التحجيم متعدد الأبعاد

الموسوعة الحرة
مثال على تطبيق القياس متعدد الأبعاد الكلاسيكي على أنماط التصويت في مجلس النواب الأمريكي . تمثل كل نقطة زرقاء عضواً ديمقراطياً واحداً في المجلس، وتمثل كل نقطة حمراء عضواً جمهورياً واحداً.

يُعدّ التحليل متعدد الأبعاد ( MDS ) وسيلةً لتصوّر مستوى التشابه بين الحالات الفردية لمجموعة بيانات. ويُستخدم MDS لتحويل المسافات بين كل زوج منن{\textstyle n}تحويل العناصر الموجودة في مجموعة إلى تكوين منن{\textstyle n}النقاط التي تم رسمها في فضاء ديكارتي مجرد . [ 1 ]

من الناحية الفنية، يشير مصطلح MDS إلى مجموعة من تقنيات الترتيب ذات الصلة المستخدمة في تصوير المعلومات ، وخاصة لعرض المعلومات الواردة في مصفوفة المسافة . وهو شكل من أشكال تقليل الأبعاد غير الخطي .

بافتراض وجود مصفوفة مسافة تمثل المسافات بين كل زوج من العناصر في مجموعة، وعدد محدد من الأبعاد N ، فإن خوارزمية MDS تضع كل عنصر في فضاء ذي N بُعد (تمثيل ذو أبعاد أقل) بحيث تُحفظ المسافات بين العناصر بأفضل شكل ممكن. بالنسبة لـ N = 1 و2 و3، يمكن تمثيل النقاط الناتجة بيانيًا على مخطط التشتت . [ 2 ]

قدم جيمس أو. رامزي من جامعة ماكجيل مساهمات نظرية أساسية في MDS ، وهو يعتبر أيضًا مؤسس تحليل البيانات الوظيفية . [ 3 ]

الأنواع

تندرج خوارزميات MDS ضمن تصنيف معين ، وذلك تبعاً لمعنى مصفوفة الإدخال:

التحجيم متعدد الأبعاد الكلاسيكي

يُعرف أيضًا باسم تحليل الإحداثيات الرئيسية (PCoA)، أو مقياس تورجرسون، أو مقياس تورجرسون-جاور. يأخذ مصفوفة إدخال تُحدد أوجه الاختلاف بين أزواج العناصر، ويُخرج مصفوفة إحداثيات يُقلل تكوينها دالة خسارة تُسمى الإجهاد ، [ 2 ] والتي تُعطى بالصيغة التالية: أَضْنَىد(x1،x2،...،xن)=(∑أنا،ج(بأناج-xأناتيxج)2∑أنا،جبأناج2)1/2،{\displaystyle {\text{Strain}}_{D}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\Biggl (}{\frac {\sum _{i,j}{\bigl (}b_{ij}-x_{i}^{T}x_{j}{\bigr )}^{2}}{\sum _{i,j}b_{ij}^{2}}}{\Biggr )}^{1/2},} أينxأنا{\displaystyle x_{i}}تشير إلى المتجهات في الفضاء ذي الأبعاد N ،xأناتيxج{\displaystyle x_{i}^{T}x_{j}}يشير إلى الضرب القياسي بينxأنا{\displaystyle x_{i}}وxج{\displaystyle x_{j}}، وبأناج{\displaystyle b_{ij}}هي عناصر المصفوفةب{\displaystyle B}تم تحديدها في الخطوة 2 من الخوارزمية التالية، والتي يتم حسابها من المسافات.

خطوات خوارزمية MDS الكلاسيكية:
تعتمد تقنية MDS الكلاسيكية على حقيقة أن مصفوفة الإحداثياتX{\displaystyle X}يمكن اشتقاقها عن طريق تحليل القيم الذاتية منب=XX′{\textstyle B=XX'}والمصفوفةب{\textstyle B}يمكن حسابها من مصفوفة التقاربد{\textstyle D}باستخدام التوسيط المزدوج. [ 4 ]
  1. قم بإعداد مصفوفة التقارب المربعةد(2)=[دأناج2]{\textstyle D^{(2)}=[d_{ij}^{2}]}
  2. تطبيق التوسيط المزدوج:ب=-12جد(2)ج{\textstyle B=-{\frac {1}{2}}CD^{(2)}C}باستخدام مصفوفة التمركزج=أنا-1نجن{\textstyle C=I-{\frac {1}{n}}J_{n}}، أينن{\textstyle n}هو عدد الأشياء،أنا{\textstyle I}هون×ن{\textstyle n\times n}مصفوفة الوحدة، وجن{\textstyle J_{n}}هون×ن{\textstyle n\times n}مصفوفة من جميع القيم تساوي واحدًا.
  3. حددم{\textstyle m}أكبر القيم الذاتيةλ1،λ2،...،λم{\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m}}والمتجهات الذاتية المقابلةهـ1،هـ2،...،هـم{\textstyle e_{1},e_{2},...,e_{m}}لب{\textstyle B}(أينم{\textstyle m}(عدد الأبعاد المطلوبة للإخراج).
  4. الآن،X=هـمΛم1/2{\textstyle X=E_{m}\Lambda _{m}^{1/2}}، أينهـم{\textstyle E_{m}}هي مصفوفةم{\textstyle m}المتجهات الذاتية وΛم{\textstyle \Lambda _{m}}هي المصفوفة القطرية لـم{\textstyle m}القيم الذاتية لـب{\textstyle B}.
يفترض التحليل متعدد الأبعاد الكلاسيكي المسافات المترية. لذا، فإن هذا لا ينطبق على تقييمات الاختلاف المباشر.

القياس متعدد الأبعاد المتري (mMDS)

هي مجموعة فرعية من MDS الكلاسيكية، تُعمم إجراء التحسين ليشمل مجموعة متنوعة من دوال الخسارة ومصفوفات الإدخال ذات المسافات المعروفة والأوزان، وما إلى ذلك. تُسمى دالة الخسارة المفيدة في هذا السياق " الإجهاد" ، والتي غالبًا ما يتم تقليلها باستخدام إجراء يُسمى " تكبير الإجهاد ". يُقلل MDS المتري دالة التكلفة المسماة "الإجهاد"، وهي عبارة عن مجموع مربعات البواقي.

ضغطد(x1،x2،...،xن)=∑أنا≠ج=1،...،ن(دأناج-‖xأنا-xج‖)2.$

يستخدم مقياس القياس تحويلًا أسيًا مع أس يتحكم فيه المستخدمص{\textstyle p}:دأناجص{\textstyle d_{ij}^{p}}و-دأناج2ص{\textstyle -d_{ij}^{2p}}بالنسبة للمسافة. في القياس الكلاسيكيص=1.{\textstyle p=1.}يتم تعريف القياس غير المتري من خلال استخدام الانحدار المتساوي لتقدير تحويل الاختلافات بشكل غير معلمي.

التحجيم متعدد الأبعاد غير المتري (NMDS)

وعلى النقيض من MDS المتري، يجد MDS غير المتري علاقة رتيبة غير معلمية بين الاختلافات في مصفوفة العنصر-العنصر والمسافات الإقليدية بين العناصر، وموقع كل عنصر في الفضاء منخفض الأبعاد.

يتركدأناج{\displaystyle d_{ij}}الاختلاف بين النقاطأنا،ج{\displaystyle i,j}. يتركد^أناج=‖xأنا-xج‖{\displaystyle {\hat {d}}_{ij}=\|x_{i}-x_{j}\|}لتكن المسافة الإقليدية بين النقاط المضمنةxأنا،xج{\displaystyle x_{i},x_{j}}.

الآن، لكل اختيار من النقاط المضمنةxأنا{\displaystyle x_{i}}وهي دالة متزايدة بشكل رتيبو{\displaystyle f}، عرّف دالة "الإجهاد":

S(x1،...،xن؛و)=∑أنا<ج(و(دأناج)-د^أناج)2∑أنا<جد^أناج2.$

عامل∑أنا<جد^أناج2{\displaystyle \sum _{i<j}{\hat {d}}_{ij}^{2}}من الضروري استخدام في المقام لمنع "الانهيار". لنفترض أننا نُعرّف بدلاً من ذلكS=∑أنا<ج(و(دأناج)-د^أناج)2{\displaystyle S={\sqrt {\sum _{i<j}{\bigl (}f(d_{ij})-{\hat {d}}_{ij})^{2}}}}ثم يمكن تقليله بسهولة عن طريق ضبطو=0{\displaystyle f=0}ثم قم بدمج كل نقطة في نفس النقطة.

توجد عدة صيغ مختلفة لدالة التكلفة هذه. تعمل برامج MDS على تقليل الإجهاد تلقائيًا للحصول على حل MDS.

جوهر خوارزمية MDS غير المترية هو عملية تحسين ثنائية. أولاً، يجب إيجاد التحويل الرتيب الأمثل للتقارب. ثانياً، يجب ترتيب نقاط التكوين على النحو الأمثل، بحيث تتطابق مسافاتها مع التقارب المُقاس بأكبر قدر ممكن.

يحتاج خوارزمية NMDS إلى تحسين هدفين في آن واحد. ويتم ذلك عادةً بشكل تكراري:

  1. تهيئةxأنا{\displaystyle x_{i}}بشكل عشوائي، على سبيل المثال عن طريق أخذ عينات من التوزيع الطبيعي.
  2. استمر حتى الوصول إلى معيار التوقف (على سبيل المثال،S<ϵ{\displaystyle S<\epsilon })
    1. أوجد قيمةو=arg⁡مينوS(x1،...،xن؛و){\displaystyle f=\arg \min _{f}S(x_{1},...,x_{n};f)}عن طريق الانحدار متساوي التوتر .
    2. أوجد قيمةx1،...،xن=arg⁡مينx1،...،xنS(x1،...،xن؛و){\displaystyle x_{1},...,x_{n}=\arg \min _{x_{1},...,x_{n}}S(x_{1},...,x_{n};f)}عن طريق التدرج الهبوطي أو طرق أخرى.
  3. يعودxأنا{\displaystyle x_{i}}وو{\displaystyle f}

يُعد تحليل أصغر مساحة (SSA) للويس غوتمان مثالاً على إجراء MDS غير متري.

التحجيم متعدد الأبعاد المعمم (GMDS)

يُعدّ هذا الأسلوب امتدادًا لتقنية القياس متعدد الأبعاد المترية، حيث تكون المساحة المستهدفة فضاءً أملسًا غير إقليدي. في الحالات التي تكون فيها الاختلافات عبارة عن مسافات على سطح ما، وتكون المساحة المستهدفة سطحًا آخر، يسمح أسلوب القياس متعدد الأبعاد المترية (GMDS) بإيجاد تمثيل بأقل تشويه ممكن لسطح ما داخل سطح آخر. [ 5 ]

التحجيم متعدد الأبعاد الفائق (SMDS)

يُعدّ Super MDS امتدادًا لتقنية MDS، حيث يدمج معلومات المسافة والزاوية لتحسين تحديد موقع المصدر. وعلى عكس تقنية MDS التقليدية التي تستخدم قياسات المسافة فقط، تعالج Super MDS بيانات المسافة وزاوية الوصول (AOA) جبريًا (بدون تكرار) لتحقيق دقة أفضل. [ 6 ]

تتم هذه الطريقة وفق الخطوات التالية:

  1. بناء نواة الرسم البياني للحواف المختزلة: لشبكة منشمال{\displaystyle N}مصادر فيη{\displaystyle \eta }في فضاء ذي أبعاد n، عرّف متجهات الحواف على النحو التالي:vأنا=xم-xن{\displaystyle v_{i}=x_{m}-x_{n}}يُعطى الاختلاف بواسطةكأنا،ج=⟨vأنا،vج⟩{\displaystyle k_{i,j}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }قم بتجميع هذه المكونات لتكوين النواة الكاملةك=VVتي{\displaystyle K=VV^{T}}ثم قم بتكوين النواة المختزلة باستخدامشمال-1{\displaystyle N-1}المتجهات المستقلة:ك¯=[V](شمال-1)×η [V](شمال-1)×ηتي{\displaystyle {\bar {K}}=[V]_{(N-1)\times \eta}\ [V]_{(N-1)\times \eta}^{T}}،
  2. التحلل الذاتي: حساب التحلل الذاتي لـك¯{\displaystyle {\bar {K}}}،
  3. تقدير متجهات الحواف: استعادة متجهات الحواف كـV^=(يوم×ηΛη×η⊙12)تي{\displaystyle {\hat {V}}={\Bigl (}U_{M\times \eta }\,\Lambda _{\eta \times \eta }^{\odot {\frac {1}{2}}}{\Bigr )}^{T}}،
  4. محاذاة بروكروستس: استرجاعV^{\displaystyle {\hat {V}}}منV{\displaystyle V}عن طريق تحويل بروكروستس،
  5. حساب الإحداثيات: حل المعادلات الخطية التالية لحساب تقديرات الإحداثيات(1|01×شمال-1[ج]شمال-1×شمال)⋅(x1[X]شمال-1×η)=(x1[V]شمال-1×η)،{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\vline \mathbf {0} _{1\times N-1}\\\hline \mathbf {[C]} _{N-1\times N}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {X} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {V} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}},}

يقلل هذا النهج الموجز من الحاجة إلى نقاط تثبيت متعددة ويعزز دقة تحديد الموقع من خلال الاستفادة من قيود الزاوية.

تفاصيل

البيانات المراد تحليلها هي مجموعة منم{\displaystyle M}الكائنات (الألوان، الوجوه، الأسهم،  ...  )  التي تُعرَّف عليها دالة المسافة ،

دأنا،ج:={\displaystyle d_{i,j}:=}المسافة أأنا{\displaystyle i}-th وج{\displaystyle j}الكائنات رقم -th.

هذه المسافات هي عناصر مصفوفة عدم التشابه

د:=(د1،1د1،2⋯د1،مد2،1د2،2⋯د2،م⋮⋮⋮دم،1دم،2⋯دم،م).{\displaystyle D:={\begin{pmatrix}d_{1,1}&d_{1,2}&\cdots &d_{1,M}\\d_{2,1}&d_{2,2}&\cdots &d_{2,M}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\d_{M,1}&d_{M,2}&\cdots &d_{M,M}\end{pmatrix}}.}

الهدف من نظام MDS هو، بالنظر إلىد{\displaystyle D}للعثور علىم{\displaystyle M}المتجهات x1،...،xم∈Rشمال{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{M}\in \mathbb {R} ^{N}}بحيث

‖xأنا-xج‖≈دأنا،ج{\displaystyle \|x_{i}-x_{j}\|\approx d_{i,j}}للجميعأنا،ج∈1،...،م{\displaystyle i,j\in {1,\dots ,M}}،

أين‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}هي معيار متجهي . في التحليل متعدد الأبعاد الكلاسيكي، يُعرف هذا المعيار بالمسافة الإقليدية ، ولكن بمعناه الأوسع، قد يكون مقياسًا أو دالة مسافة اختيارية. [ 7 ] على سبيل المثال، عند التعامل مع بيانات مختلطة تحتوي على مُعرّفات عددية وفئوية، تُعد مسافة غاور بديلاً شائعًا.

بمعنى آخر، تحاول تقنية MDS إيجاد علاقة بين...م{\displaystyle M}تحويل الكائنات إلىRشمال{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}بحيث يتم الحفاظ على المسافات. إذا كان البعدشمال{\displaystyle N}إذا تم اختيار القيمة 2 أو 3، فيمكننا رسم المتجهاتxأنا{\displaystyle x_{i}}للحصول على تصور لأوجه التشابه بينم{\displaystyle M}الكائنات. لاحظ أن المتجهاتxأنا{\displaystyle x_{i}}ليست فريدة: فباستخدام المسافة الإقليدية، يمكن نقلها وتدويرها وعكسها بشكل تعسفي، لأن هذه التحويلات لا تغير المسافات بين الأزواج.‖xأنا-xج‖{\displaystyle \|x_{i}-x_{j}\|}.

(ملاحظة: الرمزR{\displaystyle \mathbb {R} }يشير إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ، والرمزRشمال{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}يشير إلى الضرب الديكارتي لـشمال{\displaystyle N}نسخ منR{\displaystyle \mathbb {R} }، وهوشمال{\displaystyle N}فضاء متجهي ذو أبعاد على حقل الأعداد الحقيقية.)

توجد طرق مختلفة لتحديد المتجهاتxأنا{\displaystyle x_{i}}عادةً ما تتم صياغة MDS كمسألة تحسين ، حيث(x1،...،xم){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{M})}يتم إيجادها كقيمة صغرى لدالة تكلفة معينة، على سبيل المثال،

أرزمأنانx1،...،xم∑أنا<ج(‖xأنا-xج‖-دأنا،ج)2.{\displaystyle {\underset {x_{1},\ldots ,x_{M}}{\mathrm {argmin} }}\sum _{i<j}(\|x_{i}-x_{j}\|-d_{i,j})^{2}.\,}

يمكن إيجاد حل باستخدام تقنيات التحسين العددي. بالنسبة لبعض دوال التكلفة المختارة تحديدًا، يمكن التعبير عن القيم الدنيا تحليليًا بدلالة تحليل القيم الذاتية للمصفوفة . [ 2 ]

إجراء

تتضمن عملية إجراء أبحاث متلازمة خلل التنسج النخاعي عدة خطوات:

  1. صياغة المشكلة – ما المتغيرات التي تريد مقارنتها؟ كم عدد المتغيرات التي تريد مقارنتها؟ ما الغرض من الدراسة؟
  2. الحصول على بيانات الإدخال – على سبيل المثال  : يُطرح على المشاركين سلسلة من الأسئلة. لكل زوج من المنتجات، يُطلب منهم تقييم التشابه (عادةً على مقياس ليكرت من 7 نقاط ، من متشابه جدًا إلى مختلف جدًا). ​​قد يكون السؤال الأول لكوكاكولا/بيبسي، على سبيل المثال، ثم التالي لكوكاكولا/هايرز روت بير، ثم التالي لبيبسي/دكتور بيبر، ثم التالي لدكتور بيبر/هايرز روت بير، وهكذا. عدد الأسئلة يعتمد على عدد العلامات التجارية، ويمكن حسابه كالتالي:سؤال=شمال(شمال-1)/2{\displaystyle Q=N(N-1)/2}حيث Q هو عدد الأسئلة و N هو عدد العلامات التجارية. يُشار إلى هذا النهج باسم "بيانات الإدراك  : النهج المباشر". وهناك نهجان آخران: الأول هو "بيانات الإدراك  : النهج المشتق"، حيث تُقسّم المنتجات إلى سمات تُقيّم على مقياس تفاضلي دلالي . أما الثاني فهو "نهج بيانات التفضيل"، حيث يُسأل المستجيبون عن تفضيلاتهم بدلاً من مدى تشابه المنتجات.
  3. تشغيل برنامج MDS الإحصائي – يتوفر برنامج لتشغيل الإجراء في العديد من حزم البرامج الإحصائية. غالبًا ما يكون هناك خيار بين MDS المتري (الذي يتعامل مع بيانات على مستوى الفاصل الزمني أو النسبة)، وMDS غير المتري [ 8 ] (الذي يتعامل مع البيانات الترتيبية).
  4. تحديد عدد الأبعاد - يجب على الباحث تحديد عدد الأبعاد التي يرغب في أن يُنشئها الحاسوب. غالبًا ما تكون قابلية تفسير حلول تحليل التباين متعدد الأبعاد (MDS) مهمة، وعادةً ما تكون الحلول ذات الأبعاد الأقل أسهل في التفسير والتصور. مع ذلك، يُعد اختيار الأبعاد مسألة موازنة بين نقص التوافق وزيادته. قد تُعاني الحلول ذات الأبعاد الأقل من نقص التوافق نتيجةً لإغفال أبعاد مهمة من بيانات التباين. بينما قد تُعاني الحلول ذات الأبعاد الأعلى من زيادة التوافق مع التشويش في قياسات التباين. لذا، يُمكن أن تكون أدوات اختيار النموذج ، مثل معيار معلومات أكايكي (AIC) ومعيار معلومات بايز (BIC) وعوامل بايز أو التحقق المتبادل ، مفيدةً لاختيار عدد الأبعاد الذي يُوازن بين نقص التوافق وزيادته.
  5. رسم النتائج وتحديد الأبعاد - يقوم البرنامج الإحصائي (أو وحدة نمطية ذات صلة) برسم النتائج. ستعرض الخريطة كل منتج (عادةً في فضاء ثنائي الأبعاد). يشير تقارب المنتجات من بعضها البعض إلى مدى تشابهها أو مدى تفضيلها، وذلك بحسب المنهجية المستخدمة. مع ذلك، فإن كيفية تطابق أبعاد التمثيل مع أبعاد سلوك النظام ليست واضحة بالضرورة. هنا، يمكن إصدار حكم شخصي حول هذا التطابق (انظر: رسم الخرائط الإدراكية ).
  6. اختبر النتائج للتأكد من موثوقيتها وصحتها - احسب معامل التحديد (R²) لتحديد نسبة التباين في البيانات المُقاسة التي يمكن تفسيرها بواسطة إجراء MDS. يُعتبر معامل التحديد 0.6 الحد الأدنى المقبول. يُعتبر معامل التحديد 0.8 جيدًا للقياس المتري، و0.9 جيدًا للقياس غير المتري. تشمل الاختبارات الأخرى الممكنة اختبار كروسكال للإجهاد، واختبارات تقسيم البيانات، واختبارات ثبات البيانات (مثل استبعاد علامة تجارية واحدة)، واختبار موثوقية إعادة الاختبار.
  7. قدّم تقريرًا شاملاً بالنتائج – إلى جانب عملية رسم الخرائط، يجب ذكر مقياس المسافة على الأقل (مثل مؤشر سورنسون ، مؤشر جاكارد ) وقيمة الموثوقية (مثل قيمة الإجهاد). يُنصح بشدة أيضًا بذكر الخوارزمية المستخدمة (مثل كروسكال، ماثر)، والتي غالبًا ما يحددها البرنامج المستخدم (وأحيانًا يحل ذلك محل تقرير الخوارزمية)، إذا كنت قد حددت إعدادات ابتدائية أو اخترت عشوائيًا، وعدد مرات التشغيل، وتقييم الأبعاد، ونتائج طريقة مونت كارلو ، وعدد التكرارات، وتقييم الاستقرار، والتباين النسبي لكل محور (معامل التحديد R²).

التطبيقات

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ميد، أ. (1992). "مراجعة لتطور أساليب القياس متعدد الأبعاد". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية. السلسلة د (الإحصائي) . 41 (1): 27-39 . doi : 10.2307/2348634 . JSTOR 2348634. الملخص : أصبحت أساليب القياس متعدد الأبعاد أداة إحصائية شائعة في علم النفس الفيزيائي والتحليل الحسي. يتتبع هذا البحث تطور هذه الأساليب، بدءًا من الأبحاث الأصلية لتورجرسون (القياس المتري)، وشيبارد وكروكسال (القياس غير المتري)، مرورًا بقياس الفروق الفردية، وانتهاءً بأساليب الاحتمال الأقصى التي اقترحها رامزي. 
  2. 1 2 3 بورغ، آي.؛ غرونين، ب. (2005). القياس متعدد الأبعاد الحديث: النظرية والتطبيقات (الطبعة الثانية ). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 207-212 . ISBN   978-0-387-94845-4.
  3. ↑ جينست، كريستيان؛ نيشليهوفا، جوهانا ج.؛ رامزي، جيمس أو. (2014). "حوار مع جيمس أو. رامزي" . المجلة الإحصائية الدولية / Revue Internationale de Statistique . 82 (2): 161–183 . JSTOR 43299752. تاريخ الاسترجاع: 30 يونيو 2021 . 
  4. ↑ ويكلمير، فلوريان. "مقدمة في MDS". وحدة أبحاث جودة الصوت، جامعة آلبورغ، الدنمارك (2003): 46
  5. ↑ برونشتاين إيه إم، برونشتاين إم إم، كيميل آر (يناير 2006). "التحجيم متعدد الأبعاد المعمم: إطار عمل لمطابقة الأسطح الجزئية الثابتة تحت تأثير التساوي القياسي" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 103 (5): 1168-1172 . Bibcode : 2006PNAS..103.1168B . doi : 10.1073/pnas.0508601103 . PMC 1360551. PMID 16432211 .  
  6. ↑ دي أبريو، جي تي إف؛ ديستينو، جي. (2007). سوبر إم دي إس: تحديد موقع المصدر من معلومات المسافة والزاوية . مؤتمر IEEE للاتصالات اللاسلكية والشبكات لعام 2007. هونغ كونغ، الصين. الصفحات 4430-4434 . doi : 10.1109/WCNC.2007.807 . 
  7. ↑ كروسكال، جيه بي ، وويش، إم. (1978)، القياس متعدد الأبعاد ، سلسلة أوراق جامعة سيج حول التطبيق الكمي في العلوم الاجتماعية، 07-011. بيفرلي هيلز ولندن: منشورات سيج.
  8. ↑ كروسكال، ج. ب. (1964). "القياس متعدد الأبعاد من خلال تحسين جودة المطابقة لفرضية غير مترية". مجلة القياس النفسي . 29 (1): 1-27 . doi : 10.1007/BF02289565 . S2CID 48165675 . 
  9. ↑ ليو، جان دي؛ ماير، باتريك (2009). "التحجيم متعدد الأبعاد باستخدام الترتيب: SMACOF في R" . مجلة البرمجيات الإحصائية . 31 (3). doi : 10.18637/jss.v031.i03 . ISSN 1548-7660 . 

فهرس

  • كوكس، تي إف؛ كوكس، إم إيه إيه (2001). "التحجيم متعدد الأبعاد" . في: أنوين، إيه؛ تشين، سي؛ هاردل، دبليو كيه (محررون). دليل تصور البيانات . سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-540-33037-0_14 . ISBN 978-3-540-33037-0.
  • كوكسون، أنتوني بي إم (1982). دليل المستخدم للتحجيم متعدد الأبعاد. مع إشارة خاصة إلى مكتبة برامج الحاسوب MDS(X) . لندن: كتب هاينمان التعليمية.
  • غرين، ب. (يناير 1975). "تطبيقات التسويق لنموذج البيانات المتعددة: التقييم والتوقعات". مجلة التسويق . 39 (1): 24-31 . doi : 10.2307/1250799 . JSTOR 1250799 . 
  • ماكيون، ب. وغريس، ج. ب. (2002). تحليل المجتمعات البيئية . أوريغون، غلينيدن بيتش: إم جيه إم لتصميم البرمجيات. ISBN 978-0-9721290-0-8.
  • يونغ، فورست دبليو. (1987). القياس متعدد الأبعاد: التاريخ والنظرية والتطبيقات . دار لورانس إيرلبوم للنشر. رقم ISBN 978-0898596632.
  • تورجرسون، وارن س. (1958). نظرية وأساليب القياس . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-89874-722-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )