق مع نظرية المجموعات الكلاسيكية.

في الأبحاث المنشورة، تُسمى المجموعات غير المؤسسة جيدًا أيضًا بالمجموعات الفائقة، على غرار الأعداد الحقيقية الفائقة للتحليل غير القياسي . ^{[ 16 ] [ 17 ]}

استُخدمت المجموعات الفائقة على نطاق واسع من قِبل جون باروايز وجون إتشيمندي في كتابهما "الكاذب" الصادر عام 1987 ، والذي يتناول مفارقة الكاذب . وقد أسهمت مقترحات الكتاب في نظرية الحقيقة . ^{[ 16 ]} كما يُعدّ الكتاب مدخلاً جيداً لموضوع المجموعات غير المؤسسة. ^{[ 16 ]}

• نظرية المجموعات البديلة
• مجموعة عالمية
• سلاحف على طول الطريق

• Aczel, Peter (1988), Non-Well-Founded Sets, CSLI Lecture Notes, vol. 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, MR 0940014.
• Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), "Standard foundations for nonstandard analysis", Journal of Symbolic Logic, 57 (2): 741–748, doi:10.2307/2275304, JSTOR 2275304, S2CID 39158351.
• Barwise, Jon; Etchemendy, John (1987), The Liar: An Essay on Truth and Circularity, Oxford University Press, ISBN 9780195059441
• Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Vicious circles. On the mathematics of non-wellfounded phenomena, CSLI Lecture Notes, vol. 60, CSLI Publications, ISBN 1-57586-009-0
• Boffa., M. (1968), "Les ensembles extraordinaires", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, 20: 3–15, Zbl 0179.01602
• Boffa, M. (1972), "Forcing et négation de l'axiome de Fondement", Acad. Roy. Belgique, Mém. Cl. Sci., Coll. 8∘, Série II, 40 (7), Zbl 0286.02068
• Devlin, Keith (1993), "§7. Non-Well-Founded Set Theory", The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94094-6
• Finsler، P. (1926)، “Über die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome”، الرياضيات. ز. ، 25 : 683–713 ، دوى : 10.1007/BF01283862 ، JFM 52.0192.01 ترجمة في: فينزلر، بول؛ بوث، ديفيد (1996). نظرية المجموعات لفينسلر: الأفلاطونية والدائرية : ترجمة لأوراق بول فينزلر حول نظرية المجموعات مع تعليقات تمهيدية . سبرينغر. ISBN  978-3-7643-5400-8.
• هالت، مايكل (1986)، نظرية المجموعات الكانتورية وحدود الحجم ، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 9780198532835.
• كانوفي، فلاديمير ؛ ريكن، مايكل (2004)، التحليل غير القياسي، بشكل بديهي ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-22243-9
• ليفي، عزريل (2012) [2002]، نظرية المجموعات الأساسية ، منشورات دوفر، رقم ISBN 9780486150734.
• ميريمانوف د. (1917)، “Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et leإشكالية أساسية في نظرية المجموعات”، L’Enseignement Mathématique ، 19 : 37–52 ، JFM 46.0306.01 . 
• نيتا، تاكاشي؛ أوكادا، توموكو؛ تزوفاراس، أثاناسيوس (2003)، "تصنيف المجموعات غير المؤسسة جيدًا وتطبيق" (ملف PDF) ، مجلة المنطق الرياضي الفصلية ، 49 (2): 187-200 ، doi : 10.1002/malq.200310018 ، MR 1961461 
• باكّان، إم جيه؛ أكرمان، في. (1994)، "قضايا في نظرية المجموعات المنطقية" (ملف PDF) ، مراجعة الذكاء الاصطناعي ، 8 (4): 279-308 ، doi : 10.1007/BF00849061 ، hdl : 11693/25955 ، S2CID 6323872 
• راثجن، م. (2004)، "التنبؤية، والدورانية، والأساس المضاد" (ملف PDF) ، في لينك، جوديهارد (محرر)، مئة عام من مفارقة راسل: الرياضيات، والمنطق، والفلسفة ، والتر دي جرويتر، ISBN 978-3-11-019968-0
• سانجيورجي، دافيد (2011)، "أصول التماثل الثنائي والاستقراء المشترك"، في سانجيورجي، دافيد؛ روتن، جان (محرران)، موضوعات متقدمة في التماثل الثنائي والاستقراء المشترك ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-1-107-00497-9
• سكوت، دانا (1960)، "نموذج مختلف لنظرية المجموعات"، ورقة بحثية غير منشورة، محاضرة ألقيت في مؤتمر ستانفورد لعام 1960 حول المنطق والمنهجية وفلسفة العلوم

• Moss, Lawrence S. (2018). "Non-wellfounded Set Theory". Stanford Encyclopedia of Philosophy.

• Metamath page on the axiom of Regularity. Fewer than 1% of that database's theorems are ultimately dependent on this axiom, as can be shown by a command ("show usage") in the Metamath program.