طلب مسبق متخصص

في فرع الرياضيات المعروف باسم الطوبولوجيا ، يُعدّ الترتيب الجزئي للتخصيص (أو الترتيب الأساسي ) ترتيبًا جزئيًا طبيعيًا على مجموعة نقاط الفضاء الطوبولوجي . بالنسبة لمعظم الفضاءات التي تُدرس عمليًا، وتحديدًا تلك التي تُحقق بديهية الفصل T₀ ، يكون هذا الترتيب الجزئي ترتيبًا جزئيًا (يُسمى ترتيب التخصيص ). من ناحية أخرى، بالنسبة لفضاءات _T₁ ، _يصبح هذا الترتيب بديهيًا وقليل الأهمية.

يُؤخذ ترتيب التخصيص في الاعتبار غالبًا في تطبيقات علوم الحاسوب ، حيث تظهر فضاءات T ₀ في الدلالات التفسيرية . كما يُعدّ ترتيب التخصيص مهمًا لتحديد البنى الطوبولوجية المناسبة على المجموعات المرتبة جزئيًا، كما هو الحال في نظرية الترتيب .

ضع في اعتبارك أي فضاء بيولوجيا${\displaystyle X}$. الطلب المسبق للتخصص ≤ على${\displaystyle X}$يربط هذا بين نقطتين من${\displaystyle X}$عندما يقع أحدهما في إغلاق الآخر. ومع ذلك، يختلف العديد من المؤلفين حول "الاتجاه" الذي ينبغي أن يسلكه الأمر. ما تم الاتفاق عليه هو أنه إذا

${\displaystyle x}$موجود في${\displaystyle \mathrm {cl} \{y\}}$،

(أين${\displaystyle \mathrm {cl} \{y\}}$يشير إلى إغلاق مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{y\}}$أي، تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي ${\displaystyle \{y\}}$نقول ذلك${\displaystyle x}$هو تخصص من${\displaystyle y}$وذلك${\displaystyle y}$هو تعميم لـ${\displaystyle x}$هذا ما يُكتب عادةً${\displaystyle y\rightsquigarrow x}$أو${\displaystyle y\to x.}$الترميز${\displaystyle y\to x}$يتوافق ذلك مع حقيقة أن${\displaystyle x\in \mathrm {cl} \{y\}}$إذا وفقط إذا كانت المتتالية الثابتة ذات القيمة الثابتة${\displaystyle y}$يتقارب إلى${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$(بمعنى أن كل حي من أحياء${\displaystyle x}$يتضمن${\displaystyle y}$).

لسوء الحظ، العقار "${\displaystyle x}$هو تخصص من${\displaystyle y}$"يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي${\displaystyle x\leq y}$وكما${\displaystyle y\leq x}$من قبل مؤلفين مختلفين (انظر، على التوالي، ^{[ 1 ]} و ^{[ 2 ]} ).

لكلا التعريفين مبررات بديهية: ففي حالة التعريف الأول، لدينا

${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathrm {cl} \{x\}\subseteq \mathrm {cl} \{y\}.}$

لكن في حالة وجود مساحتنا${\displaystyle X}$الطيف الأساسي${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$حلقة تبديلية${\displaystyle R}$(وهو الوضع التحفيزي في التطبيقات المتعلقة بالهندسة الجبرية )، ثم وفقًا لتعريفنا الثاني للترتيب، لدينا

${\displaystyle y\leq x}$إذا وفقط إذا${\displaystyle y\subseteq x}$باعتبارها المثل العليا للخاتم${\displaystyle R}$.

حرصاً على الاتساق، سنعتمد في بقية هذا المقال التعريف الأول، وهو "${\displaystyle x}$هو تخصص من${\displaystyle y}$"يكتب على النحو التالي"${\displaystyle x\leq y}$ثم نرى أن

${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$يحتوي على جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي${\displaystyle y,}$و

${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle y}$يحتوي على جميع المجموعات المفتوحة التي تحتوي${\displaystyle x}$.

تساعد هذه الصياغات المعاد صياغتها في شرح سبب الحديث عن "التخصص":${\displaystyle y}$هو أكثر عمومية من${\displaystyle x}$لأنها موجودة في مجموعات أكثر انفتاحًا. وهذا بديهي بشكل خاص إذا نظرنا إلى المجموعات المغلقة على أنها خصائص لنقطة ما.${\displaystyle x}$قد يمتلك أو لا يمتلك. كلما احتوت نقطة ما على مجموعات مغلقة أكثر، زادت خصائص تلك النقطة، وازدادت خصوصيتها. يتوافق هذا الاستخدام مع المفاهيم المنطقية الكلاسيكية للجنس والنوع ؛ وكذلك مع الاستخدام التقليدي للنقاط العامة في الهندسة الجبرية ، حيث تُعد النقاط المغلقة الأكثر تحديدًا، بينما النقطة العامة في الفضاء هي تلك الموجودة في كل مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة. يُطبق مفهوم التخصيص أيضًا في نظرية التقييم .

إن الحدس القائل بأن العناصر العليا أكثر تحديدًا يوجد عادة في نظرية المجال ، وهي فرع من نظرية الترتيب التي لها تطبيقات واسعة في علوم الحاسوب.

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا، وليكن ≤ الترتيب الجزئي للتخصيص على X. كل مجموعة مفتوحة هي مجموعة علوية بالنسبة إلى ≤، وكل مجموعة مغلقة هي مجموعة سفلية . لا يصح العكس عمومًا. في الواقع، يكون الفضاء الطوبولوجي فضاءً منفصلًا من نوع ألكسندروف إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة علوية مفتوحة أيضًا (أو بصورة مكافئة، كل مجموعة سفلية مغلقة أيضًا).

لتكن A مجموعة جزئية من X. يُرمز لأصغر مجموعة علوية تحتوي على A بالرمز ↑ A ، ولأصغر مجموعة سفلية تحتوي على A بالرمز ↓ A . في حالة كون A = { x } مجموعة أحادية، يُستخدم الرمز ↑ x و ↓ x . بالنسبة لـ x ∈ X، لدينا:

• ↑ x = { y ∈ X  : x ≤ y } = ∩{مجموعات مفتوحة تحتوي على x }.
• ↓ x = { y ∈ X  : y ≤ x } = ∩{مجموعات مغلقة تحتوي على x } = cl{ x }.

المجموعة السفلية ↓ x مغلقة دائمًا؛ أما المجموعة العلوية ↑ x فليست بالضرورة مفتوحة أو مغلقة. النقاط المغلقة في الفضاء الطوبولوجي X هي تحديدًا العناصر الدنيا في X بالنسبة إلى ≤.

• في فضاء سيربينسكي {0,1} مع المجموعات المفتوحة {∅, {1}, {0,1}} يكون ترتيب التخصص هو الترتيب الطبيعي (0 ≤ 0, 0 ≤ 1, و 1 ≤ 1).
• إذا كان p و q عنصرين من Spec( R ) ( طيف حلقة تبديلية R ) ، فإن p ≤ q إذا وفقط إذا كان q ⊆ p ( كمثاليين أوليين ). وبالتالي، فإن النقاط المغلقة في Spec( R ) هي تحديدًا المثاليين الأعظميين .

كما يوحي الاسم، فإن ترتيب التخصص المسبق هو ترتيب مسبق، أي أنه انعكاسي ومتعدي .

إن علاقة التكافؤ التي تحددها ترتيبات التخصيص المسبقة هي علاقة عدم التمييز الطوبولوجي . أي أن x و y غير قابلين للتمييز طوبولوجيًا إذا وفقط إذا كان x ≤ y و y ≤ x . لذلك، فإن التناظر العكسي لـ ≤ هو تحديدًا بديهية الفصل T₀ _: إذا كان x و y غير قابلين للتمييز، فإن x = y . في هذه الحالة، من المبرر الحديث عن ترتيب التخصيص .

من جهة أخرى، فإن _تناظر ترتيب التخصيص المسبق يُكافئ بديهية الفصل R⁰ : x ≤ y إذا وفقط إذا كان x و y غير قابلين للتمييز طوبولوجيًا. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت الطوبولوجيا الأساسية T⁻¹ _، فإن ترتيب التخصيص يكون منفصلاً، أي أن x ≤ y إذا وفقط إذا كان x = y . لذا، فإن ترتيب التخصيص ذو أهمية ضئيلة بالنسبة لطوبولوجيات T⁻¹ _، وخاصةً لجميع فضاءات هاوسدورف .

أي دالة مستمرة${\displaystyle f}$العلاقة بين فضاءين طوبولوجيين رتيبة بالنسبة لترتيبات التخصيص المسبقة لهذين الفضاءين:${\displaystyle x\leq y}$يشير إلى${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$ لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. بلغة نظرية الفئات ، لدينا دالة من فئة الفضاءات الطوبولوجية إلى فئة المجموعات المرتبة مسبقًا ، تُسند إلى الفضاء الطوبولوجي ترتيبه المسبق الخاص. لهذه الدالة مُرافق أيسر ، يضع طوبولوجيا ألكسندروف على مجموعة مرتبة مسبقًا.

توجد مساحات أكثر تحديدًا من مساحات T ₀ التي يكون هذا الترتيب مثيرًا للاهتمام بالنسبة لها: المساحات الرصينة . وعلاقتها بترتيب التخصص أكثر دقة.

لأي فضاء رصين X ذي ترتيب تخصص ≤، لدينا

• ( X , ≤) هو ترتيب جزئي كامل موجه ، أي أن كل مجموعة فرعية موجهة S من ( X , ≤) لها قيمة عليا sup S.
• لكل مجموعة فرعية موجهة S من ( X ، ≤) ولكل مجموعة مفتوحة O ، إذا كان sup S موجودًا في O ، فإن S و O لهما تقاطع غير فارغ .

يمكن وصف الخاصية الثانية بالقول إن المجموعات المفتوحة لا يمكن الوصول إليها بواسطة المجموعات العليا الموجهة . وتكون الطوبولوجيا متسقة ترتيبيًا بالنسبة لترتيب معين ≤ إذا كانت تستحث ≤ كترتيب تخصيص لها، وتتمتع بالخاصية المذكورة أعلاه المتمثلة في عدم إمكانية الوصول إليها بالنسبة للمجموعات العليا (الموجودة) للمجموعات الموجهة في ≤.

يُتيح ترتيب التخصيص أداةً للحصول على ترتيب جزئي من أي بنية طوبولوجية. ومن الطبيعي أن نتساءل عن العكس أيضًا: هل كل ترتيب جزئي يُحصل عليه كترتيب جزئي للتخصيص من بنية طوبولوجية معينة؟

في الواقع، الإجابة على هذا السؤال إيجابية، وهناك عمومًا العديد من التوبولوجيات على مجموعة X التي تُنتج رتبة معينة ≤ كرتبة تخصيص لها. وتلعب توبولوجيا ألكساندروف ذات الرتبة ≤ دورًا خاصًا: فهي أدق توبولوجيا تُنتج ≤. أما النقيض الآخر، أي أضعف توبولوجيا تُنتج ≤، فهي التوبولوجيا العليا ، وهي أصغر توبولوجيا تكون جميع مكملات المجموعات ↓ x (لبعض x في X ) مفتوحة ضمنها.

توجد أيضًا طوبولوجيات مثيرة للاهتمام بين هذين النقيضين. أفضل طوبولوجيا رصينة متسقة مع الترتيب بالمعنى المذكور أعلاه لترتيب معين ≤ هي طوبولوجيا سكوت . مع ذلك، تظل الطوبولوجيا العليا هي أضعف طوبولوجيا رصينة متسقة مع الترتيب. في الواقع، مجموعاتها المفتوحة غير قابلة للوصول حتى بواسطة أي قيم عليا. لذا، فإن أي فضاء رصين بترتيب تخصص ≤ يكون أدق من الطوبولوجيا العليا وأضعف من طوبولوجيا سكوت. مع ذلك، قد لا يوجد مثل هذا الفضاء، أي توجد ترتيبات جزئية لا توجد لها طوبولوجيا رصينة متسقة مع الترتيب. على وجه الخصوص، طوبولوجيا سكوت ليست بالضرورة رصينة.