حول الكرة والأسطوانة

كتاب "في الكرة والأسطوانة" ( باليونانية : Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ؛ Perì sphaíras kaì kulíndrou ) هو رسالة نشرها أرخميدس في مجلدين حوالي عام 225 قبل الميلاد . ^{[ 1 ]} ويُفصّل الكتاب بشكل خاص كيفية إيجاد مساحة سطح الكرة وحجمالكرة التي تحتويها، والقيم المماثلة للأسطوانة ، وكان أول من فعل ذلك. ^{[ 2 ]}

الصيغ الرئيسية المشتقة في كتاب "حول الكرة والأسطوانة" هي تلك المذكورة أعلاه: مساحة سطح الكرة، وحجم الكرة الموجودة بداخلها، ومساحة سطح الأسطوانة وحجمها.${\displaystyle r}$ليكن نصف قطر الكرة والأسطوانة، و${\displaystyle h}$ليكن ارتفاع الأسطوانة، بافتراض أنها أسطوانة قائمة - أي أن ضلعها عمودي على كلا القمتين. في عمله، أثبت أرخميدس أن مساحة سطح الأسطوانة تساوي:

${\displaystyle A_{C}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)}$

وأن حجمه هو:

${\displaystyle V_{C}=\pi r^{2}h.\,}$^{[ 3 ]}

عندما يكون ارتفاع الأسطوانة المحيطة مساوياً لقطرها، بحيث تلامس الكرة الأسطوانة من الأعلى والأسفل،${\displaystyle h=2r}$يمكن استبدالها بما يلي:

${\displaystyle A_{C'}=6\pi r^{2}}$

${\displaystyle V_{C'}=2\pi r^{3}.\,}$

على الكرة، أثبت أن مساحة سطحها تساوي أربعة أضعاف مساحة دائرتها العظمى . وبعبارة أخرى، فإن مساحة السطح تساوي:

${\displaystyle A_{S}=4\pi r^{2}.\,}$

وأن حجم الكرة المحصورة يساوي ثلثي حجم أسطوانة محيطة بها ، مما يعني أن الحجم هو

${\displaystyle V_{S}=\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

وبذلك يتضح أن حجم الكرة ومساحة سطحها يساويان ثلثي حجم الأسطوانة ومساحة سطحها. وهذا يعني أن مساحة الكرة تساوي مساحة الأسطوانة مطروحًا منها مساحة قاعدتيها. وقد أدت هذه النتيجة لاحقًا إلى إسقاط لامبرت الأسطواني متساوي المساحة ، وهو أسلوب لرسم خرائط العالم يُمثل المساحات بدقة. كان أرخميدس فخورًا جدًا بهذه النتيجة الأخيرة، وطلب رسمًا تخطيطيًا لكرة محصورة داخل أسطوانة ليُنقش على شاهد قبره . وفي وقت لاحق، أعاد الفيلسوف الروماني ماركوس توليوس شيشرون اكتشاف القبر، الذي كان قد غطّته النباتات المحيطة. ^{[ 4 ]}

كانت الحجة التي استخدمها أرخميدس لإثبات صيغة حجم الكرة معقدةً نوعًا ما من الناحية الهندسية، ولذا نجد في العديد من الكتب الدراسية الحديثة نسخةً مبسطةً تستخدم مفهوم النهاية ، وهو مفهوم لم يكن موجودًا في زمن أرخميدس. استخدم أرخميدس نصف مضلع مرسوم داخل نصف دائرة، ثم قام بتدوير كليهما لتكوين مجموعة من المخاريط الناقصة داخل كرة، ثم قام بحساب حجمها. ^{[ 5 ]}

يبدو أن هذه ليست الطريقة الأصلية التي استخدمها أرخميدس للوصول إلى هذه النتيجة، بل هي أفضل حجة رسمية متاحة له في التراث الرياضي اليوناني. من المرجح أن طريقته الأصلية تضمنت استخدامًا بارعًا للروافع. ^{[ 6 ]} احتوت مخطوطة مسروقة من الكنيسة الأرثوذكسية اليونانية في أوائل القرن العشرين، والتي ظهرت مجددًا في مزاد عام 1998، على العديد من أعمال أرخميدس، بما في ذلك كتاب " طريقة النظريات الميكانيكية" ، الذي يصف فيه طريقة لتحديد الأحجام تتضمن الموازين ومراكز الكتلة والشرائح المتناهية الصغر. ^{[ 7 ]}

تم العثور على صفحة مفقودة من المخطوطة في عام 2026. في حين أن أحد جانبي الصفحة يحتوي على رسومات مرئية، فإن الجانب الآخر مغطى بالكامل بإضافات لاحقة من اللوحات التوراتية. ^{[ 8 ]}

• ملكية أرخميدس
• أسطوانة

• دونهام، ويليام (1990)، رحلة عبر العبقرية (  الطبعة الأولى)، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-50030-5
• دونهام، ويليام (1994)، الكون الرياضي (  الطبعة الأولى)، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-53656-3
• إس إتش غولد، طريقة أرخميدس، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية. المجلد 62، العدد 7 (أغسطس - سبتمبر 1955)، الصفحات  473-476
• نيتز، ريفيل (2004)، أعمال أرخميدس: مترجمة إلى الإنجليزية، مع تعليقات يوتوسيوس، مع تعليق، وطبعة نقدية للرسوم البيانية. المجلد 1: الكتابان عن الكرة والأسطوانة ، مطبعة جامعة كامبريدج
• لوسيو لومباردو راديس، La matematica da Pitagora a Newton ، روما، Editori Riuniti ، 1971.
• أتيليو فراجيس، أوبير دي أرخميدس ، تورينو، أوتيت، 1974.