مجموعة قابلة للتعريف الترتيبي

في نظرية المجموعات الرياضية ، يُقال إن المجموعة S قابلة للتعريف الترتيبي إذا أمكن تعريفها، بشكل غير رسمي، بدلالة عدد محدود من الأعداد الترتيبية باستخدام صيغة من الدرجة الأولى . وقد قدم غودل (1965) مفهوم المجموعات القابلة للتعريف الترتيبي .

من عيوب التعريف غير الرسمي المذكور أعلاه أنه يتطلب تحديدًا كميًا لجميع الصيغ من الدرجة الأولى، وهو ما لا يمكن صياغته رسميًا في اللغة القياسية لنظرية المجموعات. ومع ذلك، يوجد توصيف رسمي مختلف لهذا الغرض:

تُعرَّف المجموعة S بأنها قابلة للتعريف الترتيبي إذا وُجدت مجموعة من الأعداد الترتيبية α₁ _, ..., αₙ وصيغة من الدرجة الأولى φ تأخذ α₂ _, ..., αₙ كمعاملات _، وتُعرِّفها بشكل فريد _.${\displaystyle S}$كعنصر من${\displaystyle V_{\alpha _{1}}}$أي، بحيث يكون S هو الكائن الوحيد الذي يُثبت صحة φ ( S , α2 _, ..., αn ₎ ، مع نطاق مُكمِّماته على${\displaystyle V_{\alpha _{1}}}$.

يشير الأخير إلى المجموعة في التسلسل الهرمي لفون نيومان المفهرسة بالترتيب α _{1. يُرمز} إلى فئة جميع المجموعات القابلة للتعريف الترتيبي بـ OD؛ وهي ليست بالضرورة متعدية ، ولا يلزم أن تكون نموذجًا لـ ZFC لأنها قد لا تفي ببديهية الامتدادية .

تُعتبر المجموعة قابلة للتعريف الترتيبي وراثيًا إذا كانت قابلة للتعريف الترتيبي وكانت جميع عناصر إغلاقها المتعدي قابلة للتعريف الترتيبي. يُرمز إلى فئة المجموعات القابلة للتعريف الترتيبي وراثيًا بالرمز HOD، وهي نموذج متعدٍ لنظرية ZFC، مع ترتيب جيد قابل للتعريف.

يتوافق مع بديهيات نظرية المجموعات أن جميع المجموعات قابلة للتعريف الترتيبي، وبالتالي قابلة للتعريف الترتيبي الوراثي. يُشار إلى صحة هذا الوضع بـ V = OD أو V = HOD. وينتج هذا من V = L ، وهو مكافئ لوجود ترتيب جيد (قابل للتعريف) للكون. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الصيغة التي تعبر عن V = HOD قد لا تكون صحيحة بالضرورة ضمن HOD، لأنها ليست مطلقة لنماذج نظرية المجموعات: ففي HOD، قد يؤدي تفسير صيغة HOD إلى نموذج داخلي أصغر.

وُجد أن نموذج HOD مفيد لأنه نموذج داخلي يمكنه استيعاب جميع الأعداد الكبيرة المعروفة تقريبًا . وهذا على عكس نماذج النواة ، حيث لم يتم بعد بناء نماذج نواة قادرة على استيعاب الأعداد فائقة الصغر ، على سبيل المثال.