سلسلة المجموعات الفرعية

المتسلسلة شبه الطبيعية ( وتُسمى أيضًا المتسلسلة الطبيعية ، أو البرج الطبيعي ، أو المتسلسلة شبه الثابتة ، أو ببساطة المتسلسلة ) لمجموعة G هي سلسلة من الزمر الجزئية ، كل منها زمرة جزئية طبيعية للزمرة التي تليها. في الترميز القياسي

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.}$

لا يُشترط أن تكون Aᵢ زمرة جزئية طبيعية من _G ، بل _{يكفي أن تكون} زمرة جزئية طبيعية من _Aᵢⱼⱼ . تُسمى زمر القسمة Aᵢⱼⱼ _/ Aᵢ زمر عوامل المتسلسلة.

إذا كان كل A _i طبيعيًا في G ، فإن السلسلة تسمى سلسلة طبيعية ، عندما لا يتم استخدام هذا المصطلح للمعنى الأضعف، أو سلسلة ثابتة .

تُسمى المتسلسلة التي تتميز بالخاصية الإضافية _Aᵢ ≠ Aᵢ₊₁ لكل i متسلسلةً بدون تكرار ؛ أو بعبارة أخرى، كل _{Aᵢ هي زمرة جزئية} فعلية من _Aᵢ₊₁ . طول المتسلسلة هو عدد العناصر المضمنة بدقة Aᵢ < Aᵢ₊₁ _. إذا كانت المتسلسلة بدون تكرار، فإن _{طولها يساوي} n .

بالنسبة للمتسلسلة شبه الطبيعية، يكون طولها هو عدد مجموعات العوامل غير التافهة . كل مجموعة غير تافهة لها متسلسلة طبيعية طولها 1، وهي:${\displaystyle 1\triangleleft G}$، وأي مجموعة فرعية طبيعية صحيحة غير تافهة تعطي سلسلة طبيعية طولها 2. بالنسبة للمجموعات البسيطة ، فإن السلسلة التافهة التي طولها 1 هي أطول سلسلة فرعية طبيعية ممكنة.

يمكن تدوين السلاسل بترتيب تصاعدي:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

أو بترتيب تنازلي:

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.}$

بالنسبة لمتسلسلة منتهية معينة، لا يوجد فرق بين "المتسلسلة التصاعدية" و"المتسلسلة التنازلية" إلا من حيث الرمز. أما بالنسبة للمتسلسلات غير المنتهية ، فهناك فرق: المتسلسلة التصاعدية

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

تحتوي على حد أصغر، وحد ثانٍ أصغر، وهكذا، ولكن ليس لها حد أكبر فعلي، ولا حد ثانٍ أكبر، وهكذا، بينما على العكس من ذلك، فإن المتسلسلة التنازلية

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1}$

له حد أقصى، ولكن ليس له حد أدنى حقيقي.

علاوة على ذلك، عند استخدام صيغة تكرارية لإنتاج متسلسلة، تكون الحدود الناتجة إما تصاعدية أو تنازلية، وتُسمى المتسلسلة الناتجة متسلسلة تصاعدية أو تنازلية على التوالي. على سبيل المثال، المتسلسلة المشتقة والمتسلسلة المركزية السفلى هما متسلسلتان تنازليتان، بينما المتسلسلة المركزية العليا هي متسلسلة تصاعدية.

تُسمى المجموعة التي تحقق شرط السلسلة الصاعدة (ACC) على المجموعات الجزئية مجموعة نوثرية ، وتُسمى المجموعة التي تحقق شرط السلسلة الهابطة (DCC) مجموعة أرتينية (لا تُخلط بينها وبين مجموعات أرتين )، قياسًا على الحلقات النوثرية والحلقات الأرتينية . يُكافئ شرط السلسلة الصاعدة الشرط الأقصى : أي أن كل مجموعة غير فارغة من المجموعات الجزئية تحتوي على عنصر أقصى، ويُكافئ شرط السلسلة الهابطة الشرط الأدنى المماثل .

يمكن أن تكون المجموعة نوثرية وليست أرتينية، مثل المجموعة الدورية اللانهائية ، وعلى عكس الحلقات ، يمكن أن تكون المجموعة أرتينية وليست نوثرية، مثل مجموعة بروفر . كل مجموعة منتهية هي نوثرية وأرتينية بوضوح.

الصور المتماثلة والمجموعات الفرعية للمجموعات النويثرية هي مجموعات نويثرية، وامتداد مجموعة نويثرية بواسطة مجموعة نويثرية أخرى هو مجموعة نويثرية. وتسري نتائج مماثلة على المجموعات الأرتينية.

المجموعات النويثرية هي بشكل مكافئ تلك التي تكون فيها كل مجموعة فرعية مولدة بشكل نهائي ، وهو أمر أقوى من كون المجموعة نفسها مولدة بشكل نهائي: المجموعة الحرة على مولدين أو أكثر بشكل نهائي مولدة بشكل نهائي، ولكنها تحتوي على مجموعات حرة ذات رتبة لا نهائية.

لا يشترط أن تكون المجموعات النويثرية امتدادات منتهية للمجموعات متعددة الحلقات . ^{[ 1 ]}

يمكن أيضًا تعريف متسلسلات المجموعات الجزئية اللانهائية، والتي تنشأ بشكل طبيعي، وفي هذه الحالة تصبح مجموعة الفهرسة المحددة ( المرتبة كليًا ) مهمة، وهناك تمييز بين المتسلسلات التصاعدية والتنازلية.${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$حيث${\displaystyle A_{i}}$يمكن تسمية السلاسل المفهرسة بالأعداد الطبيعية ببساطة بالسلاسل التصاعدية اللانهائية ، والعكس صحيح بالنسبة للسلاسل التنازلية اللانهائية . إذا تم فهرسة المجموعات الفرعية بشكل أعم بالأعداد الترتيبية ، نحصل على سلسلة متسامية ، ^{[ 2 ]} مثل هذه السلسلة التصاعدية:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G}$

بفرض وجود صيغة تكرارية لإنتاج متسلسلة، يمكن تعريف متسلسلة متسامية عن طريق التكرار المتسامي من خلال تعريف المتسلسلة عند الأعداد الترتيبية الحدية بواسطة ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$(للسلاسل التصاعدية) أو${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$(للسلاسل التنازلية). من الأمثلة الأساسية لهذا التركيب السلاسل المركزية السفلى والسلاسل المركزية العليا المتسامية .

نادرًا ما تظهر المجموعات المرتبة كليًا، إن وُجدت أصلًا، كمجموعات فهرسة لسلاسل الزمر الجزئية. على سبيل المثال، يمكن تعريف سلاسل الزمر الجزئية ثنائية اللانهاية (السلاسل المفهرسة بالأعداد الصحيحة )، ولكن نادرًا ما نراها تحدث بشكل طبيعي:

${\displaystyle 1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

• المتسلسلة المركبة هي متسلسلة فرعية طبيعية قصوى .

_{بصورة مكافئة، هي} متسلسلة شبه طبيعية يكون فيها كل عنصر من _{عناصر Aᵢ} زمرة جزئية طبيعية قصوى من Aᵢⱼⱼ _. وبصورة مكافئة، هي متسلسلة تركيبية تكون فيها كل زمر عواملها بسيطة .

• السلسلة الرئيسية هي سلسلة طبيعية قصوى .

• المجموعة القابلة للحل ، أو المجموعة القابلة للحل، هي مجموعة ذات سلسلة فرعية طبيعية تكون جميع مجموعات عواملها تبديلية .
• المتسلسلة الصفرية هي متسلسلة فرعية بحيث تكون نواتج القسمة المتتالية صفرية .

توجد سلسلة عديمة القوة إذا وفقط إذا كانت المجموعة قابلة للحل .

• المتسلسلة المركزية هي متسلسلة دون طبيعية بحيث تكون نواتج القسمة المتتالية مركزية ، أي بالنظر إلى المتسلسلة المذكورة أعلاه،${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})}$ل${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-2}$.

توجد سلسلة مركزية إذا وفقط إذا كانت المجموعة عديمة القوة .

تُعرَّف بعض سلاسل المجموعات الفرعية وظيفيًا ، من حيث المجموعات الفرعية مثل المركز والعمليات مثل المُبدِّل. وتشمل هذه:

• سلسلة مركزية سفلية
• سلسلة أبر سنترال
• سلسلة مشتقة
• سلسلة تركيبات التخفيض
• سلسلة التركيب العلوي

هناك سلاسل تأتي من مجموعات فرعية من رتبة القوة الأولية أو مؤشر القوة الأولية، وتتعلق بأفكار مثل مجموعات سيلو الفرعية .

• سلسلة p السفلية
• سلسلة P العليا