فضاء توم

في الرياضيات ، فضاء توم، أو مجمع توم، أو بناء بونترياجين-ثوم (سمي على اسم رينيه توم وليف بونترياجين ) لطوبولوجيا الجبر وطوبولوجيا التفاضل، هو فضاء طوبولوجي مرتبط بحزمة متجهات ، على أي فضاء شبه مضغوط .

إحدى الطرق لبناء هذه المساحة هي كما يلي. دع

${\displaystyle p\colon E\to B}$

تكون حزمة متجهات حقيقية من رتبة n على الفضاء شبه المضغوط B. ثم لكل نقطة b في B ، تكون الألياف فضاء متجه حقيقي ذو أبعاد n . يمكننا تكوين حزمة كروية من n عن طريق أخذ ضغط النقطة الواحدة لكل ألياف ولصقها معًا للحصول على الفضاء الكلي. ^{[ بحاجة لشرح إضافي ]} أخيرًا، نحصل من الفضاء الكلي على فضاء ثوم كحاصل قسمة بواسطة B ؛ أي عن طريق تحديد جميع النقاط الجديدة إلى نقطة واحدة ، والتي نأخذها كنقطة أساس لـ . إذا كانت B مضغوطة، فإن ضغط النقطة الواحدة لـ E يكون كذلك . ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle T(E)}$

على سبيل المثال، إذا كانت E هي الحزمة التافهة ، فإن و ، والكتابة لـ B مع نقطة أساسية منفصلة، ​​هي حاصل الضرب التحطيمي لـ و ؛ أي التعليق المختزل رقم n لـ . ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$${\displaystyle B\times S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$

بدلاً من ذلك، ^{[ بحاجة لمصدر ]} نظرًا لأن B شبه مضغوط، فيمكن إعطاء E مقياسًا إقليديًا ومن ثم يمكن تعريفه على أنه حاصل قسمة حزمة القرص الوحدوي لـ E على حزمة الكرة الوحدوية لـ E.${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle (n-1)}$

تبدأ أهمية هذا البناء بالنتيجة التالية، والتي تنتمي إلى موضوع التجانس لحزم الألياف . (لقد ذكرنا النتيجة من حيث المعاملات لتجنب التعقيدات الناشئة عن القدرة على التوجيه ؛ انظر أيضًا توجيه حزمة متجهة#فضاء توم .) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

ليكن لدينا حزمة متجهات حقيقية من الرتبة n . إذن هناك تماثل يسمى تماثل ثوم${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

لجميع k أكبر من أو يساوي 0، حيث يكون الجانب الأيمن هو التماثل المختزل .

تمت صياغة هذه النظرية وإثباتها بواسطة رينيه ثوم في أطروحته الشهيرة عام 1952.

يمكننا تفسير النظرية على أنها تعميم عالمي لتماثل التعليق على التفاهات المحلية، لأن فضاء توم للحزمة التافهة على B من الرتبة k متماثل مع التعليق k لـ ، B مع إضافة نقطة منفصلة (راجع #بناء فضاء توم). يمكن رؤية ذلك بسهولة أكبر في صياغة النظرية التي لا تشير إلى فضاء توم: ${\displaystyle B_{+}}$

باختصار، يقول الجزء الأخير من النظرية أن u تتولد بحرية كوحدة يمينية . وعادة ما تسمى الفئة u فئة Thom لـ E. ونظرًا لأن السحب هو تماثل حلقي ، فإن المعادلة التالية تعطى: ${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

على وجه الخصوص، يرسل تماثل ثوم عنصر الهوية إلى u . ملاحظة: لكي تكون هذه الصيغة منطقية، يتم التعامل مع u كعنصر (نتخلص من الحلقة ) ${\displaystyle H^{*}(B)}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^[1]

المرجع القياسي لتماثل ثوم هو كتاب بوت وتو.

في ورقته البحثية لعام 1952، أظهر توم أن فئة توم وفئات ستيفل-ويتني وعمليات ستينرود كانت جميعها مرتبطة. استخدم هذه الأفكار لإثبات في ورقة عام 1954 Quelques propriétés globales des variétés differentiables أنه يمكن حساب مجموعات الكوبورديزم كمجموعات هوموتوبيا لبعض فضاءات توم MG ( n ). يعتمد الإثبات على خصائص العرضية للمتعددات الملساء ويرتبط بها ارتباطًا وثيقًا - انظر نظرية العرضية لتوم . من خلال عكس هذا البناء، تمكن جون ميلنور وسيرجي نوفيكوف (من بين العديد من الآخرين) من الإجابة على أسئلة حول وجود وتفرد المتعددات عالية الأبعاد: يُعرف هذا الآن باسم نظرية الجراحة . بالإضافة إلى ذلك، تتلاءم الفضاءات MG (n) معًا لتكوين أطياف MG المعروفة الآن باسم أطياف توم ، ومجموعات الكوبورديزم مستقرة في الواقع . وبالتالي فإن بناء توم يوحد أيضًا بين الطوبولوجيا التفاضلية ونظرية التماثل المستقر، وهو جزء لا يتجزأ بشكل خاص من معرفتنا بمجموعات التماثل المستقرة للكرات .

إذا كانت عمليات ستينرود متاحة، فيمكننا استخدامها وتماثل النظرية لبناء فئات ستيفل-ويتني. تذكر أن عمليات ستينرود (mod 2) عبارة عن تحويلات طبيعية

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

مُعرَّف لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة m . إذا كان ، فإنه يتطابق مع مربع الكأس. يمكننا تعريف فئة Stiefel–Whitney رقم i لحزمة المتجهات من خلال: ${\displaystyle i=m}$${\displaystyle Sq^{i}}$${\displaystyle w_{i}(p)}$${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

إذا أخذنا الحزمة المذكورة أعلاه لتكون الحزمة المماسية لمتعدد شعب أملس، فإن استنتاج ما سبق يسمى صيغة وو ، وله النتيجة القوية التالية: بما أن عمليات ستينرود ثابتة تحت تكافؤ التماثل، فإننا نستنتج أن فئات ستيفل-ويتني لمتعدد الشعب ثابتة أيضًا. هذه نتيجة غير عادية لا يمكن تعميمها على فئات مميزة أخرى. توجد نتيجة مماثلة مشهورة وصعبة تثبت الثبات الطوبولوجي لفئات بونترياجين العقلانية ، ويرجع الفضل في ذلك إلى سيرجي نوفيكوف .

هناك طريقتان للتفكير في الوحدانية: الأولى هي اعتبار متعددي الشعب متماثلين إذا كان هناك متعدد شعب له حدود بحيث ${\displaystyle n}$${\displaystyle M,M'}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

هناك تقنية أخرى لترميز هذا النوع من المعلومات وهي أخذ التضمين والتفكير في الحزمة العادية ${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

في الواقع، يقوم متعدد الشعب المضمن مع فئة التماثل للحزمة الطبيعية بتشفير نفس المعلومات مثل فئة التماثل . ويمكن إظهار ذلك ^[2] باستخدام التماثل وإيجاد تضمين لبعضها مما يعطي فئة تماثل للخرائط لمساحة توم المحددة أدناه. يُظهر تماثل ${\displaystyle [M]}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}$

يتطلب القليل من العمل الإضافي. ^[3]

حسب التعريف، طيف توم ^[4] هو عبارة عن سلسلة من فضاءات توم

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

حيث كتبنا لحزمة المتجهات الشاملة من الرتبة n . يشكل التسلسل طيفًا . ^[5] تقول نظرية توم أن حلقة كوبوردزم غير الموجهة ؛ ^[6] يعتمد إثبات هذه النظرية بشكل حاسم على نظرية توم العرضية . ^[7] يمنع الافتقار إلى العرضية من حساب حلقات كوبوردزم، على سبيل المثال، من المتشعبات الطوبولوجية من أطياف توم. ${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

• الكوبوردية
• عملية التجانس
• مشكلة ستينرود
• نظرية هاتوري-ستونج

• سوليفان، دينيس (2004). "عمل رينيه ثوم في التماثل الهندسي والبوردية". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 41 (3): 341-350. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
• بوت، راؤول ؛ تو، لورينج (1982). الأشكال التفاضلية في الطوبولوجيا الجبرية . نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 0-387-90613-4.مرجع كلاسيكي لطوبولوجيا التفاضل ، يعالج الارتباط بثنائية بوانكاريه ، وفئة أويلر من حزم الكرة ، وفئات توم وتماثل توم، والمزيد.
• ميلنور، جون . الفئات المميزة .هو مرجع قياسي آخر لفئة ثوم وتماثل ثوم. راجع الفقرة 18 بشكل خاص.
• ماي، ج. بيتر (1999). دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة شيكاغو . ص 183-198. رقم ISBN 0-226-51182-0.يقدم هذا الكتاب المدرسي بناءًا مفصلاً لفئة توم للحزم المتجهة التافهة، ويصوغ أيضًا النظرية في حالة الحزم المتجهة التعسفية.
• ستونج، روبرت إي. (1968). ملاحظات حول نظرية الكوبورديسم . مطبعة جامعة برينستون .
• توم ، رينيه (1954). " Quelques Properties globales des variétés différentiables ". تعليق رياضيات هلفيتيسي . 28 : 17-86. دوى :10.1007/BF02566923. S2CID  120243638.
• أندو، ماثيو؛ بلومبرج، أندرو جيه؛ جيبنر، ديفيد جيه؛ هوبكنز، مايكل جيه ؛ ريزك، تشارلز (2014). "وحدات أطياف الحلقات وأطياف ثوم". مجلة الطوبولوجيا . 7 (4): 1077-1117. arXiv : 0810.4535 . doi :10.1112/jtopol/jtu009. MR  0286898. S2CID  119613530.

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• "مساحة توم"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]