أسطوانة

يشير مصطلح "الأسطوانة" عادةً إلى أسطوانة صلبة ذات نهايات دائرية عمودية على محورها، أي أسطوانة دائرية قائمة، كما هو موضح في الشكل. يُطلق على السطح الأسطواني بدون النهايات اسم " الأسطوانة المفتوحة" . وقد عُرفت صيغ حساب مساحة سطح وحجم الأسطوانة الدائرية القائمة منذ القدم.

يمكن اعتبار الأسطوانة الدائرية القائمة مجسمًا دورانيًا ناتجًا عن دوران مستطيل حول أحد أضلاعه. تُستخدم هذه الأسطوانات في تقنية التكامل (طريقة القرص) لحساب حجوم المجسمات الدورانية. ^{[ 4 ]}

يبلغ ارتفاع الأسطوانة الإبرية الطويلة والرفيعة أكثر بكثير من قطرها، بينما يبلغ قطر الأسطوانة القرصية القصيرة والعريضة أكثر بكثير من ارتفاعها.

المقطع الأسطواني هو تقاطع سطح أسطوانة مع مستوى . وهي، بشكل عام، منحنيات، وتُعدّ نوعًا خاصًا من المقاطع المستوية . المقطع الأسطواني الناتج عن مستوى ويحتوي على عنصرين من أسطوانة هو متوازي أضلاع . ^{[ 5 ]} أما المقطع الأسطواني لأسطوانة قائمة فهو مستطيل . ^{[ 5 ]}

يُطلق على المقطع الأسطواني الذي يتقاطع فيه المستوى مع جميع عناصر الأسطوانة ويكون عموديًا عليها اسم المقطع القائم . ^{[ 6 ]} إذا كان المقطع القائم للأسطوانة دائرة، فإن الأسطوانة تُسمى أسطوانة دائرية. وبشكل أعم، إذا كان المقطع القائم للأسطوانة مقطعًا مخروطيًا (قطع مكافئ، قطع ناقص، قطع زائد)، فإن الأسطوانة المصمتة تُسمى قطعًا مكافئًا، أو قطعًا ناقصًا، أو قطعًا زائدًا، على التوالي.

بالنسبة للأسطوانة الدائرية القائمة، توجد عدة طرق لتقاطع المستويات معها. أولًا، المستويات التي تتقاطع مع القاعدة في نقطة واحدة على الأكثر. يكون المستوى مماسًا للأسطوانة إذا تقاطع معها في عنصر واحد. المقاطع القائمة عبارة عن دوائر، بينما تتقاطع جميع المستويات الأخرى مع السطح الأسطواني في شكل قطع ناقص . ^{[ 7 ]} إذا تقاطع مستوى مع قاعدة الأسطوانة في نقطتين فقط، فإن القطعة المستقيمة الواصلة بين هاتين النقطتين تُشكل جزءًا من المقطع الأسطواني. إذا احتوى هذا المستوى على عنصرين، فإن مقطعه الأسطواني يكون مستطيلًا، وإلا فإن جوانب المقطع الأسطواني تكون أجزاءً من قطع ناقص. أخيرًا، إذا احتوى مستوى على أكثر من نقطتين من القاعدة، فإنه يشمل القاعدة بأكملها، ويكون المقطع الأسطواني دائرة.

في حالة الأسطوانة الدائرية القائمة ذات المقطع الأسطواني الذي يكون على شكل قطع ناقص، فإن اللامركزية e للمقطع الأسطواني ونصف المحور الأكبر a للمقطع الأسطواني يعتمدان على نصف قطر الأسطوانة r والزاوية α بين مستوى القاطع ومحور الأسطوانة، على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

إذا كان نصف قطر قاعدة أسطوانة دائرية r وارتفاع الأسطوانة h ، فإن حجمها يُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

تنطبق هذه الصيغة سواء كانت الأسطوانة قائمة أم لا. ^{[ 8 ]}

يمكن وضع هذه الصيغة باستخدام مبدأ كافالييري .

بشكل أعم، وبناءً على المبدأ نفسه، فإن حجم أي أسطوانة يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدتها في ارتفاعها. على سبيل المثال، حجم أسطوانة إهليلجية قاعدتها نصف محورها الأكبر a ونصف محورها الأصغر b وارتفاعها h هو V = Ah ، حيث A هي مساحة القطع الناقص للقاعدة ( πab ). ويمكن الحصول على هذه النتيجة للأسطوانات الإهليلجية القائمة أيضًا بالتكامل، حيث يُعتبر محور الأسطوانة هو المحور x الموجب ، و A ( x ) = A هي مساحة كل مقطع عرضي إهليلجي، وبالتالي: $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

باستخدام الإحداثيات الأسطوانية ، يمكن حساب حجم أسطوانة دائرية قائمة عن طريق التكامل $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

بنصف قطر r وارتفاع h ، تتكون مساحة سطح أسطوانة دائرية قائمة، موجهة بحيث يكون محورها رأسيًا، من ثلاثة أجزاء:

• مساحة القاعدة العلوية: π r ²
• مساحة القاعدة السفلية: π r ²
• مساحة الضلع: 2π rh

مساحة القاعدة العلوية والسفلية متساوية، وتسمى مساحة القاعدة ، B. أما مساحة الجانب فتُعرف باسم المساحة الجانبية ، L.

لا يحتوي الأسطوانة المفتوحة على عناصر علوية أو سفلية، وبالتالي فإن لها مساحة سطحية (مساحة جانبية ) .$${\displaystyle L=2\pi rh}$$

تتكون مساحة سطح الأسطوانة الدائرية القائمة الصلبة من مجموع مساحات أجزائها الثلاثة: السطح العلوي والسفلي والجانبي. وبالتالي، فإن مساحة سطحها هي $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$ حيث d = 2 r هو قطر الجزء العلوي أو السفلي الدائري.

بالنسبة لحجم معين، فإن الأسطوانة الدائرية القائمة ذات أصغر مساحة سطح يكون ارتفاعها ( h ) مساوياً لـ 2r . وبالمثل، بالنسبة لمساحة سطح معينة، فإن الأسطوانة الدائرية القائمة ذات أكبر حجم يكون ارتفاعها ( h ) مساوياً لـ 2r ، أي أن الأسطوانة تتناسب تماماً مع مكعب طول ضلعه يساوي الارتفاع (r = قطر دائرة القاعدة). ^{[ 9 ]}

المساحة الجانبية، L ، لأسطوانة دائرية، والتي لا يشترط أن تكون أسطوانة قائمة، تُعطى بشكل عام بالصيغة التالية: $${\displaystyle L=e\times p,}$$ حيث يمثل e طول العنصر، و p محيط المقطع القائم للأسطوانة. ^{[ 10 ]} ينتج عن ذلك الصيغة السابقة للمساحة الجانبية عندما تكون الأسطوانة أسطوانة دائرية قائمة.

الأسطوانة الدائرية المجوفة القائمة (أو الغلاف الأسطواني ) هي منطقة ثلاثية الأبعاد محاطة بأسطوانتين دائريتين قائمتين لهما نفس المحور وقاعدتين حلقيتين متوازيتين متعامدتين على المحور المشترك للأسطوانتين، كما هو موضح في الرسم التخطيطي.

لنفترض أن الارتفاع هو h ، ونصف القطر الداخلي هو r ، ونصف القطر الخارجي هو R. يُعطى الحجم بطرح حجم الأسطوانة الداخلية الوهمية (أي الفراغ الداخلي) من حجم الأسطوانة الخارجية: $${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(Rr).}$$وبالتالي، فإن حجم الغلاف الأسطواني يساوي 2π × متوسط ​​نصف القطر × الارتفاع × السماكة. ^{[ 11 ]}

مساحة السطح، بما في ذلك السطح العلوي والسفلي، تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$ تُستخدم الأسطوانات في تقنية تكامل شائعة لإيجاد أحجام الأجسام الدورانية. ^{[ 12 ]}

في الرسالة التي تحمل هذا الاسم، والتي كُتبت حوالي عام 225 قبل الميلاد ، توصل أرخميدس إلى النتيجة التي كان يفخر بها أيما فخر، ألا وهي إيجاد صيغتي حجم ومساحة سطح الكرة، وذلك باستغلال العلاقة بين الكرة وأسطوانتها الدائرية القائمة المحيطة بها، والتي لها نفس الارتفاع والقطر . حجم الكرة يساوي ثلثي حجم الأسطوانة المحيطة بها، ومساحة سطحها تساوي ثلثي مساحة سطح الأسطوانة (بما في ذلك قاعدتيها ) . ولأن قيم الأسطوانة كانت معروفة مسبقًا ، فقد توصل ، ولأول مرة ، إلى القيم المقابلة للكرة . حجم ^كرة نصف قطرها r هو 4 / 3πr³ = ^2/3 ( 2πr³ ) . ومساحة سطح هذه الكرة ^هي 4πr² = 2/3 ( 6πr² ⁾ . تم وضع كرة وأسطوانة منحوتتين على قبر أرخميدس بناءً على طلبه.

إذا كان AB > 0، فهذه معادلة أسطوانة إهليلجية . ^{[ 16 ]} ويمكن الحصول على تبسيط إضافي عن طريق إزاحة المحاور والضرب القياسي. إذا${\displaystyle \rho }$إذا كانت قيمة المعاملين A و B لها نفس الإشارة ، فيمكن إعادة كتابة معادلة الأسطوانة الإهليلجية في الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي: $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$ تُعدّ معادلة الأسطوانة الإهليلجية تعميمًا لمعادلة الأسطوانة الدائرية العادية ( أ = ب ). تُعرف الأسطوانات الإهليلجية أيضًا باسم الأسطوانات المجسمة ، لكن هذا الاسم غامض، إذ يُمكن أن يُشير أيضًا إلى مخروط بلوكر .

لو${\displaystyle \rho }$إذا كانت إشارة المتغير مختلفة عن إشارة المعاملات، فإننا نحصل على الأسطوانات الإهليلجية التخيلية : $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$ والتي لا تحتوي على أي نقاط حقيقية.${\displaystyle \rho =0}$(يعطي نقطة حقيقية واحدة.)

إذا كانت A و B لهما إشارتان مختلفتان و${\displaystyle \rho \neq 0}$، فنحصل على الأسطوانات الزائدية ، والتي يمكن إعادة كتابة معادلاتها على النحو التالي: $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

وأخيرًا، إذا كان AB = 0، فافترض، دون فقدان للعمومية ، أن B = 0 و A = 1 للحصول على الأسطوانات المكافئة بمعادلات يمكن كتابتها على النحو التالي: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$