عملية غرام-شميدت

في الرياضيات ، وخاصة الجبر الخطي والتحليل العددي ، تعد عملية غرام-شميدت أو خوارزمية غرام-شميدت طريقة لإيجاد مجموعة من متجهين أو أكثر متعامدين مع بعضهم البعض.

بحسب التعريف التقني، هي طريقة لإنشاء أساس متعامد من مجموعة من المتجهات في فضاء الضرب الداخلي ، وغالبًا ما يكون الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مزودة بالضرب الداخلي القياسي . تأخذ عملية غرام-شميدت مجموعة محدودة ومستقلة خطيًا من المتجهات${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}}$لـ k ≤ n وتولد مجموعة متعامدة${\displaystyle S'=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}\}}$وهذا يشمل نفس${\displaystyle k}$فضاء فرعي ذو أبعاد من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مثل${\displaystyle S}$.

سُميت هذه الطريقة نسبةً إلى يورغن بيدرسن غرام وإرهارد شميدت ، لكن بيير سيمون لابلاس كان على دراية بها قبل غرام وشميدت. ^{[ 1 ]} في نظرية تفكيكات زمرة لي ، يتم تعميمها بواسطة تفكيك إيواساوا .

يؤدي تطبيق عملية غرام-شميدت على متجهات الأعمدة لمصفوفة ذات رتبة عمودية كاملة إلى تحليل QR (يتم تحليلها إلى مصفوفة متعامدة ومصفوفة مثلثية ).

الإسقاط المتجهي لمتجه${\displaystyle \mathbf {v} }$على متجه غير صفري${\displaystyle \mathbf {u} }$يُعرَّف على النحو التالي ^{[ ملاحظة 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )={\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }{\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}\,\mathbf {u} ,}$$ أين${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$يرمز إلى الضرب النقطي للمتجهات${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$وهذا يعني أن${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$هو الإسقاط المتعامد لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$على الخط الذي يمتد بواسطة${\displaystyle \mathbf {u} }$. لو${\displaystyle \mathbf {u} }$إذا كان متجه الصفر،${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$يُعرَّف بأنه المتجه الصفري.

منح${\displaystyle k}$متجهات مستقلة خطيًا غير صفرية${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$تحدد عملية غرام-شميدت المتجهات${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$على النحو التالي: $$// _ {2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2}),&\!\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {v} _ {3}-\اسم المشغل {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{3})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{3}),&\!\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _ {3}\|}}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _ {4}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {مشروع} _ {\mathbf {u} _ {3}}(\mathbf {v} _{4}),&\!\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _ {k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}(\mathbf {v} _{k}),&\!\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}.\end{محاذاة}}}$$

التسلسل${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$هو النظام المطلوب من المتجهات المتعامدة، والمتجهات المعيارية${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$تشكيل مجموعة متعامدة . حساب المتتالية${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$تُعرف هذه العملية باسم تعامد غرام-شميدت ، وحساب المتتالية${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$يُعرف باسم التعامد غرام-شميدت .

للتحقق من أن هذه الصيغ تُنتج متتالية متعامدة، احسب أولاً${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle }$عن طريق استبدال الصيغة أعلاه بـ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$نحصل على صفر. ثم نستخدم هذا لحساب${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle }$مرة أخرى عن طريق استبدال الصيغة بـ${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$نحصل على صفر. لأي قيمة عشوائية${\displaystyle k}$يتم إثبات ذلك عن طريق الاستقراء الرياضي .

هندسياً، تتم هذه الطريقة على النحو التالي: لحساب${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$، إنها مشاريع${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$بشكل متعامد على الفضاء الفرعي${\displaystyle U}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{i-1}}$وهو نفس الفضاء الجزئي الناتج عن${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$المتجه${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$ويُعرَّف ذلك بأنه الفرق بين${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$وهذا الإسقاط، المضمون أن يكون متعامدًا مع جميع المتجهات في الفضاء الفرعي${\displaystyle U}$.

تنطبق عملية غرام-شميدت أيضًا على متتالية خطية مستقلة قابلة للعد لا نهائية { vᵢ _{} ᵢ} . والنتيجة هي متتالية متعامدة (أو متعامدة معيارية) {uᵢ} ᵢ بحيث _{يكون ،} بالنسبة للعدد الطبيعي n : الفضاء الجبري لـ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$هو نفسه مثل ذلك الخاص بـ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$.

إذا طُبقت عملية غرام-شميدت على متتالية مرتبطة خطيًا، فإنها تُخرج المتجه 0 على${\displaystyle i}$الخطوة رقم 1، بافتراض أن${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$هو مزيج خطي من${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$إذا كان المطلوب إنتاج أساس متعامد، فيجب على الخوارزمية اختبار وجود متجهات صفرية في المخرجات وتجاهلها لأنه لا يمكن أن يكون لأي مضاعف للمتجه الصفري طول يساوي 1. وسيكون عدد المتجهات التي تنتجها الخوارزمية هو بُعد الفضاء الذي تغطيه المدخلات الأصلية.

نوع من أنواع عملية غرام-شميدت باستخدام التكرار المتسامي المطبق على سلسلة لا نهائية (ربما غير قابلة للعد) من المتجهات${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$ينتج عنه مجموعة من المتجهات المتعامدة.${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$مع${\displaystyle \kappa \leq \lambda }$بحيث يكون لأي${\displaystyle \alpha \leq \lambda }$، إتمام فترة${\displaystyle \{u_{\beta }:\beta <\min(\alpha ,\kappa )\}}$هو نفسه مثل ذلك الخاص بـ${\displaystyle \{v_{\beta }:\beta <\alpha \}}$على وجه الخصوص ، عند تطبيقها على أساس (جبري) لفضاء هيلبرت (أو، بشكل أعم، أساس لأي فضاء جزئي كثيف)، فإنها تُنتج أساسًا متعامدًا (تحليليًا وظيفيًا). لاحظ أنه في الحالة العامة، غالبًا ما تكون المتباينة الصارمة${\displaystyle \kappa <\lambda }$ويبقى هذا صحيحًا، حتى لو كانت المجموعة الأولية مستقلة خطيًا، ومدى${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$ليس بالضرورة أن يكون فضاءً جزئياً من امتداد${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$(بل هو فضاء جزئي من اكتماله).

يرمز بـ${\displaystyle \operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})}$نتيجة تطبيق عملية غرام-شميدت على مجموعة من المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ينتج عن ذلك خريطة${\displaystyle \operatorname {GS} \colon (\mathbb {R} ^{n})^{k}\to (\mathbb {R} ^{n})^{k}}$.

له الخصائص التالية:

• إنه مستمر
• وهو يحافظ على التوجيه بمعنى أن${\displaystyle \operatorname {or} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})=\operatorname {or} (\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}))}$.
• يتوافق مع الخرائط المتعامدة:

يترك${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$أن تكون متعامدة (بالنسبة للجداء الداخلي المعطى). عندئذٍ لدينا $${\displaystyle \operatorname {GS} (g(\mathbf {v} _{1}),\dots ,g(\mathbf {v} _{k}))=\left(g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{1}),\dots ,g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{k})\right)}$$

علاوة على ذلك، ينتج عن نسخة مُعَلمة من عملية غرام-شميدت انكماش تشوه (قوي) للمجموعة الخطية العامة${\displaystyle \mathrm {GL} (\mathbb {R} ^{n})}$على المجموعة المتعامدة${\displaystyle O(\mathbb {R} ^{n})}$.

عند تنفيذ هذه العملية على جهاز كمبيوتر، فإن المتجهات${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$غالباً ما تكون هذه العمليات غير متعامدة تماماً، بسبب أخطاء التقريب . بالنسبة لعملية غرام-شميدت كما هو موضح أعلاه (والتي يشار إليها أحياناً باسم "غرام-شميدت الكلاسيكية")، فإن فقدان التعامد هذا سيء بشكل خاص؛ لذلك، يقال إن عملية غرام-شميدت (الكلاسيكية) غير مستقرة عددياً .

يمكن تثبيت عملية غرام-شميدت بتعديل بسيط؛ ويُشار إلى هذه النسخة أحيانًا باسم غرام-شميدت المعدلة أو MGS. يُعطي هذا النهج نفس نتيجة الصيغة الأصلية في الحساب الدقيق، ويُقلل الأخطاء في الحساب ذي الدقة المحدودة.

بدلاً من حساب المتجه u _k كـ $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{k})-\cdots -\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}(\mathbf {v} _{k}),}$$ يتم حسابه على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{k}^{(1)}&=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k}),\\\mathbf {u} _{k}^{(2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(1)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(1)}\right),\\&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}\right),\\\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}\right),\\\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}}{\left\|\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}\right\|}}\end{aligned}}}$$

تُستخدم هذه الطريقة في الرسوم المتحركة السابقة، عندما يكون الوسيط${\displaystyle \mathbf {v} '_{3}}$يُستخدم المتجه عند تعامد المتجه الأزرق${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$.

إليك وصف آخر للخوارزمية المعدلة. بالنظر إلى المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$في خطوتنا الأولى نقوم بإنتاج المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$عن طريق إزالة المكونات على طول اتجاه${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$في الصيغ،${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(1)}:=\mathbf {v} _{k}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k},\mathbf {v} _{1}\rangle }{\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle }}\mathbf {v} _{1}}$بعد هذه الخطوة، أصبح لدينا بالفعل متجهان متعامدان من المتجهات المطلوبة.${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$، أي${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$لكننا صنعنا أيضًا${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$متعامد بالفعل مع${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$بعد ذلك، نقوم بتعامد تلك المتجهات المتبقية مع${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$وهذا يعني أننا نحسب${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$عن طريق الطرح${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(2)}:=\mathbf {v} _{k}^{(1)}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k}^{(1)},\mathbf {u} _{2}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{2}\rangle }}\mathbf {u} _{2}}$لقد قمنا الآن بتخزين المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$حيث تكون المتجهات الثلاثة الأولى بالفعل${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{3}}$والمتجهات المتبقية متعامدة بالفعل مع${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}}$وكما هو واضح الآن، فإن الخطوة التالية هي التعامد${\displaystyle \mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$ضد${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}^{(2)}}$وباتباع هذه الطريقة نجد المجموعة الكاملة من المتجهات المتعامدة${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$إذا كانت المتجهات المتعامدة مطلوبة، فإننا نقوم بالتطبيع أثناء تقدمنا، بحيث تتحول المقامات في صيغ الطرح إلى واحد.

_{تُنفذ خوارزمية} MATLAB التالية عملية التعامد الكلاسيكية لغرام-شميدت. المتجهات v1 ، ...، vk (أعمدة المصفوفة) _،V بحيث V(:,j)تكون${\displaystyle j}$يتم استبدال المتجهات (المتجه رقم 1) بمتجهات متعامدة (أعمدة من U) التي تمتد على نفس الفضاء الفرعي.

دالة U = غرامشميدت ( V )[ n , k ] = size ( V );U = zeros ( n , k );U (:، 1 ) = V (:، 1 ) / القاعدة ( V (:، 1 ))؛لكل i = 2 : kU (:, i ) = V (:, i );لكل j = 1 : i - 1U (:, i ) = U (:, i ) - ( U (:, j ) '* U (:, i )) * U (:, j );نهايةU (:, i ) = U (:, i ) / norm ( U (:, i ));نهايةنهاية

تبلغ تكلفة هذه الخوارزمية تقاربياً O( nk² ⁾ من عمليات الفاصلة العائمة، حيث n هو بُعد المتجهات. ^{[ 2 ]}

إذا تم كتابة الصفوف { v ₁ , ..., v _k } كمصفوفة${\displaystyle A}$ثم تطبيق طريقة الحذف الغاوسي على المصفوفة الموسعة${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]}$سينتج ذلك المتجهات المتعامدة بدلاً من${\displaystyle A}$ومع ذلك، فإن المصفوفة${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$يجب تحويلها إلى شكل صفوف متدرجة ، باستخدام عملية الصف فقط المتمثلة في إضافة مضاعف عددي لصف إلى صف آخر. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، بأخذ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}}}$كما ذكرنا سابقاً، لدينا $${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]=\left[{\begin{array}{rr|rr}10&8&3&1\\8&8&2&2\end{array}}\right]}$$

واختزال هذا إلى شكل صفوف متدرجة ينتج $${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|rr}1&.8&.3&.1\\0&1&-.25&.75\end{array}}\right]}$$

ثم تصبح المتجهات المعيارية $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {.3^{2}+.1^{2}}}}{\begin{bmatrix}.3&.1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {.25^{2}+.75^{2}}}}{\begin{bmatrix}-.25&.75\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1&3\end{bmatrix}},}$$ كما في المثال أعلاه.

يمكن التعبير عن نتيجة عملية غرام-شميدت في صيغة غير تكرارية باستخدام المحددات .

$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\frac {1}{\sqrt {D_{j-1}D_{j}}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{j}={\frac {1}{D_{j-1}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

أين${\displaystyle D_{0}=1}$و، لـ${\displaystyle j\geq 1}$،${\displaystyle D_{j}}$هو المحدد غرام

$${\displaystyle D_{j}={\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

لاحظ أن التعبير لـ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$هو محدد "رسمي"، أي أن المصفوفة تحتوي على كل من الكميات العددية والمتجهات؛ يتم تعريف معنى هذا التعبير على أنه نتيجة لتوسيع العامل المرافق على طول صف المتجهات.

إن صيغة المحدد لـ Gram-Schmidt أبطأ حسابيًا (بشكل أسي) من الخوارزميات المتكررة الموصوفة أعلاه؛ وهي ذات أهمية نظرية في المقام الأول.

باستخدام الرموز المستخدمة في الجبر الهندسي ، يمكن التعبير عن النتائج غير المعيارية لعملية غرام-شميدت على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {v} _{k}\cdot \mathbf {u} _{j})\mathbf {u} _{j}^{-1}\ ,}$$ وهو ما يعادل التعبير باستخدام${\displaystyle \operatorname {proj} }$العامل المعرّف أعلاه. ويمكن التعبير عن النتائج بشكل مكافئ على النحو التالي ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}\wedge \mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1}(\mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1})^{-1},}$$ وهو ما يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتعبير باستخدام المحددات أعلاه.

تستخدم خوارزميات التعامد الأخرى تحويلات هاوسهولدر أو دورانات جيفنز . وتتميز الخوارزميات التي تستخدم تحويلات هاوسهولدر باستقرار أكبر من عملية غرام-شميدت المستقرة. من ناحية أخرى، تنتج عملية غرام-شميدت${\displaystyle j}$المتجه المتعامد بعد${\displaystyle j}$في التكرار رقم 1، بينما ينتج عن التعامد باستخدام انعكاسات هاوسهولدر جميع المتجهات في النهاية فقط. وهذا يجعل عملية غرام-شميدت هي الطريقة الوحيدة القابلة للتطبيق على الطرق التكرارية مثل تكرار أرنولدي .

ثمة بديل آخر مدفوع باستخدام تحليل تشوليسكي لعكس مصفوفة المعادلات العادية في المربعات الصغرى الخطية .${\displaystyle V}$لنفترض أن لدينا مصفوفة ذات رتبة عمودية كاملة ، ويجب جعل أعمدتها متعامدة.${\displaystyle V^{*}V}$هيرميتية وموجبة تمامًا ، لذا يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle V^{*}V=LL^{*},}$باستخدام تحليل تشوليسكي . المصفوفة المثلثية السفلية${\displaystyle L}$المصفوفة التي تحتوي على عناصر قطرية موجبة تمامًا قابلة للعكس . عندئذٍ، تكون أعمدة المصفوفة${\displaystyle U=V\left(L^{-1}\right)^{*}}$تكون متعامدة وتغطي نفس الفضاء الجزئي الذي تغطيه أعمدة المصفوفة الأصلية${\displaystyle V}$الاستخدام الصريح للمنتج${\displaystyle V^{*}V}$يجعل هذا الخوارزمية غير مستقرة، خاصةً إذا كان رقم حالة المنتج كبيرًا. ومع ذلك، تُستخدم هذه الخوارزمية عمليًا وتُطبّق في بعض حزم البرامج نظرًا لكفاءتها العالية وبساطتها.

في ميكانيكا الكم، توجد عدة مخططات للتعامد ذات خصائص أفضل من مخطط غرام-شميدت الأصلي لتطبيقات معينة. ومع ذلك، لا يزال هذا المخطط خوارزمية شائعة وفعالة حتى في حسابات البنية الإلكترونية الأكثر تعقيدًا. ^{[ 5 ]}

يمكن إجراء عملية التعامد باستخدام خوارزمية غرام-شميدت في وقت متعدد الحدود قوي . ويشابه تحليل وقت التشغيل تحليل عملية الحذف الغاوسي . ^{[ 6 ] : 40}

• الجبر الخطي
• التكرار
• التعامد (الرياضيات)

• باو الثالث، ديفيد؛ تريفثين، لويد ن. (1997)، الجبر الخطي العددي ، فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، ISBN 978-0-89871-361-9.
• جولوب، جين هـ .؛ فان لون، تشارلز ف. (1996)، حسابات المصفوفات (  الطبعة الثالثة)، جونز هوبكنز، ISBN 978-0-8018-5414-9.
• غرويب، فيرنر (1975)، الجبر الخطي (  الطبعة الرابعة)، سبرينغر.
• سوليفيريز، سي إي؛ غاليانو، إي. (1985)، "التعامد على المستوى: منهج هندسي" (ملف PDF) ، مجلة الفيزياء المكسيكية ، 31 (4): 743-758 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2014-03-07 ، تم استرجاعه بتاريخ 2013-06-22.

• "التعامد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• درس رياضيات من كلية هارفي مود حول خوارزمية غرام-شميدت
• أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات: G يحتوي المدخل "Gram-Schmidt orthogonalization" على بعض المعلومات والمراجع حول أصول الطريقة.
• عروض توضيحية: عملية غرام شميدت في المستوى وعملية غرام شميدت في الفضاء
• تطبيق غرام-شميدت للتعامد
• روتين NAG Gram–Schmidt للتعامد لـ n متجهات من الرتبة m
• البرهان: ريموند بوزيو، كينان كيدويل. "برهان خوارزمية غرام-شميدت للتعامد" (الإصدار 8). PlanetMath.org.