مصفوفات باولي

تحتوي كل مصفوفة من مصفوفات باولي ( الهرميتية ) على قيمتين ذاتيتين :${\displaystyle \pm 1}$المتجهات الذاتية المعيارية المقابلة هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

كل مكون من${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$يمكن استخلاصها من المصفوفة (انظر علاقة الاكتمال أدناه) $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl [}{\bigl (}\ {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\ {\bigr )}\ {\boldsymbol {\sigma }}\ {\Bigr ]}={\boldsymbol {a}}}$$ وهذا يمثل عكس الخريطة${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\mapsto {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$مما يجعل من الواضح أن الخريطة عبارة عن تقابل.

يتم تحديد المعيار بواسطة المحدد (حتى علامة سالبة). $${\displaystyle \det \!{\bigl (}\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}\ =\ -{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\ =\ -\left|\ {\vec {a}}\ \right|^{2}~.}$$ ثم، بالنظر إلى فعل الاقتران لـ${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ }$مصفوفة${\displaystyle U}$في هذا الفضاء من المصفوفات،

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ :=\ U\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ U^{-1}\ ,}

نجد${\displaystyle \ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ =\ \det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,}$وذلك${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$هو منعزل ولا يترك أثراً. ومن ثم يصبح من المنطقي تعريف${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$أين${\displaystyle \ {\vec {a}}'\ }$له نفس المعيار مثل${\displaystyle {\vec {a}},}$وبالتالي تفسير${\displaystyle U}$كدوران للفضاء ثلاثي الأبعاد. في الواقع، اتضح أن القيد الخاص على${\displaystyle U}$وهذا يعني أن الدوران يحافظ على الاتجاه. وهذا يسمح بتعريف خريطة.${\displaystyle \ R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)\ }$مقدم من

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ =:\ (R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$

أين${\displaystyle \ R(U)\ \in \ \mathrm {SO} (3)~.}$هذه الخريطة هي التجسيد الملموس للغطاء المزدوج لـ${\displaystyle \ \mathrm {SO} (3)\ }$بواسطة${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ ,}$وبالتالي يُظهر ذلك أن${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ \cong \ \mathrm {Spin} (3)~.}$مكونات${\displaystyle R(U)}$يمكن استعادتها باستخدام عملية التتبع المذكورة أعلاه:

${\displaystyle \ R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \!\left(\ \sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\ \right)~.}$

يُعطى الضرب الاتجاهي بواسطة مبدل المصفوفات (حتى عامل من${\displaystyle \ 2\ i\ }$) $${\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~.}$$ في الواقع، ينبع وجود المعيار من حقيقة أن${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$هو جبر لي (انظر شكل كيلينج ).

يمكن استخدام هذا الضرب الاتجاهي لإثبات خاصية الحفاظ على الاتجاه للخريطة أعلاه.

القيم الذاتية لـ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$نكون${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$ويترتب على ذلك مباشرة عدم وجود أثر وحساب المحدد بشكل صريح.

بصورة أكثر تجريدًا، ودون حساب المحدد، الذي يتطلب خصائص صريحة لمصفوفات باولي، فإن هذا يتبع من${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}$بما أن هذا يمكن تحليله إلى${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0~.}$نتيجة قياسية في الجبر الخطي (التحويل الخطي الذي يحقق معادلة متعددة الحدود مكتوبة بعوامل خطية مميزة قابل للتقطير ) تعني أن هذا يستلزم${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$قابلة للتقطير مع القيم الذاتية المحتملة${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$عدم وجود أثر لـ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$يعني ذلك أن له قيمة ذاتية واحدة فقط من كل نوع.

متجهاتها الذاتية المعيارية هي $${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}}\$$ ;\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.} تصبح هذه التعبيرات شاذة لـ${\displaystyle \ a_{3}\to -\left|\ {\vec {a}}\ \right|~.}$يمكن إنقاذهم عن طريق السماح${\displaystyle {\vec {a}}=\left|\ {\vec {a}}\ \right|\left(\epsilon ,\ 0,\ -\left(1-{\tfrac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)\right)\ }$وتجاوز الحد${\displaystyle \ \epsilon \to 0\ ,}$مما ينتج عنه المتجهات الذاتية الصحيحة (0,1) و (1,0) لـ${\displaystyle \ \sigma _{z}~.}$

أو بدلاً من ذلك، يمكن استخدام الإحداثيات الكروية${\displaystyle \ {\vec {a}}=a\ {\bigl (}\ \sin \vartheta \ \cos \varphi ,\ \sin \vartheta \ \sin \varphi ,\ \cos \vartheta \ {\bigr )}\ }$للحصول على المتجهات الذاتية${\displaystyle \ \psi _{+}=\left(\ \cos {\tfrac {\vartheta }{2}},\;\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{+i\varphi }\ \right)\ }$و${\displaystyle \ \psi _{-}=\left(\ -\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{-i\varphi },\;\cos {\tfrac {\vartheta }{2}}\ \right)~.}$

يُكتب متجه باولي الرباعي، المستخدم في نظرية السبينور،${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }$مع المكونات

${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }={\bigl (}\ I,\ {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

هذا يحدد خريطة من${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ }$إلى الفضاء المتجهي للمصفوفات الهرميتية،

${\displaystyle \ x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}$

والذي يتضمن أيضًا مقياس مينكوفسكي (مع استخدام اصطلاح السالب في الغالب ) في محدده:

${\displaystyle \ \det {\bigl (}\ x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ {\bigr )}=\eta (x,x)~.}$

يتمتع هذا المتجه الرباعي أيضًا بعلاقة اكتمال. من الملائم تعريف متجه باولي رباعي ثانٍ.

${\displaystyle \ {\bar {\sigma }}^{\mu }={\bigl (}\ I,-{\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

ويمكن بعد ذلك كتابة العلاقة على النحو التالي: $${\displaystyle \ x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!{\Bigl (}\ {\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}\ {\Bigr )}~.}$$

على غرار حالة متجه باولي ثلاثي الأبعاد، يمكننا إيجاد مجموعة مصفوفات تعمل كمتساويات قياس على${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\$ في هذه الحالة ، تكون مجموعة المصفوفات هي${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}$وهذا يدل على ذلك${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ \cong \ \mathrm {Spin} (1,3)~.}$وبالمثل لما سبق، يمكن تحقيق ذلك بشكل صريح لـ${\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }$مع المكونات

${\displaystyle \ \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!\left(\ {\bar {\sigma }}_{\nu }\ S\ \sigma ^{\mu }\ S^{\dagger }\ \right)~.}$

في الواقع، تنبثق خاصية المحدد بشكل مجرد من خصائص الأثر لـ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }~.}$ل${\displaystyle \ 2\times 2\ }$بالنسبة للمصفوفات، تتحقق المتطابقة التالية:

${\displaystyle \ \det(\ A+B\ )\ =\ \det(A)\ +\ \det(B)\ +\ \operatorname {tr} (A)\ \operatorname {tr} (B)\ -\ \operatorname {tr} (\ A\ B\ )~.}$

أي أن "المصطلحات المتقاطعة" يمكن كتابتها كآثار. عندما${\displaystyle \ A,B\ }$يتم اختيارهم ليكونوا مختلفين${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}$تختفي الحدود المختلطة. ثم يتبع ذلك، مع إظهار عملية الجمع بشكل صريح، ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$بما أن المصفوفات${\displaystyle \ 2\times 2\ ,}$هذا يساوي${\textstyle \ \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.}$

تُحوّل متجهات باولي هذه العلاقات التبادلية والمضادة للتبادلية بأناقة إلى نواتج متجهية مقابلة. إضافة المُبدِّل إلى المضاد للتبادلية يُعطي

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}$

لهذا السبب،

بتقليص كل جانب من المعادلة باستخدام مركبات متجهين ثلاثي الأبعاد a _p و b _q (والتي تتبادل مع مصفوفات باولي، أي a _p σ _q = σ _q a _p ) لكل مصفوفة σ _q ومركبة متجه a _p (وكذلك مع b _q ) ينتج

${\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.}$

وأخيرًا، ينتج عن ترجمة رمز المؤشر للضرب النقطي والضرب الاتجاهي ما يلي:

إذا تم تعريف i بالكمية شبه القياسية σ _x σ _y σ _z ، فإن الطرف الأيمن يصبح${\displaystyle \ a\cdot b+a\wedge b\ ,}$وهو أيضاً تعريف حاصل ضرب متجهين في الجبر الهندسي .

إذا عرّفنا عامل الدوران على أنه J = ⁠ ħ / 2 ⁠ σ ، فإن J يحقق علاقة التبادل:$${\displaystyle \ \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\ \hbar \mathbf {J} \ }$$أو بصورة مكافئة، فإن متجه باولي يحقق ما يلي:$${\displaystyle \ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i\ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}~.}$$

يمكن استخلاص الآثار التالية باستخدام علاقات التبادل والتبادل المضاد.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\,\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\,\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\,\delta _{km}+\delta _{jm}\,\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}~.}$

إذا كانت المصفوفة ${\displaystyle \sigma _{0}=\mathbb {I} }$وإذا أخذنا في الاعتبار أيضًا، فإن هذه العلاقات تصبح

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}~.}$$

حيث المؤشرات اليونانية${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$و${\displaystyle \mu }$افترض القيم من${\displaystyle \{0,x,y,z\}}$والترميز${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$يُستخدم للدلالة على المجموع على التبديل الدوري للمؤشرات المضمنة.

ل

${\displaystyle {\vec {a}}=a\ {\hat {n}},\quad \left|\ {\hat {n}}\ \right|=1\ ,}$

بالنسبة للقوى الزوجية، يكون لدينا 2p ، حيث p = 0، 1، 2، 3، ...

${\displaystyle \ ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I\ ,}$

ويمكن إثبات ذلك أولاً في حالة p = 1 باستخدام علاقات التبادل العكسي. وللتسهيل، تُعتبر حالة p = 0 هي I اصطلاحاً.

بالنسبة للقوى الفردية، 2q + 1، حيث q = 0، 1، 2، 3، ...

${\displaystyle \ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~.}$

رفع المصفوفة إلى الأس ، واستخدام متسلسلة تايلور للجيب وجيب التمام ،

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.}$

في السطر الأخير، المجموع الأول هو جيب التمام، بينما المجموع الثاني هو الجيب؛ لذا، في النهاية،

وهو ما يُشابه صيغة أويلر ، مع توسيعها لتشمل الأعداد الرباعية . على وجه الخصوص،

${\displaystyle e^{i\ a\ \sigma _{1}}={\begin{pmatrix}\cos a&i\ \sin a\\i\ \sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{2}}={\begin{pmatrix}\cos a&\sin a\\-\sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{i\ a}&0\\0&e^{-i\ a}\end{pmatrix}}~.}$

لاحظ أن

${\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,}$

بينما محدد الدالة الأسية نفسها هو 1 فقط ، مما يجعلها عنصر المجموعة العامة لـ SU(2) .

يمكن إيجاد صيغة أكثر تجريدًا للصيغة (2) لمصفوفة عامة من الرتبة 2 × 2 في المقالة المتعلقة بالدوال الأسية للمصفوفات . وتُقدم صيغة عامة للصيغة (2) لدالة تحليلية (عند a و -a ) بتطبيق صيغة سيلفستر ، ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \ f(\ a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\ )\ =\ I\ {\frac {\ f(+a)+f(-a)\ }{2}}\ +\ {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\frac {\ f(+a)-f(-a)\ }{2}}~.}$

هناك طريقة تدوين بديلة شائعة الاستخدام لمصفوفات باولي وهي كتابة فهرس المتجه k في الأعلى، وفهارس المصفوفة كأدلة سفلية، بحيث يكون العنصر الموجود في الصف α والعمود β من مصفوفة باولي k هو σ ^k _αβ .

في هذه الصيغة، يمكن كتابة علاقة الاكتمال لمصفوفات باولي على النحو التالي

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\ \delta _{\gamma \delta }~.}$

كما ذُكر أعلاه، من الشائع الإشارة إلى مصفوفة الوحدة 2 × 2 بالرمز σ₀، لذا فإن σ₀αβ = δαβ. ويمكن التعبير عن _علاقة الاكتمال بشكل بديل _على النحو _التالي ^:$${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }~.}$$

إن حقيقة إمكانية التعبير عن أي مصفوفة هيرميتية معقدة من الرتبة 2×2 بدلالة مصفوفة الوحدة ومصفوفات باولي، تؤدي أيضًا إلى تمثيل كرة بلوخ لمصفوفة كثافة الحالات المختلطة من الرتبة 2×2 ، (مصفوفات شبه موجبة من الرتبة 2×2 ذات أثر يساوي واحدًا ) . ​​ويمكن ملاحظة ذلك من خلال التعبير أولًا عن أي مصفوفة هيرميتية كتركيبة خطية حقيقية من { σ₀ _, σ₁ , _{σ₂ ,} σ₃ } كما سبق ، ثم تطبيق شرطي شبه الموجبة والأثر يساوي _واحدًا .

بالنسبة للحالة النقية، في الإحداثيات القطبية،$${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$مصفوفة الكثافة المتساوية$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$$

يؤثر على متجه الحالة${\displaystyle \ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)&e^{+i\phi }\ \sin \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ }$بقيمة ذاتية +1، وبالتالي فهي تعمل كعامل إسقاط .

ليكن P _jk هو التبديل (المعروف أيضًا باسم التبديل) بين لفتين σ _j و σ _k الموجودتين في فضاء الضرب الموتري .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$،​

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}$

يمكن أيضًا كتابة هذا المؤثر بشكل أكثر وضوحًا على أنه مؤثر تبادل الدوران لديراك ،

${\displaystyle \ P_{jk}={\frac {1}{2}}\ \left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}$

وبالتالي فإن قيمها الذاتية هي ^{[ d ]} 1 أو -1. ومن ثم يمكن استخدامها كحد تفاعل في هاميلتوني، مما يؤدي إلى تقسيم قيم الطاقة الذاتية لحالاتها الذاتية المتناظرة مقابل الحالات الذاتية غير المتناظرة.

جبر لي${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$متماثل مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$وهذا يتوافق مع زمرة لي SO(3) ، وهي زمرة الدورانات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. بعبارة أخرى، يمكن القول إن i σ _j هي تجسيد (بل في الواقع، التجسيد ذو البعد الأدنى) للدورانات المتناهية الصغر في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك، على الرغم من${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$و${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$على الرغم من أن SU(2) و SO(3) متماثلتان كجبر لي، إلا أنهما ليستا متماثلتين كزمر لي. في الواقع ، SU(2) هي غطاء مزدوج لـ SO(3) ، مما يعني وجود تشاكل زمر ثنائي من SU(2) إلى SO(3) ، انظر العلاقة بين SO(3) و SU(2) .

إنّ الامتداد الخطي الحقيقي لـ { I , iσ ₁ , i σ ₂ , i σ ₃ } متماثل مع الجبر الحقيقي للأعداد الرباعية ،${\displaystyle \mathbb {H} }$، ممثلة بمدى متجهات الأساس${\displaystyle \ \left\{\;\mathbf {1} ,\ \mathbf {i} ,\ \mathbf {j} ,\ \mathbf {k} \;\right\}~.}$التشاكل من${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$يتم إعطاء هذه المجموعة بواسطة الخريطة التالية (لاحظ الإشارات المعكوسة لمصفوفات باولي): $${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}~.}$$

بدلاً من ذلك، يمكن تحقيق التماثل عن طريق خريطة تستخدم مصفوفات باولي بترتيب معكوس، ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}$