مجموعة وحدوية خاصة

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

في الرياضيات، المجموعة الوحدوية الخاصة من الدرجة n ، والتي يرمز لها بـ SU( n ) ، هي مجموعة لاي المكونة من n × n من المصفوفات الوحدوية ذات المحدد 1.

قد تحتوي مصفوفات المجموعة الوحدوية الأكثر عمومية على محددات معقدة بقيمة مطلقة 1، بدلاً من القيمة الحقيقية 1 في الحالة الخاصة .

عملية المجموعة هي ضرب المصفوفات . المجموعة الوحدوية الخاصة هي مجموعة فرعية طبيعية للمجموعة الوحدوية U( n ) ، تتكون من جميع المصفوفات الوحدوية n × n . كمجموعة كلاسيكية مضغوطة ، U( n ) هي المجموعة التي تحافظ على المنتج الداخلي القياسي على . ^[أ] إنها نفسها مجموعة فرعية للمجموعة الخطية العامة ،${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

تجد مجموعات SU( n ) تطبيقًا واسعًا في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات ، وخاصة SU(2) في التفاعل الكهروضعيف و SU(3) في الديناميكا اللونية الكمومية . ^[1]

الحالة الأبسط، SU(1) ، هي المجموعة التافهة ، التي تحتوي على عنصر واحد فقط. المجموعة SU(2) متماثلة الشكل لمجموعة رباعيات القاعدة 1، وبالتالي فهي متغايرة الشكل للكرة ثلاثية الأبعاد . ونظرًا لأنه يمكن استخدام رباعيات الوحدة لتمثيل الدورات في الفضاء ثلاثي الأبعاد (حتى علامة إلى)، فهناك تماثل تام من SU(2) إلى مجموعة الدوران SO(3) التي نواتها هي {+ I ، − I } . ^[ب] ونظرًا لأنه يمكن تحديد رباعيات القاعدة على أنها جبر جزئي زوجي لجبر كليفورد Cl(3) ، فإن SU(2) في الواقع متطابقة مع إحدى مجموعات التماثل للمغزل ، Spin (3)، والتي تمكن من عرض المغزل للدوران.

المجموعة الوحدوية الخاصة SU( n ) هي مجموعة لي حقيقية تمامًا (مقابل مجموعة لي معقدة أكثر عمومية ). بُعدها كمتعدد شعب حقيقي هو n ² − 1. من الناحية الطوبولوجية، فهي مضغوطة ومتصلة ببساطة . ^[2] من الناحية الجبريّة، فهي مجموعة لي بسيطة (بمعنى أن جبر لي الخاص بها بسيط؛ انظر أدناه). ^[3]

مركز SU ( n ) متماثل للمجموعة الدورية ، ويتكون من المصفوفات القطرية ζ I لـ ζ الجذر n للوحدة و I مصفوفة الهوية n × n . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

مجموعة التشكل الذاتي الخارجية لـ n ≥ 3 هي بينما مجموعة التشكل الذاتي الخارجية لـ SU(2) هي المجموعة التافهة . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

يمكن الحصول على أقصى طور من رتبة n − 1 من خلال مجموعة المصفوفات القطرية ذات المحدد 1. مجموعة ويل لـ SU( n ) هي المجموعة المتماثلة S _n ، والتي يتم تمثيلها بواسطة مصفوفات تبديل ذات إشارة (الإشارات ضرورية لضمان أن المحدد هو 1 ).

يمكن التعرف على جبر لاي لـ SU( n ) ، والذي يُشار إليه بواسطة ، بمجموعة من المصفوفات المعقدة غير الهيرميتية n × n، مع المبدل المنتظم كقوس لاي . غالبًا ما يستخدم علماء فيزياء الجسيمات تمثيلًا مختلفًا ومكافئًا: مجموعة المصفوفات المعقدة الهيرميتية n × n ، التي لا أثر لها مع قوس لاي، والتي تُعطى بواسطة − i مضروبًا في المبدل. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

يتكون جبر لاي من n × n مصفوفات هيرميتية منحرفة ذات أثر صفري. ^[4] هذا الجبر لاي (الحقيقي) له بعد n ² − 1. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول بنية جبر لاي هذا أدناه في § بنية جبر لاي . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

في أدبيات الفيزياء، من الشائع تحديد جبر لاي بمساحة مصفوفات هيرميتية ذات أثر صفري (بدلاً من مصفوفات هيرميتية ملتوية). وهذا يعني أن جبر لاي الخاص بالفيزيائيين يختلف بعامل عن جبر لاي الخاص بالرياضيين. ومن خلال هذه الاتفاقية، يمكن للمرء أن يختار المولدات T _a التي هي عبارة عن مصفوفات هيرميتية معقدة بدون أثر n × n ، حيث: ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$

حيث أن f هي ثوابت البنية وهي غير متماثلة في جميع المؤشرات، بينما معاملات d متماثلة في جميع المؤشرات.

ونتيجة لذلك، فإن المبدل هو:

$${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$

والمبدل المضاد المقابل هو:

$${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

ينشأ عامل i في علاقة التبديل من اتفاقية الفيزياء ولا يكون موجودًا عند استخدام اتفاقية علماء الرياضيات.

شرط التطبيع التقليدي هو

$${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

المولدات تلبي هوية جاكوبي: ^[5]

$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

حسب الاتفاقية، في أدبيات الفيزياء، يتم تعريف المولدات على أنها مصفوفات معقدة هيرميتية بلا أثر مع عامل مسبق: بالنسبة للمجموعة، يتم اختيار المولدات على النحو التالي حيث توجد مصفوفات باولي ، بينما بالنسبة لحالة واحدة يتم تعريفها حيث توجد مصفوفات جيل-مان . ^[6] باستخدام هذه التعريفات، تلبي المولدات شرط التطبيع التالي: ${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$${\displaystyle \lambda _{a}}$

$${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

في تمثيل المرافق ذي الأبعاد ( n ² − 1) ، يتم تمثيل المولدات بواسطة مصفوفات ( n ² − 1) × ( n ² − 1) ، والتي يتم تعريف عناصرها بواسطة ثوابت البنية نفسها:

$${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

باستخدام ضرب المصفوفة للعملية الثنائية، تشكل SU(2) مجموعة، ^[7]

$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$$

حيث يشير الخط العلوي إلى الاقتران المعقد .

إذا اعتبرنا زوجًا حيث و ، فإن المعادلة تصبح ${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \alpha =a+bi}$${\displaystyle \beta =c+di}$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

هذه هي معادلة الكرة الثلاثية S ³ . ويمكن أيضًا رؤية ذلك باستخدام التضمين: الخريطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

حيث يشير إلى مجموعة من المصفوفات المركبة 2 × 2، وهي خريطة خطية حقيقية حقنية (من خلال اعتبار diffeomorphic إلى و diffeomorphic إلى ). وبالتالي، فإن تقييد φ على الكرة ثلاثية الأبعاد (نظرًا لأن معامل التناسب يساوي 1)، والمشار إليه بـ S ³ ، هو تضمين للكرة ثلاثية الأبعاد في متعدد شعب مضغوط لـ ، أي φ ( S ³ ) = SU(2) . ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

لذلك، باعتباره متعدد الشعب، فإن S ³ يختلف شكليًا عن SU(2) ، مما يوضح أن SU(2) متصل ببساطة وأن S ³ يمكن أن يتمتع ببنية مجموعة لي متصلة ومضغوطة .

تسمى الرباعيات ذات المعيار 1 رباعيات لأنها تولد مجموعة الدوران SO(3) : مصفوفة SU(2) :

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$

يمكن تعيينها إلى الرباعية

$${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

هذه الخريطة هي في الواقع تماثل مجموعة . بالإضافة إلى ذلك، فإن محدد المصفوفة هو المعيار التربيعي للرباعية المقابلة. من الواضح أن أي مصفوفة في SU(2) تكون بهذا الشكل، ولأنها تحتوي على المحدد  1 ، فإن الرباعية المقابلة لها المعيار 1. وبالتالي فإن SU(2) متماثلة لمجموعة المتغيرات. ^[8]

يرتبط كل محور بشكل طبيعي بدوران مكاني في 3 أبعاد، ويرتبط حاصل المحاور بتكوين الدورات المرتبطة. علاوة على ذلك، تنشأ كل دورة من محورين بالضبط بهذه الطريقة. باختصار: هناك تماثل 2:1 من SU(2) إلى SO(3) ؛ وبالتالي فإن SO(3) متماثل لمجموعة الحاصل SU(2)/{±I} ، ويتم الحصول على متعدد الشعب الأساسي SO(3) من خلال تحديد النقاط المضادة للكرة ثلاثية الأبعاد S ³ ، و SU(2) هو الغطاء الشامل لـ SO(3) .

يتكون جبر لاي لـ SU(2) من 2 × 2 مصفوفات هيرميتية ملتوية ذات أثر صفري. ^[9] وهذا يعني صراحةً

$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

يتم بعد ذلك إنشاء جبر لاي من خلال المصفوفات التالية،

$${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$

والتي لها شكل العنصر العام المحدد أعلاه.

يمكن أيضًا كتابة هذا باستخدام مصفوفات باولي . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

هذه تلبي علاقات الرباعية ويتم تحديد قوس المبدل بواسطة${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

$${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

ترتبط المولدات المذكورة أعلاه بمصفوفات باولي بواسطة ويستخدم هذا التمثيل بشكل روتيني في ميكانيكا الكم لتمثيل دوران الجسيمات الأساسية مثل الإلكترونات . كما تعمل كمتجهات وحدة لوصف أبعادنا المكانية الثلاثة في الجاذبية الكمومية الحلقية . كما أنها تتوافق مع بوابات باولي X وY وZ ، وهي مولدات قياسية لبوابات الكيوبت الفردية، والتي تتوافق مع الدورات ثلاثية الأبعاد حول محاور كرة بلوخ . ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

يستخدم جبر لاي في حل تمثيلات SU(2) .

المجموعة SU(3) هي مجموعة لي بسيطة ذات 8 أبعاد تتكون من جميع المصفوفات الوحدوية 3 × 3 مع المحدد 1.

المجموعة SU(3) هي مجموعة لي مضغوطة ومتصلة بشكل بسيط. ^[10] ويمكن فهم بنيتها الطوبولوجية من خلال ملاحظة أن SU(3) تعمل بشكل انتقالي على الكرة الوحدوية في . يكون مثبت نقطة عشوائية في الكرة متماثلًا مع SU(2) ، والتي هي طوبولوجيًا كرة ثلاثية. ومن ثم يتبع ذلك أن SU(3) عبارة عن حزمة ألياف فوق القاعدة S ⁵ مع الألياف S ³ . ونظرًا لأن الألياف والقاعدة متصلتان بشكل بسيط، فإن الاتصال البسيط لـ SU(3) يتبع ذلك عن طريق نتيجة طوبولوجية قياسية ( التسلسل الدقيق الطويل لمجموعات التماثل لحزم الألياف). ^[11]${\displaystyle S^{5}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

يتم تصنيف حزم SU (2) على S ⁵ حسب أنه يمكن إنشاء أي حزمة من هذا القبيل من خلال النظر إلى الحزم البسيطة على نصفي الكرة الأرضية والنظر إلى دالة الانتقال عند تقاطعهما، وهي نسخة من S ⁴ ، لذا ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$

$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

ثم يتم تصنيف كل وظائف الانتقال هذه حسب فئات التماثل في الخرائط

$${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$

وبما أنه بدلاً من ذلك ، لا يمكن أن تكون SU(3) هي الحزمة البسيطة SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ ، وبالتالي يجب أن تكون الحزمة الفريدة غير البسيطة (الملتوية). ويمكن إثبات ذلك من خلال النظر إلى التسلسل الدقيق الطويل المستحث على مجموعات التماثل. ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

نظرية التمثيل لـ SU(3) مفهومة جيدًا. ^[12] يمكن العثور على أوصاف هذه التمثيلات، من وجهة نظر جبر لي المعقد ، في المقالات حول تمثيلات جبر لي أو معاملات كليبش-جوردان لـ SU(3) . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

المولدات، T ، لجبر لاي لـ SU(3) في التمثيل المحدد (فيزياء الجسيمات، هيرميتية)، هي ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

$${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$

حيث λ _a ، مصفوفات Gell-Mann ، هي نظيرات SU(3) لمصفوفات Pauli لـ SU(2) :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

_تشمل هذه λ جميع مصفوفات هيرميتية غير المتتبعة H من جبر لاي ، كما هو مطلوب. لاحظ أن λ ₂ و λ ₅ و λ ₇ متماثلة.

إنهم يطيعون العلاقات

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$

أو على نحو مكافئ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

f هي ثوابت البنية لجبر لاي، والتي تعطى بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$

في حين أن جميع f _abc الأخرى غير المرتبطة بهذه بالتباديل تكون صفرًا. بشكل عام، تختفي ما لم تحتوي على عدد فردي من المؤشرات من المجموعة {2، 5، 7} . ^[ج]

المعاملات المتماثلة d تأخذ القيم

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

إنها تختفي إذا كان عدد المؤشرات من المجموعة {2، 5، 7} فرديًا.

يمكن التعبير عن عنصر مجموعة SU(3) عام تم إنشاؤه بواسطة مصفوفة هيرميتية 3×3 بدون أثر H ، والتي تم تطبيعها على أنها tr( H ² ) = 2 ، كمتعددة حدود مصفوفة من الدرجة الثانية في H : ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$ LP حيث

$${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

كما هو مذكور أعلاه، يتكون جبر لاي لـ SU( n ) من n × n مصفوفات هيرميتية مائلة ذات أثر صفري. ^[14]${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

إن تعقيد جبر لاي هو ، مساحة جميع المصفوفات المركبة n × n ذات التتبع الصفري. ^[15] يتكون جبر كارتان الفرعي بعد ذلك من المصفوفات القطرية ذات التتبع الصفري، ^[16] والتي نحددها بمتجهات مجموع مدخلاتها يساوي صفرًا. تتكون الجذور بعد ذلك من جميع التباديل n ( n − 1) لـ (1, −1, 0, ..., 0) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

اختيار الجذور البسيطة هو

$${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$$

لذا، فإن SU( n ) لها رتبة n − 1 ومخطط Dynkin الخاص بها يعطى بواسطة A _{n −1} ، وهي سلسلة من n − 1 عقدة:...^[17 ] مصفوفة كارتان هي

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$$

مجموعة ويل أو مجموعة كوكستر هي المجموعة المتماثلة S _n ، وهي مجموعة التماثل للسيمبليكس ( n − 1) .

بالنسبة للحقل F ، فإن المجموعة الوحدوية الخاصة المعممة على F ، SU( p , q ; F ) ، هي مجموعة جميع التحويلات الخطية للمحدد 1 لمساحة متجه من الرتبة n = p + q على F والتي تترك شكلًا هيرميتيًا غير متحلل للتوقيع ( p , q ) ثابتًا . غالبًا ما يشار إلى هذه المجموعة باسم المجموعة الوحدوية الخاصة للتوقيع p q على F. يمكن استبدال الحقل F بحلقة تبديلية ، وفي هذه الحالة يتم استبدال مساحة المتجه بوحدة نمطية حرة .

على وجه التحديد، قم بإصلاح مصفوفة هيرميتية A للتوقيع p q في ، ثم كل ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$$

إرضاء

$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$$

غالبًا ما نرى الترميز SU( p , q ) دون الإشارة إلى حلقة أو حقل؛ في هذه الحالة، تكون الحلقة أو الحقل المشار إليه هو وهذا يعطي إحدى مجموعات Lie الكلاسيكية . الاختيار القياسي لـ A عندما يكون ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$$

ومع ذلك، قد تكون هناك خيارات أفضل لـ A لأبعاد معينة تظهر سلوكًا أكبر تحت التقييد بالحلقات الفرعية لـ . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

من الأمثلة المهمة لهذا النوع من المجموعات مجموعة بيكارد المعيارية التي تعمل (إسقاطيًا) على الفضاء الزائدي المركب ذي البعد الثاني، بنفس الطريقة التي تعمل (إسقاطيًا) على الفضاء الزائدي الحقيقي ذي البعد الثاني. في عام 2005، قام جابور فرانسيكس وبيتر لاكس بحساب مجال أساسي صريح لتأثير هذه المجموعة على HC ^{2. [18]}${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

ومثال آخر هو ، وهو متماثل مع . ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

في الفيزياء، تُستخدم المجموعة الوحدوية الخاصة لتمثيل التناظرات الفرميونية . في نظريات كسر التناظر، من المهم أن تكون قادرًا على إيجاد المجموعات الفرعية للمجموعة الوحدوية الخاصة. المجموعات الفرعية لـ SU( n ) المهمة في فيزياء GUT هي، بالنسبة إلى p > 1، n − p > 1 ،

$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$$

حيث يشير × إلى الضرب المباشر و U(1) ، المعروفة باسم مجموعة الدائرة ، هي المجموعة الضربية لجميع الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة  1.

من أجل استكمال الأمر، هناك أيضًا المجموعات الفرعية المتعامدة والمتعاطفة ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$$

نظرًا لأن رتبة SU ( n ) هي n − 1 ورتبة U(1) هي 1، فإن الفحص المفيد هو أن يكون مجموع رتب المجموعات الفرعية أقل من أو يساوي رتبة المجموعة الأصلية. SU( n ) هي مجموعة فرعية من مجموعات لي الأخرى المتنوعة،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$$ انظر مجموعة الدوران ومجموعة الكذب البسيط لـ E ₆ و E ₇ و G ₂ .

هناك أيضًا تماثلات عرضية : SU(4) = Spin(6) ، SU(2) = Spin(3) = Sp(1) ، ^[d] و U(1) = Spin(2) = SO(2) .

أخيرًا، يمكننا أن نذكر أن SU(2) هي مجموعة التغطية المزدوجة لـ SO(3) ، وهي علاقة تلعب دورًا مهمًا في نظرية دوران المغزلين 2- في ميكانيكا الكم غير النسبية .

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$حيث يشير إلى المرافق المركب للعدد المركب u . ${\displaystyle ~u^{*}~}$

هذه المجموعة متماثلة مع SL(2,ℝ) و Spin(2,1) ^[19] حيث تشير الأرقام المفصولة بفاصلة إلى توقيع الشكل التربيعي المحفوظ بواسطة المجموعة. التعبير في تعريف SU(1,1) هو شكل هيرميتي يصبح شكلًا تربيعيًا متساوي الخواص عندما يتم توسيع u و v بمكوناتهما الحقيقية. ${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

كان الظهور المبكر لهذه المجموعة هو "المجال الوحدوي" من الرباعيات ، التي قدمها جيمس كوكلي في عام 1852.

$${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$$

ثم مصفوفة الهوية 2×2، و والعناصر i و j و k كلها تتبادل عكسيًا ، كما هو الحال في الرباعيات . كما أنها لا تزال جذرًا مربعًا لـ − I ₂ (سلبية لمصفوفة الهوية)، في حين أنها ليست كذلك، على عكس الرباعيات. لكل من الرباعيات والرباعيات ، يتم التعامل مع جميع الكميات القياسية كمضاعفات ضمنية لـ I ₂ وتدوينها على أنها 1 . ${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$${\displaystyle ~k\,i=j~,}$${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

الرباعية ذات العدد القياسي w لها مترافق مشابه لرباعيات هاملتون. الشكل التربيعي هو${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

لاحظ أن القطع الزائد المكون من ورقتين يتوافق مع الوحدات التخيلية في الجبر بحيث يمكن استخدام أي نقطة p على هذا القطع الزائد كقطب لموجة جيبية وفقًا لصيغة أويلر . ${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

القطع الزائد مستقر تحت SU(1, 1) ، مما يوضح التماثل مع Spin(2, 1) . قد يؤدي تباين قطب الموجة، كما هو مذكور في دراسات الاستقطاب ، إلى اعتبار الاستقطاب الإهليلجي بمثابة عرض للشكل الإهليلجي لموجة ذات قطب .${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$ تمت مقارنة نموذج كرة بوانكاريه المستخدم منذ عام 1892 بنموذج القطع الزائد المكون من ورقتين، ^[20] وتم تقديم ممارسة قياس التداخل SU(1, 1) .

عندما يتم تفسير عنصر من SU(1, 1) على أنه تحويل موبيوس ، فإنه يترك القرص الوحدوي مستقرًا، لذا تمثل هذه المجموعة حركات نموذج قرص بوانكاريه للهندسة المستوية الزائدية. في الواقع، بالنسبة لنقطة [ z, 1 ] في خط الإسقاط المركب ، فإن فعل SU(1,1) يعطى بواسطة

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\,{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}=[\;u\,z+v,\,v^{*}\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v}{v^{*}z+u^{*}}},\,1\;\right]}$$

منذ في الإحداثيات الإسقاطية ${\displaystyle (\;u\,z+v,\;v^{*}\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v\,}{v^{*}\,z+u^{*}}},\;1\;\right).}$

كتابة العمليات الحسابية للأعداد المركبة تظهر ${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

$${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v^{*}\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$$ أين${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$

لذلك، بحيث تكون نسبتهم في القرص المفتوح. ^[21]${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v{\bigr |}<{\bigl |}\,v^{*}\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

• مجموعة وحدوية
• المجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية ، PSU( n )
• مجموعة متعامدة
• تعميمات مصفوفات باولي
• نظرية التمثيل لـSU(2)

• هول، بريان سي. (2015)، مجموعات الكذب، وجبر الكذب، والتمثيلات: مقدمة أولية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 222 (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-3319134666
• ياشيلو، فرانشيسكو (2006)، جبر لي وتطبيقاته ، محاضرات في الفيزياء، المجلد 708، سبرينغر، رقم ISBN 3540362363