إسقاط غنوموني

الإسقاط الجنوموني ، المعروف أيضًا بالإسقاط المركزي أو الإسقاط الجنوموني أو الإسقاط المستقيم ، هو إسقاط منظوري للكرة ، حيث يقع مركز الإسقاط في مركز الكرة ، على أي مستوى لا يمر عبر المركز، وغالبًا ما يكون مستوى مماسًا . في الإسقاط الجنوموني، تُسقط كل دائرة عظمى على الكرة على خط مستقيم في المستوى (الدائرة العظمى هي خط جيوديسي على الكرة، وهو أقصر مسار بين أي نقطتين، ويُشابه الخط المستقيم على المستوى). ^{[ 1 ]} وبشكل أعم، يمكن إجراء إسقاط جنوموني لأي كرة فائقة الأبعاد (n -dimensional) على مستوى فائق .

الإسقاط هو تعميم ذو أبعاد n للمماس المثلثي الذي يحول الدائرة إلى خط مستقيم، وكما هو الحال مع المماس، فإن كل زوج من النقاط المتقابلة على الكرة يُسقط إلى نقطة واحدة في المستوى، بينما تُسقط النقاط على المستوى المار بمركز الكرة والموازي لمستوى الصورة إلى نقاط في اللانهاية ؛ غالبًا ما يُعتبر الإسقاط بمثابة تناظر واحد لواحد بين النقاط في نصف الكرة والنقاط في المستوى، وفي هذه الحالة يمثل أي جزء محدود من مستوى الصورة جزءًا من نصف الكرة. ^{[ 2 ]}

الإسقاط الزنوموني هو إسقاط سمتي (متناظر شعاعيًا). لا يحدث أي تشوه في شكل الصورة المسقطة في مركزها، لكن التشوه يزداد بسرعة كلما ابتعدنا عنه.

نشأ الإسقاط الزنموني في علم الفلك لبناء الساعات الشمسية ورسم خرائط الكرة السماوية . ويُستخدم عادةً كإسقاط للخرائط الجغرافية ، وهو مفيد في الملاحة لأن مسارات الدائرة العظمى تُرسَم كخطوط مستقيمة. تُنتج العدسات الفوتوغرافية المستقيمة إسقاطًا منظورًا للعالم على مستوى الصورة؛ ويمكن اعتبار هذا إسقاطًا زنمونيًا لكرة الصورة (كرة مجردة تُشير إلى اتجاه كل شعاع يمر عبر كاميرا مُصممة على شكل ثقب صغير ). يُستخدم الإسقاط الزنموني في علم البلورات لتحليل اتجاهات الخطوط والمستويات في البنى البلورية. كما يُستخدم في الجيولوجيا البنيوية لتحليل اتجاهات مستويات الصدوع. في رسومات الحاسوب وتمثيل البيانات الكروية، يُعدّ رسم الخرائط المكعبية إسقاطًا زنمونيًا لكرة الصورة على ستة أوجه لمكعب .

في الرياضيات، يُطلق على فضاء اتجاهات الخطوط غير الموجهة في الفضاء ثلاثي الأبعاد اسم المستوى الإسقاطي الحقيقي ، ويُصوَّر عادةً إما بالكرة الإسقاطية أو بإسقاطها الزمنوني. وعندما تُفرض الزاوية بين الخطوط كمقياس للمسافة ، يُطلق على هذا الفضاء اسم المستوى الإهليلجي . ينتج عن الإسقاط الزمنوني للكرة ثلاثية الأبعاد المكونة من الكواترنيونات الوحدوية ، والتي تمثل نقاطها دورانات ثلاثية الأبعاد، متجهات رودريغز . أما الإسقاط الزمنوني للقطع الزائد المكون من ورقتين ، والذي يُعامل كنموذج للمستوى الزائدي ، فيُسمى نموذج بلترامي-كلاين .

يُقال إن الإسقاط الزنوموني هو أقدم إسقاط للخرائط، ويُنسب بشكل تخميني إلى طاليس الذي ربما استخدمه لخرائط النجوم في القرن السادس قبل الميلاد. ^{[ 2 ]} يرسم مسار طرف الظل أو بقعة الضوء في الساعة الشمسية القائمة على العقدة نفس القطع الزائد التي تشكلها خطوط العرض على الخريطة الزنومونية.

الإسقاط الزّوموني هو إسقاط من مركز الكرة إلى مستوى مماس لها (الشكل 1 أدناه). تتلامس الكرة والمستوى عند نقطة التماس. تتحول الدوائر العظمى إلى خطوط مستقيمة عبر الإسقاط الزّوموني. ولأن خطوط الطول وخط الاستواء هي دوائر عظمى، فإنها تُعرض دائمًا كخطوط مستقيمة على الخريطة الزّومونية. ولأن الإسقاط يبدأ من مركز الكرة، فإن الخريطة الزّومونية قد تُمثل أقل من نصف مساحة الكرة. ويزداد تشوه مقياس الخريطة من المركز (نقطة التماس) إلى المحيط. ^{[ 2 ]}

• إذا كانت نقطة التماس إحدى القطبين، فإن خطوط الطول تكون شعاعية ومتساوية التباعد (الشكل 2 أدناه). لا يمكن تمثيل خط الاستواء لأنه يقع في اللانهاية في جميع الاتجاهات. أما خطوط العرض الأخرى فتُصوَّر على شكل دوائر متحدة المركز .

• إذا كانت نقطة التماس على خط الاستواء، فإن خطوط الطول تكون متوازية ولكنها ليست متساوية المسافة (الشكل 3 أدناه). خط الاستواء هو خط مستقيم عمودي على خطوط الطول. أما خطوط التوازي الأخرى فتُصوَّر على شكل قطع زائد .

• إذا لم تكن نقطة التماس على أحد القطبين أو خط الاستواء، فإن خطوط الطول تكون خطوطًا مستقيمة شعاعية تتجه للخارج من أحد القطبين، ولكنها ليست متساوية المسافة (الشكل 4 أدناه). خط الاستواء هو خط مستقيم عمودي على خط طول واحد فقط، مما يدل على أن الإسقاط ليس متطابقًا . أما خطوط العرض الأخرى فتُصوَّر على شكل قطوع مخروطية .

كما هو الحال مع جميع الإسقاطات السمتية ، تُحفظ الزوايا من نقطة التماس. وتُعد مسافة الخريطة من تلك النقطة دالةً r ( d ) للمسافة الحقيقية d ، مُعطاة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle r(d)=R\,\tan {\frac {d}{R}}}$$ حيث R هو نصف قطر الأرض. المقياس الشعاعي هو $${\displaystyle r'(d)={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {d}{R}}}}}$$ والمقياس العرضي​ $${\displaystyle {\frac {1}{\cos {\frac {d}{R}}}}}$$ لذا يزداد المقياس العرضي للخارج، ويزداد المقياس القطري أكثر من ذلك.

تُستخدم الإسقاطات الغنومونية في الدراسات الزلزالية لأن الموجات الزلزالية تميل إلى الانتشار على طول دوائر عظمى. كما تستخدمها القوات البحرية في تحديد الاتجاهات ، نظرًا لأن الإشارات اللاسلكية تنتشر على طول دوائر عظمى. ^{[ 3 ]} تنتشر النيازك أيضًا على طول دوائر عظمى، ويُعد أطلس برنو 2000.0 الغنوموني مجموعة الخرائط النجمية التي توصي بها المنظمة الدولية للأرصاد الجوية لرصد النيازك بصريًا. يستخدم ملاحو الطائرات والسفن هذا الإسقاط لإيجاد أقصر مسار بين نقطة البداية والوجهة. يُرسم المسار أولًا على الخريطة الغنومونية، ثم يُنقل إلى خريطة ميركاتور للملاحة.

يُستخدم الإسقاط الغنوموني على نطاق واسع في التصوير الفوتوغرافي ، حيث يُطلق عليه اسم الإسقاط المستقيم ، لأنه ينشأ بشكل طبيعي من نموذج الكاميرا ذات الثقب الصغير حيث تكون الشاشة مستوية. ^{[ 4 ]} ولأنها متكافئة، يمكن استخدام نفس برنامج العرض المستخدم للصور البانورامية الفوتوغرافية لعرض الخرائط الغنومونية ( عرضها كبانوراما تفاعلية بزاوية 360 درجة ) .

يُستخدم الإسقاط الزنوموني في علم الفلك حيث تتمركز نقطة التماس على الجسم المراد رصده. والكرة التي يتم إسقاطها في هذه الحالة هي الكرة السماوية، نصف قطرها يساوي  1  ، وليست سطح الأرض.

في علم الفلك، يمكن للمراقبين استخدام خرائط النجوم ذات الإسقاط الزمردي للكرة السماوية لرسم المسار المستقيم لذيل النيزك بدقة . ^{[ 5 ]}

مقارنة بين الإسقاط الغنوموني وبعض الإسقاطات السمتية المتمركزة على خط عرض 90 درجة  شمالاً على نفس المقياس، مرتبة حسب ارتفاع الإسقاط بنصف قطر الأرض ( انقر  للحصول على  التفاصيل )

• المستوى المماس المحلي
• قائمة إسقاطات الخرائط
• نموذج بلترامي-كلاين ، وهو رسم تخطيطي مماثل للمستوى الزائدي

• أموروس، خوسيه لويس؛ بيرغر، مارتن J .؛ كانوت دي أموروس، ماريسا (1975). “3. الإسقاط المعجمي”. طريقة لاو . الصحافة الأكاديمية. ص 55 – 81. دوى : 10.1016 / B978-0-12-057450-6.50006-5 . 
• داس، دي سي؛ روي، ب. (2024). دراسة تحليلية لإسقاطات الخرائط . نيودلهي: منشورات بهارتي. ص 39-51 . ISBN  978-81-972897-0-5.
• كالابريتا، مارك ر.؛ غريسن، إريك و. (2002). "تمثيلات الإحداثيات السماوية في FITS (الورقة البحثية الثانية)". علم الفلك والفيزياء الفلكية . 395 : 1077-1122 . arXiv : astro-ph/0207413 . doi : 10.1051/0004-6361:20021327 .
• بوكي، هندريك إينو (1913). Die gnomonische Projection in ihrer Anwendung auf kristallographische Aufgaben [ الإسقاط المعياري في تطبيقه على المهام البلورية ] (باللغة الألمانية). جيبرودر بورنترايجر.
• برادلي، أ.د. (1940). "الإسقاط الغنوموني للكرة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 47 (10): 694-699 . doi : 10.2307/2302492 . JSTOR 2302492 . 
• دي مورغان، أوغسطس (1836). شرح الإسقاط الغنوموني للكرة . بالدوين وكرادوك.
• غونتر، س. (1883). "Die gnomonische Kartenprojektion" [ إسقاط الخريطة الرمزية ] . Zeitschrift der Gesellschaft für Erdkunde zu Berlin (باللغة الألمانية). 18 : 137 – 149.
• هربرت سميث، جي إف (1903). "حول مزايا الإسقاط الغنوموني واستخدامه في رسم البلورات" (ملف PDF) . مجلة علم المعادن . 13 (62): 309-322 . doi : 10.1180/minmag.1903.013.62.02 .
• هيلتون، هارولد (1904). "الشبكة الغنومونية" (ملف PDF) . مجلة علم المعادن . 14 (63): 18-20 . doi : 10.1180/minmag.1904.014.63.05 .
• بالاش، تشارلز (1920). "الإسقاط الغنوموني" (ملف PDF) . عالم المعادن الأمريكي . 5 (4): 67-80 .
• باي، نورمان (1950). "الإسقاط الغنوموني المائل". مجلة إمباير سيرفي ريفيو . 10 (75): 227-232 . doi : 10.1179/sre.1950.10.75.227 .
• روغرز، أوستن ف. (1907). "الإسقاط الغنوموني من وجهة نظر بيانية" . مجلة كلية المناجم الفصلية . 29 (1): 24-33 .

• إسقاط غنوموني