خوارزميات الجذر التربيعي

تحسب خوارزميات الجذر التربيعي الجذر التربيعي غير السالب ${\sqrt {S}}$ عدد حقيقي موجب $S$ بما أن جميع الجذور التربيعية للأعداد الطبيعية ، باستثناء المربعات الكاملة ، هي أعداد غير نسبية ، ^{[ 1 ]} فإن الجذور التربيعية عادة ما يمكن حسابها بدقة محدودة: تقوم هذه الخوارزميات عادةً بإنشاء سلسلة من التقريبات المتزايدة الدقة .

تعتمد معظم طرق حساب الجذر التربيعي على التكرار: بعد اختيار تقدير أولي مناسب لـ ${\sqrt {S}}$ تُجرى عملية تحسين متكررة حتى يتم استيفاء معيار إنهاء معين. إحدى طرق التحسين هي طريقة هيرون ، وهي حالة خاصة من طريقة نيوتن . إذا كانت عملية القسمة أكثر تكلفة بكثير من عملية الضرب، فقد يكون من الأفضل حساب الجذر التربيعي العكسي بدلاً من ذلك.

تتوفر طرق أخرى لحساب الجذر التربيعي رقمًا برقم ، أو باستخدام متسلسلة تايلور . ويمكن حساب التقريبات الكسرية للجذور التربيعية باستخدام متسلسلات الكسور المستمرة .

تعتمد الطريقة المستخدمة على الدقة المطلوبة، والأدوات المتاحة، والقدرة الحاسوبية. ويمكن تصنيف الطرق تقريبًا إلى طرق مناسبة للحساب الذهني، وطرق تتطلب عادةً استخدام الورقة والقلم على الأقل، وطرق تُنفذ كبرامج على حاسوب إلكتروني رقمي أو أي جهاز حاسوبي آخر. وقد تأخذ الخوارزميات في الاعتبار التقارب (عدد التكرارات اللازمة لتحقيق دقة محددة)، والتعقيد الحسابي للعمليات الفردية (مثل القسمة) أو التكرارات، وانتشار الخطأ (دقة النتيجة النهائية).

لا تتطلب بعض الطرق، مثل القسمة التركيبية الورقية وتوسيع المتسلسلات، قيمة ابتدائية. في بعض التطبيقات، يلزم جذر تربيعي صحيح ، وهو الجذر التربيعي المقرب أو المقتطع إلى أقرب عدد صحيح (يمكن استخدام إجراء معدل في هذه الحالة).

تاريخ

عُرفت إجراءات إيجاد الجذور التربيعية (وخاصة الجذر التربيعي للعدد 2 ) منذ عهد بابل القديمة على الأقل في القرن السابع عشر قبل الميلاد. وقد حسب علماء الرياضيات البابليون الجذر التربيعي للعدد 2 حتى ثلاثة أرقام ستينية بعد الرقم 1، ولكن لا يُعرف بالضبط كيف فعلوا ذلك. كانوا يعرفون كيفية تقريب طول الوتر باستخدام ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\approx a+{\frac {b^{2}}{2a}}$ (على سبيل المثال) ${\frac {41}{60}}+{\frac {15}{3600}}$ للقطر في بوابة ارتفاعها ${\frac {40}{60}}$ قضبان وعرضها ${\frac {10}{60}}$ (القضبان) وربما استخدموا نهجًا مشابهًا لإيجاد تقريب لـ ${\sqrt {2}}.$ ^{[ 2 ]}

كانت طريقة هيرون من مصر في القرن الأول الميلادي أول خوارزمية يمكن التحقق منها لحساب الجذر التربيعي. ^{[ 3 ]}

بدأت الأساليب التحليلية الحديثة في التطور بعد إدخال نظام الأرقام العربية إلى أوروبا الغربية في أوائل عصر النهضة. ^{[ 4 ]}

اليوم، تحتوي جميع أجهزة الحوسبة تقريبًا على دالة جذر تربيعي سريعة ودقيقة، إما كبنية لغة برمجة ، أو دالة مضمنة في المترجم أو دالة مكتبة، أو كعامل تشغيل للأجهزة، استنادًا إلى إحدى الإجراءات الموصوفة.

التقدير الأولي

تتطلب العديد من خوارزميات الجذر التربيعي التكرارية قيمة ابتدائية . يجب أن تكون هذه القيمة عددًا موجبًا غير صفري، ويفضل أن تكون بين 1 و 0. $S$ ، وهو العدد المطلوب إيجاد جذره التربيعي، لأن الجذر التربيعي يجب أن يكون ضمن هذا النطاق. إذا كانت القيمة الأولية بعيدة عن الجذر، فستحتاج الخوارزمية إلى عدد أكبر من التكرارات. إذا تم تهيئة الخوارزمية بـ $x_{0}=1$ (أو $S$ ثم تقريبًا ${\tfrac {1}{2}}\vert \log _{2}S\vert$ ستُهدر التكرارات لمجرد الحصول على رتبة مقدار الجذر. لذا، من المفيد الحصول على تقدير تقريبي، قد تكون دقته محدودة ولكنه سهل الحساب. عمومًا، كلما كان التقدير الأولي أفضل، كان التقارب أسرع. بالنسبة لطريقة نيوتن، فإن قيمة ابتدائية أكبر قليلًا من الجذر ستتقارب أسرع قليلًا من قيمة ابتدائية أصغر قليلًا من الجذر.

بشكل عام، يتم التقدير وفقًا لفترة زمنية اعتباطية معروفة باحتوائها على الجذر (مثل $[x_{0},S/x_{0}]$ ). التقدير هو قيمة محددة لتقريب وظيفي لـ $f(x)={\sqrt {x}}$ على مدى الفترة. يتطلب الحصول على تقدير أفضل إما الحصول على حدود أدق للفترة، أو إيجاد تقريب وظيفي أفضل لـ $f(x)$ يعني هذا الأخير عادةً استخدام دالة كثيرة الحدود من رتبة أعلى في التقريب، مع العلم أن ليس كل التقريبات كثيرة الحدود. تشمل طرق التقدير الشائعة التقريب القياسي، والتقريب الخطي، والتقريب الزائدي، والتقريب اللوغاريتمي. يُستخدم النظام العشري عادةً للتقدير الذهني أو اليدوي. أما النظام الثنائي فهو أنسب للتقدير الحاسوبي. في التقدير، يُعامل الأس والكسر العشري عادةً بشكل منفصل، كما هو الحال عند التعبير عن العدد بالصيغة العلمية.

التقديرات العشرية

عادةً ما يكون العدد $S$ يُعبَّر عنه بالصيغة العلمية كما يلي: $a\times 10^{2n}$ أين $1\leq a<100$ و n عدد صحيح، ومدى الجذور التربيعية الممكنة هو ${\sqrt {a}}\times 10^{n}$ أين $1\leq {\sqrt {a}}<10$ .

التقديرات العددية

تقسم الطرق العددية النطاق إلى فترات، ويتم تمثيل التقدير في كل فترة برقم عددي واحد. إذا تم اعتبار النطاق فترة واحدة، فإن المتوسط الحسابي (5.5) أو المتوسط الهندسي ( ${\sqrt {10}}\approx 3.16$ ) مرات $10^{n}$ هذه تقديرات معقولة. سيختلف الخطأ المطلق والنسبي لهذه التقديرات. عمومًا، ستكون القيمة العددية الواحدة غير دقيقة للغاية. التقديرات الأفضل تقسم النطاق إلى فترتين أو أكثر، لكن دقة التقديرات العددية منخفضة بطبيعتها.

بالنسبة لفترتين، مقسومتين هندسيًا، الجذر التربيعي ${\sqrt {S}}={\sqrt {a}}\times 10^{n}$ يمكن تقديرها على النحو التالي ^{[ ملاحظة 1 ]} ${\sqrt {S}}\approx {\begin{cases}2\times 10^{n}&{\text{if }}a<10,\\6\times 10^{n}&{\text{if }}a\geq 10.\end{cases}}$

يبلغ الحد الأقصى للخطأ المطلق لهذا التقدير 1 $4\times 10^{n}$ في $a=100$ ، وأقصى خطأ نسبي بنسبة 100% عند $a=1$ .

مثال

ل $S=125348$ تم أخذه في الاعتبار كعامل $12.5348\times 10^{4}$ ، التقدير هو ${\sqrt {S}}\approx 6\cdot 10^{2}=600$ .

${\sqrt {125348}}=354.0$ ، خطأ مطلق قدره 246 وخطأ نسبي يقارب 70٪.

التقديرات الخطية

التقدير الأفضل، والطريقة القياسية المستخدمة، هي تقريب خطي للدالة $y=x^{2}$ على قوس صغير. إذا تم، كما سبق، إخراج قوى الأساس من العدد $S$ وتقليص الفترة إلى [ 1، 100 ] ، فيمكن استخدام خط قاطع يمتد عبر القوس، أو خط مماس في مكان ما على طول القوس كتقريب، ولكن خط الانحدار المربعات الصغرى الذي يتقاطع مع القوس سيكون أكثر دقة.

يُقلل خط الانحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى من متوسط الفرق بين التقدير وقيمة الدالة. معادلته هي $y=8.7x-10$ إعادة الترتيب $x=0.115y+1.15$ تقريب المعاملات لتسهيل الحساب، ${\sqrt {S}}\approx (a/10+1.2)\cdot 10^{n}$

هذا هو أفضل تقدير يمكن تحقيقه في المتوسط باستخدام تقريب خطي أحادي الجزء للدالة $y=x^{2}$ في الفترة [ 1، 100 ] . ويبلغ أقصى خطأ مطلق 1.2 عند a = 100، وأقصى خطأ نسبي 30% عند S = 1 و 10. ^{[ ملاحظة 2 ]}

للقسمة على 10، اطرح واحدًا من أس العدد $a$ ، أو حرك الفاصلة العشرية مجازيًا خانة واحدة إلى اليسار. في هذه الصيغة، أي ثابت جمعي 1 مضافًا إليه زيادة صغيرة سيعطي تقديرًا مُرضيًا، لذا فإن تذكر الرقم الدقيق ليس عبئًا. التقريب (سواءً كان مقربًا أم لا) باستخدام خط واحد يمتد على النطاق [ 1، 100 ] أقل من رقم معنوي واحد من الدقة؛ الخطأ النسبي أكبر من 1/2 ^، لذا يتم توفير أقل من 2 بت من المعلومات. الدقة محدودة للغاية لأن النطاق واسع جدًا، يصل إلى رتبتين من حيث الحجم، وهو كبير جدًا لهذا النوع من التقدير.

يمكن الحصول على تقدير أدق بكثير باستخدام التقريب الخطي المجزأ: عدة قطع مستقيمة، كل منها يُقارب جزءًا من القوس الأصلي. كلما زاد عدد القطع المستقيمة المستخدمة، كان التقريب أفضل. الطريقة الأكثر شيوعًا هي استخدام خطوط التماس؛ وتتمثل الخيارات الحاسمة في كيفية تقسيم القوس ومكان وضع نقاط التماس. إحدى الطرق الفعالة لتقسيم القوس من $y = 1$ إلى $y = 100 هي هندسيًا: بالنسبة لفترتين،$ $تكون$ حدود الفترتين هي الجذر التربيعي لحدود الفترة الأصلية، 1 × 100، أي $[$ $1، 2\sqrt100]$ و $[$ $2\sqrt100$ $،$ $100$ $]$ . بالنسبة لثلاث فترات، $تكون$ الحدود هي الجذور التكعيبية للعدد 100: $[1، 3\sqrt100]، [3\sqrt100 ، (3\sqrt100) ²] ،$ و $[($ $3\sqrt100$ $)$ $²$ $،$ $100$ $]$ ، وهكذا. أما بالنسبة لفترتين، فإن $2\sqrt100$ $= 10 ،$ $وهو$ $عدد مناسب جدًا. من السهل اشتقاق خطوط المماس ،$ وتقع عند $⁠$ $x={\sqrt {1{\sqrt {10}}}}$ و $x={\sqrt {10{\sqrt {10}}}}$ معادلاتهم هي: $y=3.56x-3.16$ و $y=11.2x-31.6$ وبقلب المعادلة، تكون الجذور التربيعية كالتالي: $x=0.28y+0.89$ و $x=.089y+2.8$ وهكذا بالنسبة لـ $S=a\cdot 10^{2n}$ : ${\sqrt {S}}\approx {\begin{cases}(0.28a+0.89)\cdot 10^{n}&{\text{إذا كان }}a<10,\\(.089a+2.8)\cdot 10^{n}&{\text{إذا كان }}a\geq 10.\end{cases}}$

تحدث أقصى الأخطاء المطلقة عند أعلى نقاط الفترات، عند a = 10 و 100، وتبلغ 0.54 و 1.7 على التوالي. أما أقصى الأخطاء النسبية فتحدث عند نهايات الفترات، عند a = 1 و 10 و 100، وتبلغ 17% في كلتا الحالتين. وبما أن 17% أو 0.17 أكبر من 1/10، فإن دقة هذه الطريقة أقل من رقم عشري واحد.

التقديرات الزائدية

في بعض الحالات، قد تكون التقديرات الزائدية فعّالة، لأن القطع الزائد هو أيضًا منحنى محدب $،$ وقد يقع على قوس من $y = x² بشكل أفضل من الخط المستقيم. تُعدّ التقديرات الزائدية أكثر تعقيدًا$ من الناحية الحسابية، لأنها تتطلب بالضرورة قسمة عددية. التقريب الزائدي شبه الأمثل لـ x² على الفترة [ ¹، 100 ] هو $y=190/(10-x)-20$ . بنقل المعادلة، يكون الجذر التربيعي هو $x=10-190/(y+20)$ وهكذا بالنسبة لـ $S=a\cdot 10^{2n}$ : ${\sqrt {S}}\approx \left(10-{\frac {190}{a+20}}\right)\cdot 10^{n}$

يكفي أن تكون عملية القسمة دقيقة إلى رقم عشري واحد فقط، لأن دقة التقدير الإجمالية لا تتجاوز هذا الرقم، ويمكن إجراؤها ذهنيًا. يُعد هذا التقدير الزائدي أفضل في المتوسط من التقديرات العددية أو الخطية. يبلغ أقصى خطأ مطلق له 1.58 عند $a = 100،$ وأقصى خطأ نسبي عند $a = 10$ ، حيث يكون التقدير 3.67 أعلى بنسبة 16.0% من جذر 3.16. إذا أجرينا بدلًا من ذلك تكرارات نيوتن-رافسون بدءًا من تقدير 10، فسنحتاج إلى تكرارين للوصول إلى 3.66، وهو ما يطابق التقدير الزائدي. في حالة أكثر شيوعًا مثل 75، يكون التقدير الزائدي 8.00 أقل بنسبة 7.6% فقط، وسيتطلب الأمر 5 تكرارات لنيوتن-رافسون بدءًا من 75 للحصول على نتيجة أكثر دقة.

التقديرات الحسابية

تعتمد طريقة مشابهة للتقريب الخطي القطعي، ولكنها تستخدم العمليات الحسابية فقط بدلاً من المعادلات الجبرية، على عكس جداول الضرب: الجذر التربيعي لأي عدد بين 1 و100 يقع بين 1 و10. فإذا علمنا أن 25 مربع كامل (5 × 5)، وأن 36 مربع كامل (6 × 6)، فإن الجذر التربيعي لأي عدد أكبر من أو يساوي 25 وأقل من 36 يبدأ بالرقم 5. وينطبق الأمر نفسه على الأعداد بين المربعات الأخرى. تُعطي هذه الطريقة رقمًا أوليًا صحيحًا، ولكنها ليست دقيقة إلى رقم واحد: فالرقم الأول للجذر التربيعي لـ 35، على سبيل المثال، هو 5، لكن الجذر التربيعي لـ 35 هو 6 تقريبًا.

الطريقة الأفضل هي تقسيم النطاق إلى فترات تقع في منتصف المسافة بين المربعات. لذا، أي عدد بين 25 ومنتصف المسافة إلى 36، أي 30.5، يُقدّر بـ 5؛ وأي عدد أكبر من 30.5 حتى 36، يُقدّر بـ 6. ^{[ ملاحظة 3 ]} لا تتطلب هذه الطريقة سوى القليل من العمليات الحسابية لإيجاد عدد حدّي يقع في منتصف حاصل ضرب عددين من جدول الضرب. إليك جدول مرجعي لهذه الحدود:

$أ$	أقرب مربع	$k={\sqrt {a}}$ EST.
1	أقرب مربع	$k={\sqrt {a}}$ EST.
1	1 (= 1 ² )	1
2.5	1 (= 1 ² )	1
2.5	4 (= 2 ² )	2
6.5	4 (= 2 ² )	2
6.5	9 (= 3 ² )	3
12.5	9 (= 3 ² )	3
12.5	16 (= 4 ² )	4
20.5	16 (= 4 ² )	4
20.5	25 (= 5 ² )	5
30.5	25 (= 5 ² )	5
30.5	36 (= 6 ² )	6
42.5	36 (= 6 ² )	6
42.5	49 (= 7 ² )	7
56.5	49 (= 7 ² )	7
56.5	64 (= 8 ² )	8
72.5	64 (= 8 ² )	8
72.5	81 (= 9 ² )	9
90.5	81 (= 9 ² )	9
90.5	100 (= 10 ² )	10
100	100 (= 10 ² )	10
100

تتمثل العملية الأخيرة في ضرب القيمة التقديرية $k$ في قوة العدد عشرة مقسومة على 2، لذلك بالنسبة لـ $S=a\cdot 10^{2n}$ ، ${\sqrt {S}}\approx k\cdot 10^{n}$

تُنتج هذه الطريقة ضمنيًا رقمًا معنويًا واحدًا من الدقة، لأنها تقرب إلى أفضل رقم أول.

يمكن توسيع هذه الطريقة لتشمل ثلاثة أرقام معنوية في معظم الحالات، وذلك عن طريق الاستيفاء بين أقرب المربعات التي تحد المعامل. $k^{2}\leq a<(k+1)^{2}$ ، ثم ${\sqrt {a}}$ وهي تقريبًا k زائد كسر، والفرق بين $a$ و k ² مقسومًا على الفرق بين المربعين:

${\sqrt {a}}\approx k+R$ أين $R={\frac {ak^{2}}{(k+1)^{2}-k^{2}}}={\frac {ak^{2}}{2k+1}}$

أما العملية الأخيرة، كما سبق، فهي ضرب النتيجة بقوة العدد عشرة مقسومة على 2؛ ${\sqrt {S}}={\sqrt {a}}\cdot 10^{n}\approx (k+R)\cdot 10^{n}$

$يمثل k$ رقمًا عشريًا، بينما يمثل $R$ كسرًا يجب تحويله إلى عدد عشري. عادةً ما يحتوي الكسر على رقم واحد فقط في البسط، ورقم واحد أو رقمين في المقام، لذا يمكن إجراء التحويل إلى عدد عشري ذهنيًا.

مثال

أوجد الجذر التربيعي للعدد 75.

⁠ $75=75\cdot 10^{2\cdot 0}$ إذن ، قيمة $a$ تساوي 75 وقيمة $n$ تساوي 0. من جداول الضرب، يجب أن يكون الجذر التربيعي للجزء العشري 8. شيء ما، لأن $a$ تقع بين 8 × 8 = 64 و 9 × 9 = 81، لذا فإن $k$ تساوي 8؛ وشيء ما هو التمثيل العشري لـ $R.$ في الكسر $R$ ، البسط هو $75 - k² = 11$ ، والمقام هو $81 -$ $k²$ $= 2k$ $+$ $1$ $= 17.$ 11/17 أقل بقليل من 12/18 = 2/3 = 0.67، لذا نخمن 0.66 (لا بأس بالتخمين هنا، فالخطأ ضئيل جدًا). التقدير النهائي هو $8 + 0.66 =$ $8.66$ .

$جذر 75$ مقربًا إلى ثلاثة أرقام معنوية يساوي 8.66، لذا فإن التقدير دقيق حتى ثلاثة أرقام معنوية. لن تكون جميع التقديرات باستخدام هذه الطريقة دقيقة تمامًا، لكنها ستكون قريبة من الدقة المطلوبة.

التقديرات الثنائية

عند العمل بنظام الأرقام الثنائية (كما تفعل أجهزة الكمبيوتر داخليًا)، يتم التعبير عن $S$ على النحو التالي: $a\times 2^{2n}$ أين $0.1_{2}\leq a<10_{2}$ الجذر التربيعي ${\sqrt {S}}={\sqrt {a}}\times 2^{n}$ يمكن تقديرها على النحو التالي ${\sqrt {S}}\approx (0.485+0.485a)\cdot 2^{n}$

وهو خط الانحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى لمعاملات مكونة من 3 أرقام معنوية. ${\sqrt {a}}$ يبلغ الحد الأقصى للخطأ المطلق 0.0408 عند $a=2$ ، ونسبة خطأ نسبي قصوى تبلغ 3.0% عند $a=1$ التقدير التقريبي المناسب حسابيًا (لأن المعاملات هي قوى العدد 2) هو:

{\sqrt {S}}\approx (0.5+0.5a)\cdot 2^{n}

^{[ ملاحظة 4 ]}

والتي يبلغ أقصى خطأ مطلق لها 0.086 عند 2 وأقصى خطأ نسبي لها 6.1٪ عند $a = 0.5$ و $a = 2.0$ .

ل $S=125348=1\;1110\;1001\;1010\;0100_{2}=1.1110\;1001\;1010\;0100_{2}\times 2^{16}\,,$ التقريب الثنائي يعطي ${\sqrt {S}}\approx (0.5+0.5a)\cdot 2^{8}=1.0111\;0100\;1101\;0010_{2}\times 1\;0000\;0000_{2}=1.456\times 256=372.8.$ ${\sqrt {125348}}=354.0$ وبالتالي، فإن التقدير يحتوي على خطأ مطلق قدره 19 وخطأ نسبي قدره 5.3%. الخطأ النسبي أقل بقليل من نصف ⁴ ، لذا فإن التقدير دقيق حتى 4 بتات أو أكثر.

يمكن الحصول على تقدير لقيمة $جذر$ تربيعي بدقة 8 بتات من خلال البحث في جدول على البتات الثمانية العليا من $العدد$ ، مع الأخذ في الاعتبار أن البت الأعلى مُضمّن ضمنيًا في معظم تمثيلات الفاصلة العائمة، ويجب تقريب البت الأدنى من العدد 8. يتكون الجدول من 256 بايت من قيم الجذر التربيعي المحسوبة مسبقًا بدقة 8 بتات. على سبيل المثال، بالنسبة للفهرس 11101101 _الذي يُمثل 1.8515625 _، فإن القيمة المُدخلة هي 10101110 _التي تُمثل 1.359375 _، وهو الجذر التربيعي للعدد 1.8515625 بدقة ₈ بتات (أكثر من رقمين عشريين).

طريقة هيرون

أول خوارزمية صريحة لتقريب $\ {\sqrt {S~}}\$ تُعرف هذه الطريقة باسم طريقة هيرون ، نسبةً إلى عالم الرياضيات اليوناني هيرو الإسكندري الذي عاش في القرن الأول الميلادي، والذي وصف هذه الطريقة في كتابه " ميتريكا" عام 60 ميلادي . ^[³^] تُسمى هذه الطريقة أيضًا بالطريقة البابلية (لا ينبغي الخلط بينها وبين الطريقة البابلية لتقريب الأوتار )، على الرغم من عدم وجود دليل على أن البابليين كانوا على دراية بهذه الطريقة .

معطى عدد حقيقي موجب $S$ لنفترض أن $x₀$ $> 0$ هو أي تقدير أولي موجب . تتكون طريقة هيرون من الحساب التكراري $x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right),$ حتى يتم تحقيق الدقة المطلوبة. التسلسل $\ {\bigl (}\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \ldots \ {\bigr )}\$ تتقارب المعادلة المحددة بهذه المعادلة إلى $\ \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {S~}}~.$

هذا يعادل استخدام طريقة نيوتن لحل $x^{2}-S=0$ هذه الخوارزمية متقاربة تربيعيًا : عدد الأرقام الصحيحة من $x_{n}$ يتضاعف تقريبًا مع كل تكرار. ^{[ 5 ]}

الاشتقاق

الفكرة الأساسية هي أنه إذا $\ x\$ هو تقدير مبالغ فيه للجذر التربيعي لعدد حقيقي موجب $\ S\$ ثم $\ {\tfrac {\ S\ }{x}}\$ سيكون التقدير أقل من القيمة الحقيقية، والعكس صحيح، لذا يُتوقع بشكل معقول أن يُقدّم متوسط هذين الرقمين تقريبًا أفضل. ( يعتمد البرهان الرسمي على متباينة المتوسطات الحسابية والهندسية التي تُظهر أن هذا المتوسط هو دائمًا تقدير أعلى من قيمة الجذر التربيعي، كما هو مذكور في مقال الجذور التربيعية ، مما يضمن التقارب).

وبعبارة أدق، إذا $\ x\$ هذا هو تخميننا الأولي لـ $\ {\sqrt {S~}}\$ و $\ \varepsilon \$ هل الخطأ في تقديرنا بحيث $\ S=\left(x+\varepsilon \right)^{2}\ ,$ ثم يمكننا توسيع ذات الحدين على النحو التالي: $\ {\bigl (}\ x+\varepsilon \ {\bigr )}^{2}=x^{2}+2x\varepsilon +\varepsilon ^{2}$ ثم قم بحل حد الخطأ

\varepsilon ={\frac {\ Sx^{2}\ }{\ 2x+\varepsilon \ }}\approx {\frac {\ Sx^{2}\ }{2x}}\ ,

إذا افترضنا أن

\ \varepsilon \ll x~

لذلك، يمكننا تعويض الخطأ وتحديث تقديرنا القديم على النحو التالي: $\ x+\varepsilon \ \approx \ x+{\frac {\ Sx^{2}\ }{2x}}\ =\ {\frac {\ S+x^{2}\ }{2x}}\ =\ {\frac {\ {\frac {S}{\ x\ }}+x\ }{2}}\ \equiv \ x_{\mathsf {revised}}~.$ بما أن الخطأ المحسوب لم يكن دقيقًا تمامًا، فهذه ليست الإجابة الفعلية، بل هي تقديرنا الجديد الذي سنستخدمه في جولة التصحيح التالية. وتتكرر عملية التحديث حتى يتم الحصول على الدقة المطلوبة.

تعمل هذه الخوارزمية بشكل جيد بنفس القدر في الأعداد $p$ -adic ، ولكن لا يمكن استخدامها لتحديد الجذور التربيعية الحقيقية مع الجذور التربيعية $p$ -adic؛ يمكن للمرء، على سبيل المثال، إنشاء سلسلة من الأعداد النسبية بهذه الطريقة التي تتقارب إلى $+3$ في الأعداد الحقيقية، ولكن إلى $-3$ في الأعداد 2-adic.

التنفيذ بلغة بايثون

from decimal import Decimal , localcontext , getcontextنوع الرقم = عدد صحيح | عدد عشري | عدد عشريدالة جذر_هيرون (s : NumberType ,الدقة : عدد صحيح | لا شيء = لا شيء ،تخمين : نوع الرقم | لا شيء = لا شيء) -> عشري :""" احسب الجذر التربيعي (sqrt(s)) باستخدام طريقة هيرون-نيوتن بدقة اختيارية. :param s: عدد غير سالب يتم حساب جذره التربيعي. :param precision: عدد الأرقام المعنوية. يتم استخدام السياق العشري الحالي افتراضياً. الحد الأدنى للدقة المدعومة هو 2. (لا يُسمح باستخدام الدقة = 1 لتجنب تشوهات التقريب.) :param guess: التخمين الأولي. القيمة الافتراضية هي s / 2. :return: تقريب للجذر التربيعي (s) مقربًا إلى الدقة المحددة. """إذا كانت قيمة s تساوي 0 :إرجاع عشري ( 0 )s = Decimal ( s )إذا كانت قيمة s أقل من 0 :raise ValueError ( "sqrt(s) is not defined for negative numbers." )إذا كانت الدقة معدومة :precision = getcontext () . prec # استخدم السياق العام الحالي إذا لم يتم تحديدهفرض الحد الأدنى من الدقة بصمتإذا كانت الدقة < 2 :الدقة = 2إذا كانت التخمينات لا شيء :guess = Decimal ( s / 2 )الحارس = 25 # أرقام إضافية مؤقتة لتحقيق الاستقرار الداخليmax_iter = 10_000# السياق المحلي: عزل تغييرات الدقةباستخدام السياق المحلي () كـ ctx :ctx.prec = precision + guardالتخمين = ( التخمين + s / التخمين ) / 2for _ in range ( max_iter ):التخمين_التالي = ( التخمين + s / التخمين ) / 2# توقف عندما يكون التحسن ضئيلاً بما فيه الكفايةإذا كان التخمين - التخمين التالي < Decimal ( f "1e- { precision } " ):استراحةالتخمين = التخمين_التاليآخر :raise ArithmeticError ( f "لم تتقارب طريقة هيرون خلال { max_iter } تكرارات" )# تقريب إلى دقة الهدف (التخلص من الحماية)ctx.prec = precisionإرجاع + التخمين التالي

مثال على الحساب

يوضح المثال التالي كيفية تنفيذ الدالة sqrt_Heronباستخدام مدخلات متنوعة.

print ( f "1) { sqrt_Heron ( 125348 , precision = 7 , guess = 600 ) } " ) print ( f "2) { sqrt_Heron ( Decimal ( '3.1415926535897932384626433832795028841971693993' )) } " ) print ( f "3) { sqrt_Heron ( 2 , 1_000_157 ) } " ) print ( f "4) { sqrt_Heron ( 2 , 10_000_005 , 1.414 ) } " ) print ( f "5) { sqrt_Heron ( 2 , 100_000_000 , 1 ) } " )

ينتج عن ذلك المخرجات التالية:

1) 354.0452 2) 1.772453850905516027298167483 3) 1.4142135623730950488016887242 ... 269732025731849141493880004856742892 4) 1.4142135623730950488016887242 ... ... 872480508054123572727872131589714262 5) 1.4142135623730950488016887242 ... ... ... 023678977744844723443287604232894971

الإعلان 1)

حساب ${\sqrt {s\,}}$ ل $s=125348$ الوصول إلى سبعة أرقام معنوية يتم وفق المسار التالي: ${\begin{alignedat}{5}x_{0}&=6\cdot 10^{2}=600\\x_{1}&={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)&&={\frac {1}{2}}\left(600{\phantom {456666666}}+{\frac {125348}{600}}{\phantom {4566666}}\right)&&\approx 404.456666666\\x_{2}&={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)&&={\frac {1}{2}}\left(404.456666666+{\frac {125348}{404.456666666}}\right)&&\approx 357.186837334\\x_{3}&={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)&&={\frac {1}{2}}\left(357.186837334+{\frac {125348}{357.186837334}}\right)&&\approx 354.059011038\\x_{4}&={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)&&={\frac {1}{2}}\left(354.059011038+{\frac {125348}{354.059011038}}\right)&&\approx 354.045195124\\x_{5}&={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)&&={\frac {1}{2}}\left(354.045195124+{\frac {125348}{354.045195124}}\right)&&\approx 354.045194855\end{alignedat}}$

لذلك ${\sqrt {\,125348\,}}\approx 354.0452$ إلى سبعة أرقام معنوية (تقريبًا).

2) حساب (في 6 خطوات تكرارية) لـ ${\sqrt {\left\lfloor \pi \times 10^{46}\right\rfloor \times 10^{-46}}}$ إلى الدقة الافتراضية. ^{[ ملاحظة 5 ]}

3) حساب (في 22 خطوة تكرارية) لـ ${\sqrt {2}}$ إلى 1,000,157 رقمًا. ^{[ 6 ]}

4) حساب (في 23 خطوة تكرارية) لـ ${\sqrt {2}}$ إلى 10,000,005 أرقام. ^{[ 7 ]}

5) حساب (في 28 خطوة تكرارية) لـ ${\sqrt {2}}$ إلى 100 مليون رقم.

يبدو أنه بالنسبة للتخمينات الأولية المعقولة، لا يلزم إجراء العديد من التكرارات.

ملحوظات

شرح السطرين 41 و 46

تتميز طريقة هيرون بالخاصية التالية:

{\begin{array}{rcl}x_{n}<{\sqrt {S}}&\implies &x_{n+1}>{\sqrt {S}}\\x_{n}={\sqrt {S}}&\implies &x_{n+1}=x_{n}\\x_{n}>{\sqrt {S}}&\implies &x_{n+1}<x_{n}\end{array}}

بعبارة أخرى: بمجرد أن تُنتج عملية التكرار قيمة أكبر من ${\sqrt {S}}$ (وهذا يحدث فوراً إذا $x_{0}>{\sqrt {S}}$ أو بعد خطوة واحدة إذا $x_{0}<{\sqrt {S}}$ )، يبقى كل تقدير لاحق أعلى ${\sqrt {S}}$ لكنها تصغر في كل مرة - لذا فإن التسلسل "ينزلق لأسفل" نحو ${\sqrt {S}}$ ويتقارب.

في السطر 41 من البرنامج، guessيتم تعيين قيمة $\geq {\sqrt {S}}$ ثم في السطر 46 من الكود، $\delta _{n}=x_{n}-x_{n+1}$ لا يمكن أن تكون سلبية.

تبرير معيار التوقف

باستخدام الفرق بين التقديرات المتتالية،

\delta _{n}=x_{n}-x_{n+1}

،

يضمن هذا الأسلوب، كمعيار للتوقف، أن يكون تسلسل التقريبات $x_{n}$ يتقارب نحو القيمة الحقيقية ${\sqrt {S}}$ عندما تكون الفروق المتتالية $\delta _{n}$ عندما تصبح صغيرة بما يكفي، يتحقق الهدف المحدد. الفكرة الأساسية هي أن الخطأ المطلق

\varepsilon _{n}=x_{n}-{\sqrt {S}}

،

يرتبط ذلك ارتباطًا مباشرًا بحجم التحسين المتتالي $\delta _{n}$ وبالتحديد، بالنسبة للطرق التكرارية التي تتقارب خطيًا أو تربيعيًا، يوجد ثابت $C<1$ بحيث

\varepsilon _{n+1}=C\cdot \delta _{n}

.

تشير هذه العلاقة إلى أنه عندما $\delta _{n}$ كلما انخفض الخطأ المطلق $\varepsilon _{n}$ كما أنها تصبح أصغر. لذلك، يتم إيقاف التكرار عندما $\delta _{n}$ إن انخفاض القيمة عن حد معين يضمن أن يكون الخطأ الفعلي ضمن هذا الحد على الأكثر.

التقارب

لنفترض أن $\ x_{0}>0~~{\mathsf {and}}~~S>0~.$ ثم لأي عدد طبيعي $\ n:x_{n}>0~.$ لنفترض أن الخطأ النسبي في $\ x_{n}\$ يتم تعريفها بواسطة $\ \varepsilon _{n}={\frac {~x_{n}\ }{\ {\sqrt {S~}}\ }}-1>-1\$ وبالتالي $\ x_{n}={\sqrt {S~}}\cdot \left(1+\varepsilon _{n}\right)~.$

ثم يمكن إثبات ذلك $\ \varepsilon _{n+1}={\frac {\varepsilon _{n}^{2}}{2(1+\varepsilon _{n})}}\geq 0~.$

وهكذا $\ \varepsilon _{n+2}\leq \min \left\{\ {\frac {\ \varepsilon _{n+1}^{2}\ }{2}},{\frac {\ \varepsilon _{n+1}\ }{2}}\ \right\}\$ وبالتالي فإن التقارب مضمون، وهو تربيعي .

أسوأ سيناريو للتقارب

إذا استخدمنا التقدير التقريبي أعلاه مع الطريقة البابلية، فإن الحالات الأقل دقة مرتبة تصاعدياً هي كما يلي: ${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\ 1\$

وهكذا في كل الأحوال، ${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\leq 2^{-2}.\\\varepsilon _{2}&<2^{-5}<10^{-1}~.\\\varepsilon _{3}&<2^{-11}<10^{-3}~.\\\varepsilon _{4}&<2^{-23}<10^{-6}~.\\\varepsilon _{5}&<2^{-47}<10^{-14}~.\\\varepsilon _{6}&<2^{-95}<10^{-28}~.\\\varepsilon _{7}&<2^{-191}<10^{-57}~.\\\varepsilon _{8}&<2^{-383}<10^{-115}~.\end{aligned}}$

تؤدي أخطاء التقريب إلى إبطاء عملية التقارب. يُنصح بالاحتفاظ برقم إضافي واحد على الأقل يتجاوز الدقة المطلوبة. $\ x_{n}\$ يتم حسابها لتجنب أخطاء التقريب الكبيرة .

طريقة هالي

عندما تظهر التقديرات في البرنامج أعلاه - السطران 41 و43 المميزان -

التخمين = ( التخمين + s / التخمين ) / 2أعمال ...التخمين_التالي = ( التخمين + s / التخمين ) / 2

يتم استبدالها بـ

guess *= ( guess * guess + 3 * s ) / ( 3 * guess * guess + s )أعمال ...التخمين_التالي = التخمين * ( التخمين * التخمين + 3 * s ) / ( 3 * التخمين * التخمين + s )

يتم تحويل الدالة sqrt_Heronإلى تطبيق لطريقة هالي ، حيث

x_{n+1}=x_{n}\cdot {\frac {x_{n}^{2}+3S}{3x_{n}^{2}+S}}

كما هو الحال في طريقة هالي، فإن التقديرات لا تتحرك دائمًا في اتجاه واحد، وسيصبح الخط 46

إذا كانت القيمة المطلقة ( التخمين - التخمين التالي ) أقل من القيمة العشرية ( f "1e- { الدقة } " ):

تتقارب طريقة هالي بشكل أسرع - معدل التقارب نحو الجذر تكعيبي، وهو أفضل من التربيعي - تكرارًا تلو الآخر، لكنها تتضمن خمس عمليات ضرب في كل تكرار (مع احتساب القسمة كثلاث عمليات ضرب). تُنجز العمليات الحسابية الخمسة المذكورة في المثال في 4، 4، 14، 15، و19 خطوة تكرارية على التوالي. في المقابل، لا تتطلب طريقة هيرون سوى قسمة واحدة، أي ثلاث عمليات ضرب، لذا فهي أفضل قليلًا على المدى الطويل.

طريقة باخشالي

وُصفت هذه الطريقة لإيجاد قيمة تقريبية للجذر التربيعي في مخطوطة هندية قديمة تُسمى مخطوطة باخشالي . وهي مكافئة جبريًا لتكرارين من طريقة هيرون، وبالتالي فهي متقاربة من الدرجة الرابعة، أي أن عدد الأرقام الصحيحة للتقريب يتضاعف أربع مرات تقريبًا مع كل تكرار. ^{[ 8 ]} والعرض الأصلي، باستخدام الترميز الحديث، هو كما يلي: لحساب ${\sqrt {S}}$ ، يترك $x_{0}^{2}$ لنفترض أن التقريب الأولي لـ $S$ ثم، كرر العملية تباعاً على النحو التالي: ${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {S-x_{n}^{2}}{2x_{n}}},\\x_{n+1}&=x_{n}+a_{n},\\x_{n+2}&=x_{n+1}-{\frac {a_{n}^{2}}{2x_{n+1}}}.\end{aligned}}$

القيم $x_{n+1}$ و $x_{n+2}$ وهي مطابقة تمامًا لتلك المحسوبة بطريقة هيرون. ولتوضيح ذلك، ستحسب الخطوة الثانية من طريقة هيرون $x_{n+2}={\frac {x_{n+1}^{2}+S}{2x_{n+1}}}=x_{n+1}+{\frac {S-x_{n+1}^{2}}{2x_{n+1}}}$ ويمكننا استخدام تعريفات $x_{n+1}$ و $a_{n}$ لإعادة ترتيب البسط إلى: ${\begin{aligned}S-x_{n+1}^{2}&=S-(x_{n}+a_{n})^{2}\\&=S-x_{n}^{2}-2x_{n}a_{n}-a_{n}^{2}\\&=S-x_{n}^{2}-(S-x_{n}^{2})-a_{n}^{2}\\&=-a_{n}^{2}.\end{aligned}}$

يمكن استخدام هذا لإنشاء تقريب نسبي للجذر التربيعي بالبدء بعدد صحيح. إذا $x_{0}=N$ هو عدد صحيح تم اختياره بحيث $N^{2}$ قريب من $S$ ، و $d=SN^{2}$ إذا كان الفرق هو الذي تم تقليل قيمته المطلقة، فيمكن كتابة التكرار الأول على النحو التالي: ${\sqrt {S}}\approx N+{\frac {d}{2N}}-{\frac {d^{2}}{8N^{3}+4Nd}}={\frac {8N^{4}+8N^{2}d+d^{2}}{8N^{3}+4Nd}}={\frac {N^{4}+6N^{2}S+S^{2}}{4N^{3}+4NS}}={\frac {N^{2}(N^{2}+6S)+S^{2}}{4N(N^{2}+S)}}.$

يمكن تعميم طريقة باخشالي لحساب أي جذر، بما في ذلك الجذور الكسرية. ^{[ 9 ]}

قد يعتقد المرء أن النصف الثاني من طريقة باخشالي يمكن استخدامه كشكل أبسط من تكرار هيرون واستخدامه بشكل متكرر، على سبيل المثال ${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {-a_{n}^{2}}{2x_{n+1}}},&x_{n+2}&=x_{n+1}+a_{n+1},\\a_{n+2}&={\frac {-a_{n+1}^{2}}{2x_{n+2}}},&x_{n+3}&=x_{n+2}+a_{n+2},{\text{ إلخ.}}\end{aligned}}$ مع ذلك، فإن هذا غير مستقر عدديًا . بدون أي إشارة إلى قيمة الإدخال الأصلية. $S$ ، وتقتصر الدقة على دقة الحساب الأصلي لـ $a_{n}$ وسرعان ما يصبح ذلك غير كافٍ.

مثال

باستخدام المثال نفسه $S=125348$ كما هو الحال في مثال طريقة هيرون ، فإن التكرار الأول يعطي ${\begin{alignedat}{3}x_{0}&=600\\[1ex]a_{0}&={\frac {125348-600^{2}}{2\times 600}}&&=-195.5433\approx -200\\[1ex]x_{1}&=600+(-200)&&={\phantom {-}}400\\[1ex]x_{2}&=400-{\frac {(-200)^{2}}{2\times 400}}&&={\phantom {-}}350\end{alignedat}}$

وبالمثل، تعطي التكرارات الثانية ${\begin{alignedat}{3}a_{2}&={\frac {125348-350^{2}}{2\times 350}}&&={\phantom {00}}4.06857\\[1ex]x_{3}&=350+4.06857&&=354.06857\\[1ex]x_{4}&=354.06857-{\frac {4.06857^{2}}{2\times 354.06857}}&&=354.045194\end{alignedat}}$ على عكس طريقة هيرون، $x_{3}$ يجب حسابها بدقة 8 أرقام لأن صيغة $x_{4}$ لا يقوم بتصحيح أي خطأ في $x_{3}$ .

الحساب رقمًا برقم

هذه التقنية مستمدة من عمل فرانسوا فييت ، الذي نُشر حوالي عام 1600. ^{[ 10 ]} ، وهي تعتمد على نظرية ذات الحدين ، وهي في الأساس خوارزمية عكسية لحل $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ إنها أبطأ من الطريقة البابلية، لكنها تتمتع بعدة مزايا:

قد يكون ذلك أسهل بالنسبة للحسابات اليدوية.
كل رقم من أرقام الجذر الذي تم العثور عليه معروف بأنه صحيح، أي أنه لا يتعين تغييره لاحقًا.
إذا كان للجذر التربيعي مفكوك ينتهي، فإن الخوارزمية تتوقف بعد العثور على الرقم الأخير. وبالتالي، يمكن استخدامها للتحقق مما إذا كان عدد صحيح معين مربعًا أم لا .
تعمل الخوارزمية مع أي أساس ، وبطبيعة الحال، فإن طريقة عملها تعتمد على الأساس المختار.

أما عيوبها فهي:

يصبح الأمر غير قابل للسيطرة بالنسبة للجذور العليا.
لا يتسامح مع التخمينات غير الدقيقة أو الحسابات الفرعية؛ تؤدي هذه الأخطاء إلى أن يكون كل رقم لاحق من النتيجة خاطئًا، على عكس طريقة نيوتن ، التي تصحح نفسها تلقائيًا أي أخطاء تقريبية.
على الرغم من أن الحساب رقمًا برقم فعال نظريًا، إلا أنه مكلف للغاية عند تطبيقه برمجيًا. فكل تكرار يتضمن أعدادًا أكبر، مما يتطلب ذاكرة أكبر، ولكنه لا يُحسّن الإجابة إلا برقم واحد صحيح. وبالتالي، تستغرق الخوارزمية وقتًا أطول لكل رقم إضافي.

تتضمن عظام نابيير أداة مساعدة لتنفيذ هذه الخوارزمية. وتُعد خوارزمية الجذر $النوني$ المزاح تعميمًا لهذه الطريقة.

المبدأ الأساسي

أولاً، لننظر في حالة إيجاد الجذر التربيعي لعدد $S ، أي مربع عدد مكون من رقمين$ $XY$ في النظام العشري ، حيث $X$ هو رقم العشرات و $Y$ هو رقم الآحاد. تحديداً: $S=\left(10X+Y\right)^{2}=100X^{2}+20XY+Y^{2}.$ سيتكون $الرقم S من 3 أو 4 أرقام عشرية.$

للبدء بخوارزمية الأرقام، نقسم أرقام $S$ إلى مجموعتين، كل مجموعة تتكون من رقمين، بدءًا من اليمين. هذا يعني أن المجموعة الأولى ستتكون من رقم واحد أو رقمين. ثم نحدد قيمة $X$ كأكبر رقم بحيث يكون $X2$ أصغر من أو يساوي المجموعة الأولى. بعد ذلك، نحسب الفرق بين المجموعة الأولى و $X2$ $،$ ونبدأ التكرار الثاني بإضافة المجموعة الثانية إليها. هذا يكافئ عملية الطرح $.$ $100X^{2}$ من $S$ ، ويتبقى لدينا $S'=20XY+Y^{2}$ نقسم $S'$ على 10، ثم نقسم الناتج على $2X$ ونحتفظ بالجزء الصحيح لمحاولة تخمين $Y.$ ندمج $2X مع$ $Y$ المُحتمل ونضربه في $Y.$ إذا كان تخميننا صحيحًا، فإن هذا يُكافئ حساب: $(10(2X)+Y)Y=20XY+Y^{2}=S',$ وبالتالي، يكون الباقي، أي الفرق بين $S'$ والنتيجة، صفرًا؛ إذا كانت النتيجة أكبر من $S'$ ، فإننا نخفض تخميننا بمقدار 1 ونحاول مرة أخرى حتى يصبح الباقي صفرًا. بما أن هذه حالة بسيطة حيث تكون الإجابة هي الجذر التربيعي الكامل لـ $XY$ ، فإن الخوارزمية تتوقف هنا.

يمكن تطبيق الفكرة نفسها على أي عملية حسابية للجذر التربيعي. لنفترض أننا قادرون على إيجاد الجذر التربيعي لـ $S$ عن طريق التعبير عنه كمجموع n من الأعداد الموجبة بحيث $S=\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}\right)^{2}.$

من خلال تطبيق الهوية الأساسية بشكل متكرر $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},$ يمكن توسيع الحد الموجود على الجانب الأيمن على النحو التالي: $\displaystyle \begin{aligned}&(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dotsb +a_{n})^{2}\\=&\,a_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}+2(a_{1}+a_{2})a_{3}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n-1}^{2}+2\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}\right)a_{n}+a_{n}^{2}\\=&\,a_{1}^{2}+[2a_{1}+a_{2}]a_{2}+[2(a_{1}+a_{2})+a_{3}]a_{3}+\dots +\left[2\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}\right)+a_{n}\right]a_{n}.\end{aligned}}}$

يُمكّننا هذا التعبير من إيجاد الجذر التربيعي عن طريق تخمين قيم متتالية لـ $a_{i}$ لنفترض أن الأرقام $a_{1},\ldots ,a_{m-1}$ إذا تم تخمينها بالفعل، فإن الحد m من الطرف الأيمن للمجموع أعلاه يُعطى بواسطة $Y_{m}=\left[2P_{m-1}+a_{m}\right]a_{m},$ أين ${\textstyle P_{m-1}=\sum _{i=1}^{m-1}a_{i}}$ هذا هو الجذر التربيعي التقريبي الذي تم إيجاده حتى الآن. الآن كل تخمين جديد $a_{m}$ ينبغي أن يفي بالمتطلبات التكرارية $X_{m}=X_{m-1}-Y_{m},$ أين $X_{m}$ هو مجموع جميع الحدود بعد $Y_{m}$ أي الباقي، بحيث $X_{m}\geq 0$ للجميع $1\leq m\leq n,$ مع التهيئة $X_{0}=S.$ متى $X_{n}=0,$ تم إيجاد الجذر التربيعي الدقيق؛ وإذا لم يكن كذلك، فإن مجموع $a_{i}$ يُعطي s تقريبًا مناسبًا للجذر التربيعي، مع $X_{n}$ وهو خطأ التقريب.

على سبيل المثال، في نظام الأرقام العشرية لدينا $S=\left(a_{1}\cdot 10^{n-1}+a_{2}\cdot 10^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\cdot 10+a_{n}\right)^{2},$ أين $10^{ni}$ هي عناصر نائبة ومعاملات $a_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$ في أي مرحلة من مراحل حساب الجذر التربيعي، يكون الجذر التقريبي الذي تم إيجاده حتى الآن، $P_{m-1}$ وحد الجمع $Y_{m}$ يتم تقديمها بواسطة $P_{m-1}=\sum _{i=1}^{m-1}a_{i}\cdot 10^{ni}=10^{n-m+1}\sum _{i=1}^{m-1}a_{i}\cdot 10^{mi-1},$ $Y_{m}=\left[2P_{m-1}+a_{m}\cdot 10^{n-m}\right]a_{m}\cdot 10^{n-m}=\left[20\sum _{i=1}^{m-1}a_{i}\cdot 10^{m-i-1}+a_{m}\right]a_{m}\cdot 10^{2(n-m)}.$

هنا لأن القيمة المكانية لـ $Y_{m}$ بما أن العدد قوة زوجية للعدد 10، فإننا نحتاج فقط إلى التعامل مع الرقمين الأكثر أهمية من الباقي $X_{m-1}$ ، والتي تبدأ ولايتها الأولى $Y_{m}$ ، في أي مرحلة من المراحل m. يوضح القسم أدناه هذا الإجراء.

من الواضح أنه يمكن استخدام طريقة مماثلة لحساب الجذر التربيعي في أنظمة العد الأخرى غير النظام العشري. على سبيل المثال، يُعدّ إيجاد الجذر التربيعي رقمًا برقم في النظام الثنائي فعالًا للغاية نظرًا لأن قيمة $a_{i}$ يتم البحث عن القيمة من مجموعة أصغر من الأرقام الثنائية {0، 1}. وهذا يجعل الحساب أسرع لأنه في كل مرحلة يتم تغيير قيمة $Y_{m}$ إما $Y_{m}=0$ ل $a_{m}=0$ أو $Y_{m}=2P_{m-1}+1$ ل $a_{m}=1$ حقيقة أن لدينا خيارين فقط لـ $a_{m}$ كما أنه يجعل عملية تحديد قيمة $a_{m}$ في المرحلة m من الحساب، يصبح الأمر أسهل. وذلك لأننا نحتاج فقط إلى التحقق مما إذا $Y_{m}\leq X_{m-1}$ ل $a_{m}=1.$ إذا تحقق هذا الشرط، فإننا نأخذ $a_{m}=1$ وإلا $a_{m}=0.$ كما أن حقيقة أن عملية الضرب في 2 تتم عن طريق إزاحة البتات إلى اليسار تساعد في الحساب.

النظام العشري (الأساس 10)

اكتب العدد الأصلي بالصيغة العشرية. تُكتب الأعداد بنفس طريقة القسمة المطولة ، وكما في القسمة المطولة، يُكتب الجذر على السطر العلوي. الآن، قسّم الأرقام إلى أزواج، بدءًا من الفاصلة العشرية واتجاهًا يمينًا ويسارًا. ستكون فاصلة الجذر فوق فاصلة المربع. سيظهر رقم واحد من الجذر فوق كل زوج من أرقام المربع.

ابدأ بالزوج الأيسر من الأرقام، وقم بالإجراء التالي لكل زوج:

ابدأ من اليسار، أنزل الزوج الأكثر أهمية (الأيسر) من الأرقام غير المستخدمة بعد (إذا تم استخدام جميع الأرقام، فاكتب "00") واكتبه على يمين الباقي من الخطوة السابقة (في الخطوة الأولى، لن يكون هناك باقي). بعبارة أخرى، اضرب الباقي في 100 واجمع الرقمين. ستكون هذه هي القيمة الحالية c .
أوجد قيم p و y و x كما يلي:
- لنفترض أن p هو جزء الجذر الذي تم إيجاده حتى الآن ، مع تجاهل أي فاصلة عشرية. (في الخطوة الأولى، p = 0.)
- حدد أكبر رقم x بحيث $x(20p+x)\leq c$ $x(20p+x)\leq c$ سنستخدم متغيرًا جديدًا y = x (20 p + x ).
  - ملاحظة: 20 p + x هو ببساطة ضعف p ، مع إضافة الرقم x إلى اليمين.
  - ملاحظة: يمكن إيجاد قيمة x عن طريق تخمين قيمة c /(20· p ) وإجراء حساب تجريبي لـ y ، ثم تعديل x لأعلى أو لأسفل حسب الضرورة.
- ضع الرقم $x$ باعتباره الرقم التالي للجذر، أي فوق الرقمين اللذين أنزلتهما للتو من المربع. وبالتالي، سيكون الرقم p التالي هو p القديم مضروبًا في 10 زائد x .
اطرح y من c لتكوين باقي جديد.
إذا كان الباقي صفرًا ولم يتبقَّ أي أرقام لإنزالها، فإن الخوارزمية تكون قد انتهت. وإلا، فارجع إلى الخطوة 1 لتكرار العملية.

أمثلة

أوجد الجذر التربيعي للعدد 152.2756.

 1 2. 3 4 / / 01 52.27 56 01 1·1 ≤ 1 < 2·2 x = 1 01 ص = س × س = 1 × 1 = 1 00 52 22·2 ≤ 52 < 23·3 x = 2 00 44 ص = (20+س)·س = 22·2 = 44 08 27 243·3 ≤ 827 < 244·4 x = 3 07 29 ص = (240+س)·س = 243·3 = 729 98 56 2464·4 ≤ 9856 < 2465·5 x = 4 98 56 ص = (2460 + س) × س = 2464 × 4 = 9856انتهت الخوارزمية: الإجابة = 12.34

النظام العددي الثنائي (الأساس 2)

يستخدم هذا القسم الصيغة الواردة في قسم الحساب رقمًا برقم أعلاه ، مع اختلاف طفيف يتمثل في السماح $N^{2}=(a_{n}+\dotsb +a_{0})^{2}$ مع كل $a_{m}=2^{m}$ أو $a_{m}=0$ نكرر كل شيء $2^{m}$ ، من $2^{n}$ وصولا إلى $2^{0}$ ، وبناء حل تقريبي $P_{m}=a_{n}+a_{n-1}+\ldots +a_{m}$ ، مجموع كل $a_{i}$ والتي حددنا قيمتها. لتحديد ما إذا $a_{m}$ يساوي $2^{m}$ أو $0$ ، نحن نترك $P_{m}=P_{m+1}+2^{m}$ . لو $P_{m}^{2}\leq N^{2}$ (أي مربع حلنا التقريبي بما في ذلك $2^{m}$ (لا يتجاوز المربع المستهدف) ثم $a_{m}=2^{m}$ ، خلاف ذلك $a_{m}=0$ و $P_{m}=P_{m+1}$ لتجنب التربيع $P_{m}$ في كل خطوة، نقوم بتخزين الفرق $X_{m}=N^{2}-P_{m}^{2}$ وقم بتحديثه تدريجياً عن طريق التعيين $X_{m}=X_{m+1}-Y_{m}$ مع $Y_{m}=P_{m}^{2}-P_{m+1}^{2}=2P_{m+1}a_{m}+a_{m}^{2}$ في البداية ، قمنا بتحديد $a_{n}=P_{n}=2^{n}$ لأكبر $n$ مع $(2^{n})^{2}=4^{n}\leq N^{2}$ .

كتحسين إضافي، نقوم بتخزين $P_{m+1}2^{m+1}$ و $(2^{m})^{2}$ المصطلحان $Y_{m}$ في حال كان $a_{m}$ غير صفري، في متغيرات منفصلة $c_{m}$ ، $d_{m}$ : $c_{m}=P_{m+1}2^{m+1}$ $d_{m}=(2^{m})^{2}$ $Y_{m}={\begin{cases}c_{m}+d_{m}&{\text{if }}a_{m}=2^{m}\\0&{\text{if }}a_{m}=0\end{cases}}$

$c_{m}$ و $d_{m}$ يمكن تحديثها بكفاءة في كل خطوة: $c_{m-1}=P_{m}2^{m}=(P_{m+1}+a_{m})2^{m}=P_{m+1}2^{m}+a_{m}2^{m}={\begin{cases}c_{m}/2+d_{m}&{\text{if }}a_{m}=2^{m}\\c_{m}/2&{\text{if }}a_{m}=0\end{cases}}$ $d_{m-1}={\frac {d_{m}}{4}}$

لاحظ أن: $c_{-1}=P_{0}2^{0}=P_{0}=N,$ وهي النتيجة النهائية التي يتم إرجاعها في الدالة أدناه.

تطبيق

يقوم برنامج بايثون بالحساب $\operatorname {isqrt} (n)=\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor .$ الخوارزمية هي طريقة رقمية (بت ببت) للجذور التربيعية للأعداد الصحيحة . ^{[ 11 ]}

def isqrt ( x : int ) -> int : assert x >= 0 , "يجب أن يكون إدخال الجذر التربيعي غير سالب"العملية : عدد صحيح = x # X_(n+1) النتيجة : عدد صحيح = 0 # c_n# d_n التي تبدأ من أعلى قوة للعدد أربعة <= n one : int = 1 while one <= op : one <<= 2 # الآن 'one' هي أكبر قوة للعدد أربعة <= x one >>= 2# من أجل dₙ … d₀ بينما one != 0 : إذا كان op >= res + one : # إذا كان X_(m+1) ≥ Y_m فإن a_m = 2^m op -= res + one # X_m = X_(m+1) - Y_m res += 2 * one # c_m = c_m + 2*d_m res //= 2 # c_(m-1) = c_m / 2 one //= 4 # d_(m-1) = d_m / 4# c_(-1) return res

يمكن تحقيق خوارزميات أسرع، سواء كانت ثنائية أو عشرية أو أي أساس آخر، باستخدام جداول البحث - مما يعني فعليًا استبدال مساحة تخزين أكبر بتقليل وقت التشغيل . ^{[ 12 ]}

الهوية الأسية

تُنفذ الآلات الحاسبة الجيبية عادةً إجراءات جيدة لحساب الدالة الأسية واللوغاريتم الطبيعي ، ثم تحسب الجذر التربيعي لـ S باستخدام المتطابقة التي تم التوصل إليها باستخدام خصائص اللوغاريتمات ( $\ln x^{n}=n\ln x$ ) والدوال الأسية ( $e^{\ln x}=x$ ) : ${\sqrt {S}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln S}.$ المقام في الكسر يُمثل الجذر النوني . في المثال أعلاه، المقام هو ٢، لذا تُشير المعادلة إلى أن المطلوب هو إيجاد الجذر التربيعي. تُستخدم نفس هذه الخاصية عند حساب الجذور التربيعية باستخدام جداول اللوغاريتمات أو المسطرة الحاسبة .

طريقة تكرارية بمتغيرين

هذه الطريقة قابلة للتطبيق لإيجاد الجذر التربيعي لـ $0<S<3\,\!$ ويتقارب بشكل أفضل لـ $S\approx 1$ لكن هذا لا يمثل قيدًا حقيقيًا على العمليات الحسابية الحاسوبية، ففي تمثيلات الفاصلة العائمة والثابتة ذات الأساس 2، من السهل جدًا الضرب $S\,\!$ بضربها في قوة صحيحة للعدد 4، وبالتالي ${\sqrt {S}}$ وذلك بضربها في القوة المقابلة للعدد 2، أو بتغيير الأس، أو بالإزاحة، على التوالي. لذلك، $S\,\!$ يمكن نقلها إلى المدى ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\leq S<2}$ علاوة على ذلك، لا تستخدم الطريقة التالية عمليات القسمة العامة، بل تقتصر على الجمع والطرح والضرب والقسمة على قوى العدد اثنين، وهي عمليات سهلة التطبيق. ومن عيوب هذه الطريقة تراكم الأخطاء العددية، على عكس الطرق التكرارية ذات المتغير الواحد، مثل الطريقة البابلية.

تتمثل خطوة التهيئة في هذه الطريقة في ${\begin{aligned}a_{0}&=S\\c_{0}&=S-1\end{aligned}}$ بينما تقرأ الخطوات التكرارية ${\begin{aligned}a_{n+1}&=a_{n}-a_{n}c_{n}/2\\c_{n+1}&=c_{n}^{2}(c_{n}-3)/4\end{aligned}}$ ثم، $a_{n}\to {\sqrt {S}}$ (بينما $c_{n}\to 0$ ).

تقارب $c_{n}\,\!$ وبالتالي أيضاً من $a_{n}\,\!$ ، هي دالة تربيعية.

إن إثبات صحة هذه الطريقة سهلٌ للغاية. أولاً، أعد كتابة التعريف التكراري لـ $c_{n}$ مثل $1+c_{n+1}=(1+c_{n})(1-{\tfrac {1}{2}}c_{n})^{2}.$ ومن ثم، يصبح من السهل إثبات ذلك بالاستقراء. $S(1+c_{n})=a_{n}^{2}$ وبالتالي تقارب $a_{n}\,\!$ لتحقيق النتيجة المرجوة ${\sqrt {S}}$ يتم ضمان ذلك من خلال تقارب $c_{n}\,\!$ إلى صفر، وهو ما يتبع بدوره من $-1<c_{0}<2\,\!$ .

طُوِّرت هذه الطريقة حوالي عام 1950 على يد إم. في. ويلكس ، ودي. جيه. ويلر، وإس . جيل ^{[ 13 ]} لاستخدامها على جهاز EDSAC ، أحد أوائل الحواسيب الإلكترونية. ^{[ 14 ]} ثم عُمِّمت هذه الطريقة لاحقًا، مما سمح بحساب الجذور غير التربيعية. ^{[ 15 ]}

الطرق التكرارية للجذور التربيعية المقلوبة

فيما يلي طرق تكرارية لإيجاد الجذر التربيعي المقلوب لـ S وهو $1/{\sqrt {S}}$ بمجرد العثور عليه، ابحث ${\sqrt {S}}$ عن طريق الضرب البسيط: ${\sqrt {S}}=S\cdot (1/{\sqrt {S}})$ تتضمن هذه التكرارات عمليات ضرب فقط، دون قسمة. لذا فهي أسرع من طريقة بابل . مع ذلك، فهي غير مستقرة. فإذا لم تكن القيمة الأولية قريبة من مقلوب الجذر التربيعي، ستتباعد التكرارات عنها بدلًا من أن تتقارب إليها. لذلك، قد يكون من المفيد إجراء تكرار لطريقة بابل على تقدير تقريبي قبل البدء بتطبيق هذه الطرق.

تطبيق طريقة نيوتن على المعادلة $(1/x^{2})-S=0$ ينتج طريقة تتقارب تربيعيًا باستخدام ثلاث عمليات ضرب لكل خطوة: $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}\cdot (3-S\cdot x_{n}^{2})=x_{n}\cdot \left({\frac {3}{2}}-{\frac {S}{2}}\cdot x_{n}^{2}\right).$
يمكن الحصول على تكرار آخر باستخدام طريقة هالي ، وهي طريقة هاوسهولدر من الرتبة الثانية. تتقارب هذه الطريقة تكعيبياً ، ولكنها تتضمن خمس عمليات ضرب لكل تكرار: ^{[ ملاحظة 6 ]} $y_{n}=S\cdot x_{n}^{2},$ و $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{8}}\cdot (15-y_{n}\cdot (10-3\cdot y_{n}))=x_{n}\cdot \left({\frac {15}{8}}-y_{n}\cdot \left({\frac {10}{8}}-{\frac {3}{8}}\cdot y_{n}\right)\right).$
في حالة استخدام العمليات الحسابية ذات الفاصلة الثابتة ، يمكن تنفيذ الضرب في 3 والقسمة على 8 باستخدام عمليات الإزاحة والجمع. أما في حالة استخدام العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة، فيمكن اختصار طريقة هالي إلى أربع عمليات ضرب لكل تكرار عن طريق الحساب المسبق. ${\textstyle {\sqrt {3/8}}S}$ وتعديل جميع الثوابت الأخرى للتعويض: $y_{n}={\sqrt {\frac {3}{8}}}S\cdot x_{n}^{2},$ و $x_{n+1}=x_{n}\cdot \left({\frac {15}{8}}-y_{n}\cdot \left({\sqrt {\frac {25}{6}}}-y_{n}\right)\right).$

خوارزمية غولدشميت

خوارزمية غولدشميت هي امتداد لقسمة غولدشميت ، سُميت نسبةً إلى روبرت إليوت غولدشميت، ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} ويمكن استخدامها لحساب الجذور التربيعية. تستخدم بعض الحواسيب خوارزمية غولدشميت لإجراء عمليات حسابية متزامنة. ${\sqrt {S}}$ و $1/{\sqrt {S}}$ خوارزمية غولدشميت تجد ${\sqrt {S}}$ أسرع من تكرار نيوتن-رافسون على جهاز كمبيوتر مزود بتعليمات ضرب وجمع مدمجة، ووحدة فاصلة عائمة متصلة أو وحدتي فاصلة عائمة مستقلتين. ^{[ 18 ]}

الطريقة الأولى لكتابة خوارزمية غولدشميت تبدأ

b_{0}=S

Y_{0}\approx 1/{\sqrt {S}}

(عادةً باستخدام البحث في جدول)

y_{0}=Y_{0}

x_{0}=Sy_{0}

ويكرر ${\begin{aligned}b_{n+1}&=b_{n}Y_{n}^{2}\\Y_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(3-b_{n+1})\\x_{n+1}&=x_{n}Y_{n+1}\\y_{n+1}&=y_{n}Y_{n+1}\end{aligned}}$ حتى $b_{i}$ تكون القيمة قريبة بما يكفي من 1، أو من عدد ثابت من التكرارات. تتقارب التكرارات إلى $\lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {S}},$ و $\lim _{n\to \infty }y_{n}=1/{\sqrt {S}}.$ لاحظ أنه من الممكن حذف أي منهما $x_{n}$ و $y_{n}$ من خلال الحساب، وإذا كان كلاهما مطلوبًا فـ $x_{n}=Sy_{n}$ يمكن استخدامها في النهاية بدلاً من حسابها في كل تكرار.

ثمة شكل ثانٍ، يستخدم عمليات الضرب والجمع المدمجة ، يبدأ

y_{0}\approx 1/{\sqrt {S}}

(عادةً باستخدام البحث في جدول)

x_{0}=Sy_{0}

h_{0}={\tfrac {1}{2}}y_{0}

ويكرر ${\begin{aligned}r_{n}&=0.5-x_{n}h_{n}\\x_{n+1}&=x_{n}+x_{n}r_{n}\\h_{n+1}&=h_{n}+h_{n}r_{n}\end{aligned}}$ حتى $r_{i}$ تكون قريبة بما فيه الكفاية من الصفر، أو من عدد ثابت من التكرارات. وهذا يتقارب إلى $\lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {S}},$ و $\lim _{n\to \infty }2h_{n}=1/{\sqrt {S}}.$

سلسلة تايلور

إذا كان N تقريبًا لـ ${\sqrt {S}}$ ، ويمكن إيجاد تقريب أفضل باستخدام متسلسلة تايلور لدالة الجذر التربيعي : ${\sqrt {N^{2}+d}}=N\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}{\frac {d^{n}}{N^{2n}}}=N\left(1+{\frac {d}{2N^{2}}}-{\frac {d^{2}}{8N^{4}}}+{\frac {d^{3}}{16N^{6}}}-{\frac {5d^{4}}{128N^{8}}}+\cdots \right)$

باعتبارها طريقة تكرارية ، فإن رتبة التقارب تساوي عدد الحدود المستخدمة. مع حدين، تكون مطابقة للطريقة البابلية . مع ثلاثة حدود، تتطلب كل تكرارة عددًا من العمليات يكاد يوازي تقريب بخشالي ، لكنها تتقارب ببطء أكبر. لذلك، لا تُعد هذه طريقة حساب فعالة بشكل خاص. لزيادة معدل التقارب إلى أقصى حد، اختر $N$ بحيث ${\frac {|d|}{N^{2}}}\,$ أصغر ما يمكن.

استمرار توسيع الكسور

يمكن استخدام تمثيل الكسر المستمر لعدد حقيقي بدلاً من توسيعه العشري أو الثنائي، وهذا التمثيل له خاصية أن الجذر التربيعي لأي عدد نسبي (ليس مربعًا كاملاً بالفعل) له توسيع دوري متكرر، على غرار كيفية وجود توسعات متكررة للأعداد النسبية في نظام الترميز العشري.

الأعداد غير النسبية التربيعية (الأعداد التي على الصورة ${\frac {a+{\sqrt {b}}}{c}}$ حيث a و b و c أعداد صحيحة، وعلى وجه الخصوص، فإن الجذور التربيعية للأعداد الصحيحة لها كسور مستمرة دورية . أحيانًا يكون المطلوب ليس إيجاد القيمة العددية للجذر التربيعي، بل إيجاد تمثيله بالكسر المستمر ، ومن ثم تقريبه النسبي. ليكن S هو العدد الموجب المطلوب إيجاد جذره التربيعي. بافتراض أن a هو عدد يُستخدم كقيمة ابتدائية و r هو حد الباقي، يمكننا كتابة $S=a^{2}+r.$ بما أننا $S-a^{2}=({\sqrt {S}}+a)({\sqrt {S}}-a)=r$ يمكننا التعبير عن الجذر التربيعي لـ S على النحو التالي: ${\sqrt {S}}=a+{\frac {r}{a+{\sqrt {S}}}}.$

بتطبيق هذا التعبير لـ ${\sqrt {S}}$ بالنسبة لمقام الكسر، لدينا: ${\sqrt {S}}=a+{\frac {r}{a+(a+{\frac {r}{a+{\sqrt {S}}}})}}=a+{\frac {r}{2a+{\frac {r}{a+{\sqrt {S}}}}}}.$

الترميز المختصر — يُعدّ فكّ البسط والمقام للكسور المستمرة (أعلاه) أمرًا مُرهقًا في الكتابة، وكذلك في تضمينه في أنظمة تنسيق النصوص. لذلك، ابتكر علماء الرياضيات العديد من الترميزات البديلة، مثل: ${\sqrt {S}}=a+{\frac {r}{2a+}}\,{\frac {r}{2a+}}\,{\frac {r}{2a+}}\cdots$

متى $r=1$ في جميع أنحاء النص، توجد صيغة أكثر اختصارًا وهي: ^{[ ملاحظة 7 ]} $[a;2a,2a,2a,\cdots ]$ بالنسبة للكسور المستمرة المتكررة (كما هو الحال في جميع الجذور التربيعية للأعداد غير المربعة الكاملة)، يتم تمثيل الجزء المتكرر مرة واحدة فقط، مع خط علوي للدلالة على تكرار غير منتهٍ للجزء الذي يعلوه الخط: ^{[ ملاحظة 8 ]} $[a;{\overline {2a}}]$

بالنسبة لـ $\sqrt2 ،$ فإن قيمة $a تساوي 1$ ، لذا فإن تمثيلها هو: $[1;{\overline {2}}]$

وباتباع هذه الطريقة، نحصل على كسر مستمر معمّم للجذر التربيعي كما يلي: ${\sqrt {S}}=a+{\cfrac {r}{2a+{\cfrac {r}{2a+{\cfrac {r}{2a+\ddots }}}}}}$

تتمثل الخطوة الأولى لتقييم هذا الكسر ^{[ 19 ]} للحصول على جذره في إجراء تعويضات عددية لجذر العدد المطلوب، وعدد المقامات المختارة. على سبيل المثال، في الصيغة القياسية، $r = 1،$ وبالنسبة لـ $\sqrt2$ $،$ a $= 1$ ، لذا فإن الكسر المستمر العددي لثلاثة مقامات هو: ${\sqrt {2}}\approx 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}$

الخطوة الثانية هي تبسيط الكسر المستمر من الأسفل إلى الأعلى، مقامًا تلو الآخر، للحصول على كسر نسبي بسطه ومقامه عددان صحيحان. ويتم التبسيط على النحو التالي (بأخذ المقامات الثلاثة الأولى): ${\begin{aligned}1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}&=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\frac {5}{2}}}}}\\&=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{5}}}}=1+{\cfrac {1}{\frac {12}{5}}}\\&=1+{\cfrac {5}{12}}={\frac {17}{12}}\end{aligned}}$

وأخيرًا (الخطوة 3)، اقسم البسط على مقام الكسر النسبي للحصول على القيمة التقريبية للجذر: $17\div 12=1.42$ تم تقريبها إلى ثلاثة أرقام من الدقة.

القيمة الفعلية لـ $\sqrt2 هي 1.41$ بدقة ثلاثة أرقام معنوية. الخطأ النسبي هو 0.17%، لذا فإن الكسر النسبي دقيق بدقة تقارب ثلاثة أرقام معنوية. كلما زاد عدد المقامات، تحسنت التقريبات تدريجيًا: أربعة مقامات تعطي الكسر ${\frac {41}{29}}=1.4137$ جيدة بدقة تصل إلى أربعة أرقام تقريبًا، إلخ.

فيما يلي أمثلة على الجذور التربيعية، وكسورها المستمرة البسيطة، وحدودها الأولى - التي تسمى الحدود المتقاربة - حتى المقام 99:

$\sqrt S$	~عشري	الكسر المكمل	متقاربة
$\sqrt 2$	1.41421	$[1;{\overline {2}}]$	${\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}}$
$\sqrt 3$	1.73205	$[1;{\overline {1,2}}]$	${\frac {2}{1}},{\frac {5}{3}},{\frac {7}{4}},{\frac {19}{11}},{\frac {26}{15}},{\frac {71}{41}},{\frac {97}{56}}$
$\sqrt 5$	2.23607	$[2;{\overline {4}}]$	${\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}}$
$\sqrt 6$	2.44949	$[2;{\overline {2,4}}]$	${\frac {5}{2}},{\frac {22}{9}},{\frac {49}{20}},{\frac {218}{89}}$
$\sqrt 10$	3.16228	$[3;{\overline {6}}]$	${\frac {19}{6}},{\frac {117}{37}}$
${\sqrt {\pi }}$	1.77245	$[1;1,3,2,1,1,6,\ldots ]$	${\frac {2}{1}},{\frac {7}{4}},{\frac {16}{9}},{\frac {23}{13}},{\frac {39}{22}}$
${\sqrt {e}}$	1.64872	$[1;1,1,1,5,1,1,\ldots ]$	${\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {28}{17}},{\frac {33}{20}},{\frac {61}{37}}$
${\sqrt {\phi }}$	1.27202	$[1;3,1,2,11,3,7,\ldots ]$	${\frac {4}{3}},{\frac {5}{4}},{\frac {14}{11}}$

بشكل عام، كلما زاد مقام الكسر النسبي، كان التقريب أفضل. ويمكن إثبات أن اقتطاع الكسر المستمر ينتج عنه كسر نسبي يمثل أفضل تقريب لجذر أي كسر مقامه أقل من أو يساوي مقام ذلك الكسر - على سبيل المثال، لا يوجد كسر مقامه أقل من أو يساوي 70 يمثل تقريبًا جيدًا لجذر $2 مثل$ 99/70.

التقريبات التي تعتمد على تمثيل الفاصلة العائمة

يُكتب العدد بصيغة الفاصلة العائمة على النحو التالي: $m\times b^{p}$ وهو ما يُسمى أيضًا بالتدوين العلمي . وجذره التربيعي هو ${\sqrt {m}}\times b^{p/2}$ وينطبق الأمر نفسه على الجذور التكعيبية واللوغاريتمات. ظاهريًا، لا يُعدّ هذا تحسينًا في البساطة، ولكن لنفترض أننا نحتاج فقط إلى تقريب: عندها فقط $b^{p/2}$ جيد حتى رتبة مقدارية. بعد ذلك، لاحظ أن بعض القوى، $p$ ، ستكون فردية، وبالتالي فإن 3141.59 = 3.14159 × 10^بدلاً من التعامل مع قوى كسرية للأساس، اضرب الجزء الكسري في الأساس واطرح واحدًا من القوة لجعلها زوجية. سيصبح التمثيل المعدل مكافئًا لـ 31.4159 × 10^٢ بحيث يكون الجذر التربيعي $\sqrt ٣١٫٤١٥٩ \times ١٠ 1$ .

إذا أُخذ الجزء الصحيح من الجزء الكسري المُعدَّل، فلن يكون هناك سوى القيم من 1 إلى 99، ويمكن استخدام ذلك كمؤشر في جدول يحتوي على 99 جذرًا تربيعيًا محسوبًا مسبقًا لإكمال التقدير. سيحتاج الحاسوب الذي يستخدم الأساس 16 إلى جدول أكبر، بينما سيحتاج الحاسوب الذي يستخدم الأساس 2 إلى ثلاثة مدخلات فقط: البتات الممكنة للجزء الصحيح من الجزء الكسري المُعدَّل هي 01 (لأن الأس زوجي، لذا لم يكن هناك إزاحة، مع الأخذ في الاعتبار أن العدد العشري المعياري يحتوي دائمًا على رقم أعلى غير صفري) أو إذا كان الأس فرديًا، 10 أو 11، وهما أول بتين من الجزء الكسري الأصلي. وبالتالي، فإن 6.25 = 110.01 بالنظام الثنائي، ويتم تعديله ليصبح 1.1001 × 2² ^، وهو عدد زوجي، لذا فإن البتات المزدوجة في الجزء الكسري هي 01. أما 0.625 = 0.101 بالنظام الثنائي، ويتم تعديله ليصبح 1.01 × 2⁻¹ ^، وهو عدد فردي، لذا فإن التعديل يكون ليصبح 10.1 ^×2⁻² ، والبتات المزدوجة هي 10. لاحظ أن البت الأدنى في العدد الزوجي ينعكس في البت الأعلى في الجزء الكسري. في العدد الزوجي، يكون البت الأدنى صفرًا، وبالتالي يبدأ الجزء الكسري المعدل من 0، بينما في العدد الفردي، يكون هذا البت واحدًا، وبالتالي يبدأ الجزء الكسري المعدل من 1. لذا، عند تقسيم العدد الزوجي إلى نصفين، يكون الأمر كما لو أن البت الأدنى فيه قد تم إزاحته ليصبح البت الأول في الجزء الكسري.

يمكن توسيع جدول يحتوي على ثلاثة عناصر فقط بإضافة بتات إضافية من الجزء الكسري. مع ذلك، في الحواسيب، بدلاً من حساب استيفاء في جدول، يُفضّل غالبًا إيجاد عملية حسابية أبسط تُعطي نتائج مكافئة. يعتمد كل شيء الآن على التفاصيل الدقيقة لتنسيق التمثيل، بالإضافة إلى العمليات المتاحة للوصول إلى أجزاء العدد ومعالجتها. على سبيل المثال، توفر لغة فورترانEXPONENT(x) دالةً لحساب الأس. يُعوَّض الجهد المبذول في ابتكار تقريب أولي جيد بتجنب التكرارات الإضافية لعملية التحسين التي كانت ستكون ضرورية لتقريب ضعيف. نظرًا لقلة هذه التكرارات (يتطلب التكرار الواحد قسمة وجمع وتنصيفًا)، فإن القيد صارم.

تتبع العديد من الحواسيب تمثيل IEEE (أو تمثيلًا مشابهًا له بدرجة كافية)، ويمكن الحصول على تقريب سريع جدًا للجذر التربيعي لبدء طريقة نيوتن. تعتمد التقنية التالية على حقيقة أن تنسيق الفاصلة العائمة (في الأساس 2) يُقارب اللوغاريتم ذي الأساس 2. $\log _{2}(m\times 2^{p})=p+\log _{2}(m)$

لذا، بالنسبة لعدد ذي فاصلة عائمة أحادي الدقة 32 بت بتنسيق IEEE (حيث يُلاحظ أن الأس يحتوي على انحياز قدره 127 للشكل المُمثَّل)، يمكنك الحصول على اللوغاريتم التقريبي عن طريق تفسير تمثيله الثنائي كعدد صحيح 32 بت، ثم ضربه في $2^{-23}$ وإزالة التحيز البالغ 127، أي $x_{\text{int}}\cdot 2^{-23}-127\approx \log _{2}(x).$

على سبيل المثال، يُمثل الرقم 1.0 بالرقم الست عشري 0x3F800000 ، والذي يُمثل $1065353216=127\times 2^{23}$ إذا تم اعتبارها عددًا صحيحًا. باستخدام الصيغة أعلاه، ستحصل على $1065353216\times 2^{-23}-127=0$ كما هو متوقع من $\log _{2}(1.0)$ وبالمثل، تحصل على 0.5 من 1.5 ( 0x3FC00000 ).

للحصول على الجذر التربيعي، قسّم اللوغاريتم على 2 ثم حوّل القيمة إلى الجذر التربيعي. يوضح البرنامج التالي هذه الفكرة. يُسمح عمدًا لأقل بت في الأس بالانتشار إلى الجزء الكسري. إحدى طرق تبرير خطوات هذا البرنامج هي افتراض أن $b$ هو انحياز الأس و $n$ هو عدد البتات المخزنة صراحةً في الجزء الكسري، ثم إثبات ذلك. $\left(\left({\tfrac {1}{2}}\left(x_{\text{int}}/2^{n}-b\right)\right)+b\right)\cdot 2^{n}={\tfrac {1}{2}}\left(x_{\text{int}}-2^{n}\right)+\left({\tfrac {1}{2}}\left(b+1\right)\right)\cdot 2^{n}.$

/* يفترض أن يكون نوع البيانات float بتنسيق الفاصلة العائمة أحادي الدقة IEEE 754 */ #include <stdint.h>اتحاد FloatUInt { float f ; uint32_t i ; }float sqrtApprox ( float z ) { union FloatUInt val = { z }; // تحويل النوع مع الحفاظ على نمط البتات /*  * لتبرير الكود التالي، أثبت أن  *  * ((((val.i / 2^m) - b) / 2) + b) * 2^m = ((val.i - 2^m) / 2) + ((b + 1) / 2) * 2^m)  *  * حيث  *  * b = انحياز الأس  * m = عدد بتات الجزء الكسري  */ val . i -= 1 << 23 ; // اطرح 2^m. val . i >>= 1 ; // اقسم على 2. val . i += 1 << 29 ; // أضف ((b + 1) / 2) * 2^m.// أعد تفسير القيمة كعدد عشري return val . f ; }

يمكن التعبير عن العمليات الحسابية الثلاث التي تشكل جوهر الدالة المذكورة أعلاه في سطر واحد. ويمكن إضافة تعديل إضافي لتقليل الحد الأقصى للخطأ النسبي. لذا، يمكن إعادة كتابة العمليات الثلاث، باستثناء التحويل، على النحو التالي:

val.i = ( 1 << 29 ) + ( val.i >> 1 ) - ( 1 << 22 ) + a ;

حيث يُمثل a معامل انحياز لتعديل أخطاء التقريب. على سبيل المثال، عندما يكون a = 0، تكون النتائج دقيقة للقوى الزوجية للعدد 2 (مثل 1.0)، ولكن بالنسبة للأعداد الأخرى، ستكون النتائج أكبر قليلاً من اللازم (مثل 1.5 للعدد 2.0 بدلاً من 1.414... مع خطأ بنسبة 6%). عندما يكون a = − 0x4B0D2 ، يتم تقليل الحد الأقصى للخطأ النسبي إلى ±3.5%. عندما يكون a = 0، يكون التقريب أكبر من أو يساوي الجذر التربيعي لـ val لأي قيمة لـ val .

إذا كان سيتم استخدام التقريب كقيمة أولية لطريقة نيوتن لحل المعادلة $(1/x^{2})-S=0$ إذا كان الأمر كذلك، فإن الشكل المتبادل الموضح في القسم التالي هو المفضل.

يمكن تحسين التقريب بشكل أكبر بدمج جمع a ، حيث 1 << 29 و -1 << 22 في عملية واحدة. ينتج عن ذلك (val.i >> 1) + 0x1FBB4F2Eقيمة a = − 0x4B0D2 التي تقلل تصحيح الخطأ، وقيمة a = 0.(val.i >> 1) + 1FC00000

مقلوب الجذر التربيعي

يتضمن الجدول أدناه صيغة معدلة من الروتين المذكور أعلاه، والتي يمكن استخدامها لحساب مقلوب الجذر التربيعي، أي $x^{-1/2}$ بدلاً من ذلك، كتبه جريج والش. أنتج تقريب الإزاحة الصحيحة خطأً نسبيًا أقل من 4%، وانخفض الخطأ أكثر إلى 0.15% مع تكرار واحد لطريقة نيوتن في السطر التالي. ^{[ 20 ]} في رسومات الحاسوب، تُعد هذه طريقة فعالة للغاية لتطبيع المتجه.

اتحاد FloatInt { float x ; int i ; };float inv_sqrt ( float x ) { float xhalf = 0.5f * x ; union FloatInt u ; u . x = x ; u . i = 0x5f375a86 - ( u . i >> 1 ); // يمكن تكرار السطر التالي عدة مرات لزيادة الدقة u . x = u . x * ( 1.5f - xhalf * u . x * u . x ); return u . x ; }

تقوم بعض أجهزة VLSI بتنفيذ الجذر التربيعي العكسي باستخدام تقدير متعدد الحدود من الدرجة الثانية متبوعًا بتكرار جولدشميدت . ^{[ 21 ]}

المربع السالب أو المربع المركب

إذا كانت S < 0 فإن جذرها التربيعي الرئيسي هو ${\sqrt {S}}={\sqrt {\vert S\vert }}\,\,i\,.$

إذا كانت S = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان و b ≠ 0، فإن جذرها التربيعي الرئيسي هو ${\sqrt {S}}={\sqrt {\frac {\vert S\vert +a}{2}}}\,+\,\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\vert S\vert -a}{2}}}\,\,i\,.$

يمكن التحقق من ذلك بتربيع الجذر. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} هنا $\vert S\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

هو معيار S. يُعرَّف الجذر التربيعي الرئيسي لعدد مركب بأنه الجذر ذو الجزء الحقيقي غير السالب .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ يتم استخدام العاملين اثنين وستة لأنهما يقاربان المتوسط الهندسي لأصغر وأكبر القيم الممكنة مع عدد الأرقام المحدد: ${\sqrt {{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {10}}}}={\sqrt[{4}]{10}}\approx 1.78\,$ و ${\sqrt {{\sqrt {10}}\cdot {\sqrt {100}}}}={\sqrt[{4}]{1000}}\approx 5.62\,$ .
↑ يبلغ الحد الأقصى للخطأ المطلق للتقدير غير المقرب 2.65 عند 100، ويبلغ الحد الأقصى للخطأ النسبي 26.5% عند y=1 و10 و100.
↑ إذا كان العدد يقع في منتصف المسافة بين مربعين تمامًا، مثل 30.5، فخمن العدد الأكبر وهو 6 في هذه الحالة
↑ هذه بالمناسبة هي معادلة الخط المماس للمعادلة $y = x 2$ عند $y = 1.$
↑ يمكن أن تتراوح الدقة الافتراضية من 1 إلىdecimal.MAX_PREC
↑ انظر أعلاه .
↑ انظر: الكسور المستمرة#الرموز
↑ انظر: الكسر المستمر الدوري

مراجع

↑ جاكسون 2011 .
↑ فاولر وروبسون 1998 .
1 2 هيث 1921 .
↑ باومان 2024 .
↑ جونسون 2015 .
↑ نيميروف وبونيل 1994 .
↑ نيميروف وبونيل 1994 أ .
↑ بيلي وبورواين 2012 .
↑ Simply Curious 2018 .
↑ هيريرو بينيرو، بي جيه؛ لينيرو باس، أ؛ ماسا إستيف، إم آر؛ ميلادو روميرو، أ. (2023). "مسألة حول تقريب الجذور من الرتبة n بناءً على عمل فييت" (ملف PDF) . MATerials MATemàtics . 5 : 1–27 . تاريخ الاسترجاع: 15 نوفمبر 2025 .انظر الصفحة 8.
↑ جاي 1985 .
^ ستينارسون، كوربيت وهيندري 2003 .
↑Wilkes, Wheeler & Gill 1951, pp. 146.
↑Campbell-Kelly 2009.
↑Gower 1958.
↑Goldschmidt, Robert E. (1964). Applications of Division by Convergence(PDF) (Thesis). M.Sc. dissertation. M.I.T. OCLC 34136725. Archived(PDF) from the original on 10 December 2015. Retrieved 15 September 2015.
↑"Authors". IBM Journal of Research and Development. 11: 125–127. 1967. doi:10.1147/rd.111.0125. Archived from the original on 18 July 2018.
↑Markstein 2004.
↑Sardina 2007, p. 10, 2.3j.
↑Lomont 2003.
↑Piñeiro & Díaz Bruguera 2002.
↑Abramowitz & Stegun 1970, p. 17, Section 3.7.26.
↑Cooke 2008, p. 59.

Bibliography

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1970) [1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series 55 (Ninth Printing ed.). Washington D.C.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642.
Bailey, David; Borwein, Jonathan (2012). "Ancient Indian Square Roots: An Exercise in Forensic Paleo-Mathematics"(PDF). American Mathematical Monthly. Vol. 119, no. 8. pp. 646–657. Retrieved 14 September 2017.
Campbell-Kelly, Martin (September 2009). "Origin of Computing". Scientific American. 301 (3): 62–69. Bibcode:2009SciAm.301c..62C. doi:10.1038/scientificamerican0909-62. JSTOR 26001527. PMID 19708529.
Cooke, Roger (2008). Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. ISBN 978-0-470-25952-8.
Fowler, David; Robson, Eleanor (1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context"(PDF). Historia Mathematica. 25 (4): 376. doi:10.1006/hmat.1998.2209.
Gower, John C. (1958). "A Note on an Iterative Method for Root Extraction". The Computer Journal. 1 (3): 142–143. doi:10.1093/comjnl/1.3.142.
Guy, Martin (1985). "Fast integer square root by Mr. Woo's abacus algorithm". University of Kent at Canterbury (UKC). Archived from the original on 6 March 2012. Retrieved 5 October 2025.
Heath, Thomas (1921). A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford: Clarendon Press. pp. 323–324.
Jackson, Terence (1 July 2011). "95.42 Irrational square roots of natural numbers — a geometrical approach". The Mathematical Gazette. 95 (533): 327–330. doi:10.1017/S0025557200003193. ISSN 0025-5572. S2CID 123995083.
Johnson, S. G. (4 February 2015). "Square Roots via Newton's Method"(PDF). MIT Course 18.335: Introduction to Numerical Methods. Retrieved 12 October 2025.
Lomont, Chris (2003). "Fast Inverse Square Root"(PDF).
Markstein, Peter (November 2004). Software Division and Square Root Using Goldschmidt's Algorithms(PDF). 6th Conference on Real Numbers and Computers. Dagstuhl, Germany. CiteSeerX 10.1.1.85.9648.
Nemiroff, Robert; Bonnell, Jerry (1994). "The square root of 2 to 1 million digits". NASA Astronomy Picture of the Day. Retrieved 21 October 2025.
Nemiroff, Robert; Bonnell, Jerry (1994a). "The square root of 2 to 10 million digits". NASA Astronomy Picture of the Day. Retrieved 21 October 2025.
Piñeiro, José-Alejandro; Díaz Bruguera, Javier (December 2002). "High-Speed Double-Precision Computationof Reciprocal, Division, Square Root, and Inverse Square Root". IEEE Transactions on Computers. 51 (12): 1377–1388. Bibcode:2002ITCmp..51.1377P. doi:10.1109/TC.2002.1146704.
Sardina, Manny (2007). "General Method for Extracting Roots using (Folded) Continued Fractions". Surrey (UK).
Simply Curious (5 June 2018). "Bucking down to the Bakhshali manuscript". Simply Curious blog. Retrieved 21 December 2020.
Steinarson, Arne; Corbit, Dann; Hendry, Mathew (2003). "Integer Square Root function".
Wilkes, M.V.; Wheeler, D.J.; Gill, S. (1951). The Preparation of Programs for an Electronic Digital Computer. Oxford: Addison-Wesley. p. 262. OCLC 475783493.
Baumann, Claude (2024). "Playing with the Square Root"(PDF). computarium.lcd. Retrieved 28 January 2026.

External links

Weisstein, Eric W."Square root algorithms". MathWorld.
Jarvis, A. F. "Square roots by subtraction"(PDF). afjarvis.staff.shef.ac.uk. Archived from the original(PDF) on 10 April 2022.
Radović, Andrija. "Integer Square Root Algorithm". andrijar.com. Retrieved 7 November 2025.
Egbert, William E. (May 1977). "Personal Calculator Algorithms I: Square Roots"(PDF). Hewlett-Packard Journal: 22–24. Retrieved 7 November 2025.
"Calculator to learn the square root". calculatorsquareroot.com. Retrieved 7 November 2025.

[5] يتم استخدام العاملين اثنين وستة لأنهما يقاربان المتوسط الهندسي لأصغر وأكبر القيم الممكنة مع عدد الأرقام المحدد: ${\sqrt {{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {10}}}}={\sqrt[{4}]{10}}\approx 1.78\,$ و ${\sqrt {{\sqrt {10}}\cdot {\sqrt {100}}}}={\sqrt[{4}]{1000}}\approx 5.62\,$ .

[6] يبلغ الحد الأقصى للخطأ المطلق للتقدير غير المقرب 2.65 عند 100، ويبلغ الحد الأقصى للخطأ النسبي 26.5% عند y=1 و10 و100.

[7] إذا كان العدد يقع في منتصف المسافة بين مربعين تمامًا، مثل 30.5، فخمن العدد الأكبر وهو 6 في هذه الحالة

[8] هذه بالمناسبة هي معادلة الخط المماس للمعادلة $y = x 2$ عند $y = 1.$

[10] يمكن أن تتراوح الدقة الافتراضية من 1 إلىdecimal.MAX_PREC

[21] انظر أعلاه .

[25] انظر: الكسور المستمرة#الرموز

[26] انظر: الكسر المستمر الدوري

[FOOTNOTEJackson2011-1] جاكسون 2011 .

[FOOTNOTEFowlerRobson1998-2] فاولر وروبسون 1998 .

[FOOTNOTEHeath1921-3] 1 2 هيث 1921 .

[FOOTNOTEBaumann2024-4] باومان 2024 .

[FOOTNOTEJohnson2015-9] جونسون 2015 .

[FOOTNOTENemiroffBonnell1994-11] نيميروف وبونيل 1994 .

[FOOTNOTENemiroffBonnell1994a-12] نيميروف وبونيل 1994 أ .

[FOOTNOTEBaileyBorwein2012-13] بيلي وبورواين 2012 .

[FOOTNOTESimply_Curious2018-14] Simply Curious 2018 .

[15] هيريرو بينيرو، بي جيه؛ لينيرو باس، أ؛ ماسا إستيف، إم آر؛ ميلادو روميرو، أ. (2023). "مسألة حول تقريب الجذور من الرتبة n بناءً على عمل فييت" (ملف PDF) . MATerials MATemàtics . 5 : 1–27 . تاريخ الاسترجاع: 15 نوفمبر 2025 .انظر الصفحة 8.

[FOOTNOTEGuy1985-16] جاي 1985 .

[FOOTNOTESteinarsonCorbitHendry2003-17] ستينارسون، كوربيت وهيندري 2003 .

[FOOTNOTEWilkesWheelerGill1951[httpsarchiveorgdetailsprogramsforelect00wilkpage146_146]-18] Wilkes, Wheeler & Gill 1951, pp. 146.

[FOOTNOTECampbell-Kelly2009-19] Campbell-Kelly 2009.

[FOOTNOTEGower1958-20] Gower 1958.

[22] Goldschmidt, Robert E. (1964). Applications of Division by Convergence(PDF) (Thesis). M.Sc. dissertation. M.I.T. OCLC 34136725. Archived(PDF) from the original on 10 December 2015. Retrieved 15 September 2015.

[23] "Authors". IBM Journal of Research and Development. 11: 125–127. 1967. doi:10.1147/rd.111.0125. Archived from the original on 18 July 2018.

[FOOTNOTEMarkstein2004-24] Markstein 2004.

[FOOTNOTESardina2007102.3j-27] Sardina 2007, p. 10, 2.3j.

[FOOTNOTELomont2003-28] Lomont 2003.

[FOOTNOTEPiñeiroDíaz_Bruguera2002-29] Piñeiro & Díaz Bruguera 2002.

[FOOTNOTEAbramowitzStegun197017Section_3.7.26-30] Abramowitz & Stegun 1970, p. 17, Section 3.7.26.

[FOOTNOTECooke200859-31] Cooke 2008, p. 59.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ 5 ]

[ ملاحظة 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ ملاحظة 6 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ ملاحظة 7 ]

[ ملاحظة 8 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗