طريقة النظريات الميكانيكية

كتاب "طريقة النظريات الميكانيكية" ( باليونانية : Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος )، والمعروف أيضًا باسم "الطريقة" ، هو أحد أهم الأعمال الباقية للعالم اليوناني القديم أرخميدس . يأتي الكتاب على شكل رسالة من أرخميدس إلى إراتوستينس ، ^{[ 1 ]} كبير أمناء مكتبة الإسكندرية ، ويحتوي على أول استخدام موثق صريح للأجزاء غير القابلة للتجزئة (وهي نسخ هندسية من الكميات المتناهية الصغر ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} كان يُعتقد في الأصل أن العمل مفقود، ولكن في عام 1906 أُعيد اكتشافه في مخطوطة أرخميدس الشهيرة . تتضمن هذه المخطوطة شرح أرخميدس لـ "الطريقة الميكانيكية"، التي سُميت كذلك لأنها تعتمد على مركز ثقل الأشكال ( المركز الهندسي ) وقانون الرافعة ، اللذين برهن عليهما أرخميدس في كتابه " في توازن المستويات" .

لم يُقرّ أرخميدس بطريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة كجزء من الرياضيات الدقيقة، ولذلك لم ينشر طريقته في الرسائل الرسمية التي تتضمن نتائجها. في هذه الرسائل، يُثبت النظريات نفسها بالاستنفاد ، مُجدًا حدودًا عليا وسفلى دقيقة تتقارب جميعها مع الإجابة المطلوبة. مع ذلك، كانت الطريقة الميكانيكية هي التي استخدمها لاكتشاف العلاقات التي قدّم لها لاحقًا براهين دقيقة.

تعتمد فكرة أرخميدس على استخدام قانون الرافعة لتحديد مساحات الأشكال انطلاقًا من مركز كتلة أشكال أخرى معروفة. ^{[ 1 ] : 8} أبسط مثال على ذلك بلغة العصر الحديث هو مساحة القطع المكافئ. يتمثل أحد الأساليب الحديثة في إيجاد هذه المساحة عن طريق حساب التكامل.

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}},}$$

وهي نتيجة أساسية في حساب التكامل . بدلاً من ذلك، تعمل طريقة أرخميدس على موازنة القطع المكافئ (المنطقة المنحنية التي يتم تكاملها أعلاه) ميكانيكيًا مع مثلث معين مصنوع من نفس المادة. القطع المكافئ هو المنطقة في${\displaystyle (x,y)}$المستوى بين${\displaystyle x}$المحور السيني والمنحنى${\displaystyle y=x^{2}}$مثل${\displaystyle x}$تتراوح قيمتها من 0 إلى  1. المثلث هو المنطقة الواقعة في نفس المستوى بين${\displaystyle x}$المحور - والخط${\displaystyle y=x}$، وكذلك${\displaystyle x}$يتراوح من 0 إلى  1.

قسّم القطع المكافئ والمثلث إلى شرائح رأسية، شريحة لكل قيمة من قيم${\displaystyle x}$تخيل أن${\displaystyle x}$المحور - هو رافعة، مع نقطة ارتكاز عند${\displaystyle x=0}$ينص قانون الرافعة على أن جسمين على جانبي نقطة الارتكاز سيتوازنان إذا كان لكل منهما نفس عزم الدوران ، حيث يساوي عزم دوران الجسم وزنه مضروبًا في المسافة بينه وبين نقطة الارتكاز. لكل قيمة من قيم عزم الدوران${\displaystyle x}$، شريحة المثلث عند الموضع${\displaystyle x}$كتلتها تساوي ارتفاعها${\displaystyle x}$وهو على مسافة${\displaystyle x}$من نقطة الارتكاز؛ لذلك سيوازن ذلك الجزء المقابل من القطع المكافئ، ذي الارتفاع${\displaystyle x^{2}}$، إذا تم نقل الأخير إلى${\displaystyle x=-1}$، على مسافة 1 على الجانب الآخر من نقطة الارتكاز.

بما أن كل زوج من الشرائح يتوازن، فإن تحريك القطع المكافئ بأكمله إلى${\displaystyle x=-1}$سيؤدي ذلك إلى موازنة المثلث بأكمله. وهذا يعني أنه إذا تم تعليق القطع المكافئ الأصلي غير المقطوع بخطاف من النقطة${\displaystyle x=-1}$(بحيث تكون كتلة القطع المكافئ بأكملها متصلة بتلك النقطة)، فسوف يوازن المثلث الموجود بينهما${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=1}$.

يمكن إيجاد مركز كتلة المثلث بسهولة باستخدام الطريقة التالية، والتي تعود أيضًا إلى أرخميدس. ^{[ 1 ] : 14} إذا رُسم خط متوسط ​​من أي رأس من رؤوس المثلث إلى الضلع المقابل.${\displaystyle E}$سيتوازن المثلث على خطه المتوسط، الذي يُعتبر نقطة ارتكاز. والسبب هو أنه إذا قُسِّم المثلث إلى قطع مستقيمة متناهية الصغر موازية لـ${\displaystyle E}$كل قطعة مستقيمة لها طول متساوٍ على جانبي المتوسط، لذا يتحقق التوازن بالتناظر. ويمكن بسهولة جعل هذه الحجة دقيقة باستخدام طريقة الاستنفاد ، وذلك باستخدام مستطيلات صغيرة بدلًا من الخطوط المتناهية الصغر، وهذا ما فعله أرخميدس في كتابه " في توازن المستويات" .

إذن، يجب أن يكون مركز كتلة المثلث عند نقطة تقاطع المتوسطات. بالنسبة للمثلث المعني، أحد المتوسطات هو الخط${\displaystyle y=x/2}$بينما يمثل الخط المتوسط ​​الثاني${\displaystyle y=1-x}$بحل هذه المعادلات، نرى أن نقطة تقاطع هذين الوسيطين تقع فوق النقطة${\displaystyle x=2/3}$وبالتالي، يكون التأثير الكلي للمثلث على الرافعة كما لو أن كتلة المثلث الكلية تضغط لأسفل على هذه النقطة (أو معلقة منها). ويكون عزم الدوران الكلي الذي يبذله المثلث مساويًا لمساحته، أي نصفها، مضروبًا في المسافة التي تبعد ثلثي مركز كتلته عن نقطة الارتكاز.${\displaystyle x=0}$هذا العزم الذي مقداره 1/3 يوازن القطع المكافئ، الذي يقع على مسافة 1 من نقطة الارتكاز. لذا، يجب أن تكون مساحة القطع المكافئ  1/3 لإعطائه العزم المعاكس.

يمكن استخدام هذا النوع من الطرق لإيجاد مساحة أي جزء من القطع المكافئ، ويمكن استخدام حجج مماثلة لإيجاد تكامل أي قوة من قوى${\displaystyle x}$على الرغم من أن القوى الأعلى تصبح معقدة بدون الجبر. لم يتجاوز أرخميدس تكامل${\displaystyle x^{3}}$، والتي استخدمها لإيجاد مركز كتلة نصف الكرة الأرضية، وفي أعمال أخرى، مركز كتلة القطع المكافئ.

انظر إلى القطع المكافئ في الشكل الموجود على اليمين. اختر نقطتين على القطع المكافئ وسمهما A و B.

لنفترض أن القطعة المستقيمة AC موازية لمحور تناظر القطع المكافئ. ولنفترض كذلك أن القطعة المستقيمة BC تقع على خط مماس للقطع المكافئ عند النقطة B. تنص القضية الأولى على ما يلي: ^{[ 1 ] : 14}

مساحة المثلث ABC تساوي ثلاثة أضعاف المساحة المحددة بالقطع المكافئ والخط القاطع AB .

البرهان : ^{[ 1 ] : 15-18}

ليكن D منتصف AC . نرسم قطعة مستقيمة JB تمر بـ D ، بحيث تكون المسافة من J إلى D مساوية للمسافة من B إلى D. سنعتبر القطعة JB بمثابة "رافعة" محور ارتكازها D. ^{[ 3 ]} كما بيّن أرخميدس سابقًا، يقع مركز ثقل المثلث عند النقطة I على "الرافعة" حيث DI  : DB  =  1 : 3. لذلك، يكفي أن نُبيّن أنه إذا كان وزن الجزء الداخلي من المثلث مُرتكزًا بالكامل عند I ، ووزن الجزء من القطع المكافئ مُرتكزًا بالكامل عند J ، فإن الرافعة تكون في حالة اتزان.

لنفترض مقطعًا عرضيًا متناهي الصغر للمثلث مُعطى بالقطعة المستقيمة HE ، حيث تقع النقطة H على BC ، وتقع النقطة E على AB ، وتكون HE موازية لمحور تناظر القطع المكافئ. لنُسمِّ نقطة تقاطع HE مع القطع المكافئ F، ونقطة تقاطع HE مع الرافعة G. إذا استقر وزن جميع هذه القطع المستقيمة HE عند النقاط G حيث تتقاطع مع الرافعة، فإنها تُؤثر على الرافعة بنفس عزم الدوران الذي يُؤثر به وزن المثلث بأكمله عند النقطة I. بالتالي، نريد أن نُثبت أنه إذا استقر وزن المقطع العرضي HE عند G ، واستقر وزن المقطع العرضي EF من مقطع القطع المكافئ عند J ، فإن الرافعة تكون في حالة اتزان. بعبارة أخرى، يكفي أن نُثبت أن EF : GD = EH : JD . لكن هذه نتيجة بديهية لمعادلة القطع المكافئ.      

مرة أخرى، لتوضيح الطريقة الميكانيكية، من المفيد استخدام القليل من الهندسة الإحداثية. ^{[ 4 ]} إذا وُضعت كرة نصف قطرها 1 ومركزها عند x  =  1، فإن نصف قطر المقطع العرضي الرأسي${\displaystyle \rho _{S}}$عند أي قيمة لـ x بين 0 و 2، يتم تحديدها بالصيغة التالية: $${\displaystyle \rho _{S}(x)={\sqrt {x(2-x)}}.}$$

كتلة هذا المقطع العرضي، لأغراض الموازنة على رافعة، تتناسب مع المساحة:

$${\displaystyle \pi \rho _{S}(x)^{2}=2\pi x-\pi x^{2}.}$$

ثم فكر أرخميدس في تدوير المنطقة المثلثية بين y  =  0 و y  = x و x = 2 على المستوى x - y حول المحور x ، لتشكيل مخروط. ^{[ 1 ] : 18-21} المقطع العرضي لهذا المخروط عبارة عن دائرة نصف قطرها  ${\displaystyle \rho _{C}}$

$${\displaystyle \rho _{C}(x)=x}$$

ومساحة هذا المقطع العرضي هي

$${\displaystyle \pi \rho _{C}^{2}=\pi x^{2}.}$$

إذا كان سيتم وزن شرائح المخروط والكرة معًا ، فإن مساحة المقطع العرضي المجمعة هي:

$${\displaystyle M(x)=2\pi x.}$$

إذا وُضِعَت الشريحتان معًا على بُعد 1 من نقطة الارتكاز، فإن وزنهما الإجمالي سيتوازن تمامًا بواسطة دائرة مساحتها${\displaystyle 2\pi }$على مسافة x من نقطة الارتكاز على الجانب الآخر. هذا يعني أن المخروط والكرة معًا، إذا نُقلت جميع موادهما إلى x = 1، سيوازنان أسطوانة نصف قطر قاعدتها 1 وطولها 2 على الجانب الآخر.

عندما تتراوح قيمة x من 0 إلى 2، سيكون مركز ثقل الأسطوانة على مسافة 1 من نقطة الارتكاز، لذلك يمكن اعتبار كل وزن الأسطوانة موجودًا في الموضع 1. ويضمن شرط التوازن أن يكون حجم المخروط بالإضافة إلى حجم الكرة مساويًا لحجم الأسطوانة.

حجم الأسطوانة هو مساحة مقطعها العرضي،${\displaystyle 2\pi }$مضروبًا في الارتفاع، وهو 2، أو${\displaystyle 4\pi }$كان بإمكان أرخميدس أيضًا إيجاد حجم المخروط باستخدام الطريقة الميكانيكية، لأن التكامل المستخدم، وفقًا للمصطلحات الحديثة، هو نفسه تمامًا التكامل المستخدم لحساب مساحة القطع المكافئ. حجم المخروط يساوي ثلث مساحة قاعدته مضروبة في ارتفاعه. قاعدة المخروط عبارة عن دائرة نصف قطرها 2، ومساحتها .${\displaystyle 4\pi }$بينما يبلغ الارتفاع 2، لذا فإن المساحة هي${\displaystyle 8\pi /3}$. بطرح حجم المخروط من حجم الأسطوانة نحصل على حجم الكرة:

$${\displaystyle V_{S}=4\pi -{8 \over 3}\pi ={4 \over 3}\pi .}$$

يتضح اعتماد حجم الكرة على نصف قطرها من خلال القياس، مع أن تطبيق ذلك بدقة لم يكن بالأمر الهين آنذاك. تُعطي هذه الطريقة الصيغة المألوفة لحجم الكرة . وبقياس الأبعاد خطيًا، عمّم أرخميدس بسهولة نتيجة الحجم لتشمل الأشكال الكروية . ^{[ 1 ] : 21-23}

إن حجة أرخميدس تكاد تكون مطابقة للحجة السابقة، إلا أن أسطوانته كانت ذات نصف قطر أكبر، مما جعل المخروط والأسطوانة معلقين على مسافة أبعد من نقطة الارتكاز. وقد اعتبر هذه الحجة أعظم إنجازاته، فطلب نقش الشكل المصاحب للكرة المتوازنة والمخروط والأسطوانة على شاهد قبره.

لإيجاد مساحة سطح الكرة، جادل أرخميدس بأنه كما يمكن اعتبار مساحة الدائرة عددًا لا نهائيًا من المثلثات القائمة المتناهية الصغر التي تحيط بمحيطها (انظر قياس الدائرة )، يمكن اعتبار حجم الكرة مقسمًا إلى العديد من المخاريط التي يساوي ارتفاعها نصف قطرها وقاعدة سطحها. جميع المخاريط لها نفس الارتفاع، لذا فإن حجمها يساوي ثلث مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع.

يذكر أرخميدس أن الحجم الكلي للكرة يساوي حجم مخروط له قاعدة لها نفس مساحة سطح الكرة وارتفاعه يساوي نصف قطرها. ^{[ 1 ] : 20-21.} لم تُذكر تفاصيل عن هذا الاستدلال، ولكن السبب الواضح هو أنه يمكن تقسيم المخروط إلى مخاريط متناهية الصغر بتقسيم مساحة قاعدته، ثم يُساهم كل مخروط بنسبة مساحة قاعدته، تمامًا كما هو الحال في الكرة.

لنفترض أن مساحة سطح الكرة هي S. حجم المخروط الذي مساحة قاعدته S وارتفاعه r هو ${\displaystyle Sr/3}$، والذي يجب أن يساوي حجم الكرة:${\displaystyle 4\pi r^{3}/3}$لذلك، يجب أن تكون مساحة سطح الكرة${\displaystyle 4\pi r^{2}}$أو "أربعة أضعاف أكبر دائرة لها". يثبت أرخميدس هذا بدقة في كتابه " في الكرة والأسطوانة" .

من الأمور اللافتة للنظر في هذه الطريقة أن أرخميدس يجد شكلين محددين بمقاطع من أسطوانات، لا يتضمن حجمهما${\displaystyle \pi }$على الرغم من أن الأشكال لها حدود منحنية. هذه نقطة محورية في البحث - يمكن تصحيح بعض الأشكال المنحنية باستخدام المسطرة والفرجار، بحيث توجد علاقات منطقية غير بديهية بين الأحجام المحددة بتقاطعات المجسمات الهندسية.

يؤكد أرخميدس على هذا في بداية رسالته، ويدعو القارئ إلى محاولة إعادة إنتاج النتائج بطريقة أخرى. وخلافًا للأمثلة الأخرى، لم يُحسب حجم هذه الأشكال بدقة في أي من أعماله الأخرى. ومن خلال شظايا في المخطوطة القديمة، يبدو أن أرخميدس قد رسم أشكالًا وحدد حدودها لإثبات حدود دقيقة للحجم، على الرغم من أن التفاصيل لم تُحفظ.

الشكلان اللذان يدرسهما هما تقاطع أسطوانتين بزاوية قائمة (الأسطوانة المزدوجة )، وهي المنطقة ( س ، ص ، ع ) التي تخضع لما يلي:   $${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1,\quad y^{2}+z^{2}<1,}$$ والمنشور الدائري، وهو المنطقة التي تخضع لما يلي: $${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1,\quad 0<z<y.}$$ تتضمن كلتا المسألتين تقسيمًا يُسهّل حساب التكامل باستخدام الطريقة الميكانيكية. بالنسبة للمنشور الدائري، يُقسّم المحور السيني إلى شرائح. المنطقة في المستوى الصادي - العيني عند أي قيمة س هي داخل مثلث قائم الزاوية طول ضلعه${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$مساحتها${\displaystyle {1 \over 2}(1-x^{2})}$وبالتالي يكون الحجم الإجمالي كالتالي: $${\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over 2}(1-x^{2})\,dx}$$ والتي يمكن تصحيحها بسهولة باستخدام الطريقة الميكانيكية. بإضافة جزء من هرم مثلثي مساحته إلى كل قسم مثلثي${\displaystyle x^{2}/2}$يوازن منشورًا مقطعه العرضي ثابت.

عند تقاطع أسطوانتين، يضيع التقطيع في المخطوطة، ولكن يمكن إعادة بنائه بطريقة واضحة بالتوازي مع بقية الوثيقة: إذا كان المستوى xz هو اتجاه التقطيع، فإن معادلات الأسطوانة تعطي ذلك.${\displaystyle x^{2}<1-y^{2}}$بينما${\displaystyle z^{2}<1-y^{2}}$، وهو ما يحدد منطقة مربعة في المستوى x - z طول ضلعها${\displaystyle 2{\sqrt {1-y^{2}}}}$وبالتالي يكون الحجم الإجمالي كالتالي: $${\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}4(1-y^{2})\,dy.}$$ وهذا هو نفس التكامل كما في المثال السابق. يجادل يان هوغنديك بأنه بالإضافة إلى حجم الأسطوانة ذات الرأسين، كان أرخميدس يعرف مساحة سطحها ، وهي أيضًا قيمة نسبية. ^{[ 5 ]}

تُبرهن سلسلة من قضايا الهندسة في المخطوطة القديمة بحجج متشابهة. إحدى هذه النظريات هي أن موقع مركز كتلة نصف الكرة يقع على بُعد 5/8 من المسافة بين القطب ومركز الكرة. وتكتسب هذه المسألة أهمية خاصة لأنها تتطلب حساب تكامل تكعيبي.