الدائرة الكمومية

في نظرية المعلومات الكمومية ، تُعدّ الدائرة الكمومية نموذجًا للحوسبة الكمومية ، على غرار الدوائر الكلاسيكية ، حيث تتكون عملية الحساب من سلسلة من البوابات الكمومية ، والقياسات ، وتهيئة الكيوبتات بقيم معروفة، وربما إجراءات أخرى. ويُعرف الحد الأدنى من الإجراءات التي يجب أن تكون الدائرة قادرة على تنفيذها على الكيوبتات لتمكين الحوسبة الكمومية بمعايير دي فينسينزو .

تُكتب الدوائر بحيث يُمثل المحور الأفقي الزمن، بدءًا من اليسار وانتهاءً باليمين. الخطوط الأفقية تُمثل الكيوبتات، والخطوط المزدوجة تُمثل البتات التقليدية . العناصر المتصلة بهذه الخطوط هي العمليات التي تُجرى على الكيوبتات، مثل القياسات أو البوابات المنطقية. تُحدد هذه الخطوط تسلسل الأحداث، وعادةً لا تكون كابلات مادية. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

يتم وصف التمثيل البياني لعناصر الدوائر الكمومية باستخدام صيغة معدلة من تدوين بنروز البياني . وقد استخدم ريتشارد فاينمان نسخة مبكرة من تدوين الدوائر الكمومية في عام 1986. ^{[ 5 ]}

معظم البوابات المنطقية الأساسية في الحاسوب التقليدي غير قابلة للعكس . فعلى سبيل المثال، في بوابة AND ، لا يمكن دائمًا استعادة بتّي الإدخال من بتّ الإخراج؛ فإذا كان بتّ الإخراج 0، فلا يمكننا تحديد ما إذا كانت بتّات الإدخال 01 أو 10 أو 00.

مع ذلك، يُمكن بسهولة إنشاء البوابات العكسية في الحواسيب التقليدية لسلاسل البتات مهما كان طولها؛ بل إنها ذات أهمية عملية، لأن البوابات غير العكسية تزيد دائمًا من الإنتروبيا الفيزيائية _{. البوابة العكسية هي دالة عكسية على بيانات مكونة من n بت، تُعيد بيانات مكونة من n بت، حيث تمثل البيانات المكونة من n بت سلسلة من البتات x₁} , x₂ , ... , xₙ بطول n . مجموعة البيانات المكونة من _n بت هي الفضاء _{ 0,1 } ⁿ ، ^الذي يتكون من 2ⁿ ^سلسلة من الأصفار والآحاد.

بتعبير أدق: البوابة العكسية ذات n بت هي دالة تقابلية f من المجموعة {0,1} ^ⁿ من البيانات ذات n بت إلى نفسها. مثال على هذه البوابة العكسية f هو دالة تُطبق تبديلاً ثابتاً على مدخلاتها. ولأسباب هندسية عملية، عادةً ما تُدرس البوابات لقيم صغيرة من n ، مثل n = 1 أو n = 2 أو n = 3. ويمكن وصف هذه البوابات بسهولة باستخدام الجداول.

تُعدّ البوابات المنطقية الكمومية تحويلات وحدوية قابلة للعكس على كيوبت واحد على الأقل. ويُشار إلى الكيوبتات المتعددة مجتمعةً باسم السجلات الكمومية . ولتعريف البوابات الكمومية، نحتاج أولًا إلى تحديد الاستبدال الكمومي لبيانات مكونة من n بت. ويُعرف فضاء هيلبرت بأنه النسخة الكمومية من الفضاء الكلاسيكي المكون من n بت {0,1} ^n.

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).}$

هذا بحكم التعريف هو فضاء الدوال ذات القيم المركبة على {0,1} ⁿ وهو بطبيعة الحال فضاء حاصل الضرب الداخلي .${\displaystyle \ell ^{2}}$يعني ذلك أن الدالة ^قابلة للتكامل التربيعي . ويمكن اعتبار هذا الفضاء مكونًا من تراكيب خطية ، أو تراكبات ، لسلاسل بتات كلاسيكية. لاحظ أن HQB _{( n )} هو فضاء متجهي على الأعداد المركبة ذي بُعد 2n . عناصر هذا الفضاء المتجهي هي متجهات الحالة الممكنة لسجلات الكم ذات n كيوبت .

باستخدام ترميز ديراك ، إذا كانت _x1 ، x2 ، _{... ، xn} سلسلة بتات كلاسيكية، فإن

${\displaystyle |x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle \quad }$

هو سجل خاص مكون من n كيوبت، يُقابل الدالة التي تُحوّل سلسلة البتات الكلاسيكية هذه إلى 1، وتُحوّل جميع سلاسل البتات الأخرى إلى 0؛ تُسمى هذه السجلات الخاصة المكونة من n كيوبت، وعددها 2^ ^n، حالات الأساس الحسابي . جميع سجلات n كيوبت هي تركيبات خطية معقدة من حالات الأساس الحسابي هذه.

تتميز البوابات المنطقية الكمومية، على عكس البوابات المنطقية الكلاسيكية، بأنها قابلة للعكس دائمًا. ويتطلب ذلك نوعًا خاصًا من الدوال القابلة للعكس، وهي التحويل الوحدوي ، أي التحويل الخطي لفضاء الضرب الداخلي المركب الذي يحافظ على الضرب الداخلي الهيرميتي . البوابة الكمومية ذات n كيوبت (القابلة للعكس) هي تحويل وحدوي U من الفضاء H _{QB( n )} لسجلات n كيوبت إلى نفسه.

عادةً، نحن مهتمون فقط بالبوابات ذات القيم الصغيرة لـ n .

تؤدي بوابة منطقية كلاسيكية قابلة للعكس مكونة من n بت إلى بوابة كمومية قابلة للعكس مكونة من n بت على النحو التالي: لكل بوابة منطقية قابلة للعكس مكونة من n بت f ، توجد بوابة كمومية W _f معرفة على النحو التالي:

${\displaystyle W_{f}(|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle )=|f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\rangle .}$

لاحظ أن W _f يقوم بتبديل حالات الأساس الحسابي.

تُعد بوابة NOT المتحكم بها (وتُسمى أيضًا بوابة CNOT ) ذات أهمية خاصة، حيث _{تُعرَّف} على كيوبتين كموميين. ومن الأمثلة الأخرى على بوابات المنطق الكمومي المشتقة من البوابات الكلاسيكية بوابة توفولي وبوابة فريدكين .

مع ذلك، يسمح هيكل فضاء هيلبرت للكيوبتات بالعديد من البوابات الكمومية التي لا تنتج عن البوابات الكلاسيكية. على سبيل المثال، إزاحة الطور النسبية هي بوابة كيوبت واحد تُعطى بالضرب في عامل إزاحة الطور .

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}},}$

لذا

${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle \quad P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle .}$

مرة أخرى، نبدأ بالحساب الكلاسيكي القابل للعكس . من الناحية النظرية، لا فرق بين دائرة قابلة للعكس مكونة من n بت وبوابة منطقية قابلة للعكس مكونة من n بت: فكلتاهما دالة قابلة للعكس على فضاء بيانات مكون من n بت. مع ذلك، وكما ذكرنا في القسم السابق، ولأسباب هندسية، نفضل استخدام عدد قليل من البوابات البسيطة القابلة للعكس، والتي يمكن تجميعها معًا لتكوين أي دائرة قابلة للعكس.

لتوضيح عملية التجميع هذه، لنفترض أن لدينا بوابة عكسية f ذات n بت وبوابة عكسية g ذات m بت . يعني تجميعهما معًا إنشاء دائرة جديدة عن طريق توصيل مجموعة من k مخرجات f بمجموعة من k مدخلات g كما في الشكل أدناه. في هذا الشكل، n = 5، k = 3، و m = 7. الدائرة الناتجة قابلة للعكس أيضًا وتعمل على n + m − k بت.

سنشير إلى هذا المخطط باسم التجميع الكلاسيكي (يتوافق هذا المفهوم مع تعريف تقني في ورقة كيتايف الرائدة المذكورة أدناه). عند تركيب هذه الآلات القابلة للعكس، من المهم ضمان أن تكون الآلات الوسيطة قابلة للعكس أيضًا. يضمن هذا الشرط عدم تكوّن "نفايات" وسيطة (سيؤدي ذلك إلى زيادة الإنتروبيا، وهو أحد دوافع إجراء هذه العملية).

لاحظ أن كل خط أفقي في الصورة أعلاه يمثل إما 0 أو 1، وليس هذه الاحتمالات. ولأن الحسابات الكمومية قابلة للعكس، يجب أن يكون عدد الخطوط في كل "خطوة" مساويًا لعدد خطوط الإدخال. كما يجب ربط كل تركيبة إدخال بتركيبة واحدة في كل "خطوة". هذا يعني أن كل تركيبة وسيطة في الدائرة الكمومية هي دالة تقابلية للإدخال. ^{[ 6 ]}

الآن، من الممكن إثبات أن بوابة توفولي هي بوابة شاملة. هذا يعني أنه بالنظر إلى أي دارة كلاسيكية قابلة للعكس مكونة من n بت h ، يمكننا إنشاء مجموعة كلاسيكية من بوابات توفولي بالطريقة المذكورة أعلاه لإنتاج دارة f مكونة من ( n + m ) بت بحيث

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},\underbrace {0,\dots ,0} )=(y_{1},\ldots ,y_{n},\underbrace {0,\ldots ,0} )}$

حيث يوجد m مدخلات صفرية مدعومة بأقواس سفلية و

${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})=h(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

لاحظ أن النتيجة تحتوي دائمًا على سلسلة من m أصفار كبتات مساعدة . لا يتم إنتاج أي بيانات غير مرغوب فيها، وبالتالي فإن هذه العملية الحسابية، من الناحية الفيزيائية، لا تولد أي إنتروبيا. وقد نوقشت هذه المسألة بالتفصيل في مقال كيتايف.

بشكل عام، يمكن محاكاة أي دالة f (سواء كانت تقابلية أم لا) بواسطة دائرة من بوابات توفولي. من الواضح أنه إذا لم تكن الدالة تقابلية ، فسيتم إنتاج بعض البيانات غير المرغوب فيها في مرحلة ما من المحاكاة (على سبيل المثال، في الخطوة الأخيرة).

بالنسبة للدوائر الكمومية، يمكن تعريف تركيبة مماثلة لبوابات الكيوبت. أي، بالاقتران مع أي مجموعة كلاسيكية كما سبق، يمكننا إنتاج دائرة كمومية قابلة للعكس عندما نستبدل f ببوابة U ذات n كيوبت ، ونستبدل g ببوابة W ذات m كيوبت . انظر الرسم التوضيحي أدناه:

من السهل التحقق من أن توصيل البوابات بهذه الطريقة يُنتج تطبيقًا وحدويًا على فضاء الكيوبتات n + m − k . في الحواسيب الكمومية الحقيقية، يُمثل الاتصال الفيزيائي بين البوابات تحديًا هندسيًا كبيرًا، لأنه أحد المواضع التي قد يحدث فيها فقدان الترابط الكمومي .

توجد أيضًا _نظريات شمولية لمجموعات معينة من البوابات المعروفة؛ فعلى سبيل المثال، توجد نظرية شمولية للزوج المكون من بوابة الطور أحادية الكيوبت Uθ المذكورة أعلاه (لقيمة مناسبة لـ θ)، بالإضافة إلى بوابة CNOT ثنائية الكيوبت WCNOT _. مع ذلك، فإن نظرية الشمولية في الحالة الكمومية أضعف نوعًا ما من نظيرتها في الحالة الكلاسيكية؛ فهي تؤكد فقط أنه يمكن تقريب أي دائرة عكسية مكونة من n كيوبت بدقة عالية باستخدام دوائر مُجمَّعة من هاتين البوابتين الأساسيتين. تجدر الإشارة إلى وجود عدد لا يُحصى _{من بوابات الطور أحادية الكيوبت الممكنة، بوابة} واحدة لكل زاوية θ ممكنة، لذا لا يمكن تمثيلها جميعًا بدائرة محدودة مُكوَّنة من { Uθ , WCNOT }.

لم نُبين حتى الآن كيفية استخدام الدوائر الكمومية لإجراء العمليات الحسابية. بما أن العديد من المسائل العددية المهمة تُختزل إلى حساب تحويل وحدوي U على فضاء محدود الأبعاد ( ويُعدّ تحويل فورييه المنفصل الشهير مثالًا بارزًا على ذلك)، فقد يتوقع المرء إمكانية تصميم دائرة كمومية لتنفيذ هذا التحويل U. من حيث المبدأ، يكفي تحضير حالة ψ ذات n كيوبت كتركيب مناسب لحالات الأساس الحسابي للمدخلات، وقياس المخرجات U ψ. مع ذلك، توجد مشكلتان في هذا:

• لا يمكن قياس طور ψ عند أي حالة أساسية حسابية، لذا لا توجد طريقة لقراءة الإجابة الكاملة. هذا من طبيعة القياس في ميكانيكا الكم.
• لا توجد طريقة لإعداد حالة الإدخال ψ بكفاءة.

لا يمنع هذا استخدام الدوائر الكمومية لتحويل فورييه المنفصل كخطوات وسيطة في دوائر كمومية أخرى، لكن استخدامها أكثر دقة. في الواقع، الحسابات الكمومية احتمالية .

نقدم الآن نموذجًا رياضيًا لكيفية محاكاة الدوائر الكمومية للحسابات الاحتمالية الكلاسيكية. لنفترض دائرة U ذات r كيوبت، بمساحة سجلات H = _{QB( r )} . بالتالي، فإن U عبارة عن تطبيق وحدوي.

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (r)}\rightarrow H_{\operatorname {QB} (r)}.}$

لربط هذه الدائرة بعملية ربط كلاسيكية على سلاسل البتات، نحدد

• سجل إدخال X = {0,1} ^m من m بت (كلاسيكي).
• سجل إخراج Y = {0,1} ⁿ من n بت (كلاسيكي).

تُستخدم محتويات x = x1 _, ..., xm من سجل الإدخال الكلاسيكي لتهيئة سجل الكيوبت بطريقة ما. من الناحية المثالية، يتم ذلك باستخدام حالة الأساس الحسابي _.

${\displaystyle |{\vec {x}},0\rangle =|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m},\underbrace {0,\dots ,0} \rangle ,}$

حيث يوجد r - m مدخلات صفرية ذات أقواس سفلية. ومع ذلك، فإن هذه التهيئة المثالية غير واقعية تمامًا. لنفترض إذن أن التهيئة هي حالة مختلطة معطاة بواسطة عامل كثافة S قريب من المدخل المثالي في مقياس مناسب، على سبيل المثال

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |}\right)\leq \delta .}$

وبالمثل، ترتبط مساحة سجل الإخراج بسجل الكيوبت من خلال متغير قابل للرصد A ذي قيمة Y. تجدر الإشارة إلى أن المتغيرات القابلة للرصد في ميكانيكا الكم تُعرَّف عادةً بدلالة مقاييس إسقاطية على R ؛ إذا كان المتغير منفصلاً، فإن المقياس الإسقاطي يختزل إلى عائلة {E _λ } مفهرسة بمعامل λ ما، وتتراوح قيمتها على مجموعة قابلة للعد. وبالمثل، يمكن ربط متغير قابل للرصد ذي قيمة Y بعائلة من الإسقاطات المتعامدة الثنائية {E _y } المفهرسة بعناصر Y ، بحيث

${\displaystyle I=\sum _{y\in Y}\operatorname {E} _{y}.}$

بالنظر إلى حالة مختلطة S ، يوجد مقياس احتمالي على Y يُعطى بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{y}).}$

يتم حساب الدالة F : X → Y بواسطة دائرة U : H _{QB( r )} → H _{QB( r )} بدقة تصل إلى ε إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا لجميع سلاسل البتات x ذات الطول m

${\displaystyle \left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle =\left\langle \operatorname {E} _{F(x)}U(|{\vec {x}},0\rangle ){\big |}U(|{\vec {x}},0\rangle )\right\rangle \geq 1-\epsilon .}$

الآن

$\displaystyle \left|\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)-\left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle \right|\leq \operatorname {Tr} ({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |})\|U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U\|\leq \delta }$

لهذا السبب.

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)\geq 1-\epsilon -\delta .}$

نظرية . إذا كان ε + δ < 1/2، فإن توزيع الاحتمال

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{y}U)}$

يمكن استخدام التوزيع الاحتمالي Pr على Y لتحديد F ( x ) باحتمالية خطأ صغيرة جدًا عن طريق أخذ عينات بالأغلبية، وذلك لحجم عينة كبير بما فيه الكفاية. تحديدًا، نأخذ k عينة مستقلة من التوزيع الاحتمالي Pr على Y ونختار قيمة تتفق عليها أكثر من نصف العينات. احتمال أن يتم أخذ عينة من القيمة F ( x ) أكثر من k /2 مرة هو على الأقل

${\displaystyle 1-e^{-2\gamma ^{2}k},}$

حيث γ = 1/2 - ε - δ.

ويتبع ذلك تطبيق حد تشيرنوف .

• تدوين الفهرس المجرد
• مخططات الزخم الزاوي (ميكانيكا الكم)
• تعقيد الدوائر الكهربائية و BQP
• تستخدم حالة ضرب المصفوفة تدوين بنروز البياني
• مسجل الكم
• شبكات سبين
• مخطط التتبع

• بيهام، إيلي ؛ براسارد، جيل ؛ كينيغسبيرغ، دان؛ مور، تال (2004)، "الحوسبة الكمومية بدون تشابك"، علوم الحاسوب النظرية ، 320 (1): 15-33 ، arXiv : quant-ph/0306182 ، doi : 10.1016/j.tcs.2004.03.041 ، MR 2060181 ، S2CID 295103  .
• فريدمان، مايكل هـ .؛ كيتايف، أليكسي ؛ لارسن، مايكل ج .؛ وانغ، تشنغهان (2003)، "الحوسبة الكمومية الطوبولوجية"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 40 (1): 31-38 ، arXiv : quant-ph/0101025 ، doi : 10.1090/S0273-0979-02-00964-3 ، MR 1943131 .
• هيرفينسالو، ميكا (2001)، الحوسبة الكمومية ، سلسلة الحوسبة الطبيعية، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-66783-0، MR 1931238 .
• كيتايف، أ. يو. (1997)، "الحوسبة الكمومية: الخوارزميات وتصحيح الأخطاء"، أوسبيخي مات. ناوك (باللغة الروسية)، 52 (6(318)): 53-112 ، Bibcode : 1997RuMaS..52.1191K ، doi : 10.1070/RM1997v052n06ABEH002155 ، MR 1611329 ، S2CID 250816585  .
• نيلسن، مايكل أ .؛ تشوانغ، إسحاق ل. (2000)، الحوسبة الكمومية والمعلومات الكمومية ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-63235-8MR 1796805​ .

• Q-circuit المؤرشف بتاريخ 2019-03-23 ​​في Wayback Machine عبارة عن حزمة ماكرو لرسم مخططات الدوائر الكمومية في LaTeX.
• محاكي الدوائر الكمومية (Davy Wybiral) ( qcsimulator.github.io على GitHub ) محرر ومحاكي لرسوم الدوائر الكمومية يعمل عبر المتصفح.
• بيئة اختبار الحوسبة الكمومية ( Quantum-Computing-Playground على GitHub ) هي بيئة برمجة نصية كمومية قائمة على المتصفح.
• Quirk - Quantum Circuit Toy ( Quirk على GitHub ) هو محرر ومحاكي لرسوم الدوائر الكمومية يعمل عبر المتصفح.