دالة L- أدية p

في الرياضيات ، دالة زيتا p -adic ، أو بشكل أعم دالة L -adic p -adic ، هي دالة مماثلة لدالة زيتا لريمان ، أو دوال L- الأكثر عمومية ، ولكن مجالها وهدفها p-adic ( حيث p عدد أولي ). على سبيل المثال، يمكن أن يكون المجال هو الأعداد الصحيحة p -adic Z _{_p} ، أو زمرة p- منتهية ، أو عائلة p -adic من تمثيلات غالوا ، ويمكن أن تكون الصورة هي الأعداد p -adic Q_{_p} أو إغلاقها الجبري .

ينشأ مصدر دالة L من النوع p -adic عادةً من نوعين. المصدر الأول - الذي استُخدم في بناء دالة L من النوع p -adic لأول مرة من قِبل توميو كوبوتا وهينريش -فولفغانغ ليوبولد ( كوبوتا وليوبولد ، 1964 ) - هو الاستيفاء p -adic لقيم خاصة من دوال L. على سبيل المثال، استخدم كوبوتا وليوبولد تطابقات كومر لأعداد برنولي لبناء دالة L من النوع p -adic ، وهي دالة زيتا ريمان من النوع p -adic _، ζp ( s )، التي تكون قيمها عند الأعداد الصحيحة الفردية السالبة هي قيم دالة زيتا ريمان عند الأعداد الصحيحة الفردية السالبة (مع مراعاة عامل تصحيح صريح). تُعرف دوال L من النوع p -adic التي تنشأ بهذه الطريقة عادةً باسم دوال L التحليلية من النوع p -adic . المصدر الرئيسي الآخر لدوال L من النوع p -adic ، والذي اكتشفه كينكيتشي إيواساوا لأول مرة ، هو حساب الحقول الدائرية ، أو بشكل أعم، وحدات غالوا معينة فوق أبراج من الحقول الدائرية، أو حتى أبراج أكثر عمومية. تُسمى دالة L من النوع p -adic التي تنشأ بهذه الطريقة عادةً بدالة L حسابية من النوع p -adic ، لأنها تُشفّر البيانات الحسابية لوحدة غالوا المعنية. الفرضية الرئيسية لنظرية إيواساوا (والتي أصبحت الآن نظريةً منسوبةً إلى باري مازور وأندرو وايلز ) هي أن دالة L من النوع p - adic لكوبوتا-ليوبولد ونظيرتها الحسابية التي بنتها نظرية إيواساوا متطابقتان جوهريًا. في الحالات الأكثر عمومية حيث يتم بناء (أو توقع) كل من دوال L التحليلية والحسابية من النوع p -adic ، تُسمى عبارة توافقهما بالفرضية الرئيسية لنظرية إيواساوا لتلك الحالة. تمثل هذه التخمينات بيانات رسمية تتعلق بالفلسفة القائلة بأن القيم الخاصة لدوال L تحتوي على معلومات حسابية.

تُعطى دالة ديريشليه L من خلال الاستمرار التحليلي لـ

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$

دالة ديريشليه L عند الأعداد الصحيحة السالبة معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}$

حيث B _{n ، χ} هو عدد برنولي المعمم المعرف بواسطة

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

لـ χ خاصية ديريشليه مع موصل f .

تقوم دالة كوبوتا-ليوبولد p -adic L p ₍ s , χ ) باستيفاء دالة ديريشليه L مع إزالة عامل أويلر عند p . وبشكل أدق، فإن L _p ( s , χ ) هي الدالة المتصلة الوحيدة للعدد p -adic s بحيث  

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi (p)p^{n-1}\right)L(1-n,\chi )}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n التي تقبل القسمة على p  −  1. الطرف الأيمن هو دالة ديريشليه L المعتادة، باستثناء حذف عامل أويلر عند p ، وإلا لما كانت متصلة p -adically. ترتبط استمرارية الطرف الأيمن ارتباطًا وثيقًا بتطابقات كومر .

عندما لا يكون n قابلاً للقسمة على p − 1، فإن هذا لا ينطبق عادةً؛ بدلاً من ذلك  

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1}\right)L\left(1-n,\chi \omega ^{-n}\right)}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n . هنا يتم لف χ بواسطة قوة من محرف Teichmüller ω .

يمكن أيضًا اعتبار الدوال L من النوع p -adic بمثابة مقاييس من النوع p -adic (أو توزيعات من النوع p -adic ) على زمر غالوا من النوع p -profinite. ويتم الربط بين هذه النظرة ونظرة كوبوتا-ليوبولد الأصلية ( كدوال Q ذات قيم _p على Z _p ) عبر تحويل مازور-ميلين ( ونظرية حقل الأصناف ).

قام ديلين وريبيه (1980) ، بالاستناد إلى عمل سير (1973) السابق ، ببناء دوال L التحليلية من النوع p -adic للحقول الحقيقية تمامًا. وبشكل مستقل، قام بارسكي (1978) وكاسو -نوغيس (1979) بالشيء نفسه، لكن مناهجهما اتبعت منهج تاكورو شينتاني في دراسة قيم L.

• Barsky، Daniel (1978)، "Fonctions zêta p -adiques d'une classe de rayon des corps de nombres Totalement réels" ، في Amice، Y. ; بارسكي، د.؛ Robba، P. (eds.)، Groupe d'Étude d'Analyse Ultramétrique (5 ^سنوات : 1977/78) ، المجلد.  16، باريس: أمانة الرياضيات، ISBN 978-2-85926-266-2، MR 0525346 
• Cassou-Noguès، Pierrette (1979)، "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p -adiques"، اختراعات الرياضيات ، 51 (1): 29– 59، بيب كود : 1979InMat..51...29C ، دوى : 10.1007/BF01389911 ، ISSN 0020-9910 ، السيد 0524276  
• كوتس، جون (1989)، "حول الدوال L- العددية p -adic " ، أستيريسك (177): 33-59 ، ISSN 0303-1179 ، MR 1040567  
• كولميز، بيير (2004)، حلقات فونتين ودوال L- أدية p ( ملف PDF) ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 11-03-2012 ، تم استرجاعه بتاريخ 12-05-2011
• ديلين، بيير ؛ ريبيه، كينيث أ. (1980)، "قيم الدوال الأبيلية L عند الأعداد الصحيحة السالبة على الحقول الحقيقية تمامًا"، Inventiones Mathematicae ، 59 (3): 227-286 ، Bibcode : 1980InMat..59..227D ، doi : 10.1007/BF01453237 ، ISSN 0020-9910 ، MR 0579702  
• إيواساوا، كينكيتشي (1969)، "حول الدوال L- العددية p -adic "، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 89 (1)، حوليات الرياضيات: 198-205 ، doi : 10.2307/1970817 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1970817 ، MR 0269627   
• إيواساوا، كينكيتشي (1972)، محاضرات حول دوال L- أدية p ، مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-08112-0، MR 0360526 
• كاتز، نيكولاس م. (1975)، " دوال L- أدية من الرتبة p عبر معاملات المنحنيات الإهليلجية"، الهندسة الجبرية ، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد  29، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 479-506 ، MR 0432649  
• كوبليتز، نيل (1984)،الأعداد p -adic، والتحليل p -adic، ودوال زيتا ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  58، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-96017-3MR 0754003​ 
• كوبوتا, توميو ; Leopoldt، Heinrich-Wolfgang (1964)، “Eine p -adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p -adischen Dirichletschen L -Funktionen" ، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 214/215: 328–339 ، دوى : 10.1515/crll.1964.214-215.328 ، ISSN 0075-4102 ، مر 0163900  
• سيري، جان بيير (1973)، “Formes modulaires et fonctions zêta p -adiques”، في كويك، ويليم؛ سيري، جان بيير (محرران)، الوظائف المعيارية لمتغير واحد، III (وقائع المدرسة الصيفية الدولية، جامعة أنتويرب، 1972) ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد.  350، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، الصفحات من 191 إلى 268، دوى : 10.1007/978-3-540-37802-0_4 ، ISBN  978-3-540-06483-1، MR 0404145