مخطوطة أرخميدس

عاش أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد، وكتب براهينه على شكل رسائل باليونانية الدورية موجهة إلى معاصريه، بمن فيهم علماء مكتبة الإسكندرية الكبرى . جُمعت هذه الرسائل لأول مرة في نص شامل على يد إيسيدوروس الميليتي ، مهندس كنيسة آيا صوفيا البطريركية، حوالي عام 530 ميلادي في القسطنطينية، عاصمة اليونان البيزنطية آنذاك. ^{[ 2 ]}

تم نسخ طبعة إيسيدوروس لأرخميدس حوالي عام 950 ميلادي بواسطة ناسخ مجهول، مرة أخرى في الإمبراطورية البيزنطية، في فترة ازدهرت فيها دراسة أرخميدس في القسطنطينية في مدرسة أسسها عالم الرياضيات والمهندس ورئيس أساقفة الكنيسة الأرثوذكسية اليونانية السابق في سالونيك، ليو الجيومتر ، وهو ابن عم البطريرك . ^{[ 7 ]}

انتقلت هذه المخطوطة البيزنطية التي تعود للعصور الوسطى من القسطنطينية إلى القدس ، على الأرجح بعد نهب الصليبيين للقسطنطينية البيزنطية عام ١٢٠٤. ^{[ ٧ ]} هناك، في عام ١٢٢٩، فُكّت مخطوطة أرخميدس، وكُشطت وغُسلت، إلى جانب ست مخطوطات أخرى على الأقل من الرق، من بينها مخطوطة تحوي أعمال هيبيريدس . طُويت أوراقها إلى نصفين، وأُعيد تجليدها، وأُعيد استخدامها في نص طقسي مسيحي مؤلف من ١٧٧ ورقة رُقّمت لاحقًا، منها ١٧٤ ورقة باقية (أصبحت كل ورقة مطوية قديمة ورقتين من الكتاب الطقسي). بقيت المخطوطة بالقرب من القدس حتى القرن السادس عشر على الأقل في دير مار سابا الأرثوذكسي اليوناني المعزول . في وقت ما قبل عام ١٨٤٠، أعاد بطريركية القدس الأرثوذكسية اليونانية المخطوطة إلى مكتبتها ( ميتوخيون القبر المقدس) في القسطنطينية.

زار الباحث في الكتاب المقدس، قسطنطين فون تيشندورف، القسطنطينية في أربعينيات القرن التاسع عشر، وانبهر بالرياضيات اليونانية الظاهرة على المخطوطة التي عثر عليها في مكتبة أرثوذكسية يونانية ، فقام بنزع ورقة منها (موجودة الآن في مكتبة جامعة كامبريدج ). وفي عام ١٨٩٩، أصدر الباحث اليوناني بابادوبولوس-كيراميوس فهرسًا لمخطوطات المكتبة، وأدرج فيه نسخةً من عدة أسطر من النص الأصلي الظاهر جزئيًا. ^{[ ٧ ]} وعندما رأى يوهان هايبرغ ، الخبير العالمي في أعمال أرخميدس، هذه الأسطر، أدرك أن العمل من تأليف أرخميدس. وعندما درس هايبرغ المخطوطة في القسطنطينية عام ١٩٠٦، أكد أنها تضم ​​أعمالًا لأرخميدس كان يُعتقد أنها مفقودة. سمحت الكنيسة الأرثوذكسية اليونانية لهيبرغ بالتقاط صور فوتوغرافية دقيقة لصفحات المخطوطة القديمة، ومنها استخلص نسخًا نُشرت بين عامي 1910 و1915 ضمن الأعمال الكاملة لأرخميدس. بعد ذلك بوقت قصير، تُرجم النص اليوناني لأرخميدس إلى الإنجليزية على يد توماس هيث . قبل ذلك، لم يكن معروفًا على نطاق واسع بين علماء الرياضيات والفيزياء والمؤرخين.

كانت المخطوطة لا تزال في مكتبة البطريركية اليونانية الأرثوذكسية في القدس (ميتوخيون القبر المقدس) في القسطنطينية عام 1920. ^{[ 8 ]} بعد ذلك بوقت قصير، وخلال فترة مضطربة للجالية اليونانية في تركيا شهدت انتصارًا تركيًا في الحرب اليونانية التركية (1919-1922) إلى جانب الإبادة الجماعية لليونانيين والتبادل القسري للسكان بين اليونان وتركيا ، اختفت المخطوطة من مكتبة الكنيسة اليونانية في إسطنبول.

في الفترة ما بين عامي ١٩٢٣ و١٩٣٠، اقتنى ماري لويس سيريكس، وهو "رجل أعمال ورحالة إلى الشرق كان يقيم في باريس"، المخطوطة. ^{[ ٨ ]} ورغم ادعاء سيريكس شراءه المخطوطة من راهب، الذي لم يكن ليملك صلاحية بيعها بأي حال من الأحوال، إلا أن سيريكس لم يكن يملك أي إيصال أو وثائق تثبت بيع هذه المخطوطة القيّمة. وبعد أن خبأها سيريكس سرًا لسنوات في قبو منزله، تضررت المخطوطة بفعل الماء والعفن. إضافةً إلى ذلك، وبعد اختفائها من مكتبة البطريركية الأرثوذكسية اليونانية، أضاف مزوّر نسخًا من صور شخصية إنجيلية من العصور الوسطى مطلية بورق الذهب على أربع صفحات من الكتاب بهدف زيادة قيمته البيعية، مما أدى إلى مزيد من التلف للنص. ^{[ ١٣ ]} كادت هذه الصور المزيفة المطلية بورق الذهب أن تمحو النص الموجود أسفلها تمامًا، ولم يُكشف عنها إلا لاحقًا باستخدام التصوير بالأشعة السينية في مركز ستانفورد للمسرع الخطي . ^{[ ١٤ ]}

توفي سيريكس عام ١٩٥٦، وفي عام ١٩٧٠، بدأت ابنته محاولات بيع المخطوطة القيّمة سرًا. ولعدم تمكنها من بيعها بشكل خاص، لجأت عام ١٩٩٨ إلى دار كريستيز للمزادات لعرضها في مزاد علني، مُخاطرةً بنزاع على ملكيتها. ^{[ ٨ ]} طُعن في ملكية المخطوطة فورًا أمام المحكمة الفيدرالية في نيويورك في قضية بطريركية الروم الأرثوذكس في القدس ضد دار كريستيز . ادّعت الكنيسة اليونانية أن المخطوطة سُرقت من مكتبتها في القسطنطينية في عشرينيات القرن الماضي، خلال فترة اضطهاد شديد. حكمت القاضية كيمبا وود لصالح دار كريستيز للمزادات استنادًا إلى مبدأ التقادم ، واشترى المخطوطة مشترٍ أمريكي مجهول الهوية مقابل مليوني دولار. وذكر المحامي الذي مثّل المشتري المجهول أنه "أمريكي عادي" يعمل في "صناعة التكنولوجيا المتقدمة"، ولكنه ليس بيل غيتس . ^{[ ٩ ]}

في متحف والترز للفنون في بالتيمور ، خضعت المخطوطة القديمة لدراسة تصويرية شاملة بين عامي 1999 و2008، بالإضافة إلى عملية ترميم (إذ عانت بشكل كبير من العفن أثناء وجودها في قبو سيريكس). أشرف على هذه الدراسة الدكتور ويليام نويل ، أمين المخطوطات في متحف والترز للفنون، وأدارها مايكل ب. توث من شركة آر بي توث أسوشيتس، بينما تولت الدكتورة أبيجيل كواندت مهمة ترميم المخطوطة .

تستهدف عملية الرقمنة الباحثين اليونانيين، ومؤرخي الرياضيات، ومطوري التطبيقات، والمكتبات، ودور المحفوظات، والعلماء المهتمين بإنتاج الصور. ^{[ 15 ]}

استخدم فريق من علماء التصوير، بمن فيهم الدكتور روجر إل. إيستون الابن من معهد روتشستر للتكنولوجيا ، والدكتور ويليام أ. كريستنس-باري من شركة إيكويبويز إيميجينج، والدكتور كيث نوكس (الذي كان يعمل آنذاك في شركة بوينغ إل تي إس، وهو الآن متقاعد من مختبر أبحاث القوات الجوية الأمريكية)، معالجة حاسوبية للصور الرقمية من نطاقات طيفية مختلفة، بما في ذلك الأشعة فوق البنفسجية والضوء المرئي والأشعة تحت الحمراء، للكشف عن معظم النص الأساسي، بما في ذلك نص أرخميدس. بعد تصوير ومعالجة المخطوطة بأكملها رقميًا في ثلاثة نطاقات طيفية قبل عام 2006، أعادوا تصويرها في عام 2007 في 12 نطاقًا طيفيًا، بالإضافة إلى الضوء المائل : الأشعة فوق البنفسجية: 365 نانومترًا؛ الضوء المرئي: 445، 470، 505، 530، 570، 617، و625  نانومترًا؛ الأشعة تحت الحمراء: 700، 735، و870  نانومترًا. والضوء المائل: 910 و470  نانومتر. قام الفريق بمعالجة هذه الصور رقميًا للكشف عن المزيد من النص الأصلي باستخدام الألوان الزائفة. كما قاموا برقمنة صور هيبرغ الأصلية. وقد أنتج الدكتور ريفيل نيتز من جامعة ستانفورد ونايجل ويلسون نسخةً دبلوماسيةً من النص، مع سدّ الثغرات في رواية هيبرغ بهذه الصور. ^{[ 16 ]}

بعد عام ١٩٣٨ بقليل، وضع مزوّر أربع صور دينية على الطراز البيزنطي في المخطوطة في محاولة لزيادة قيمتها السوقية. وبدا أن هذه الصور قد جعلت النص الأصلي غير قابل للقراءة إلى الأبد. إلا أنه في مايو ٢٠٠٥، استخدم الدكتوران أوفه بيرغمان وبوب مورتون أشعة سينية عالية التركيز، تم إنتاجها في مركز ستانفورد للمسرع الخطي في مينلو بارك، كاليفورنيا، لبدء فك رموز أجزاء من النص المكون من ١٧٤ صفحة والتي لم تكن قد كُشفت بعد. وقد وصف كيث هودجسون ، مدير مختبر ستانفورد للإشعاع السنكروتروني (SSRL)، عملية إنتاج التألق بالأشعة السينية .

يُنتج ضوء السنكروترون عندما تسلك الإلكترونات التي تتحرك بسرعة تقارب سرعة الضوء مسارًا منحنيًا حول حلقة تخزين، مُصدرةً ضوءًا كهرومغناطيسيًا في نطاق الأشعة السينية والأشعة تحت الحمراء. يتميز شعاع الضوء الناتج بخصائص تجعله مثاليًا للكشف عن البنية المعقدة ووظائف أنواع عديدة من المادة، وفي هذه الحالة، العمل الذي كان خفيًا سابقًا لأحد مؤسسي العلوم. ^{[ 17 ]}

في أبريل 2007، أُعلن عن اكتشاف نص جديد في المخطوطة القديمة، وهو عبارة عن شرح لكتاب أرسطو " المقولات " يتألف من حوالي 9000  كلمة. وقد استُعيد معظم هذا النص في أوائل عام 2009 من خلال تطبيق تحليل المكونات الرئيسية على نطاقات الألوان الثلاثة (الأحمر والأخضر والأزرق) للضوء الفلوري الناتج عن الإضاءة فوق البنفسجية. وقد صرّح الدكتور ويل نويل في مقابلة صحفية:

تبدأ بالتفكير أن الحصول على نسخة واحدة من المخطوطة القديمة هو كنز، والحصول على نسختين أمر مذهل للغاية. ولكن بعد ذلك حدث شيء أكثر غرابة.

يشير هذا إلى الاكتشاف السابق لنصٍّ لهيبرايدس ، وهو سياسي أثيني من القرن الرابع قبل الميلاد، والذي عُثر عليه أيضًا داخل المخطوطة المكدسة. ^{[ 1 ]} وهو مقتطف من خطابه " ضد ديونداس" ، ونُشر عام 2008 في المجلة الأكاديمية "Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik" ، المجلد 165، ليصبح أول نص جديد من المخطوطة المكدسة يُنشر في مجلة علمية. ^{[ 18 ]}

تمت معالجة نصوص الكتاب رقميًا باستخدام إرشادات مبادرة ترميز النصوص ، وتضمنت البيانات الوصفية للصور والنصوص معلومات تعريفية وفهرسة استنادًا إلى عناصر بيانات دبلن كور الوصفية . تولى دوغ إيمري من شركة إيمري لتقنية المعلومات إدارة البيانات الوصفية والبيانات.

في 29 أكتوبر 2008 (الذكرى العاشرة لشراء المخطوطة في مزاد علني)، تم نشر جميع البيانات، بما في ذلك الصور والنصوص، على صفحة الويب الخاصة بالمخطوطة الرقمية للاستخدام المجاني بموجب ترخيص المشاع الإبداعي ، ^{[ 19 ]} كما نُشرت صور معالجة للمخطوطة بترتيب صفحاتها الأصلي ككتاب على جوجل. ^{[ 20 ]} في عام 2011، كانت المخطوطة موضوع معرض متحف والترز للفنون بعنوان "المفقود والموجود: أسرار أرخميدس". وفي عام 2015، وفي تجربةٍ حول حفظ البيانات الرقمية، قام علماء سويسريون بتشفير نص من مخطوطة أرخميدس في الحمض النووي. ^{[ 21 ]} وبفضل فك شفرتها، يُشير بعض علماء الرياضيات إلى أنه من المحتمل أن يكون أرخميدس قد اخترع التكامل .

في السادس من مارس/آذار 2026، أفادت مجلة علم البرديات والنقوش باكتشاف صفحة مفقودة من المخطوطة، وهي الآن محفوظة في متحف الفنون الجميلة في بلوا . ^{[ 22 ]} يتطابق النص مع الصفحة 123 من نسخة المخطوطة القديمة (Palimpset) لكتاب " عن الكرة والأسطوانة"، الكتاب الأول، الفقرة 39-41. ويُصوّر الوجه الآخر لوحةً لدانيال محاطًا بأسدين . ^{[ 22 ]}

• حول توازن المستويات
• على الحلزونات
• قياس الدائرة
• حول الكرة والأسطوانة
• حول الأجسام الطافية
• طريقة النظريات الميكانيكية
• المعدة
• خطابات السياسي هايبيريدس من القرن الرابع قبل الميلاد ( ضد ديونداس وضد تيماندروس )
• تعليق على كتاب أرسطو " المقولات " بقلم بورفيريوس (أو بقلم ألكسندر الأفروديسي ) ^{[ 23 ]}
• أجزاء من كتاب مينايون يعود إلى القرن العاشر
• مقتطفات من نص سيرة القديس بانتوليون
• قطعتان أخريان مجهولتا الهوية

تحتوي المخطوطة على النسخة الوحيدة المعروفة من كتاب "طريقة النظريات الميكانيكية" .

في أعماله الأخرى، غالبًا ما يُثبت أرخميدس تساوي مساحتين أو حجمين باستخدام طريقة إيودوكسوس للاستنفاد ، وهي نظير يوناني قديم لطريقة النهايات الحديثة. ولأن اليونانيين كانوا يدركون أن بعض الأعداد غير نسبية، فقد كان مفهومهم للعدد الحقيقي كمية Q تُقارب بمتتاليتين، إحداهما تُعطي حدًا أعلى والأخرى حدًا أدنى. إذا وُجدت متتاليتان U وL، وكانت U دائمًا أكبر من Q، وL دائمًا أصغر من Q، وإذا تقاربت المتتاليتان في النهاية إلى قيمة أقل من أي قيمة محددة مسبقًا، فإن Q تُوجد، أو تُستنفد ، بواسطة U وL.

استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لإثبات نظرياته. تضمنت هذه الطريقة تقريب الشكل المراد حساب مساحته إلى أقسام ذات مساحة معلومة، مما يوفر حدين أعلى وأدنى لمساحة الشكل. ثم أثبت أن هذين الحدين يتساوى عندما يصبح التقسيم دقيقًا للغاية. هذه البراهين، التي لا تزال تُعتبر دقيقة وصحيحة، استخدمت الهندسة ببراعة نادرة. غالبًا ما انتقد الكتّاب اللاحقون أرخميدس لعدم شرحه كيفية توصله إلى نتائجه في المقام الأول. هذا الشرح موجود في كتاب "المنهج" .

استندت الطريقة التي وصفها أرخميدس إلى دراساته في الفيزياء ، وتحديدًا مركز الكتلة وقانون الرافعة . قارن مساحة أو حجم شكلٍ يعرف كتلته الكلية ومركز كتلته بمساحة أو حجم شكلٍ آخر لا يعرف عنه شيئًا. اعتبر الأشكال المستوية مكونة من عدد لا نهائي من الخطوط، كما في طريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة ، ووازن كل خط، أو شريحة، من أحد الشكلين بشريحة مقابلة من الشكل الآخر على رافعة. يكمن جوهر الأمر في اختلاف اتجاه الشكلين، بحيث تكون الشرائح المقابلة على مسافات مختلفة من نقطة الارتكاز، وشرط توازن الشرائح لا يعني بالضرورة تساوي الشكلين.

بمجرد أن يُثبت أن كل شريحة من أحد الشكلين تُوازن كل شريحة من الشكل الآخر، يستنتج أن الشكلين متوازنان. لكن مركز كتلة أحد الشكلين معروف، ويمكن وضع الكتلة الكلية في هذا المركز مع الحفاظ على التوازن. أما الشكل الثاني فكتلته مجهولة، ولكن قد يكون موقع مركز كتلته مُقيدًا بمسافة معينة من نقطة الارتكاز، وذلك استنادًا إلى حجة هندسية، كالتناظر. يُتيح له شرط توازن الشكلين الآن حساب الكتلة الكلية للشكل الآخر. اعتبر هذه الطريقة أداةً استدلاليةً مفيدة ، لكنه كان يحرص دائمًا على إثبات النتائج التي يتوصل إليها باستخدام الاستنفاد، لأن هذه الطريقة لا تُوفر حدودًا عليا ودنيا.

باستخدام هذه الطريقة، تمكّن أرخميدس من حلّ العديد من المسائل التي تُعالج اليوم بحساب التكامل ، والذي اتخذ شكله الحديث في القرن السابع عشر على يد إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز . ومن بين هذه المسائل حساب مركز ثقل نصف كرة صلبة ، ومركز ثقل مخروط ناقص لقطع مكافئ دائري ، ومساحة المنطقة المحصورة بين قطع مكافئ وأحد قواطعه . (للاطلاع على تفاصيل دقيقة، انظر استخدام أرخميدس للمتناهيات في الصغر ).

عند إثبات النظريات المتعلقة بالحجم بدقة ، استخدم أرخميدس صيغة من مبدأ كافالييري ، الذي ينص على أن حجمين لهما مقاطع عرضية متساوية المساحة متساويان؛ ويُشكل المبدأ نفسه أساس مجاميع ريمان . في كتابه "في الكرة والأسطوانة" ، يُقدم أرخميدس حدودًا عليا وسفلى لمساحة سطح الكرة بتقسيمها إلى أقسام متساوية العرض. ثم يُحدد مساحة كل قسم بمساحة مخروط مُحاط ومخروط مُحيط، ويُثبت أن مساحة كل منهما أكبر وأصغر على التوالي.

لكن هناك فرقان أساسيان بين طريقة أرخميدس وطرق القرن التاسع عشر:

1. لم يكن أرخميدس على دراية بالتفاضل، لذا لم يتمكن من حساب أي تكاملات أخرى غير تلك التي تنبع من اعتبارات مركز الكتلة، عن طريق التناظر. ورغم امتلاكه فكرة عن الخطية، إلا أنه لإيجاد حجم الكرة كان عليه موازنة شكلين في آن واحد؛ ولم يحدد قط كيفية تغيير المتغيرات أو التكامل بالتجزئة.
2. عند حساب المجاميع التقريبية، فرض شرطًا إضافيًا يتمثل في أن توفر هذه المجاميع حدودًا عليا ودنيا دقيقة. كان هذا ضروريًا لأن الإغريق افتقروا إلى الأساليب الجبرية التي تُثبت أن حدود الخطأ في التقريب صغيرة.

تتمثل إحدى المشكلات التي تم حلها حصريًا في هذه الطريقة في حساب حجم إسفين أسطواني، وهي نتيجة تظهر مرة أخرى كنظرية XVII (مخطط XIX) من كتاب كبلر Stereometria .

بقيت بعض صفحات المنهج غير مستخدمة من قبل مؤلف المخطوطة، ولذلك لا تزال مفقودة. ومن بينها، كانت إحدى النتائج المعلنة تتعلق بحجم تقاطع أسطوانتين، وهو شكل أعاد أبوستول ومناتساكانيان تسميته بالكرة الأرخميدية ذات البعد n = 4 (ونصفها، القبة الأرخميدية ذات البعد n = 4)، ويرتبط حجمها بالهرم المضلع ذي البعد n .    

في زمن هايبرغ، حظي استخدام أرخميدس البارع للأجزاء غير القابلة للتجزئة لحل مسائل المساحات والأحجام ومراكز الثقل باهتمام كبير. أما مسألة "أوستوماتشيون" ، التي تناولتها المخطوطة القديمة، والتي يبدو أنها تتعلق بلعبة ألغاز للأطفال، فقد حظيت باهتمام أقل . وقد جادل ريفيل نيتز من جامعة ستانفورد بأن أرخميدس ناقش عدد طرق حل اللغز، أي إعادة القطع إلى صندوقها. لم يتم تحديد أي قطع على هذا النحو؛ كما أن قواعد وضعها، مثل ما إذا كان مسموحًا بقلب القطع، غير معروفة؛ وهناك شكوك حول رقعة اللعب.

اللوحة الموضحة هنا، كما في لوحة نيتز، هي لوحة اقترحها هاينريش سوتر لترجمة نص عربي غير مدبب، حيث يسهل الخلط بين علامتي الضعف والمساواة. يرتكب سوتر خطأً مطبعيًا على الأقل في النقطة المحورية، إذ يساوي طول ضلع بقطر، وفي هذه الحالة لا يمكن أن تكون اللوحة مستطيلة. ولكن، بما أن قطري المربع يتقاطعان بزوايا قائمة، فإن وجود المثلثات القائمة يجعل الفرضية الأولى من أوستوماتشيون أرخميدس بديهية . بل إن الفرضية الأولى تُنشئ لوحة تتكون من مربعين متجاورين (كما في لعبة التانغرام ). وقد نشر ريتشارد ديكسون أولدهام ، زميل الجمعية الملكية، في مجلة نيتشر في مارس 1926، دراسةً للتوفيق بين لوحة سوتر ولوحة المخطوطة هذه، مما أثار رواجًا كبيرًا للعبة أوستوماتشيون في ذلك العام.

يكشف علم التوافيق الحديث أن عدد طرق وضع قطع رقعة سوتر لإعادة تشكيل مربعها، مع إمكانية قلبها، هو 17152 طريقة؛ بينما يكون العدد أقل بكثير - 64 طريقة - إذا لم يُسمح بقلب القطع. تُصعّب حدة بعض زوايا رقعة سوتر عملية التشكيل، وقد يكون اللعب مُربكًا إذا قُلِبت القطع ذات الزوايا الحادة. أما بالنسبة لرقعة كودكس (كما هو الحال مع تانغرام)، فهناك ثلاث طرق لترتيب القطع: مربعان متجاوران؛ مربعان فوق بعضهما؛ ومربع واحد طول ضلعه جذر اثنين. لكن مفتاح هذه الترتيبات هو تكوين مثلثات قائمة الزاوية متساوية الساقين، تمامًا كما حثّ سقراط العبد على التفكير في ذلك في محاورة مينون لأفلاطون - كان سقراط يُجادل لصالح المعرفة بالتذكر، وهنا يبدو أن التعرف على الأنماط والذاكرة أكثر أهمية من مجرد عدّ الحلول. يمكن إيجاد لوحة المخطوطة كامتداد لحجة سقراط في شبكة مربعة سبعة في سبعة، مما يشير إلى بناء تكراري لأرقام قطر الضلع التي تعطي تقريبات منطقية للجذر التربيعي للعدد اثنين.

إن حالة المخطوطة المجزأة تثير الكثير من الشكوك. لكن من المؤكد أن استخدام أرخميدس للوحة سوتر بدلاً من لوحة المخطوطة سيزيد من غموضها. مع ذلك، إذا كان نيتز محقًا، فقد يكون هذا العمل الأكثر تطورًا في مجال التوافقية في اليونان القديمة. إما أن أرخميدس استخدم لوحة سوتر، التي كان يُسمح بقلب قطعها، أو أن إحصائيات لوحة سوتر غير ذات صلة.