الكسر الدوري المستمر

في الرياضيات ، الكسر المستمر الدوري اللانهائي هو كسر مستمر بسيط يمكن وضعه على الصورة

$${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

حيث الكتلة الأولية${\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{k}]}$يتبع ذلك كتلة من k + 1 مقام جزئي${\displaystyle [a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}]}$عدد من المقامات الجزئية m يتكرر إلى ما لا نهاية . على سبيل المثال،${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يمكن توسيعها إلى الكسر المستمر الدوري${\displaystyle [1;2,2,2,...]}$.

تتناول هذه المقالة حالة الكسور المستمرة الدورية المنتظمة فقط . بعبارة أخرى، تفترض بقية هذه المقالة أن جميع المقامات الجزئية aᵢ ( _حيث i  ≥  1) أعداد صحيحة موجبة. أما الحالة العامة، حيث تكون المقامات الجزئية aᵢ أعدادًا حقيقية أو مركبة اختيارية ، فتُعالج في مسألة التقارب _في المقالة .

بما أن جميع البسط الجزئية في الكسر المستمر المنتظم تساوي واحدًا، يمكننا اعتماد ترميز مختصر حيث يُكتب الكسر المستمر الموضح أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}]\end{aligned}}}$

حيث يشير الخط الفاصل في السطر الثاني إلى الكتلة المتكررة. ^{[ 1 ]} تستخدم بعض الكتب المدرسية هذا الترميز

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\dot {a}}_{k+1},a_{k+2},\dots ,{\dot {a}}_{k+m}]\end{aligned}}}$

حيث يتم الإشارة إلى الكتلة المتكررة بنقاط فوق أول وآخر حد لها. ^{[ 2 ]}

إذا لم تكن الكتلة الأولية غير المتكررة موجودة - أي إذا كانت k = -1، فإن a ₀ = a _m و

${\displaystyle x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}],}$

يُقال إن الكسر المستمر المنتظم x دوري تمامًا . على سبيل المثال، الكسر المستمر المنتظم${\displaystyle [1;1,1,1,\dots ]}$نسبة φ الذهبية دورية تمامًا، بينما الكسر المستمر المنتظم${\displaystyle [1;2,2,2,\dots ]}$ل${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هي دورية، ولكنها ليست دورية تمامًا. ومع ذلك، فإن الكسر المستمر المنتظم${\displaystyle [2;2,2,2,\dots ]}$نسبة الفضة ​${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2}}+1}$دورية بحتة.

تتطابق الكسور المستمرة الدورية تطابقًا تامًا مع الأعداد الحقيقية غير النسبية التربيعية . ويُقدّم هذا التطابق صراحةً بواسطة دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي . كما تستعرض تلك المقالة الأدوات التي تُسهّل التعامل مع هذه الكسور المستمرة. لنبدأ أولًا بالجزء الدوري البحت.

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}],}$

ويمكن كتابة ذلك في الواقع على النحو التالي

${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

مع${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$كونها أعدادًا صحيحة، ومُرضية${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1.}$يمكن الحصول على القيم الصريحة عن طريق كتابة

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

وهو ما يُطلق عليه "التحول"، بحيث

${\displaystyle S^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$

وبالمثل، انعكاس، يُعطى بواسطة

${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

لهذا السبب.${\displaystyle T^{2}=I}$كلتا المصفوفتين أحاديتان المعيار ، وتبقى أي عملية ضرب أحادية المعيار. إذن، بالنظر إلى${\displaystyle x}$كما سبق، فإن المصفوفة المقابلة تكون على الشكل ^{[ 3 ]}

${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}T\cdots TS^{a_{m}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

ولدى المرء

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}]={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

بالشكل الصريح. وبما أن جميع عناصر المصفوفة أعداد صحيحة، فإن هذه المصفوفة تنتمي إلى المجموعة النمطية.${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} ).}$

العدد غير النسبي التربيعي هو جذر حقيقي غير نسبي للمعادلة التربيعية

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

حيث تكون المعاملات a و b و c أعدادًا صحيحة، والمميز ،${\displaystyle b^{2}-4ac}$، أكبر من الصفر. باستخدام الصيغة التربيعية ، يمكن كتابة كل عدد غير نسبي تربيعي على الصورة

${\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{Q}}}$

حيث P و D و Q أعداد صحيحة، و D > 0 ليس مربعًا كاملاً (ولكنه ليس بالضرورة خاليًا من المربعات)، و Q يقسم الكمية${\displaystyle P^{2}-D}$(على سبيل المثال${\displaystyle (6+{\sqrt {8}})/4}$يمكن أيضًا كتابة هذا العدد غير النسبي التربيعي بصيغة أخرى باستخدام الجذر التربيعي لعدد خالٍ من المربعات (على سبيل المثال،${\displaystyle (3+{\sqrt {2}})/2}$) كما هو موضح بالنسبة للأعداد غير النسبية التربيعية .

من خلال دراسة النواتج الكاملة للكسور المستمرة الدورية، تمكن أويلر من إثبات أنه إذا كان x كسرًا مستمرًا دوريًا منتظمًا، فإن x عدد غير نسبي تربيعي. البرهان بسيط، فمن الكسر نفسه يمكن بناء المعادلة التربيعية ذات المعاملات الصحيحة التي يجب أن يحققها x .

أثبت لاغرانج عكس نظرية أويلر: إذا كان x عددًا غير نسبي تربيعي، فإنّ مفكوك الكسر المستمر المنتظم لـ x يكون دوريًا. ^{[ 4 ]} بمعرفة عدد غير نسبي تربيعي x، يمكن بناء m معادلة تربيعية مختلفة، لكل منها نفس المميز، تربط بين نواتج القسمة الكاملة المتتالية لمفكك الكسر المستمر المنتظم لـ x . وبما أن عدد هذه المعادلات محدود (المعاملات محدودة)، فإن نواتج القسمة الكاملة (وكذلك المقامات الجزئية) في الكسر المستمر المنتظم الذي يمثل x يجب أن تتكرر في النهاية.

الجذر التربيعي${\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{Q}}}$يقال إنه ينخفض ​​إذا${\displaystyle \zeta >1}$ومرافقه​${\displaystyle \eta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{Q}}}$ يُلبي أوجه عدم المساواة${\displaystyle -1<\eta <0}$على سبيل المثال، النسبة الذهبية${\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2=1.618033...}$هو جذر أصم مختزل لأنه أكبر من واحد ومرافقه${\displaystyle (1-{\sqrt {5}})/2=-0.618033...}$أكبر من -1 وأصغر من الصفر. من ناحية أخرى، الجذر التربيعي للعدد اثنين${\displaystyle {\sqrt {2}}=(0+{\sqrt {8}})/2}$أكبر من واحد ولكنه ليس جذرًا أصمًا مختزلًا لأن مرافقه${\displaystyle -{\sqrt {2}}=(0-{\sqrt {8}})/2}$أقل من -1 .

أثبت غالوا أن الكسر المستمر المنتظم الذي يمثل جذرًا تربيعيًا ζ يكون دوريًا بحتًا إذا وفقط إذا كان ζ جذرًا مختزلًا. في الواقع، أظهر غالوا أكثر من ذلك. فقد أثبت أيضًا أنه إذا كان ζ جذرًا تربيعيًا مختزلًا وη مرافقه، فإن الكسور المستمرة لـ ζ و( -1 /η) تكون دورية بحتة، ويكون الجزء المتكرر في أحد هذين الكسرين المستمرين صورة معكوسة للجزء المتكرر في الآخر. بالرموز لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}]\,\end{aligned}}}$

حيث ζ هو أي جذر تربيعي مختزل، و η هو مرافقه.

من هاتين النظريتين لغالوا، يمكن استنتاج نتيجة معروفة مسبقًا لدى لاغرانج. إذا كان r  >  1 عددًا نسبيًا ليس مربعًا كاملًا، فإن

${\displaystyle {\sqrt {r}}=[a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}].}$

على وجه الخصوص، إذا كان n أي عدد صحيح موجب غير مربع، فإن التوسع الكسري المستمر المنتظم لـ √ n يحتوي على كتلة متكررة بطول m ، حيث تشكل المقامات الجزئية الأولى m − 1 سلسلة متناظرة .  

من خلال تحليل سلسلة التوليفات

${\displaystyle {\frac {P_{n}+{\sqrt {D}}}{Q_{n}}}}$

قد ينشأ ذلك عندما${\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{Q}}}$عند توسيعها ككسر مستمر منتظم، أثبت لاغرانج أن أكبر مقام جزئي a _i في التوسيع أقل من${\displaystyle 2{\sqrt {D}}}$وأن طول الكتلة المتكررة أقل من 2D .

في الآونة الأخيرة، أظهرت حجج أكثر دقة ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} تستند إلى دالة القاسم أن طول الكتلة المتكررة لجذر تربيعي مميز D هو من رتبة${\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {D}}\ln {D}).}$

• الكسر المستمر – تعبير رياضي 
• الكسر المستمر المعمم – التعبير الرياضي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مشكلة الناسك
• طريقة الكسور المستمرة لحساب الجذور التربيعية – خوارزميات لحساب الجذور التربيعية صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• القسمة الجزئية المقيدة – المتسلسلات التحليلية 
• تحليل الكسور المستمر