أدر نصف دورة

عند استخدام السبينورات لوصف الحالات الكمومية، يمكن وصف مؤثرات الدوران الثلاثة ( Sx _، Sy _، Sz ₎  بواسطة مصفوفات 2 × 2 تسمى  مصفوفات باولي، وقيمها الذاتية هي${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}\hbar }$.

على سبيل المثال، يؤثر عامل إسقاط الدوران S _z على قياس الدوران في اتجاه z :

${\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

القيمتان الذاتيتان لـ S _z ،${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}\hbar }$، ثم تتوافق مع القيم الذاتية التالية:

${\displaystyle \chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle =|0\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle =|1\rangle .}$

تشكل هذه المتجهات أساسًا كاملاً لفضاء هيلبرت الذي يصف الجسيم ذو اللف المغزلي 1/2 . وبالتالي ، يمكن أن تمثل التراكيب الخطية لهاتين الحالتين جميع الحالات الممكنة لللف المغزلي، بما في ذلك في الاتجاهين x و y .

مشغلو السلالم هم :

${\displaystyle S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\qquad S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

منذ${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$[ ^{6 ]} ويترتب على ذلك ^أن${\textstyle S_{x}={\frac {1}{2}}(S_{+}+S_{-})}$و${\textstyle S_{y}={\frac {1}{2i}}(S_{+}-S_{-})}$. هكذا:

${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$

يمكن إيجاد قيمها الذاتية المعيارية بالطريقة المعتادة.${\textstyle S_{x}}$وهي:

${\displaystyle \chi _{+}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

ل${\textstyle S_{y}}$وهي:

${\displaystyle \chi _{+}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

فضاء هيلبرت لنظام ذي لف مغزلي 1/2 هو فضاء ثنائي الأبعاد. اختيار الأساس الذاتي لـ${\displaystyle S_{z}}$يمكن كتابة سبينور غير صفري على النحو التالي

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle ,\,\,\,\,(a,b)\in \mathbb {C} ^{2},\,\,\,\,(a,b)\neq (0,0)}$

الحالة الفيزيائية النقية ليست متجهًا معينًا في فضاء هيلبرت، بل هي شعاع : المتجهات التي تختلف بعدد مركب غير صفري تمثل نفس الحالة:${\displaystyle \left|\psi \right\rangle \sim \lambda \left|\psi \right\rangle ,\,\,\,\,\lambda \in \mathbb {C} ^{\times }}$وذلك لأن الطور الكلي غير ذي صلة فيزيائيًا. وبالمثل، فإن فضاء حالات اللف المغزلي النقي 1/2 هو الخط الإسقاطي المركب .${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {C} ^{2})=\mathbb {CP} ^{1}\cong S^{2}}$الحالة النقية المرتبطة بـ${\displaystyle (a,b)}$تُكتب في الإحداثيات المتجانسة على النحو التالي:${\displaystyle \left[\psi \right]=[a:b]\in \mathbb {CP} ^{1}}$على رقعة الإحداثيات حيث${\displaystyle a\neq 0}$، يمكن للمرء أن يقسم${\displaystyle a}$واكتب:

${\displaystyle \left[\psi \right]=[1:w],\,\,\,\,w={\frac {b}{a}}.}$

في هذه الصيغة،${\displaystyle w}$هي إحداثية إسقاطية على${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$وكل${\displaystyle w}$يصف الحالة وصفًا كاملاً. ممثل لنفس الشعاع (الحالة) هو${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle +w\left|\downarrow \right\rangle }$والنسخة المعيارية هي

${\displaystyle \left|\psi (w)\right\rangle ={\frac {\left|\uparrow \right\rangle +w\left|\downarrow \right\rangle }{\sqrt {1+|w|^{2}}}}.}$

الإحداثيات${\displaystyle w=0}$أعطِ${\displaystyle \left|\psi (0)\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle }$، تدور في${\displaystyle z}$الاتجاه. رقعة الإحداثيات حيث${\displaystyle a\neq 0}$يفوت${\displaystyle a=0}$أي الدولة${\displaystyle [\psi ]=[0:1]}$والذي يُمثله دوران المحرك لأسفل${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$تُضاف هذه النقطة المفقودة عن طريق السماح${\displaystyle w=\infty }$لذلك، تأخذ الإحداثية الإسقاطية قيمة في المستوى المركب الممتد.${\displaystyle w\in \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$وهي كرة ريمان . وهي نفس الكرة الثنائية التي تظهر ككرة بلوخ .

باستخدام الإسقاط المجسم للقطب الجنوبي، تم توسيع${\displaystyle w}$يمكن ربط -plane بـ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$والعكس صحيح. الكتابة${\displaystyle w=u+iv}$الخريطة المجسمة هي

${\displaystyle w={\frac {x+iy}{1+z}}=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2}},\,\,\,\,(x,y,z)\in S^{2}}$

والخريطة المجسمة العكسية هي

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}(w)=\left({\frac {2u}{1+|w|^{2}}},{\frac {2v}{1+|w|^{2}}},{\frac {1-|w|^{2}}{1+|w|^{2}}}\right).}$

لاستعادة الشكل المعتاد لحالة بلوخ، استبدل${\displaystyle w=e^{i\phi }\tan(\theta /2)}$في متجه الحالة التمثيلية المعياري. وهذا يعطي:

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {\left|\uparrow \right\rangle +e^{i\phi }\tan(\theta /2)\left|\downarrow \right\rangle }{\sqrt[{}]{1+\tan ^{2}(\theta /2)}}}=\cos {\frac {\theta }{2}}\left|\uparrow \right\rangle +e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\left|\downarrow \right\rangle .}$

القيمة المتوقعة لقياسات الدوران (متجه بلوخ) المرتبطة بحالة مُعَيَّرة هي${\displaystyle \left\langle \psi \right|{\boldsymbol {\sigma }}\left|\psi \right\rangle }$، أين${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$هي مصفوفات باولي . لـ

${\displaystyle \left|\psi (w)\right\rangle ={\frac {\left|\uparrow \right\rangle +w\left|\downarrow \right\rangle }{\sqrt {1+|w|^{2}}}}}$

هذا يعطي

${\displaystyle \left\langle \psi \right|{\boldsymbol {\sigma }}\left|\psi \right\rangle =\left({\frac {2\,{\text{Re}}\,w}{1+|w|^{2}}},{\frac {2\,{\text{Im}}\,w}{1+|w|^{2}}},{\frac {1-|w|^{2}}{1+|w|^{2}}}\right)}$

وهو بالضبط الإسقاط المجسم العكسي المذكور أعلاه. ومن ثم كل نقطة${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$يصف كل من على كرة بلوخ حالة واحدة في آن واحد (لأن كل${\displaystyle w}$يصف حالةً ما، وقيمتها المتوقعة في قياسات الدوران. النقطة${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$وهكذا يمثل الحالة النقية، فلنسميها${\displaystyle \chi _{\boldsymbol {n}}}$، الذي يكون دورانه محاذيًا بشكل مثالي على طول الاتجاه${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$:

${\displaystyle ({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\,\chi _{\boldsymbol {n}}=\chi _{\boldsymbol {n}}.}$

لأي اتجاه مكاني للوحدة${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$، المتغير القابل للرصد الدوراني

${\displaystyle S_{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {S}}={\frac {\hbar }{2}}\,{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

له قيم ذاتية${\displaystyle \pm \hbar /2}$تجربة شتيرن -غيرلاخ على طول${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ل${\displaystyle \chi _{\boldsymbol {n}}}$احتمالية

${\displaystyle p_{+}({\boldsymbol {v}})={\frac {1+{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}}{2}}}$

قياس${\displaystyle +\hbar /2}$إذا تم اختيار نظام إحداثيات مُدار بدلاً من ذلك، فلا يجب أن يتغير هذا الاحتمال، لأنه ذو معنى فيزيائي مستقل عن الإحداثيات. وهذا يعني${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}}$هو كمية قياسية تحت الدوران، وبالتالي متجه بلوخ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$يجب أن يتحول بنفس التمثيل المتجهي للدوران كما${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$أي،

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\mapsto R{\boldsymbol {n}},\,\,\,\,R\in SO(3).}$

للدوران حسب الزاوية${\displaystyle \alpha }$حول اتجاه الوحدة${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$تقول معادلة رودريغز

${\displaystyle R_{\boldsymbol {m}}({\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cos \alpha +({\boldsymbol {m}}\times {\boldsymbol {n}})\sin \alpha +{\boldsymbol {m}}({\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {n}})(1-\cos \alpha ).}$

هذا هو قانون دوران المتجه العادي. السمة المميزة للدوران ذي اللف المغزلي 1/2 هي أن متجه الحالة نفسه لا يتحول كمتجه عادي مثل متجه بلوخ، بل يتحول كسبينور. لفهم مصدر قانون دوران السبينور، من المفيد تذكر حقيقة هندسية بحتة: تركيب انعكاسين هو دوران. لنبدأ بالانعكاس الأول.${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$عبر المستوى العمودي على متجه الوحدة${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\mapsto {\boldsymbol {n}}-2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {a}}.}$

باستخدام مصفوفات باولي ، متجه${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$يمكن ترميزها كمصفوفة هيرميتية${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$تُحقق هذه المصفوفات

${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}\,I+i\,({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$

ومن هذه المتطابقة نجد الانعكاس في المستوى العمودي على${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\mapsto \left({\boldsymbol {n}}-2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {a}}\right)\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}).}$

ثم نعكس هذا من خلال مستوى عمودي على متجه الوحدة${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$نختار هذا المستوى بحيث يشكل المستويان زاوية${\displaystyle \alpha /2}$لأن التركيب الهندسي لهذين الانعكاسين هو دوران بزاوية${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\mapsto ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}).}$

عرّف المصفوفة الوحدوية${\displaystyle U\in SU(2)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\\&=\cos {\frac {\alpha }{2}}\,I-i\,({\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\sin {\frac {\alpha }{2}}\\&=\exp \left(-{\frac {i\alpha }{2}}{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \alpha /2}$هي الزاوية بين${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$و

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}={\frac {{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}}{|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}|}}}$

يمثل محور الدوران (على طول نقطة التقاطع بين المستويين). وبالتالي، تؤثر الدورانات على المتجهات من خلال عملية الضرب الثنائي.

${\displaystyle U({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})U^{\dagger }=R_{\boldsymbol {m}}({\boldsymbol {n}})\cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$

${\displaystyle U}$هو بالضبط عامل الدوران الذي يؤثر على فضاء هيلبرت ذي اللف المغزلي 1/2. يمكن الآن تحديد العلاقة بين متجه بلوخ والسبينور بدقة. لكل اتجاه${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$على كرة بلوخ، حدد إسقاط الفضاء الفرعي

${\displaystyle P_{\boldsymbol {n}}=\chi _{\boldsymbol {n}}\chi _{\boldsymbol {n}}^{\dagger }={\frac {1+{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}{2}}.}$

هذا يسقط على الفضاء الذاتي أحادي البعد لـ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$مع القيمة الذاتية${\displaystyle +1}$تحت الدوران${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\mapsto U({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})U^{\dagger }}$، لذلك

${\displaystyle P_{\boldsymbol {n}}\mapsto UP_{\boldsymbol {n}}U^{\dagger }=(U\chi _{\boldsymbol {n}})(U\chi _{\boldsymbol {n}})^{\dagger },}$

لذا فإن السبينور نفسه يتحول بموجب قانون أحادي الجانب:${\displaystyle \chi \mapsto U\chi }$إن التمييز بين قواعد تحويل المتجهات وقواعد تحويل السبينور هو أصل التشاكل الشامل (التغطية المزدوجة).${\displaystyle SU(2)\to SO(3)}$المصفوفات${\displaystyle U}$و${\displaystyle -U}$يؤدي ذلك إلى نفس الدوران لمتجهات بلوخ، لأن

${\displaystyle (-U)({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})(-U)^{\dagger }=U({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})U^{\dagger }.}$

لكنها تؤثر بشكل مختلف على السبينورات:

${\displaystyle \chi \mapsto U\chi ,\,\,\,\,\,\,\chi \mapsto -U\chi .}$

لـ${\displaystyle 2\pi }$تناوب،

${\displaystyle U({\boldsymbol {m}},2\pi )=\exp \left(-i\pi \,{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)=-I,}$

لذا${\displaystyle \chi \mapsto -\chi }$وتبقى كل من متجه بلوخ والمسقط دون تغيير:

${\displaystyle (-\chi )(-\chi )^{\dagger }=\chi \chi ^{\dagger }.}$

أ${\displaystyle 2\pi }$وبالتالي، فإن الدوران يعيد نفس الشعاع الفيزيائي، ولكنه يغير إشارة ممثل السبينور.${\displaystyle 4\pi }$الدوران يعطي

${\displaystyle U({\boldsymbol {m}},4\pi )=\exp \left(-i\,2\pi \,{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)=I,}$

ويعيد نفس المتجه الدوراني. في حالة منفردة معزولة، يتغير الإشارة تحت تأثير${\displaystyle 2\pi }$الدوران هو طور شامل؛ ومع ذلك، في تجارب التداخل، يمكن أن يكون للإشارة النسبية بين مسارين عواقب قابلة للملاحظة.

نتيجة لطبيعة الزمكان رباعية الأبعاد في النسبية، تستخدم ميكانيكا الكم النسبية مصفوفات 4  ×  4 لوصف عوامل الدوران والكميات القابلة للرصد.