شروط التكامل للأنظمة التفاضلية

يتم تحديد نظام بفاف بواسطة الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى. عند كل نقطة${\displaystyle x\in M}$يمكن تصور مجموعة الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى كمجموعة من المستويات الفائقة، أو عناصر التماس ، المتمركزة حول النقطة. تتقاطع هذه المستويات الفائقة، مما ينتج عنه فضاء فرعي خطي من الفضاء المماسي المحلي.${\displaystyle T_{x}M}$يبدو هذا الحقل من الفضاءات الخطية، محلياً، كأجزاء متناهية الصغر من فضاء تكاملي أقصى، لكن قد يكون من المستحيل تجميع هذه الأجزاء المتناهية الصغر في فضاء تكاملي أقصى. قد تتشابك هذه الأجزاء فيما بينها، مما يُفشل أي محاولة لتجميعها.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle M}$إذا كان لدينا ثلاثة أبعاد، فإن شكلًا تفاضليًا واحدًا من الدرجة الأولى يُنتج حقلًا من المستويات، بينما يُنتج شكلان تفاضليان مستقلان خطيًا عند كل نقطة حقلًا من الخطوط. تكامل حقل الخطوط ممكن دائمًا، لكن تكامل حقل المستويات قد يكون مستحيلًا بسبب "الالتواء". محليًا، يبدو حقل المستويات غير القابل للتكامل هذا كبنية التماس القياسية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، مُعرَّف بواسطة الشكل 1${\displaystyle dz-ydx}$.

بفرض أي توريق منتظم، يمكننا ببساطة أخذ تفاضلاته للحصول على نظام منتظم قابل للتكامل. رتبة النظام هي البعد المشترك للتوريق.

إن تليف هوبف هو توريق للكرة ثلاثية الأبعاد إلى دوائر، وهو توريق منتظم ذو بُعد مشترك 2.

على غرار الأنظمة المنتظمة القابلة للتكامل، ينتج عن التوريق المفرد نظام مفرد قابل للتكامل. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يمكن تقسيمها إلى دوائر متحدة المركز بنقطة مفردة عند الأصل. وهذا يتوافق مع نظام مفرد قابل للتكامل$${\displaystyle d(x^{2}+y^{2}+z^{2})=0\implies xdx+ydy+zdz=0}$$

ليس كل نظام بفافي قابلاً للتكامل تماماً بالمعنى الذي يقصده فروبينيوس. على سبيل المثال، لننظر إلى الشكل التفاضلي الأحادي التالي على R³ ^∖ (0,0,0) :

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

لو كان dθ في المثالي المتولد بواسطة θ، لكان لدينا، بسبب انحراف الضرب الخارجي

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

لكن الحساب المباشر يعطي

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz,}$

وهو مضاعف غير صفري لشكل الحجم القياسي على R ^3. لذلك، لا توجد أوراق ثنائية الأبعاد، والنظام غير قابل للتكامل تمامًا.

من ناحية أخرى، بالنسبة للمنحنى المحدد بواسطة

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\quad z=e^{-t/c},\qquad t>0}$

ثم θ المعرفة كما سبق هي 0، وبالتالي يمكن التحقق بسهولة من أن المنحنى هو حل (أي منحنى تكاملي ) لنظام بفافيان المذكور أعلاه لأي ثابت غير صفري c .

بشكل عام، النموذج 1${\displaystyle \theta }$في فضاء متعدد الأبعاد${\displaystyle 2n+1}$غير قابل للتكامل تمامًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \theta \wedge d\theta ^{n}\neq 0}$في كل مكان. وبحسب نظرية بفاف، التي عممتها نظرية داربو ، توجد إحداثيات محلية يكون فيها على الشكل التالي:${\displaystyle dz-\sum _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$تُعرف هذه الهياكل باسم هياكل التلامس .

وبالمثل، في فضاء متعدد الأبعاد زوجي، شكل من الدرجة الأولى${\displaystyle \theta }$في فضاء متعدد الأبعاد${\displaystyle 2n+2}$غير قابل للتكامل تمامًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \theta \wedge d\theta ^{n}\neq 0}$في كل مكان. هذه الهياكل هي هياكل ذات تلامس متساوٍ.

الكرة الثلاثية${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$يمكن إعطاء بنية تلامس من خلال اعتبارها كرة الوحدة في${\textstyle \mathbb {C} ^{2}}$نموذج الاتصال القياسي على${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$يكون:$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(x_{1}dy_{1}-y_{1}dx_{1}+x_{2}dy_{2}-y_{2}dx_{2}\right)}$$أين${\textstyle \left(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\right)}$إحداثيات على${\textstyle \mathbb {R} ^{4}}$.

بعض أنظمة بفاف لا تحتوي على توريق قابل للتكامل بشكل أقصى، ولكنها ليست غير قابلة للتكامل تمامًا أيضًا.

على سبيل المثال، بنية الاتصال القياسية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، مُعرَّف بواسطة الشكل 1${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}}$، غير قابلة للتكامل تمامًا، بمعنى أن أي متشعب متكامل منها لا يمكن أن يكون له سوى بُعد واحد (وتُسمى هذه المتشعبات الفرعية الليجندرية ). ومع ذلك، إذا قمنا بتمديدها إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$، ثم${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}}$يمكن أن يكون له فضاء متكامل ثلاثي الأبعاد. هذا ليس أصغر بُعد يمكن تحقيقه، لذا فهو ليس متكاملاً تماماً ولا غير متكامل تماماً، مما يجعله متكاملاً جزئياً.

في${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$، سيكون للشكل التفاضلي من الدرجة الأولى القابل للتكامل تمامًا مشعبات تكاملية ذات 4 أبعاد، وبنية التلامس القياسية${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}-x_{4}dx_{3}}$لا يمكن أن تحتوي إلا على مشعبات متكاملة ذات بعدين، مما يجعلها غير قابلة للتكامل تمامًا.