نظرية تماثل البقايا المعيارية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية تماثل البقايا المعيارية نتيجةً طال انتظارها تربط بين نظرية ميلنور K ونظرية غالوا للتماثل . تتميز هذه النتيجة بصياغة بسيطة نسبيًا، وفي الوقت نفسه تُمثّل نقطة تحوّل أساسية في براهين العديد من النظريات التي تبدو غير مترابطة في الجبر المجرد ، ونظرية الأشكال التربيعية ، ونظرية K الجبرية، ونظرية الدوافع . تنصّ النظرية على أن عبارةً معينةً صحيحة لأي عدد أولي.ℓ{\displaystyle \ell }وأي عدد طبيعين{\displaystyle n}تكهن جون ميلنور [ 1 ] بأن هذه النظرية قد تكون صحيحة بالنسبة لـℓ=2{\displaystyle \ell =2}وكل شيءن{\displaystyle n}وأصبح هذا السؤال يُعرف باسم حدسية ميلنور . وقد افترض سبنسر بلوخ وكازويا كاتو الحالة العامة [ 2 ] ، وأصبحت تُعرف باسم حدسية بلوخ-كاتو أو حدسية بلوخ-كاتو التحفيزية لتمييزها عن حدسية بلوخ-كاتو المتعلقة بقيم دوال L. [ 3 ] وقد أثبت فلاديمير فويفودسكي نظرية تماثل البقايا المعيارية باستخدام عدد من النتائج المبتكرة للغاية لماركوس روست .

إفادة

لأي عدد صحيح ℓ قابل للعكس في حقلك{\displaystyle k}توجد خريطة ∂:ك×→ح1(ك،μℓ){\displaystyle \partial :k^{\times }\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })} أينμℓ{\displaystyle \mu _{\ell }}يرمز إلى وحدة غالوا للجذور ℓ للوحدة في إغلاق قابل للفصل لـ k . وهو يُحدث تماثلًا.ك×/(ك×)ℓ≅ح1(ك،μℓ){\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{\ell }\cong H^{1}(k,\mu _{\ell })}أول دليل على أن هذا مرتبط بنظرية K هو أنك×{\displaystyle k^{\times }}هي المجموعة K 1 ( k ). بأخذ جداءات الموترات وتطبيق خاصية الضرب في علم التماثل الإيتالي، نحصل على امتداد للخريطة∂{\displaystyle \partial }إلى الخرائط:

∂ن:ك×⊗⋯⊗ك×→حهـ´تن(ك،μℓ⊗ن).{\displaystyle \partial ^{n}:k^{\times }\otimes \cdots \otimes k^{\times }\rightarrow H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).}

تتميز هذه الخرائط بالخاصية التالية: لكل عنصر a فيك∖{0،1}{\displaystyle k\setminus \{0,1\}}،∂ن(...،أ،...،1-أ،...){\displaystyle \partial ^{n}(\ldots ,a,\ldots ,1-a,\ldots )}يتلاشى. هذه هي العلاقة المميزة لنظرية ميلنور K. تحديدًا، تُعرَّف نظرية ميلنور K بأنها الأجزاء المتدرجة من الحلقة:

ك*م(ك)=تي(ك×)/({أ⊗(1-أ):أ∈ك∖{0،1}})،{\displaystyle K_{*}^{M}(k)=T(k^{\times })/(\{a\otimes (1-a)\colon a\in k\setminus \{0,1\}\}),}

أينتي(ك×){\displaystyle T(k^{\times })}هي جبر الموترات للمجموعة الضربيةك×{\displaystyle k^{\times }}ويكون الناتج عن القسمة هو المثالي ذو الجانبين الناتج عن جميع عناصر الشكلأ⊗(1-أ){\displaystyle a\otimes (1-a)}لذلك الخريطة∂ن{\displaystyle \partial ^{n}}العوامل من خلال الخريطة:

∂ن:كنم(ك)→حهـ´تن(ك،μℓ⊗ن).{\displaystyle \partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).}

تُسمى هذه الخريطة رمز غالوا أو خريطة البقايا المعيارية . [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ولأن علم التماثل الإيتالي بمعاملات mod-ℓ هو زمرة التواء ℓ، فإن هذه الخريطة تُحلل أيضًا عبركنم(ك)/ℓ{\displaystyle K_{n}^{M}(k)/\ell }.

تنص نظرية تماثل البقايا المعيارية (أو حدسية بلوخ-كاتو) على أنه بالنسبة لحقل k وعدد صحيح ℓ قابل للعكس في k ، فإن خريطة البقايا المعيارية

∂ن:كنم(ك)/ℓ→حهـ´تن(ك،μℓ⊗ن){\displaystyle \partial ^{n}:K_{n}^{M}(k)/\ell \to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})}

التحويل من نظرية ميلنور K-theory mod-ℓ إلى علم التماثل الإيتالي هو تماثل. الحالة ℓ = 2 هي حدسية ميلنور ، والحالة n = 2 هي نظرية ميركورجيف-سوسلين. [ 6 ] [ 7 ]

تاريخ

إنّ التماثل الإيتالي لحقل ما مطابقٌ لتماثل غالوا ، لذا فإنّ التخمين يُساوي بين الالتواء المشترك من الرتبة ℓ (ناتج القسمة على المجموعة الجزئية للعناصر القابلة للقسمة من الرتبة ℓ) لمجموعة ميلنور K للحقل k مع تماثل غالوا للحقل k بمعاملات في وحدة غالوا للجذور ℓ للوحدة. يكمن جوهر التخمين في وجود خصائص يسهل ملاحظتها في مجموعات ميلنور K ، ولكن ليس في تماثل غالوا، والعكس صحيح؛ إذ تُتيح نظرية تماثل البقايا المعيارية تطبيق التقنيات المُطبقة على الكائن الموجود على أحد جانبي التماثل على الكائن الموجود على الجانب الآخر منه.

الحالة التي يكون فيها n يساوي صفرًا بديهية، والحالة التي يكون فيها n يساوي 1 تتبع بسهولة من نظرية هيلبرت 90. أما الحالة التي يكون فيها n يساوي 2 وℓ يساوي 2 فقد أثبتها ( ميركورجيف 1981 ) . وكان من أهم التطورات الحالة التي يكون فيها n يساوي 2 وℓ قيمة اختيارية. وقد أثبت هذه الحالة ( ميركورجيف وسوسلين 1982 ) وتُعرف بنظرية ميركورجيف -سوسلين . في وقت لاحق، أثبت ميركورجيف وسوسلين، وبشكل مستقل، روست، الحالة n = 3 و ℓ = 2 ( ميركورجيف وسوسلين 1991 ) خطأ harv: لا يوجد هدف: CITEREFRest1991 ( مساعدة ) ( روست 1986 ) خطأ harv: لا يوجد هدف: CITEREFRost1986 ( مساعدة ) .

يشير مصطلح "بقايا المعيار" في الأصل إلى رمز هيلبرت(أ1،أ2){\displaystyle (a_{1},a_{2})}، والتي تأخذ قيمًا في زمرة براور k (عندما يحتوي الحقل على جميع الجذور من الرتبة ℓ للوحدة). استخدامها هنا قياسًا على نظرية الحقل المحلية القياسية ، ومن المتوقع أن تكون جزءًا من نظرية حقل "أعلى" (لم يتم تطويرها بعد).

تستلزم نظرية تماثل البقايا المعيارية حدسية كويلين-ليشتنباوم .

تاريخ البرهان

أثبت فلاديمير فويفودسكي حدسية ميلنور . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] وفي وقت لاحق، أثبت فويفودسكي حدسية بلوخ-كاتو العامة. [ 12 ] [ 13 ]

نقطة البداية للبرهان هي سلسلة من التخمينات التي وضعها ليشتنباوم (1983) وبيلينسون (1987). افترضا وجود مُركّبات تحفيزية ، وهي مُركّبات من الحزم التي ترتبط تماثليتها بالتماثل التحفيزي . من بين الخصائص التخمينية لهذه المُركّبات ثلاث خصائص: الأولى تربط تماثل زاريسكي الخاص بها بنظرية ميلنور K ، والثانية تربط تماثل إيتالي الخاص بها بالتماثل ذي المعاملات في حزم جذور الوحدة، والثالثة تربط تماثل زاريسكي الخاص بها بتماثل إيتالي. تشير هذه الخصائص الثلاث، كحالة خاصة جدًا، إلى أن خريطة باقي المعيار يجب أن تكون تماثلًا. تتمثل السمة الأساسية لهذا البرهان في استخدامه الاستقراء على "الوزن" (الذي يساوي بُعد مجموعة التماثل في التخمين)، حيث تتطلب خطوة الاستقراء معرفة ليس فقط نص تخمين بلوخ-كاتو، بل أيضًا النص الأكثر عمومية الذي يتضمن جزءًا كبيرًا من تخمينات بيلينسون-ليشتنباوم. وكثيرًا ما يحدث في البراهين الاستقراءية أن يُضطر إلى تقوية النص المراد إثباته لإثبات خطوة الاستقراء. في هذه الحالة، استلزم التقوية اللازمة تطوير كم هائل من الرياضيات الجديدة.

أُدرج أقدم برهان لتخمين ميلنور في منشور أولي لفوفودسكي [ 8 ] نُشر عام 1995 ، وهو مستوحى من فكرة وجود نظائر جبرية لنظرية مورافا K ( وقد بنى سيمون بورغيزي [ 14 ] هذه النظريات الجبرية لاحقًا ). وفي منشور أولي آخر نُشر عام 1996، تمكن فوفودسكي من استبعاد نظرية مورافا K من المعادلة بإدخال التماثلات الجبرية واستخدام بعض خصائصها التي لم تكن مثبتة آنذاك (وقد ثبتت هذه الخصائص لاحقًا). وقد ثبتت صحة بناءات المنشورين الأوليين لعامي 1995 و1996، إلا أن أول برهان مكتمل لتخمين ميلنور استخدم مخططًا مختلفًا نوعًا ما.

وهي أيضاً الطريقة التي يتبعها برهان حدسية بلوخ-كاتو الكاملة. وقد وضعها فويفودسكي بعد بضعة أشهر من نشر النسخة الأولية عام ١٩٩٦. تطلّب تطبيق هذه الطريقة إحراز تقدّم كبير في مجال نظرية التماثل التحفيزي، بالإضافة إلى إيجاد طريقة لبناء متنوّعات جبرية بقائمة محدّدة من الخصائص. ومن نظرية التماثل التحفيزي، تطلّب البرهان ما يلي:

  1. بناء النظير التحفيزي للمكون الأساسي لثنائية سبانير-وايت هيد في شكل الفئة الأساسية التحفيزية كتشاكل من الكرة التحفيزية إلى فضاء ثوم للحزمة العادية التحفيزية على مجموعة متنوعة جبرية إسقاطية سلسة.
  2. بناء النظير الموتيف لجبر ستينرود .
  3. برهان على الاقتراح الذي ينص على أنه على حقل ذي خاصية صفرية، فإن جبر ستينرود التحفيزي يميز جميع عمليات التماثل الثنائي المستقر في التماثل التحفيزي.

تم تطوير أول بناءين بواسطة فويفودسكي بحلول عام 2003. وبالاقتران مع النتائج التي كانت معروفة منذ أواخر الثمانينيات، كانت كافية لإعادة إثبات حدسية ميلنور .

في عام ٢٠٠٣ أيضًا، نشر فويفودسكي على الإنترنت نسخة أولية من بحثه كادت أن تتضمن برهانًا للنظرية العامة. وقد اتبعت هذه النسخة المخطط الأصلي، لكنها افتقرت إلى براهين ثلاث عبارات. اثنتان من هذه العبارات كانتا مرتبطتين بخصائص عمليات ستينرود التحفيزية، واشترطتا الحقيقة الثالثة المذكورة أعلاه، بينما اشترطت العبارة الثالثة حقائق غير معروفة آنذاك حول "متنوعات المعيار". وقد صاغ فويفودسكي الخصائص المطلوبة لهذه التنوعات في عام ١٩٩٧، وقام ماركوس روست ببناء التنوعات نفسها في الفترة ما بين ١٩٩٨ و٢٠٠٣. وأكمل أندريه سوسلين وسيفا جوخوفيتسكي برهان امتلاكها للخصائص المطلوبة في عام ٢٠٠٦.

تطلّبت الحقيقة الثالثة المذكورة أعلاه تطوير تقنيات جديدة في نظرية التماثل التحفيزي. وكان الهدف هو إثبات أن دالة، لا يُفترض أن تتبادل مع النهايات أو النهايات المشتركة، تحافظ على التكافؤات الضعيفة بين كائنات ذات شكل معين. ومن أبرز الصعوبات التي واجهت هذا الأمر أن المنهج القياسي لدراسة التكافؤات الضعيفة يعتمد على أنظمة تحليل بوسفيلد-كويلين وهياكل فئات النماذج ، وهي مناهج غير كافية. لذا كان لا بد من تطوير مناهج أخرى، ولم يُكمل فويفودسكي هذا العمل إلا في عام ٢٠٠٨.

أثناء تطوير هذه التقنيات، اتضح أن العبارة الأولى المستخدمة دون برهان في مسودة فويفودسكي لعام ٢٠٠٣ خاطئة. كان لا بد من تعديل البرهان تعديلًا طفيفًا ليتوافق مع الصيغة المصححة لتلك العبارة. وبينما واصل فويفودسكي العمل على وضع اللمسات الأخيرة على براهين النظريات الرئيسية المتعلقة بفضاءات إيلنبرغ-ماكلين ذات الدافعية ، ابتكر تشارلز ويبل منهجًا لتصحيح الموضع الذي كان لا بد من تعديله في البرهان. كما نشر ويبل في عام ٢٠٠٩ ورقة بحثية تضمنت ملخصًا لبنى فويفودسكي بالإضافة إلى التصحيح الذي اكتشفه. [ ١٥ ]

تخمين بيلينسون-ليشتنباوم

ليكن X تنوعًا أملسًا على حقل يحتوي على1/ℓ{\displaystyle 1/\ell }افترض بيلينسون وليشتنباوم أن مجموعة التماثل الموتيفيةحص،q(X،Z/ℓ){\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbf {Z} /\ell )}متماثل مع مجموعة التماثل الإيتاليحهـ´تص(X،μℓ⊗q){\displaystyle H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{p}(X,\mu _{\ell }^{\otimes q})}عندما يكون p ≤ q . وقد تم إثبات هذه الفرضية الآن، وهي مكافئة لنظرية تماثل البقايا المعيارية.

مراجع

  1. ↑ ميلنور (1970)
  2. ↑ بلوخ، سبنسر وكاتو، كازويا، "p-adic étale cohomology"، Inst. الدراسات العليا العلوم. نشر. الرياضيات. العدد 63 (1986)، ص. 118
  3. ↑ بلوخ، سبنسر وكاتو، كازويا، "دوال L وأعداد تاماغاوا للدوافع"، كتاب غروتينديك التذكاري، المجلد الأول، 333-400، بروغر. ماث.، 86، بيركهاوزر بوسطن، بوسطن، ماساتشوستس، 1990.
  4. ↑ سرينيفاس (1996) ص 146
  5. ^ جيل وسامويلي (2006) ص.108
  6. 1 2 إفرات (2006) ص 221
  7. ↑ سرينيفاس (1996) ص 145-193
  8. 1 2 "فويفودسكي، فلاديمير. "تخمين بلوخ-كاتو لمعاملات Z/2 ونظريات مورافا الجبرية K" (1995)" . UIUC.edu . تم الاطلاع عليه في 3 أغسطس 2017 .
  9. ↑ "فويفودسكي، فلاديمير، "تخمين ميلنور" (1996)" . UIUC.edu . تم الاطلاع عليه في 3 أغسطس 2017 .
  10. ↑ "فويفودسكي، فلاديمير، "حول الالتواء الثنائي في علم التماثل التحفيزي" (2001)" . UIUC.edu . تم الاطلاع عليه في 3 أغسطس 2017 .
  11. ^ فلاديمير فويفودسكي، “علم التجانس الدافع مع معاملات Z/2”، Publ. الرياضيات. انست. الدراسات العليا العلوم. رقم 98 (2003)، 59-104.
  12. ↑ "فويفودسكي، فلاديمير، "حول علم التماثل التحفيزي بمعاملات Z/l" (2008)" . UIUC.edu . تم الاطلاع عليه في 3 أغسطس 2017 .
  13. ↑ فويفودسكي (2010)
  14. ↑ بورغيزي (2000)
  15. ↑ ويبل، سي. (2009). "نظرية تماثل البقايا المعيارية". مجلة الطوبولوجيا . 2 (2). وايلي: 346-372 . doi : 10.1112/jtopol/jtp013 . ISSN 1753-8416 . 

فهرس