إسقاط الخريطة المتعامدة

استُخدم الإسقاط المتعامد في رسم الخرائط منذ القدم. ومثل الإسقاط المجسم والإسقاط الغنوموني ، يُعد الإسقاط المتعامد إسقاطًا منظوريًا تُسقط فيه الكرة على مستوى مماس أو قاطع . تقع نقطة المنظور في الإسقاط المتعامد على مسافة لا نهائية . وهو يُصوّر نصف الكرة الأرضية كما تبدو من الفضاء الخارجي ، حيث يكون الأفق دائرة عظمى . وتكون الأشكال والمساحات مشوهة ، خاصةً بالقرب من الحواف. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يُعرف الإسقاط المتعامد منذ العصور القديمة، وقد وُثِّقت استخداماته في رسم الخرائط توثيقًا جيدًا. استخدم هيبارخوس هذا الإسقاط في القرن الثاني قبل الميلاد لتحديد مواقع شروق النجوم وغروبها. وفي حوالي عام 14 قبل الميلاد، استخدم المهندس الروماني ماركوس فيتروفيوس بوليو هذا الإسقاط لبناء الساعات الشمسية وحساب مواقع الشمس. ^{[ 2 ]}

يبدو أن فيتروفيوس قد ابتكر مصطلح "الإسقاط المتعامد" (من الكلمتين اليونانيتين orthos بمعنى "مستقيم" وgraphē بمعنى "رسم") للإشارة إلى هذا النوع من الإسقاط. مع ذلك، كان اسم " أناليما "، الذي يعني أيضاً ساعة شمسية تُظهر خطوط الطول والعرض، هو الاسم الشائع حتى قام فرانسوا داغيلون من أنتويرب بالترويج للاسم الحالي عام 1613. ^{[ 2 ]}

تظهر أقدم الخرائط الباقية على هذا الإسقاط على شكل رسومات خشبية بدائية للكرات الأرضية تعود إلى أعوام 1509 (مجهول)، و1533 و1551 (يوهانس شونر)، و1524 و1551 (أبيان). وفي عام 1515، ظهرت خريطة بالغة الدقة، صممها عالم عصر النهضة الموسوعي ألبريشت دورر ونفذها يوهانس ستابيوس . ^{[ 2 ]}

ألهمت صور الأرض والكواكب الأخرى الملتقطة من المركبات الفضائية اهتماماً متجدداً بالإسقاط المتعامد في علم الفلك وعلوم الكواكب .

تُشتق صيغ الإسقاط المتعامد الكروي باستخدام حساب المثلثات . وتُكتب بدلالة خط الطول ( λ ) وخط العرض ( φ ) على الكرة . يُحدد نصف قطر الكرة R ونقطة مركز الإسقاط ( λ₀ _, φ₀ ) (نقطة الأصل ) ^. تُختزل معادلات الإسقاط المتعامد على المستوى المماس ( x , y ) إلى ما يلي: ^{[ 1} _]$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big (}\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _ {0}\يمين){\كبير )}\نهاية{محاذاة}}}$$

يجب قص خطوط العرض التي تقع خارج نطاق الخريطة عن طريق حساب المسافة الزاوية (ج) من مركز الإسقاط المتعامد. وهذا يضمن عدم رسم النقاط الموجودة على نصف الكرة الأرضية المقابل. $${\displaystyle \cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,.}$$ يجب حذف النقطة من الخريطة إذا كانت قيمة جيب تمام الزاوية (cos( c )) سالبة. أي أن جميع النقاط المضمنة في الخريطة تحقق الشرط التالي: $${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}<c<{\frac {\pi }{2}}.}$$

تُعطى الصيغ العكسية كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos) c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{محاذاة}}}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}}$$

لحساب الصيغ العكسية ، يُنصح باستخدام صيغة دالة الظل العكسية ذات الوسيطين atan2 (بدلاً من atan ). يضمن هذا أن تكون إشارة الإسقاط المتعامد كما هو مكتوب صحيحة في جميع الأرباع .

تُعدّ الصيغ العكسية مفيدةً للغاية عند محاولة إسقاط متغير مُعرَّف على شبكة ( λ , φ ) على شبكة مستقيمة في ( x , y ) . يؤدي التطبيق المباشر للإسقاط المتعامد إلى نقاط متناثرة في ( x , y ) ، مما يُسبب مشاكل في الرسم والتكامل العددي . يتمثل أحد الحلول في البدء من مستوى الإسقاط ( x , y ) وإنشاء الصورة من القيم المُعرَّفة في ( λ , φ ) باستخدام الصيغ العكسية للإسقاط المتعامد.

انظر المراجع للاطلاع على نسخة بيضاوية من إسقاط الخريطة المتعامدة. ^{[ 3 ]}

مقارنة بين إسقاط الخريطة المتعامد وبعض الإسقاطات السمتية المتمركزة على خط عرض 90 درجة  شمالاً بنفس المقياس، مرتبة حسب ارتفاع الإسقاط بنصف قطر الأرض ( انقر  للحصول على  التفاصيل )

بمعنى واسع، تُعتبر جميع الإسقاطات التي تكون نقطة منظورها في اللانهاية (وبالتالي خطوط إسقاطها متوازية) إسقاطات متعامدة، بغض النظر عن السطح الذي تُسقط عليه. وتُشوّه هذه الإسقاطات الزوايا والمساحات القريبة من القطبين.

ومن الأمثلة على الإسقاط المتعامد على أسطوانة إسقاط لامبرت الأسطواني متساوي المساحة .

• قائمة إسقاطات الخرائط
• الإسقاط المجسم في رسم الخرائط

• الإسقاط المتعامد - من عالم الرياضيات