التوزيع متعدد الوسائط

تشمل التوزيعات ثنائية النمط المهمة توزيع الجيب العكسي وتوزيع بيتا (إذا كانت كلتا المعلمتين a و b أقل من 1). ومن بينها أيضاً التوزيع التربيعي U.

نسبة توزيعين طبيعيين هي أيضًا توزيع ثنائي النمط. ليكن

$${\displaystyle R={\frac {a+x}{b+y}}}$$

حيث أن a و b ثابتان، و x و y موزعان كمتغيرات طبيعية بمتوسط ​​0 وانحراف معياري 1. R لها كثافة معروفة يمكن التعبير عنها كدالة فوق هندسية متقاربة . ^{[ 2 ]}

يكون توزيع مقلوب متغير عشوائي يتبع التوزيع الطبيعي ثنائي النمط عندما تكون درجات الحرية أكثر من واحد. وبالمثل، يكون توزيع مقلوب متغير يتبع التوزيع الطبيعي ثنائي النمط أيضًا.

إحصائية t المولدة من مجموعة بيانات مستمدة من توزيع كوشي تكون ثنائية النمط. ^{[ 3 ]}

تشمل أمثلة المتغيرات ذات التوزيع ثنائي النمط الفترة الزمنية بين ثورات بعض الينابيع الحارة ، ولون المجرات ، وحجم النمل النساج العامل ، وعمر الإصابة بسرطان الغدد الليمفاوية هودجكين ، وسرعة تعطيل دواء إيزونيازيد لدى البالغين في الولايات المتحدة، والقدر المطلق للنجوم المستعرة ، وأنماط النشاط اليومي للحيوانات الشفقية التي تنشط في كل من فجر الصباح وفجر المساء. في علم مصايد الأسماك، تعكس توزيعات الأطوال متعددة الأنماط الفئات العمرية المختلفة، وبالتالي يمكن استخدامها لتقدير توزيع الأعمار ونمو تجمعات الأسماك. ^{[ 4 ]} عادةً ما تتوزع الرواسب بطريقة ثنائية النمط. عند أخذ عينات من أنفاق التعدين التي تعبر الصخور المضيفة والعروق المعدنية، يكون توزيع المتغيرات الجيوكيميائية ثنائي النمط. كما تُلاحظ التوزيعات ثنائية النمط في تحليل حركة المرور، حيث تبلغ حركة المرور ذروتها خلال ساعة الذروة الصباحية ثم مرة أخرى خلال ساعة الذروة المسائية. تُلاحظ هذه الظاهرة أيضاً في توزيع المياه اليومي، حيث يبلغ الطلب على المياه، في صورة الاستحمام والطهي واستخدام المراحيض، ذروته عادةً في فترتي الصباح والمساء. كما أظهرت بعض الجينات في البكتيريا توزيعاً ثنائي النمط للتعبير الجيني في كل من الظروف الطبيعية وظروف الإجهاد. ^{[ 5 ]}

في النماذج الاقتصادية القياسية ، قد تكون المعلمات موزعة توزيعًا ثنائي النمط. ^{[ 6 ]}

ينشأ التوزيع ثنائي النمط عادةً كمزيج من توزيعين أحاديي النمط مختلفين (أي توزيعات لها نمط واحد فقط). بعبارة أخرى، يُعرَّف المتغير العشوائي X ذو التوزيع ثنائي النمط على النحو التالي:${\displaystyle Y}$باحتمال${\displaystyle \alpha }$أو${\displaystyle Z}$باحتمال${\displaystyle (1-\alpha ),}$حيث Y و Z متغيران عشوائيان أحاديان النمط و${\displaystyle 0<\alpha <1}$هو معامل الخلط.

لا يشترط أن تكون المخاليط المكونة من عنصرين متميزين ثنائية النمط، وقد تحتوي مخاليط مكونة من عنصرين ذات كثافة عنصرية أحادية النمط على أكثر من نمطين. ولا توجد علاقة مباشرة بين عدد العناصر في الخليط وعدد أنماط الكثافة الناتجة.

على الرغم من شيوع التوزيعات ثنائية النمط في مجموعات البيانات، إلا أنها لم تحظَ بدراسة كافية . قد يعود ذلك إلى صعوبة تقدير معاييرها باستخدام الأساليب الإحصائية التكرارية أو البايزية. ومن بين التوزيعات التي دُرست:

• التوزيع الأسي ثنائي النمط. ^{[ 7 ]}
• توزيع ألفا-الالتواء-الطبيعي. ^{[ 8 ]}
• التوزيع الطبيعي ثنائي النمط المتماثل المائل. ^{[ 9 ]}
• تم تركيب مزيج من توزيعات كونواي-ماكسويل-بواسون على بيانات العد ثنائية النمط. ^{[ 10 ]}

كما تنشأ ثنائية النمط بشكل طبيعي في توزيع الكوارث عند نقطة التحول .

في علم الأحياء، من المعروف أن عدة عوامل تساهم في التوزيعات ثنائية النمط لأحجام السكان :

• التوزيع الأولي للأحجام الفردية
• توزيع معدلات النمو بين الأفراد
• حجم ومعدل نمو كل فرد واعتماده على الوقت
• معدلات الوفيات التي قد تؤثر على كل فئة حجمية بشكل مختلف
• مثيلة الحمض النووي في جينوم الإنسان والفأر.
• ديناميكيات النسخ في منطقة المحفز.

ينشأ التوزيع ثنائي النمط لأحجام عاملات النمل النساج بسبب وجود فئتين متميزتين من العاملات، وهما العاملات الكبيرة والعاملات الصغيرة. ^{[ 11 ]}

كما أن توزيع تأثيرات اللياقة البدنية للطفرات لكل من الجينومات الكاملة ^{[ 12 ] [ 13 ]} والجينات الفردية ^{[ 14 ]} غالباً ما يكون ثنائي النمط حيث تكون معظم الطفرات إما محايدة أو مميتة مع عدد قليل نسبياً لها تأثير متوسط.

يترك

$${\displaystyle f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)\,}$$

حيث يمثل g _i توزيعًا احتماليًا و p هو معامل الخلط.

عزمات f ( x ) هي ^{[ 17 ]}

$$// _ {2}^{2}\يمين]\\[1ex]\nu _{3}&=p\left[S_{1}\sigma _{1}^{3}+3\delta _{1}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{3}\right]+(1-p)\left[S_ {2}\sigma _ {2}^{3}+3\delta _ {2}\سيجما _{2}^{2}+\دلتا _ {2}^{3}\يمين]\\[1ex]\nu _{4}&=p\left[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\delta _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\delta _ {1}^ {4}\ يمين]+(1-p)\left[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3}+6\delta _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _ {2}^{4}\يمين]\\\end {محاذاة}}}$$

أين

• ${\displaystyle \mu =\int xf(x)\,dx}$
• ${\displaystyle \delta _{i}=\mu _{i}-\mu }$
• ${\displaystyle \nu _{r}=\int (x-\mu )^{r}f(x)\,dx}$

و S _i و K _i هما معامل الالتواء ومعامل التفرطح للتوزيع i .

• عندما تكون مكونات الخليط متساوية في التباينات، يكون الخليط أحادي النمط إذا وفقط إذا ^{[ 21 ]}$${\displaystyle d\leq 1}$$أو$${\displaystyle \left\vert \log(1-p)-\log(p)\right\vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},}$$حيث p هو معامل الخلط و$${\displaystyle d={\frac {\left\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right\vert }{2\sigma }},}$$وحيث أن μ ₁ و μ ₂ هما متوسطا التوزيعين الطبيعيين و σ هو انحرافهما المعياري.
• وصف شيلينغ وآخرون ^{[ 15 ]} الاختبار التالي لحالة p = 1/2 .$${\displaystyle r={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.}$$عامل الفصل ( S ) هو$${\displaystyle S={\frac {\sqrt {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2\left(1-r+r^{2}\right)^{1.5}}}{{\sqrt {r}}\left(1+{\sqrt {r}}\right)}}.}$$إذا كانت التباينات متساوية، فإن S = 1. كثافة الخليط أحادية النمط إذا وفقط إذا$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|<S|\sigma _{1}+\sigma _{2}|.}$$
• الشرط الكافي للنمطية الأحادية هو ^{[ 22 ]}$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\min(\sigma _{1},\sigma _{2}).}$$
• إذا كان للتوزيعين الطبيعيين انحرافات معيارية متساوية${\displaystyle \sigma ,}$الشرط الكافي للنمطية الأحادية هو ^{[ 22 ]}$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\sigma {\sqrt {1+{\frac {\left|\ln p-\ln(1-p)\right|}{2}}}}.}$$

إحدى الإحصائيات التي قد تكون مفيدة هي إحصائية Ashman's D: ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle D={\frac {\left|\mu _{1}-\mu _{2}\right|}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}\right)}}}}$$

حيث μ ₁ و μ ₂ هما المتوسطات و σ ₁ و σ ₂ هما الانحرافات المعيارية.

بالنسبة لمزيج من توزيعين طبيعيين، فإن D > 2 مطلوب لفصل التوزيعات بشكل واضح.

هذا المقياس هو متوسط ​​مرجح لدرجة توافق توزيع التردد. ^{[ 24 ]} تتراوح قيمة A من -1 ( ثنائية النمط المثالية ) إلى +1 ( أحادية النمط المثالية ). ويُعرَّف على النحو التالي:

$${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$$

حيث U هي أحادية النمط للتوزيع، و S عدد الفئات التي لها ترددات غير صفرية و K العدد الإجمالي للفئات.

تكون قيمة U مساوية لـ 1 إذا كان للتوزيع أي من الخصائص الثلاث التالية:

• جميع الردود مصنفة في فئة واحدة
• تتوزع الاستجابات بالتساوي بين جميع الفئات
• تتوزع الإجابات بالتساوي بين فئتين متجاورتين أو أكثر، بينما تحتوي الفئات الأخرى على صفر من الإجابات.

في حالة التوزيعات الأخرى، يجب تقسيم البيانات إلى "طبقات". ضمن الطبقة الواحدة، تكون الاستجابات إما متساوية أو صفرًا. لا يشترط أن تكون الفئات متجاورة. تُحسب قيمة _A لكل طبقة ( Aᵢ )، ويُحدد متوسط ​​مرجح للتوزيع. تمثل الأوزان ( wi ₎ لكل طبقة عدد الاستجابات في تلك الطبقة. (مُعبرًا عنها بالرموز)

$${\displaystyle A_{\text{overall}}=\sum _{i}w_{i}A_{i}}$$

التوزيع المنتظم يكون A = 0: عندما تقع جميع الاستجابات في فئة واحدة يكون A = +1.

تتمثل إحدى المشكلات النظرية المتعلقة بهذا المؤشر في أنه يفترض أن الفترات متساوية التباعد. وهذا قد يحد من نطاق تطبيقه.

يفترض هذا المؤشر أن التوزيع هو مزيج من توزيعين طبيعيين بمتوسطات ( μ ₁ و μ ₂ ) وانحرافات معيارية ( σ ₁ و σ ₂ ): ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle S={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{2(\sigma _{1}+\sigma _{2})}}}$$

معامل سارل ثنائي النمط b هو ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle \beta ={\frac {\gamma ^{2}+1}{\kappa }}}$$

حيث γ هو معامل الالتواء و κ هو معامل التفرطح . يُعرَّف التفرطح هنا بأنه العزم الرابع المعياري حول المتوسط. تتراوح قيمة b بين 0 و1. ^{[ 27 ]} يكمن المنطق وراء هذا المعامل في أن التوزيع ثنائي النمط ذي الذيول الخفيفة يتميز بتفرطح منخفض للغاية، أو بطابع غير متماثل، أو كليهما - وكل ذلك يزيد من قيمة هذا المعامل.

الصيغة الخاصة بعينة محدودة هي ^{[ 28 ]}

$${\displaystyle b={\frac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}}$$

حيث n هو عدد العناصر في العينة، و g هو معامل التواء العينة و k هو معامل التفرطح الزائد للعينة .

قيمة b للتوزيع المنتظم هي 5/9، وهي نفسها قيمتها للتوزيع الأسي . قد تشير القيم الأكبر من 5/9 إلى توزيع ثنائي النمط أو متعدد الأنماط، مع العلم أن القيم المقابلة قد تنتج أيضًا عن توزيعات أحادية النمط شديدة الانحراف. ^{[ 29 ]} لا تُبلغ القيمة القصوى (1.0) إلا في توزيع برنولي ذي قيمتين متميزتين فقط، أو في مجموع دالتي ديراك دلتا مختلفتين (توزيع ثنائي دلتا).

توزيع هذه الإحصائية غير معروف. وهي مرتبطة بإحصائية اقترحها بيرسون سابقاً - الفرق بين التفرطح ومربع الالتواء ( انظر أدناه ).

يُعرَّف هذا على أنه ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle A_{B}={\frac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}}$$

حيث A ₁ هي سعة الذروة الأصغر و A _an هي سعة النمط المضاد.

A _B دائماً أقل من 1. تشير القيم الأكبر إلى قمم أكثر وضوحاً.

هذه هي نسبة القمتين اليسرى واليمنى. ^{[ 25 ]} رياضياً

$${\displaystyle R={\frac {A_{r}}{A_{l}}}}$$

حيث أن A _l و A _r هما سعتي الذروتين اليسرى واليمنى على التوالي.

يعود هذا المعامل ( B ) إلى ويلكوك. ^{[ 30 ]}

$${\displaystyle B={\sqrt {\frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum _{i}P_{i}}$$

حيث يمثل A _{_l} و A_{_r} سعة الذروتين اليسرى واليمنى على التوالي، و P _{_i} هو اللوغاريتم الثنائي لنسبة التوزيع في الفترة i ^. القيمة القصوى لـ ΣP هي 1، ولكن قد تكون قيمة B أكبر من ذلك.

لاستخدام هذا المؤشر، يتم حساب لوغاريتم القيم. ثم تُقسّم البيانات إلى فترات عرضها Φ، وقيمتها تساوي لوغاريتم 2. ويُحدد عرض القمم بأربعة أضعاف 1/4Φ، متمركزة حول قيمها القصوى.

في دراسة الرواسب، غالبًا ما يكون توزيع حجم الجسيمات ثنائي النمط. وقد وُجد تجريبيًا أن رسم التردد مقابل لوغاريتم  حجم  الجسيمات مفيد. ^{[ 37 ] [ 38 ]} وهذا عادةً ما يُظهر فصلًا واضحًا للجسيمات في توزيع ثنائي النمط. في التطبيقات الجيولوجية، يُؤخذ اللوغاريتم عادةً للأساس 2. وتُعرف القيم المُحوّلة لوغاريتميًا بوحدات فاي (Φ). يُعرف هذا النظام بمقياس كرومباين (أو فاي).

ثمة طريقة بديلة تتمثل في رسم لوغاريتم حجم الجسيمات مقابل التردد التراكمي. ويتكون هذا الرسم البياني عادةً من خطين مستقيمين تقريبًا، ويربط بينهما خط يمثل النمط المضاد.

إحصائيات

يمكن استخلاص القيم التقريبية للعديد من الإحصائيات من الرسوم البيانية. ^{[ 37 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean}}&={\frac {\phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84}}{3}}\\[1ex]{\text{std. dev.}}&={\frac {\phi _{84}-\phi _{16}}{4}}+{\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{6.6}}\\[1ex]{\text{skewness}}&={\frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}\\[1ex]{\text{kurtosis}}&={\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25})}}\end{aligned}}}$$

حيث φ _x هي قيمة المتغير φ عند النسبة ^{المئوية} x من التوزيع.

كان بيرسون أول من ابتكر في عام 1894 إجراءً لاختبار إمكانية تحليل توزيع ما إلى توزيعين طبيعيين. ^{[ 39 ]} تطلبت هذه الطريقة حل معادلة كثيرة الحدود من الدرجة التاسعة . وفي ورقة بحثية لاحقة، ذكر بيرسون أن معامل الالتواء لأي توزيع يكون ² + 1 < معامل التفرطح. ^{[ 27 ]} وفي وقت لاحق، أثبت بيرسون أن ^{[ 40 ]}

$${\displaystyle b_{2}-b_{1}\geq 1}$$

حيث b₂ هو التفرطح و b₁ هو مربع الالتواء. تتحقق المساواة فقط في حالة توزيع برنولي ذي النقطتين أو مجموع دالتي ديراك دلتا مختلفتين. هاتان الحالتان هما أقصى حالات التوزيع ثنائي النمط الممكنة. التفرطح في كلتا الحالتين يساوي 1. ولأنهما متماثلتان _{، فإن التواءهما يساوي صفرًا ،} والفرق بينهما يساوي 1.

اقترح بيكر تحويلاً لتحويل التوزيع ثنائي النمط إلى توزيع أحادي النمط. ^{[ 41 ]}

طُرحت عدة اختبارات للمقارنة بين التوزيع الأحادي والثنائي: اقترح هالدين اختبارًا قائمًا على الفروق المركزية الثانية. ^{[ 42 ]} ثم قدم لاركين اختبارًا قائمًا على اختبار F؛ ^{[ 43 ]} وابتكر بينيت اختبارًا قائمًا على اختبار G لفيشر . ^{[ 44 ]} واقترح توكيشي اختبارًا رابعًا. ^{[ 45 ] [ 46 ]} واقترح هولزمان وفولمر اختبارًا قائمًا على نسبة الاحتمال. ^{[ 21 ]}

تم اقتراح طريقة تعتمد على النتيجة واختبارات والد. ^{[ 47 ]} تستطيع هذه الطريقة التمييز بين التوزيعات أحادية النمط وثنائية النمط عندما تكون التوزيعات الأساسية معروفة.

الاختبارات الإحصائية للنمط المضاد معروفة. ^{[ 48 ]}

طريقة أوتسو

تُستخدم طريقة أوتسو بشكل شائع في رسومات الحاسوب لتحديد الفصل الأمثل بين توزيعين.

لاختبار ما إذا كان التوزيع غير أحادي النمط، تم ابتكار العديد من الاختبارات الإضافية: اختبار عرض النطاق ، ^{[ 49 ]} اختبار الانخفاض ، [ ^{50 ] اختبار} الكتلة الزائدة ، ^{[ 51 ]} اختبار MAP، ^{[ 52 ]} اختبار وجود النمط ، ^{[ 53 ]} اختبار القزم ، ^{[ 54 ] [ 55 ]} اختبار المدى ، ^{[ 56 ]} واختبار السرج .

تتوفر نسخة من اختبار الميل (dip test) للغة البرمجة R. [ ^{57 ] تتراوح} قيم p لإحصائية الميل بين 0 و1. تشير قيم p الأقل من 0.05 إلى وجود تعدد أنماط ذي دلالة إحصائية، بينما تشير قيم p الأكبر من 0.05 والأقل من 0.10 إلى وجود تعدد أنماط ذي دلالة إحصائية هامشية. ^{[ 58 ]}

قدّم سيلفرمان طريقة إعادة التوزيع العشوائي (Bootstrap) لحساب عدد الأنماط. ^{[ 49 ]} يستخدم الاختبار نطاقًا تردديًا ثابتًا، مما يقلل من قوة الاختبار وقابليته للتفسير. قد تحتوي الكثافات غير المُنعّمة على عدد كبير جدًا من الأنماط التي يكون عددها غير مستقر أثناء إعادة التوزيع العشوائي.

اقترح باجير وأجاروال اختبارًا يعتمد على تفرطح التوزيع. ^{[ 59 ]}

تتوفر اختبارات إضافية لعدد من الحالات الخاصة:

مزيج من توزيعين طبيعيين

أظهرت دراسة لكثافة خليط من بيانات توزيعين طبيعيين أن الفصل إلى التوزيعين الطبيعيين كان صعباً ما لم يتم فصل المتوسطات بمقدار 4-6 انحرافات معيارية. ^{[ 60 ]}

في علم الفلك، تُستخدم خوارزمية مطابقة متوسط ​​النواة لتحديد ما إذا كانت مجموعة البيانات تنتمي إلى توزيع طبيعي واحد أو إلى مزيج من توزيعين طبيعيين.

توزيع بيتا الطبيعي

يكون هذا التوزيع ثنائي النمط لبعض قيم معلمات is. وقد تم وصف اختبار لهذه القيم. ^{[ 61 ]}

توزيعان طبيعيان

تتوفر حزمة برمجية للغة R لاختبار التوزيع ثنائي النمط. ^{[ 62 ]} تفترض هذه الحزمة أن البيانات موزعة كمجموع توزيعين طبيعيين. إذا لم يكن هذا الافتراض صحيحًا، فقد لا تكون النتائج موثوقة. كما تتضمن الحزمة دوالًا لمطابقة مجموع توزيعين طبيعيين مع البيانات.

بافتراض أن التوزيع هو مزيج من توزيعين طبيعيين، يمكن استخدام خوارزمية التوقع والتعظيم لتحديد المعلمات. تتوفر عدة برامج لهذا الغرض، منها Cluster ^{[ 63 ]} وحزمة R المسماة nor1mix ^{[ 64 ] .}

توزيعات أخرى

تتيح حزمة mixtools المتوفرة للغة R اختبار وتقدير معلمات عدد من التوزيعات المختلفة. ^{[ 65 ]} كما تتوفر حزمة لمزيج من توزيعين غاما ذوي ذيل أيمن. ^{[ 66 ]}

تتوفر العديد من الحزم الأخرى لـ R لتركيب نماذج الخليط؛ وتشمل هذه flexmix، ^{[ 67 ]} و mcclust، ^{[ 68 ]} و agrmt، ^{[ 69 ]} و mixdist. ^{[ 70 ]}

يمكن للغة البرمجة الإحصائية SAS أيضًا أن تتناسب مع مجموعة متنوعة من التوزيعات المختلطة باستخدام إجراء PROC FREQ.

في لغة بايثون، تحتوي حزمة Scikit-learn على أداة لنمذجة الخليط ^{[ 71 ].}