الخاتم المثالي الرئيسي

في الرياضيات ، تُعرف حلقة المثاليات الرئيسية اليمنى (اليسرى) بأنها حلقة R يكون فيها كل مثالي يميني (أيسر) على الصورة xR ( Rx ) لعنصر x من R. (يُطلق على المثاليات اليمنى واليسرى من هذه الصورة، والمولدة بواسطة عنصر واحد، اسم المثاليات الرئيسية ). عندما يتحقق هذا الشرط لكل من المثاليات اليسرى واليمنى، كما هو الحال عندما تكون R حلقة تبديلية ، يمكن تسمية R بحلقة المثاليات الرئيسية ، أو ببساطة الحلقة الرئيسية .

إذا كانت المُثُل اليمينية المُوَلَّدة نهائيًا فقط في R هي المُثُل الرئيسية، فإن R تُسمى حلقة بيزو يمينية . وتُعرَّف حلقات بيزو اليسارية بشكل مماثل. وتُدرس هذه الشروط في نطاقات تُسمى نطاقات بيزو .

تُسمى حلقة المثاليات الرئيسية التي تُعدّ أيضًا مجالًا تكامليًا مجالًا مثاليًا رئيسيًا (PID). يركز هذا المقال على المفهوم الأعم لحلقة المثاليات الرئيسية التي لا تُعدّ بالضرورة مجالًا.

إذا كانت R حلقة مثالية يمنى رئيسية، فهي بالتأكيد حلقة نوثرية يمنى ، لأن كل مثالي يميني مولد نهائيًا. وهي أيضًا حلقة بيزو يمنى لأن جميع المثاليات اليمنى المولدة نهائيًا هي مثالية رئيسية. في الواقع، من الواضح أن حلقات المثاليات اليمنى الرئيسية هي تحديدًا الحلقات التي تكون بيزو يمنى ونوثرية يمنى في آن واحد.

تكون حلقات المثاليّات الرئيسية اليمنى مغلقة تحت الضرب المباشر المحدود . إذا${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$إذن، يكون كل مثالي أيمن في R على الصورة${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}A_{i}}$حيث كل${\displaystyle A_{i}}$هو مثالي يميني في R _i . إذا كانت جميع حلقات R _i حلقات مثالية يمينية رئيسية، فإن A _i = x _i R _i ، ومن ثم يمكن ملاحظة أن${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})R=A}$. بدون بذل جهد أكبر، يمكن إثبات أن حلقات بيزو اليمنى مغلقة أيضًا تحت الضرب المباشر المحدود.

تُعتبر حلقات المثاليّات اليمينية الرئيسية وحلقات بيزو اليمينية مغلقةً أيضًا تحت تأثير عمليات القسمة، أي إذا كان I مثاليًا حقيقيًا في حلقة المثاليّات اليمينية الرئيسية R ، فإن حلقة القسمة R/I هي أيضًا حلقة مثاليّات يمينية رئيسية. ويترتب على ذلك بسهولة من نظريات التشاكل للحلقات.

جميع الخصائص المذكورة أعلاه لها نظائر يسارية أيضاً.

1. حلقة الأعداد الصحيحة :${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. الأعداد الصحيحة بتردد n :${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.
3. يترك${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}}$خواتم و${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$. إذن R هي حلقة رئيسية إذا وفقط إذا كانت R _i حلقة رئيسية لجميع i .
4. إن تحديد موضع حلقة رئيسية عند أي مجموعة جزئية ضربية هو أيضاً حلقة رئيسية. وبالمثل، فإن أي خارج قسمة لحلقة رئيسية هو أيضاً حلقة رئيسية.
5. ليكن R مجال ديديكيند وليكن I مثاليًا غير صفري في R. عندئذٍ، يكون خارج قسمة R / I حلقة رئيسية. في الواقع، يمكننا تحليل I إلى حاصل ضرب قوى أولية.${\displaystyle I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}}$وبحسب نظرية الباقي الصينية${\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}}$لذا يكفي أن نرى أن كل${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$هي حلقة رئيسية. لكن${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$متماثل مع خارج القسمة${\displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}}$حلقة التقييم المنفصلة${\displaystyle R_{P_{i}}}$وبما أنه خارج قسمة حلقة رئيسية، فهو نفسه حلقة رئيسية.
6. ليكن k حقلاً منتهياً، ولنضع${\displaystyle A=k[x,y]}$،${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle }$و${\displaystyle R=A/{\mathfrak {m}}^{2}}$إذن، R هي حلقة محلية منتهية وليست رئيسية .
7. ليكن X مجموعة منتهية. إذن${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )}$يشكل حلقة مثالية رئيسية تبديلية مع عنصر محايد، حيث${\displaystyle \Delta }$يمثل الفرق المتناظر للمجموعة و${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$يمثل مجموعة القوى لـ X. إذا كان لـ X عنصران على الأقل، فإن الحلقة تحتوي أيضًا على قواسم صفرية. إذا كان I مثاليًا، فإن${\displaystyle I=(\bigcup I)}$. إذا كانت X لانهائية بدلاً من ذلك، فإن الحلقة ليست رئيسية: خذ المثال المثالي الناتج عن المجموعات الجزئية المنتهية من X.
8. حلقات غالوا هي حلقات PIR محلية تبديلية. يتم إنشاؤها من الأعداد الصحيحة modulo${\displaystyle p^{k}}$بنفس الطريقة التي تُعمم بها الحقول المنتهية للأعداد الصحيحة بتردد${\displaystyle p}$ويتم توليد المثال الأقصى بواسطة${\displaystyle p}$.

الحلقات الرئيسية المُنشأة في المثال 5 أعلاه هي دائمًا حلقات أرتينية ؛ وهي على وجه الخصوص متماثلة مع حاصل ضرب مباشر منتهٍ لحلقات أرتينية محلية رئيسية. تُسمى الحلقة الرئيسية الأرتينية المحلية حلقة رئيسية خاصة ، ولها بنية مثالية بسيطة للغاية: إذ لا يوجد سوى عدد منتهٍ من المُثُل، كل منها عبارة عن قوة للمُثُل الأعظمية. لهذا السبب، تُعد الحلقات الرئيسية الخاصة أمثلة على الحلقات أحادية التسلسل .

النتيجة التالية تعطي تصنيفًا كاملاً للحلقات الرئيسية من حيث الحلقات الرئيسية الخاصة ومجالات المثالي الرئيسي.

نظرية زاريسكي-صموئيل : ليكن R حلقة رئيسية. عندئذٍ يمكن كتابة R كحاصل ضرب مباشر.${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$، حيث يكون كل R _i إما مجالًا مثاليًا رئيسيًا أو حلقة رئيسية خاصة.

يطبق البرهان نظرية الباقي الصينية على التفكيك الأولي الأدنى للمثال الصفري.

وهناك أيضاً النتيجة التالية، والتي تعود إلى هانغرفورد:

نظرية (هانجرفورد): لتكن R حلقة رئيسية. عندئذٍ يمكن كتابة R كحاصل ضرب مباشر.${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$، حيث يمثل كل R _i خارج قسمة مجال مثالي رئيسي.

تعتمد برهان نظرية هانغرفورد على نظريات كوهين الهيكلية للحلقات المحلية الكاملة.

بالاستدلال كما في المثال 3 أعلاه وباستخدام نظرية زاريسكي-صموئيل، من السهل التحقق من أن نظرية هانغرفورد تعادل القول بأن أي حلقة رئيسية خاصة هي خارج قسمة حلقة تقييم منفصلة.

كل حلقة شبه بسيطة R، ليست مجرد حاصل ضرب حقول، هي حلقة مثالية رئيسية يمنى ويسرى غير تبديلية (لا يشترط أن تكون مجالًا، كما يُبين مثال المصفوفات من الرتبة n×n على حقل). كل مثالي يميني ويساري هو مجموع مباشر لـ R ، وبالتالي يكون على الصورة eR أو Re حيث e عنصر متساوي القوة في R. وبالمثل، تُلاحظ أن حلقات فون نيومان المنتظمة هي حلقات بيزو يمنى ويسرى.

إذا كانت D حلقة تقسيم و${\displaystyle \sigma }$إذا كان تشاكلًا داخليًا للحلقة وليس تشاكلًا ذاتيًا ، فإن حلقة كثيرات الحدود المائلة${\displaystyle D[x,\sigma ]}$من المعروف أن هذا المجال هو مجال مثالي رئيسي يساري وليس مجالًا نوثريًا يمينيًا، وبالتالي لا يمكن أن يكون حلقة مثالية رئيسية يمينية. وهذا يدل على أن الحلقات المثالية الرئيسية اليسارية والحلقات المثالية الرئيسية اليمينية تختلف حتى بالنسبة للمجالات. ^{[ 1 ]}

• هانغرفورد، ت. (1968)، "حول بنية حلقات المثالي الرئيسي"، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات ، 25 (3): 543-547 ، doi : 10.2140/pjm.1968.25.543
• لام، تي واي (2001)، مدخل إلى الحلقات غير التبادلية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  131 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  xx+385، ISBN 0-387-95183-0، MR 1838439 
• الصفحات 86 و146-155 من كتاب لانغ، سيرج (1993)، الجبر ( الطبعة الثالثة)، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، رقم ISBN  978-0-201-55540-0، Zbl 0848.13001 
• زاريسكي، أ .؛ صموئيل، ب. (1975)، الجبر التبادلي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  28، 29، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ