الأقواس (الرياضيات)

في الرياضيات ، تُستخدم الأقواس بأشكالها الطباعية المختلفة، مثل الأقواس المعقوفة (  )، والأقواس المربعة [  ]، والأقواس المعقوفة {  } ، والأقواس الزاوية ⟨ ⟩، بكثرة في الترميز الرياضي . عمومًا، تدل هذه الأقواس على نوع من التجميع: عند حساب قيمة تعبير يحتوي على تعبير فرعي بين قوسين، تكون الأولوية للمعاملات الموجودة في التعبير الفرعي على تلك المحيطة به. أحيانًا، ولتسهيل القراءة، تُستخدم أنواع مختلفة من الأقواس للتعبير عن نفس معنى الأولوية في تعبير واحد ذي تداخل عميق بين التعبيرات الفرعية. ^{[ 1 ]} 

تاريخياً، استُخدمت رموز أخرى، مثل رمز الربط (vinculum )، للدلالة على التجميع. وفي الاستخدام الحالي، تحمل هذه الرموز معاني محددة. وقد اقترح كريستوفر كلافيوس استخدام الأقواس للدلالة على التجميع (أي التقسيم) لأول مرة عام 1608، ثم اقترح ألبرت جيرارد ذلك عام 1629. ^{[ 2 ]}

تُستخدم رموز مختلفة لتمثيل الأقواس الزاوية. في رسائل البريد الإلكتروني وغيرها من النصوص المكتوبة بلغة ASCII ، يشيع استخدام علامتي أصغر من ( <) وأكبر من ( >) لتمثيل الأقواس الزاوية، لأن ASCII لا يتضمن الأقواس الزاوية. ^{[ 3 ]}

يحتوي نظام يونيكود على أزواج من الأحرف المخصصة؛ وبخلاف رمزي أصغر من وأكبر من، تشمل هذه الأحرف ما يلي:

• U+27E8 ⟨ قوس زاوي يساري رياضي و U+27E9 ⟩ قوس زاوي يميني رياضي
• U+29FC ⧼ قوس زاوية منحني يشير إلى اليسار و U+29FD ⧽ قوس زاوية منحني يشير إلى اليمين
• U+2991 ⦑ قوس زاوية يساري بنقطة و U+2992 ⦒ قوس زاوية يميني بنقطة
• U+27EA ⟪ قوس مزدوج يساري رياضي و U+27EB ⟫ قوس مزدوج يميني رياضي
• U+2329 〈 قوس الزاوية المتجه لليسار و U+232A 〉 قوس الزاوية المتجه لليمين ، والتي تم إهمالها ^{[ 4 ]}

في LaTeX، يكون الترميز كالتالي : \langleو \rangle:${\displaystyle \langle \ \rangle }$.

تشمل الأقواس الزاوية غير الرياضية ما يلي:

• U+3008 〈 قوس زاوي يساري و U+3009 〉 قوس زاوي يميني ، مستخدمة في اقتباس النصوص في شرق آسيا
• U+276C ❬ زخرفة قوس زاوية متوسطة تشير إلى اليسار و U+276D ❭ زخرفة قوس زاوية متوسطة تشير إلى اليمين ، وهما عبارة عن

هناك رموز إضافية ذات سماكة خط متزايدة، ^{[ 5 ]} والكثير من علامات الاقتباس الزاوية والأحرف المهملة.

في الجبر الابتدائي ، تُستخدم الأقواس ( ) لتحديد ترتيب العمليات . ^{[ 1 ]} تُحسب الحدود داخل القوس أولاً؛ لذا فإن 2 × (3  +  4) يساوي 14، و20 ÷ (5(1  +  1)) يساوي 2، و(2 × 3)  +  4 يساوي 10. يُعمم هذا الترميز ليشمل عمليات جبرية أكثر عمومية تتضمن متغيرات: على سبيل المثال ( x + y ) × ( x − y ) . كما تُستخدم الأقواس المربعة غالبًا بدلاً من مجموعة ثانية من الأقواس عند تداخلها، وذلك لتوفير تمييز بصري.

في التعبيرات الرياضية بشكل عام، تُستخدم الأقواس أيضًا للإشارة إلى التجميع (أي، الأجزاء التي تنتمي معًا) عند الضرورة لتجنب الغموض وتحسين الوضوح. على سبيل المثال، في الصيغة${\displaystyle (\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Cod\,\eta _{X}}\eta _{X}}$، المستخدمة في تعريف تركيب تحويلين طبيعيين ، الأقواس المحيطة${\displaystyle \varepsilon \eta }$يُستخدم للإشارة إلى أن الفهرسة بواسطة${\displaystyle X}$يتم تطبيقه على التركيبة${\displaystyle \varepsilon \eta }$وليس فقط مكونها الأخير${\displaystyle \eta }$.

غالباً ما تُحاط وسائط الدالة بأقواس :${\displaystyle f(x)}$في بعض الدوال القياسية، عندما يكون احتمال الغموض ضئيلاً، من الشائع حذف الأقواس المحيطة بالوسيط تمامًا (على سبيل المثال،${\displaystyle \sin x}$لاحظ أن هذا لا يتم أبدًا مع دالة عامة.${\displaystyle f}$وفي هذه الحالة، يتم تضمين الأقواس دائمًا

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، تُستخدم الأقواس لتحديد إحداثيات نقطة ما. على سبيل المثال، (2،3) تشير إلى النقطة التي إحداثيها السيني 2 وإحداثيها الصادي 3.

يُكتب الضرب الداخلي لمتجهين عادةً على النحو التالي:${\displaystyle \langle a,b\rangle }$، ولكن يتم استخدام الترميز ( أ ، ب ) أيضًا.

يمكن استخدام كل من الأقواس ( ) والأقواس المربعة [ ] للدلالة على فترة زمنية .${\displaystyle [a,c)}$يُستخدم للإشارة إلى فترة زمنية من a إلى c تشمل${\displaystyle a}$—ولكن باستثناء${\displaystyle c}$. إنه،${\displaystyle [5,12)}$ستكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية بين 5 و 12، بما في ذلك 5 ولكن ليس 12. هنا، يمكن أن تقترب الأعداد من 12 بقدر ما تشاء، بما في ذلك 11.999 وما إلى ذلك (مع أي عدد محدود من 9)، ولكن 12.0 غير مدرج.

في بعض الدول الأوروبية، يتم استخدام الرمز${\displaystyle [5,12[}$يُستخدم أيضًا لهذا الغرض، وحيثما تُستخدم الفاصلة كفاصلة عشرية ، يمكن استخدام الفاصلة المنقوطة كفاصل لتجنب الغموض (على سبيل المثال،${\displaystyle (0;1)}$). ^{[ 6 ]}

تُعرف نقطة النهاية المجاورة للقوس المربع بنقطة النهاية المغلقة ، بينما تُعرف نقطة النهاية المجاورة للقوس المفتوح بنقطة النهاية المفتوحة . إذا كان كلا نوعي الأقواس متماثلين، فيمكن الإشارة إلى الفترة بأكملها على أنها مغلقة أو مفتوحة حسب الاقتضاء. عندما تُستخدم اللانهاية أو اللانهاية السالبة كنقطة نهاية (في حالة الفترات على خط الأعداد الحقيقية )، تُعتبر دائمًا مفتوحة ومُلحقة بقوس. يمكن أن تكون نقطة النهاية مغلقة عند النظر إلى الفترات على خط الأعداد الحقيقية الممتد .

من الاصطلاحات الشائعة في الرياضيات المتقطعة تعريف${\displaystyle [n]}$باعتبارها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي${\displaystyle n}$. إنه،${\displaystyle [5]}$يتوافق مع المجموعة${\displaystyle \{1,2,3,4,5\}}$.

تُستخدم الأقواس المعقوفة { } لتحديد عناصر المجموعة . على سبيل المثال، { a , b , c } تشير إلى مجموعة من ثلاثة عناصر a و b و c .

تُستخدم الأقواس الزاوية ⟨ ⟩ في نظرية الزمر والجبر التبادلي لتحديد عروض الزمر ، وللدلالة على المجموعة الفرعية أو المثالي الناتج عن مجموعة من العناصر.

تُكتب المصفوفة المعطاة صراحةً عادةً بين قوسين دائريين كبيرين أو مربعين:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}}$

الترميز

${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

يرمز إلى المشتقة النونية للدالة f ، المطبقة على المتغير x . على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f(x)=\exp(\lambda x)}$، ثم${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)}$وهذا يختلف عن${\displaystyle f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))}$، تطبيق الدالة f على الوسيط x من الدرجة n .

الترميز${\displaystyle (x)_{n}}$يُستخدم للدلالة على المضروب التنازلي ، وهو متعدد حدود من الدرجة n يُعرَّف بواسطة

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(xn)!}}.}$

بدلاً من ذلك، قد يُستخدم نفس الرمز لتمثيل المضروب التصاعدي ، والذي يُسمى أيضاً " رمز بوخامر ". وهناك رمز آخر لنفس المضروب وهو${\displaystyle x^{(n)}}$ويمكن تعريفها من خلال

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.}$

في ميكانيكا الكم ، تُستخدم الأقواس الزاوية أيضًا كجزء من صيغة ديراك، وهي تدوين برا-كيت ، للدلالة على المتجهات من الفضاءات الثنائية لـ برا ${\displaystyle \left\langle A\right|}$والكيت ${\displaystyle \left|B\right\rangle }$.

في الميكانيكا الإحصائية ، تشير الأقواس الزاوية إلى المتوسط ​​الإحصائي أو المتوسط ​​الزمني.

تُستخدم الأقواس المربعة لاحتواء المتغير (أو المتغيرات) في حلقات كثيرات الحدود . على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$هي حلقة كثيرات الحدود ذات المعاملات العددية الحقيقية والمتغيرات${\displaystyle x}$[ ^{7 ]​}

إذا كانت A حلقة جزئية من الحلقة B ، وكان b عنصرًا من B ، فإن A [ b ] تُشير إلى الحلقة الجزئية من B المُولَّدة بواسطة A و b . تتكون هذه الحلقة الجزئية من جميع العناصر التي يُمكن الحصول عليها، بدءًا من عنصري A و b ، عن طريق الجمع والضرب المتكررين؛ أو بعبارة أخرى، هي أصغر حلقة جزئية من B تحتوي على A و b . على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]}$هي أصغر حلقة فرعية من C تحتوي على جميع الأعداد الصحيحة و${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$وهي تتكون من جميع الأرقام التي تأخذ الشكل التالي${\displaystyle m+n{\sqrt {-2}}}$حيث m و n عددان صحيحان اختياريان. مثال آخر:${\displaystyle \mathbf {Z} [1/2]}$هي الحلقة الفرعية من Q التي تتكون من جميع الأعداد النسبية التي يكون مقامها قوة للعدد 2 .

وبشكل أعم، إذا كانت A حلقة فرعية من حلقة B ، و${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$، ثم${\displaystyle A[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$يشير إلى الحلقة الفرعية من B المتولدة بواسطة A و${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$وبشكل أكثر عمومية، إذا كانت S مجموعة جزئية من B ، فإن A [ S ] هي الحلقة الفرعية لـ B المتولدة بواسطة A و S.

في نظرية الزمر ونظرية الحلقات ، تُستخدم الأقواس المربعة للدلالة على المُبدِّل . في نظرية الزمر ، يُعرَّف المُبدِّل [ g , h ] عادةً ^{على أنه} g⁻¹h⁻¹gh . في نظرية الحلقات، يُعرَّف المُبدِّل [ a ^, b ] على أنه ab⁻¹ba ^. علاوة على ذلك ، يمكن استخدام الأقواس المعقوفة للدلالة على المُبدِّل المضاد : { a ^, b } يُعرَّف على أنه ab⁺ba .

قوس لي في جبر لي هو عملية ثنائية يُرمز لها بـ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$باستخدام المُبدِّل كقوس لي، يُمكن تحويل أي جبر تجميعي إلى جبر لي. توجد أشكال عديدة لقوس لي ، ولا سيما مشتقة لي وقوس جاكوبي -لي .

عادةً ما تُكتب دالتا التقريب إلى الأسفل والأعلى باستخدام أقواس مربعة يمنى ويسرى، حيث يُعرض فقط الخط الأفقي السفلي (لدالة التقريب إلى الأسفل) أو العلوي (لدالة التقريب إلى الأعلى)، كما في ⌊π⌋ = 3 أو ⌈π⌉ = 4. مع ذلك، تُستخدم الأقواس المربعة، كما في [ π ] = 3 ، أحيانًا للدلالة على دالة التقريب إلى الأسفل ، التي تُقرّب عددًا حقيقيًا إلى أقرب عدد صحيح. في المقابل، يستخدم بعض المؤلفين أقواسًا مربعة مفتوحة للدلالة على دالة التقريب إلى الأعلى، كما في ] π [ = 4 .

قد تشير الأقواس، كما في {π} < ¹ / ₇ ، إلى الجزء الكسري من عدد حقيقي.

• معامل ذي الحدين
• متعددة الحدود بين قوسين
• تدوين برا-كيت
• فاصل
• لغة ديك
• قوس Frölicher-Nijenhuis
• قوس إيفرسون
• قوس نايجنهاوس-ريتشاردسون ، المعروف أيضًا باسم القوس الجبري .
• رمز بوخامر
• قوس بواسون
• قوس شوتين-نيجنهاوس
• نظام المعادلات