داخل الصدفة وخارجها

في الفيزياء ، وخاصة في نظرية المجال الكمومي ، تسمى تكوينات النظام الفيزيائي التي تحقق معادلات الحركة الكلاسيكية على غلاف الكتلة ( على الغلاف )؛ بينما تسمى تلك التي لا تحققها خارج غلاف الكتلة ( خارج الغلاف ).

في نظرية الحقل الكمومي، تُسمى الجسيمات الافتراضية خارج الغلاف لأنها لا تُحقق علاقة الطاقة-الزخم ؛ بينما تُحقق جسيمات التبادل الحقيقية هذه العلاقة وتُسمى على غلاف (الكتلة). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} في الميكانيكا الكلاسيكية ، على سبيل المثال، في صياغة الفعل ، تكون الحلول القصوى لمبدأ التباين على الغلاف، وتُعطي معادلات أويلر-لاغرانج معادلات على الغلاف. تُعد نظرية نوثر المتعلقة بالتناظرات التفاضلية للفعل الفيزيائي وقوانين الحفظ نظرية أخرى على الغلاف.

يُعد غلاف الكتلة مرادفًا للقطع الزائد الكتلي ، ويعني القطع الزائد في فضاء الطاقة والزخم الذي يصف حلول المعادلة:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

صيغة تكافؤ الكتلة والطاقة التي تعطي الطاقة${\displaystyle E}$من حيث الزخم${\displaystyle {\vec {p}}}$وكتلة السكون${\displaystyle m_{0}}$لجزيء. غالبًا ما تُكتب معادلة غلاف الكتلة بدلالة الزخم الرباعي ؛ في تدوين أينشتاين مع إشارة مترية (+,−,−,−) ووحدات حيث سرعة الضوء${\displaystyle c=1}$، مثل${\displaystyle p^{\mu}p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$في الأدبيات، قد يصادف المرء أيضًا${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$إذا كانت التوقيعات المترية المستخدمة هي (−,+,+,+) ^{[ 4 ]} .

الزخم الرباعي لجسيم افتراضي متبادل${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle q_{\mu }}$، مع كتلة${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$الزخم الرباعي ${\displaystyle q_{\mu }}$إن الفرق بين الزخم الرباعي للجسيمات الداخلة والخارجة هو الفرق بين الزخم الرباعي للجسيمات الداخلة والخارجة.

يُسمح عمومًا للجسيمات الافتراضية التي تُقابل المُوَصِّلات الداخلية في مخطط فاينمان بأن تكون خارج الغلاف، ولكن سعة العملية ستتضاءل تبعًا لمدى بُعدها عن الغلاف. ^{[ 5 ]} وذلك لأن${\displaystyle q^{2}}$يعتمد مُوَصِّلُ الانتشار على الزخم الرباعي للجسيمات الداخلة والخارجة. وعادةً ما يحتوي مُوَصِّل الانتشار على نقاط تفرد على غلاف الكتلة. ^{[ 6 ]}

عند الحديث عن المُوَصِّل، فإن القيم السالبة لـ${\displaystyle E}$تُعتبر الجسيمات التي تحقق المعادلة على غلاف الطاقة، على الرغم من أن النظرية الكلاسيكية لا تسمح بقيم سالبة لطاقة الجسيم. وذلك لأن دالة الانتشار تتضمن في تعبير واحد الحالات التي يحمل فيها الجسيم طاقة في اتجاه، والحالات التي يحمل فيها جسيمه المضاد طاقة في الاتجاه المعاكس؛ أي الجسيمات على غلاف الطاقة السالب والموجب.${\displaystyle E}$ثم ببساطة تمثل تدفقات متعارضة من الطاقة الإيجابية.

يُمكن استخلاص مثال من دراسة حقل قياسي في فضاء مينكوفسكي ذي الأبعاد D. لنفترض كثافة لاغرانجية معطاة بالعلاقة التالية:${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$. الإجراء هو ^{[ 7 ] [ 8 ]} :

${\displaystyle S=\int d^{D}x\,{\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ).}$

يمكن إيجاد معادلة أويلر-لاغرانج لهذا الفعل عن طريق تغيير المجال ومشتقته وتعيين التغير إلى الصفر ، وهي:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}}$

والآن، لنفترض انتقالًا متناهي الصغر في الزمكان${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$الكثافة اللاغرانجية${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هو كمية قياسية، وبالتالي سيتحول بشكل متناهٍ في الصغر كما${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu}\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$في ظل التحويل المتناهي الصغر. من جهة أخرى، باستخدام متسلسلة تايلور ، نحصل بشكل عام على ما يلي:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\delta \varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\delta (\partial _{\mu }\varphi )}$

بديل عن${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$مع ملاحظة أن${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\varphi )=\partial _{\mu }(\delta \varphi )}$(بما أن التغيرات مستقلة عند كل نقطة في الزمكان):

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

بما أن هذا يجب أن ينطبق على الترجمات المستقلة${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\varepsilon ,0,\ldots ,0),(0,\varepsilon ,\ldots ,0),\ldots }$، يمكننا "القسمة" على${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$واكتب:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

هذا مثال على معادلة صحيحة خارج نطاق الغلاف ، لأنها صحيحة لأي تكوين للحقول بغض النظر عما إذا كان يلتزم بمعادلات الحركة (في هذه الحالة، معادلة أويلر-لاغرانج المذكورة أعلاه). مع ذلك، يمكننا اشتقاق معادلة صحيحة على نطاق الغلاف ببساطة عن طريق استبدال معادلة أويلر-لاغرانج.

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

يمكننا كتابة هذا على النحو التالي:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\varphi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

وإذا عرّفنا الكمية بين قوسين على النحو التالي:${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$لدينا:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

هذا مثال على نظرية نوثر. هنا، الكمية المحفوظة هي موتر الإجهاد والطاقة ، والذي لا يُحفظ إلا على الغلاف، أي إذا تحققت معادلات الحركة.