تحليل البيانات الوظيفية

من منظور فضاء هيلبرت، ينظر المرء إلى${\displaystyle H}$عنصر عشوائي ذو قيمة${\displaystyle X}$، أين${\displaystyle H}$هو فضاء هيلبرت قابل للفصل مثل فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي${\displaystyle L^{2}[0,1]}$في ظل شرط التكامل الذي${\displaystyle \mathbb {E} \|X\|_{L^{2}}^{2}=\mathbb {E} (\int _{0}^{1}|X(t)|^{2}dt)<\infty }$يمكن تعريف متوسط${\displaystyle X}$باعتباره العنصر الفريد${\displaystyle \mu \in H}$مُرضٍ

${\displaystyle \mathbb {E} \langle X,h\rangle =\langle \mu ,h\rangle ,\qquad h\in H.}$

هذه الصيغة هي تكامل بيتيس، ولكن يمكن تعريف المتوسط ​​أيضًا على أنه تكامل بوخنر.${\displaystyle \mu =\mathbb {E} X}$في ظل شرط التكامل الذي${\displaystyle \mathbb {E} \|X\|_{L^{2}}^{2}}$إذا كانت محدودة، فإن عامل التغاير لـ${\displaystyle X}$هو مؤثر خطي${\displaystyle {\mathcal {C}}:H\to H}$ذلك يتم تحديده بشكل فريد من خلال العلاقة

${\displaystyle {\mathcal {C}}h=\mathbb {E} [\langle h,X-\mu \rangle (X-\mu )],\qquad h\in H,}$

أو بصيغة الموتر ،${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbb {E} [(X-\mu )\otimes (X-\mu )]}$تسمح نظرية الطيف بتحليل${\displaystyle X}$مثل تحلل كارهونن-لوف

${\displaystyle X=\mu +\sum _{i=1}^{\infty }\langle X,\varphi _{i}\rangle \varphi _{i},}$

أين${\displaystyle \varphi _{i}}$هي متجهات ذاتية لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، بما يتوافق مع القيم الذاتية غير السالبة لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، بترتيب غير متزايد. إن اقتطاع هذه السلسلة اللانهائية إلى ترتيب محدود هو أساس تحليل المكونات الرئيسية الوظيفية .

إن وجهة نظر هيلبرت ملائمة من الناحية الرياضية، لكنها مجردة؛ والاعتبارات المذكورة أعلاه لا تنظر بالضرورة إلى${\displaystyle X}$كدالة على الإطلاق، نظرًا للاختيارات الشائعة لـ${\displaystyle H}$يحب${\displaystyle L^{2}[0,1]}$وتتكون فضاءات سوبوليف من فئات تكافؤ، لا من دوال. وتنظر منظورات العمليات العشوائية إلى${\displaystyle X}$كمجموعة من المتغيرات العشوائية

${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in [0,1]}}$

مفهرسة بفترة الوحدة (أو بشكل أعم فترة${\displaystyle {\mathcal {T}}}$يتم تعريف دالتي المتوسط ​​والتباين بشكل نقطي كما يلي:

${\displaystyle \mu (t)=\mathbb {E} X(t),\qquad \Sigma (s,t)={\textrm {Cov}}(X(s),X(t)),\qquad s,t\in [0,1]}$

(لو${\displaystyle \mathbb {E} [X(t)^{2}]<\infty }$للجميع${\displaystyle t\in [0,1]}$).

في ظل استمرارية متوسط ​​المربعات،${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \Sigma }$هي دوال متصلة، ثم دالة التغاير${\displaystyle \Sigma }$يُعرّف عامل التغاير${\displaystyle {\mathcal {C}}:H\to H}$مقدم من

$${\displaystyle ({\mathcal {C}}f)(t)=\int _{0}^{1}\Sigma (s,t)f(s)\,\mathrm {d} s.}$$

1

تنطبق نظرية الطيف على${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، مما ينتج عنه أزواج ذاتية${\displaystyle (\lambda _{j},\varphi _{j})}$، بحيث يكون ذلك في تدوين الضرب الموتري${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يكتب

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\varphi _{j}\otimes \varphi _{j}.}$

علاوة على ذلك، منذ${\displaystyle {\mathcal {C}}f}$متصلة لجميع${\displaystyle f\in H}$جميع${\displaystyle \varphi _{j}}$تكون متصلة. وتنص نظرية ميرسر على أن

${\displaystyle \sup _{s,t\in [0,1]}\left|\Sigma (s,t)-\sum _{j=1}^{K}\lambda _{j}\varphi _{j}(s)\varphi _{j}(t)\right|\to 0,\qquad K\to \infty .}$

وأخيرًا، بافتراض إضافي هو${\displaystyle X}$لها مسارات عينة متصلة، أي أن الدالة العشوائية باحتمال واحد${\displaystyle X:[0,1]\to \mathbb {R} }$إذا كانت متصلة، فإن توسيع كارونين-لوف المذكور أعلاه ينطبق على${\displaystyle X}$ويمكن تطبيق آلية فضاء هيلبرت لاحقاً. ويمكن إثبات استمرارية مسارات العينة باستخدام نظرية كولموغوروف للاستمرارية .

القياسات${\displaystyle Y_{it}=X_{i}(t)}$متاح للجميع${\displaystyle t\in {\mathcal {I}},\,i=1,\ldots ,n}$

غالباً ما تكون غير واقعية ولكنها ملائمة من الناحية الرياضية.

مثال من الحياة الواقعية: بيانات طيفية من جهاز تيكاتور. ^{[ 7 ]}

القياسات${\displaystyle Y_{ij}=X_{i}(T_{ij})+\varepsilon _{ij}}$، أين${\displaystyle T_{ij}}$يتم تسجيلها على شبكة منتظمة،

${\displaystyle T_{i1},\ldots ,T_{iN_{i}}}$، و${\displaystyle N_{i}\rightarrow \infty }$ينطبق هذا على البيانات الوظيفية النموذجية.

مثال واقعي: بيانات دراسة بيركلي للنمو وبيانات الأسهم

القياسات${\displaystyle Y_{ij}=X_{i}(T_{ij})+\varepsilon _{ij}}$، أين${\displaystyle T_{ij}}$هي أوقات عشوائية وعددها${\displaystyle N_{i}}$كل موضوع عشوائي ومحدود.

مثال من الحياة الواقعية: بيانات تعداد خلايا CD4 لمرضى الإيدز. ^{[ 9 ]}

استبدال المتغير المتجهي${\displaystyle X}$ومتجه المعاملات${\displaystyle \beta }$في النموذج ( 3 ) بواسطة متغير وظيفي مركزي${\displaystyle X^{c}(t)=X(t)-\mu (t)}$ودالة المعامل${\displaystyle \beta =\beta (t)}$ل${\displaystyle t\in [0,1]}$واستبدال الضرب الداخلي في الفضاء الإقليدي بالضرب الداخلي في فضاء هيلبرت${\displaystyle L^{2}}$، ومن ثم نصل إلى النموذج الخطي الوظيفي

$${\displaystyle Y=\beta _{0}+\langle X^{c},\beta \rangle +\varepsilon =\beta _{0}+\int _{0}^{1}X^{c}(t)\beta (t)\,dt+\varepsilon .}$$

4

يمكن توسيع النموذج الخطي الوظيفي البسيط ( 4 ) ليشمل متغيرات وظيفية متعددة،${\displaystyle \{X_{j}\}_{j=1}^{p}}$، بما في ذلك المتغيرات المصاحبة المتجهة الإضافية${\displaystyle Z=(Z_{1},\cdots ,Z_{q})}$، أين${\displaystyle Z_{1}=1}$، بواسطة

$${\displaystyle Y=\langle Z,\theta \rangle +\sum _{j=1}^{p}\int _{0}^{1}X_{j}^{c}(t)\beta _{j}(t)\,dt+\varepsilon ,}$$

5

أين${\displaystyle \theta \in \mathbb {R^{q}} }$معامل الانحدار لـ${\displaystyle Z}$، مجال${\displaystyle X_{j}}$يكون${\displaystyle [0,1]}$،${\displaystyle X_{j}^{c}}$المتغير الوظيفي المركزي المعطى بواسطة${\displaystyle X_{j}^{c}(t)=X_{j}(t)-\mu _{j}(t)}$، و${\displaystyle \beta _{j}}$دالة معامل الانحدار لـ${\displaystyle X_{j}^{c}}$، ل${\displaystyle j=1,\ldots ,p}$تمت دراسة النموذجين ( 4 ) و( 5 ) على نطاق واسع. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

ضع في اعتبارك الاستجابة الوظيفية${\displaystyle Y(s)}$على${\displaystyle [0,1]}$والمتغيرات الوظيفية المتعددة${\displaystyle X_{j}(t)}$،${\displaystyle t\in [0,1]}$،${\displaystyle j=1,\ldots ,p}$تم النظر في نموذجين رئيسيين في هذا الإطار. ^{[ 13 ] [ 7 ]} أحد هذين النموذجين، والذي يُشار إليه عمومًا باسم النموذج الخطي الوظيفي (FLM)، يمكن كتابته على النحو التالي:

$${\displaystyle Y(s)=\alpha _{0}(s)+\sum _{j=1}^{p}\int _{0}^{1}\alpha _{j}(s,t)X_{j}^{c}(t)\,dt+\varepsilon (s),\ {\text{for}}\ s\in [0,1]}$$

6

أين${\displaystyle \alpha _{0}(s)}$هو التقاطع الوظيفي، لـ${\displaystyle j=1,\ldots ,p}$،${\displaystyle X_{j}^{c}(t)=X_{j}(t)-\mu _{j}(t)}$هو متغير وظيفي مركزي على${\displaystyle [0,1]}$،${\displaystyle \alpha _{j}(s,t)}$تمثل هذه القيم المنحدرات الوظيفية المقابلة في نفس المجال، على التوالي، و${\displaystyle \varepsilon (s)}$عادةً ما تكون عملية عشوائية بمتوسط ​​صفر وتباين محدود. ^{[ 13 ]} في هذه الحالة، في أي وقت مُعطى${\displaystyle s\in [0,1]}$، قيمة${\displaystyle Y}$، أي،${\displaystyle Y(s)}$، يعتمد على المسارات الكاملة لـ${\displaystyle \{X_{j}(t)\}_{j=1}^{p}}$تمت دراسة النموذج ( 6 ) على نطاق واسع. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

نماذج الانحدار المتزامن

يُعطى هذا النموذج بواسطة

$${\displaystyle Y(s)=\beta _{0}(s)+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}(s)X_{j}(s)+\varepsilon (s),\ {\text{for}}\ s\in [0,1],}$$

7

أين${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p}}$المتغيرات الوظيفية المشتركة على${\displaystyle [0,1]}$،${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p}}$هل دوال المعاملات معرفة على نفس الفترة و${\displaystyle \varepsilon (s)}$يُفترض عادةً أن تكون عملية عشوائية بمتوسط ​​صفر وتباين محدود. ^{[ 13 ]} يفترض هذا النموذج أن قيمة${\displaystyle Y(s)}$يعتمد على القيمة الحالية لـ${\displaystyle \{X_{j}(s)\}_{j=1}^{p}}$فقط وليس التاريخ${\displaystyle \{X_{j}(t):t\leq s\}_{j=1}^{p}}$أو القيمة المستقبلية. لذا، فهو "نموذج انحدار متزامن"، ويُشار إليه أيضًا باسم "نموذج المعاملات المتغيرة". علاوة على ذلك، تم اقتراح طرق تقدير متنوعة. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

يمكن اعتبار نماذج الانحدار الوظيفي متعدد الحدود امتدادًا طبيعيًا للنماذج الخطية الوظيفية ذات الاستجابات العددية، على غرار توسيع نموذج الانحدار الخطي إلى نموذج الانحدار متعدد الحدود . بالنسبة للاستجابة العددية${\displaystyle Y}$ومتغير وظيفي مشترك${\displaystyle X(\cdot )}$مع النطاق${\displaystyle [0,1]}$وعمليات التنبؤ المركزية المقابلة${\displaystyle X^{c}}$^{يُعدّ نموذج الانحدار الوظيفي التربيعي [ 25 ]} أبسط وأبرز نموذج في عائلة نماذج الانحدار الوظيفي متعدد الحدود، وهو مُعطى على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\alpha +\int _{0}^{1}\beta (t)X^{c}(t)\,dt+\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\gamma (s,t)X^{c}(s)X^{c}(t)\,ds\,dt}$$أين${\displaystyle X^{c}(\cdot )=X(\cdot )-\mathbb {E} (X(\cdot ))}$المتغير الوظيفي المركزي،${\displaystyle \alpha }$هو معامل قياسي،${\displaystyle \beta (\cdot )}$و${\displaystyle \gamma (\cdot ,\cdot )}$هي دوال معاملات ذات مجالات${\displaystyle [0,1]}$و${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$على التوالي. بالإضافة إلى دالة المعامل β التي يشترك فيها نموذج الانحدار التربيعي الوظيفي المذكور أعلاه مع نموذج FLM، فإنه يتميز أيضًا بسطح معامل γ. قياسًا على نماذج FLM ذات الاستجابات العددية، يمكن الحصول على تقدير نماذج كثيرات الحدود الوظيفية من خلال توسيع كل من المتغير المشترك المركزي${\displaystyle X^{c}}$ودوال المعاملات${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \gamma }$على أساس متعامد. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

يُقدَّم أدناه نموذج فهرس وظيفي متعدد، مع رموز تحمل معانيها المعتادة كما هو موضح سابقًا.$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=g\left(\int _{0}^{1}X^{c}(t)\beta _{1}(t)\,dt,\ldots ,\int _{0}^{1}X^{c}(t)\beta _{p}(t)\,dt\right)}$$هنا، تمثل g دالة عامة ملساء (غير معروفة) معرفة على مجال ذي أبعاد p. الحالة ${\displaystyle p=1}$ينتج عنه نموذج مؤشر واحد وظيفي، بينما تتوافق نماذج المؤشرات المتعددة مع الحالة ${\displaystyle p>1}$ومع ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle p>1}$يُعد هذا النموذج إشكاليًا بسبب لعنة الأبعاد .${\displaystyle p>1}$ونظراً لصغر حجم العينات نسبياً، فإن المُقدِّر الذي يُعطيه هذا النموذج غالباً ما يكون له تباين كبير. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

بالنسبة لقاعدة متعامدة معينة${\displaystyle \{\phi _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$على${\displaystyle L^{2}[0,1]}$يمكننا التوسع${\displaystyle X^{c}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\phi _{k}(t)}$على النطاق${\displaystyle [0,1]}$.

وبالتالي، يمكن كتابة نموذج خطي وظيفي ذي استجابات قياسية (انظر ( 3 )) على النحو التالي،$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}x_{k}.}$$يُمكن الحصول على أحد أشكال نماذج FAM عن طريق استبدال الدالة الخطية لـ${\displaystyle x_{k}}$في التعبير أعلاه (أي،${\displaystyle \beta _{k}x_{k}}$) بواسطة دالة سلسة عامة${\displaystyle f_{k}}$، على غرار توسيع نماذج الانحدار الخطي المتعدد إلى نماذج إضافية، ويتم التعبير عنها على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x_{k}),}$$أين${\displaystyle f_{k}}$يرضي${\displaystyle \mathbb {E} (f_{k}(x_{k}))=0}$ل${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$[ ^{13 ] [ 7 ] هذا القيد على} الدوال الملساء العامة${\displaystyle f_{k}}$يضمن ذلك إمكانية التحديد بمعنى أن تقديرات هذه الدوال المكونة الإضافية لا تتداخل مع تقدير الحد الثابت.${\displaystyle \mathbb {E} (Y)}$. هناك شكل آخر من أشكال نموذج FAM وهو النموذج الإضافي المستمر، ^{[ 29 ]} والذي يُعبر عنه على النحو التالي،$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\int _{0}^{1}g(t,X(t))dt}$$لسطح إضافي أملس ثنائي المتغيرات${\displaystyle g:[0,1]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$وهو المطلوب لتحقيق${\displaystyle \mathbb {E} [g(t,X(t))]=0}$للجميع${\displaystyle t\in [0,1]}$، وذلك لضمان إمكانية التعرف عليه.

يُعدّ إضافة دالة ربط تؤدي إلى نموذج خطي وظيفي مُعمّم (GFLM) ^{[ 30 ]} امتدادًا واضحًا ومباشرًا للنماذج الخطية الوظيفية ذات الاستجابات العددية (انظر ( 3 ))، وذلك قياسًا على النموذج الخطي المُعمّم (GLM). وتتكوّن مكونات النموذج الخطي الوظيفي المُعمّم (GFLM) من ثلاثة عناصر:

1. المتنبئ الخطي${\displaystyle \eta =\beta _{0}+\int _{0}^{1}X^{c}(t)\beta (t)\,dt}$; [مكون منهجي]
2. دالة التباين${\displaystyle {\text{Var}}(Y|X)=V(\mu )}$، أين${\displaystyle \mu =\mathbb {E} (Y|X)}$هو المتوسط ​​الشرطي ؛ [المكون العشوائي]
3. وظيفة الربط${\displaystyle g}$ربط المتوسط ​​الشرطي${\displaystyle \mu }$والمتنبئ الخطي${\displaystyle \eta }$خلال${\displaystyle \mu =g(\eta )}$[مكون منهجي]

بالإضافة إلى تباين السعة، ^{[ 50 ]} يُفترض وجود تباين زمني في البيانات الوظيفية. يحدث التباين الزمني عندما يختلف توقيت أحداث معينة ذات أهمية بين الأفراد. ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك بيانات دراسة بيركلي للنمو ، ^{[ 51 ]} حيث يمثل تباين السعة معدل النمو، بينما يفسر التباين الزمني الفرق في العمر البيولوجي للأطفال عند حدوث طفرة النمو في مرحلتي البلوغ وما قبل البلوغ. في وجود التباين الزمني، قد لا يكون متوسط ​​الدالة المقطعية تقديرًا دقيقًا، إذ تتوزع القمم والقيعان عشوائيًا، مما قد يؤدي إلى تشويه الإشارات المهمة أو إخفائها.

يهدف تطابق الوقت، المعروف أيضًا بتسجيل المنحنى، ^{[ 52 ]} أو محاذاة المنحنى أو مزامنة الوقت، إلى تحديد وفصل تغير السعة عن تغير الوقت. إذا وُجد كل من تغير الوقت وتغير السعة، فإن البيانات الوظيفية المرصودة${\displaystyle Y_{i}}$يمكن نمذجتها على النحو التالي${\displaystyle Y_{i}(t)=X_{i}[h_{i}^{-1}(t)],t\in [0,1]}$، أين${\displaystyle X_{i}{\overset {iid}{\sim }}X}$هي دالة السعة الكامنة و${\displaystyle h_{i}{\overset {iid}{\sim }}h}$هي دالة تشويه زمني كامنة تتوافق مع دالة التوزيع التراكمي. دوال التشويه الزمني${\displaystyle h}$يُفترض أن تكون قابلة للعكس وأن تحقق${\displaystyle \mathbb {E} (h^{-1}(t))=t}$.

أبسط مثال على مجموعة من دوال التشويه لتحديد تغير الطور هو التحويل الخطي، أي${\displaystyle h(t)=\delta +\gamma t}$تُشوّه هذه التقنية زمن دالة قالب أساسية عن طريق إزاحة وتغيير مقياس خاصين بها. وتشمل فئة أعم من دوال التشويه تحويلات المجال إلى نفسه، أي، بتعبير أدق، فئة من الدوال القابلة للعكس التي تُسقط المجال المضغوط على نفسه بحيث تكون كل من الدالة ومعكوسها سلسة. وتندرج مجموعة التحويلات الخطية ضمن مجموعة التحويلات . ^{[ 53 ]} يتمثل أحد التحديات في تشويه الزمن في إمكانية تحديد تغيرات السعة والطور. ويتطلب التغلب على عدم إمكانية التحديد هذه افتراضات محددة.

تشمل الأساليب السابقة تقنية مطابقة الوقت الديناميكية (DTW) المستخدمة في تطبيقات مثل التعرف على الكلام . ^{[ 54 ]} ومن الطرق التقليدية الأخرى لمطابقة الوقت تسجيل المعالم، ^{[ 55 ] [ 56 ]} الذي يُحاذي ميزات خاصة مثل مواقع الذروة مع موقع متوسط. وتشمل طرق المطابقة الأخرى ذات الصلة المطابقة الزوجية، ^{[ 57 ]} والتسجيل باستخدام ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$المسافة ^{[ 53 ]} والتشوه المرن. ^{[ 58 ]}

مجال${\displaystyle X(\cdot )}$يمكن أن يكون في${\displaystyle R^{p}}$فعلى سبيل المثال، يمكن أن تكون البيانات عينة من أسطح عشوائية. ^{[ 59 ] [ 60 ]}

يمكن توسيع نطاق العملية العشوائية من${\displaystyle R}$ل${\displaystyle R^{p}}$^{[ 61 ] [ 62 ] [ 63 ]} وإلى الفضاءات غير الخطية، ^{[ 64 ]} وفضاءات هيلبرت، ^{[ 65 ]} وفي النهاية إلى الفضاءات المترية. ^{[ 59 ]}