جسيم في الخلية

غالبًا ما تكون الأنظمة الحقيقية المدروسة ضخمة للغاية من حيث عدد الجسيمات التي تحتويها. ولجعل عمليات المحاكاة فعالة أو ممكنة من الأساس، تُستخدم ما يُسمى بالجسيمات الفائقة . الجسيم الفائق (أو الجسيم الكبير ) هو جسيم حسابي يُمثل العديد من الجسيمات الحقيقية؛ فقد يكون ملايين الإلكترونات أو الأيونات في حالة محاكاة البلازما، أو، على سبيل المثال، عنصر دوامي في محاكاة الموائع. يُسمح بإعادة ضبط عدد الجسيمات، لأن التسارع الناتج عن قوة لورنتز يعتمد فقط على نسبة الشحنة إلى الكتلة، وبالتالي فإن الجسيم الفائق سيتبع المسار نفسه الذي يتبعه الجسيم الحقيقي.

يجب اختيار عدد الجسيمات الحقيقية المقابلة للجسيم الفائق بحيث يمكن جمع إحصاءات كافية حول حركة الجسيم. إذا كان هناك فرق كبير بين كثافة الأنواع المختلفة في النظام (بين الأيونات والجسيمات المتعادلة، على سبيل المثال)، فيمكن استخدام نسب منفصلة بين الجسيمات الحقيقية والجسيمات الفائقة لكل منها.

حتى مع الجسيمات الفائقة، يكون عدد الجسيمات المحاكاة عادةً كبيرًا جدًا (> 10⁵ ⁾ ، وغالبًا ما يكون تحريك الجسيمات هو الجزء الأكثر استهلاكًا للوقت في خوارزمية الجسيمات في الخلية (PIC)، نظرًا لأنه يجب تنفيذه لكل جسيم على حدة. لذا، يتطلب الأمر دقة وسرعة عاليتين في عملية التحريك، ويُبذل جهد كبير لتحسين المخططات المختلفة.

يمكن تقسيم المخططات المستخدمة لتحريك الجسيمات إلى فئتين: الحلول الضمنية والحلول الصريحة. فبينما تحسب الحلول الضمنية (مثل مخطط أويلر الضمني) سرعة الجسيم من الحقول المُحدَّثة مسبقًا، تستخدم الحلول الصريحة القوة القديمة فقط من الخطوة الزمنية السابقة، ولذلك فهي أبسط وأسرع، ولكنها تتطلب خطوة زمنية أصغر. في محاكاة الجسيمات في الخلية (PIC)، تُستخدم طريقة القفزة ، وهي طريقة صريحة من الدرجة الثانية. ^{[ 6 ]} كما تُستخدم خوارزمية بوريس التي تلغي المجال المغناطيسي في معادلة نيوتن-لورنتز. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

بالنسبة لتطبيقات البلازما، تتخذ طريقة القفزة الشكل التالي: $${\displaystyle {\frac {\mathbf {x} _{k+1}-\mathbf {x} _{k}}{\Delta t}}=\mathbf {v} _{k+1/2},}$$$$// _{k-1/2}}{2}}\times \mathbf {B} _{k}\right)،}$$

حيث الرمز السفلي${\displaystyle k}$يشير إلى الكميات "القديمة" من الخطوة الزمنية السابقة،${\displaystyle k+1}$إلى الكميات المحدثة من الخطوة الزمنية التالية (أي${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+\Delta t}$ويتم حساب السرعات بين الخطوات الزمنية المعتادة${\displaystyle t_{k}}$.

معادلات مخطط بوريس التي يتم استبدالها في المعادلات أعلاه هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{k+1}&=\mathbf {x} _{k}+{\Delta t}\mathbf {v} _{k+1/2},\\\mathbf {v} _{k+1/2}&=\mathbf {u} '+q'\mathbf {E} _ {ك}،\نهاية {محاذاة}}}$$

أين $${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {u} '&=\mathbf {u} +(\mathbf {u} +(\mathbf {u} \times \mathbf {h} ))\times \mathbf {s} ,\\\mathbf {u} &=\mathbf {v} _{k-1/2}+q'\mathbf {E} _ {k},\\\mathbf {h} &=q'\mathbf {B} _{k},\\\mathbf {s} &=2\mathbf {h} /(1+h^{2})\\q'&=\Delta t\cdot {\frac {q}{2m}}.\end{محاذاة}}}$$

بفضل دقتها الممتازة على المدى الطويل، تُعدّ خوارزمية بوريس المعيار الفعلي لتحريك الجسيمات المشحونة. وقد تبيّن أن دقة خوارزمية بوريس غير النسبية الممتازة على المدى الطويل تعود إلى قدرتها على الحفاظ على حجم فضاء الطور، على الرغم من أنها ليست خوارزمية سيمبلكتية. ولا يزال الحدّ العالمي لخطأ الطاقة، المرتبط عادةً بالخوارزميات السيمبلكتية، ساريًا على خوارزمية بوريس، مما يجعلها خوارزمية فعّالة لديناميكيات البلازما متعددة المقاييس. كما أُثبت ^{[ 9 ]} أنه يمكن تحسين خوارزمية بوريس النسبية لجعلها تحافظ على الحجم وتُقدّم حلاً بسرعة ثابتة في مجالات كهربائية ومغناطيسية متعامدة.

تنتمي أكثر الطرق استخدامًا لحل معادلات ماكسويل (أو بشكل أعم، المعادلات التفاضلية الجزئية ) إلى واحدة من الفئات الثلاث التالية:

• طرق الفروق المحدودة (FDM)
• طرق العناصر المحدودة (FEM)
• الطرق الطيفية

باستخدام طريقة الفروق المحدودة ، يتم استبدال المجال المتصل بشبكة منفصلة من النقاط، حيث يتم حساب المجالين الكهربائي والمغناطيسي . ثم يتم تقريب المشتقات باستخدام الفروق بين قيم نقاط الشبكة المتجاورة، وبالتالي تتحول المعادلات التفاضلية الجزئية إلى معادلات جبرية.

باستخدام طريقة العناصر المحدودة، يُقسّم المجال المتصل إلى شبكة منفصلة من العناصر. تُعالج المعادلات التفاضلية الجزئية كمسألة قيم ذاتية ، ويُحسب حل تجريبي مبدئي باستخدام دوال أساسية مُحددة في كل عنصر. ثم يُحصل على الحل النهائي من خلال التحسين حتى الوصول إلى الدقة المطلوبة.

كما أن الطرق الطيفية، مثل تحويل فورييه السريع (FFT)، تحوّل المعادلات التفاضلية الجزئية إلى مسألة قيم ذاتية، ولكن هذه المرة تكون دوال الأساس من رتبة عالية ومُعرّفة بشكل شامل على كامل المجال. لا يتم تقسيم المجال نفسه في هذه الحالة، بل يظل متصلاً. وكما في السابق، يتم إيجاد حل تجريبي بإدخال دوال الأساس في معادلة القيم الذاتية، ثم يتم تحسينه لتحديد أفضل قيم للمعاملات التجريبية الأولية.

يُشتق اسم "الجسيم في الخلية" من طريقة إسناد الكميات الكلية للبلازما ( كثافة العدد ، كثافة التيار ، إلخ) إلى جسيمات المحاكاة (أي ترجيح الجسيمات ). يمكن أن تتواجد الجسيمات في أي مكان على المجال المتصل، ولكن تُحسب الكميات الكلية فقط على نقاط الشبكة، تمامًا كما هو الحال مع الحقول. وللحصول على الكميات الكلية، يُفترض أن للجسيمات "شكلًا" محددًا بواسطة دالة الشكل. $${\displaystyle S(\mathbf {x} -\mathbf {X} ),}$$

أين${\displaystyle \mathbf {x} }$هي إحداثيات الجسيم و${\displaystyle \mathbf {X} }$نقطة الرصد. ولعلّ أسهل الخيارات وأكثرها استخدامًا لدالة الشكل هو ما يُعرف بمخطط السحابة داخل الخلية (CIC)، وهو مخطط ترجيح من الدرجة الأولى (خطي). ومهما كان المخطط، يجب أن تستوفي دالة الشكل الشروط التالية: ^{[ 10 ]} تجانس الفضاء، وحفظ الشحنة، وزيادة الدقة (التقارب) للحدود ذات الرتب الأعلى.

يتم تحديد الحقول التي تم الحصول عليها من محلل الحقول فقط على نقاط الشبكة ولا يمكن استخدامها مباشرة في محرك الجسيمات لحساب القوة المؤثرة على الجسيمات، ولكن يجب استيفاؤها عبر ترجيح الحقول : $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} )=\sum _{i}\mathbf {E} _{i}S(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} ),}$$

حيث الرمز السفلي${\displaystyle i}$يُحدد هذا الموضع نقطة الشبكة. ولضمان الحصول على القوى المؤثرة على الجسيمات بشكل متسق ذاتيًا، يجب أن تكون طريقة حساب الكميات الكلية من مواضع الجسيمات على نقاط الشبكة، وكذلك طريقة استيفاء الحقول من نقاط الشبكة إلى مواضع الجسيمات، متسقة أيضًا، نظرًا لظهورهما في معادلات ماكسويل . والأهم من ذلك، يجب أن يحافظ مخطط استيفاء الحقل على الزخم . ويمكن تحقيق ذلك باختيار نفس مخطط الترجيح للجسيمات والحقول، وضمان التناظر المكاني المناسب (أي عدم وجود قوة ذاتية وتحقيق قانون الفعل ورد الفعل ) لحل الحقل في الوقت نفسه ^{[ 10 ].}

بما أن محلل المجال يتطلب أن يكون خاليًا من القوى الذاتية، فإن المجال الناتج عن جسيم داخل الخلية يجب أن يتناقص مع تناقص المسافة منه، وبالتالي يتم التقليل من شأن القوى بين الجسيمات داخل الخلايا. يمكن موازنة ذلك باستخدام تصادمات كولوم بين الجسيمات المشحونة. ونظرًا لأن محاكاة التفاعل لكل زوج من الجسيمات في نظام كبير ستكون مكلفة حسابيًا للغاية، فقد طُوّرت عدة طرق مونت كارلو بدلاً من ذلك. إحدى الطرق الشائعة الاستخدام هي نموذج التصادم الثنائي ^{[ 11 ]} ، حيث تُجمّع الجسيمات وفقًا لخليتها، ثم تُقرن هذه الجسيمات عشوائيًا، وأخيرًا تتصادم الأزواج.

في البلازما الحقيقية، قد تلعب العديد من التفاعلات الأخرى دورًا، بدءًا من التصادمات المرنة، مثل التصادمات بين الجسيمات المشحونة والمتعادلة، مرورًا بالتصادمات غير المرنة، مثل تصادم تأين الإلكترون مع الجسيم المتعادل، وصولًا إلى التفاعلات الكيميائية؛ ويتطلب كل منها معالجة منفصلة. تستخدم معظم نماذج التصادم التي تتعامل مع التصادمات بين الجسيمات المشحونة والمتعادلة إما مخطط مونت كارلو المباشر ، حيث تحمل جميع الجسيمات معلومات حول احتمالية تصادمها، أو مخطط التصادم الصفري ، ^{[ 12 ] [ 13 ]} الذي لا يحلل جميع الجسيمات، بل يستخدم احتمالية التصادم القصوى لكل نوع مشحون.

كما هو الحال في جميع أساليب المحاكاة، يجب اختيار خطوة الزمن وحجم الشبكة بدقة في طريقة PIC، لضمان معالجة ظواهر المقياس الزمني والمكاني ذات الأهمية في المسألة بشكل صحيح. إضافةً إلى ذلك، تؤثر خطوة الزمن وحجم الشبكة على سرعة ودقة البرنامج.

بالنسبة لمحاكاة البلازما الكهروستاتيكية باستخدام مخطط تكامل زمني صريح (مثل طريقة القفز المتتالي، وهي الأكثر شيوعًا)، هناك شرطان مهمان يتعلقان بحجم الشبكة.${\displaystyle \Delta x}$والخطوة الزمنية${\displaystyle \Delta t}$ينبغي استيفاء هذه الشروط لضمان استقرار الحل: $${\displaystyle \Delta x<3.4\lambda _{D},}$$$${\displaystyle \Delta t\leq 2\omega _{pe}^{-1},}$$

والتي يمكن اشتقاقها بالنظر إلى التذبذبات التوافقية لبلازما أحادية البعد غير ممغنطة. يُعد الشرط الأخير ضروريًا للغاية، لكن الاعتبارات العملية المتعلقة بحفظ الطاقة تشير إلى استخدام قيد أكثر صرامة حيث يُستبدل العامل 2 برقم أصغر منه بعشرة أضعاف. استخدام${\displaystyle \Delta t\leq 0.1\omega _{pe}^{-1},}$هذا أمرٌ نموذجي. ^{[ 10 ] [ 14 ]} ليس من المستغرب أن يكون المقياس الزمني الطبيعي في البلازما مُعطىً بتردد البلازما العكسي${\displaystyle \omega _{pe}^{-1}}$ومقياس الطول بواسطة طول ديباي${\displaystyle \lambda _{D}}$.

بالنسبة لمحاكاة البلازما الكهرومغناطيسية الصريحة، يجب أن تستوفي الخطوة الزمنية أيضًا شرط CFL : $${\displaystyle \Delta t<\Delta x/c,}$$ أين${\displaystyle \Delta x\sim \lambda _{D}}$، و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء.