الترميز البياني لبنروز

الموسوعة الحرة

تمثيل بنروز البياني (تمثيل مخطط الموتر) لحالة ضرب المصفوفة لخمس جسيمات

في الرياضيات والفيزياء ، فإن تدوين بنروز البياني أو تدوين مخطط الموترات هو تمثيل مرئي (عادة ما يكون مكتوبًا بخط اليد) للدوال متعددة الخطية أو الموترات التي اقترحها روجر بنروز في عام 1971. ^[¹^] يتكون الرسم البياني في هذا التدوين من عدة أشكال متصلة ببعضها البعض بواسطة خطوط.

يظهر هذا الترميز على نطاق واسع في نظرية الكم الحديثة ، لا سيما في حالات ضرب المصفوفات والدوائر الكمومية . وعلى وجه الخصوص، تُعد ميكانيكا الكم الفئوية (التي تشمل حساب ZX ) إعادة صياغة شاملة لنظرية الكم باستخدام مخططات بنروز.

لقد دُرست هذه الرموز على نطاق واسع من قبل بريدراج سيفيتانوفيتش ، الذي استخدمها، إلى جانب مخططات فاينمان وغيرها من الرموز ذات الصلة، في تطوير "مسارات الطيور"، وهو مخطط نظري للمجموعات لتصنيف مجموعات لي الكلاسيكية . ^{[ 2 ]} كما تم تعميم رموز بنروز باستخدام نظرية التمثيل لشبكات الدوران في الفيزياء، ومع وجود مجموعات المصفوفات لمخططات التتبع في الجبر الخطي .

التفسيرات

الجبر متعدد الخطوط

في لغة الجبر متعدد الخطوط ، يمثل كل شكل دالة متعددة الخطوط . وتمثل الخطوط المتصلة بالأشكال مدخلات أو مخرجات الدالة، وربط الأشكال معًا بطريقة ما هو في الأساس تركيب الدوال .

الموترات

في لغة جبر الموترات ، يرتبط كل موتر بشكل معين، حيث تمتد منه خطوط عديدة لأعلى ولأسفل، تُقابل مؤشرات علوية وسفلية مجردة للموترات على التوالي. ويُقابل انكماش هذه المؤشرات بخطوط تصل بين شكلين . ومن مزايا هذه الطريقة أنها لا تتطلب ابتكار رموز جديدة للمؤشرات الجديدة، كما أنها مستقلة تمامًا عن الأساس . ^[³^]

المصفوفات

يمثل كل شكل مصفوفة، ويتم ضرب الموترات أفقيًا، ويتم ضرب المصفوفات رأسيًا.

تمثيل الموترات الخاصة

موتر متري

يتم تمثيل الموتر المتري بحلقة على شكل حرف U أو حلقة مقلوبة على شكل حرف U، وذلك حسب نوع الموتر المستخدم.

{\displaystyle g^{ab}} — موتر متري $g^{ab}$

{\displaystyle g_{ab}} — موتر متري $g_{ab}$

موتر ليفي-تشيفيتا

يتم تمثيل موتر ليفي-سيفيتا غير المتناظر بواسطة شريط أفقي سميك مع عصي تشير إلى الأسفل أو الأعلى، اعتمادًا على نوع الموتر المستخدم.

{\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}} — $\varepsilon _{ab\ldots n}$

{\displaystyle \varepsilon ^{ab\ldots n}} — $\varepsilon ^{ab\ldots n}$

{\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}} — $\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}$ $=n!$

ثابت البنية

ثابت البنية ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

{\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }} — ثابت البنية ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

ثوابت البنية ( ${\gamma _{ab}}^{c}$ يتم تمثيل ) من جبر لي بواسطة مثلث صغير بخط واحد يشير إلى الأعلى وخطين يشيران إلى الأسفل.

عمليات الموتر

انكماش المؤشرات

يتم تمثيل انكماش المؤشرات عن طريق ضم خطوط المؤشر معًا.

{\displaystyle \delta _{b}^{a}} — دلتا كرونكر $\delta _{b}^{a}$

{\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}} — منتج نقطي $\beta _{a}\,\xi ^{a}$

$g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

{\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}} — $g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

التناظر

يتم تمثيل تناظر المؤشرات بواسطة شريط متعرج سميك أو متموج يعبر خطوط المؤشر أفقيًا.

التناظر $Q^{(ab\ldots n)}$ (مع ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$ )

{\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}} — التناظر $Q^{(ab\ldots n)}$ (مع ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$ )

التناظر المضاد

يتم تمثيل عدم التناظر للمؤشرات بخط مستقيم سميك يتقاطع مع خطوط المؤشر أفقيًا.

التناظر المضاد $E_{[ab\ldots n]}$ (مع ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$ )

{\displaystyle E_{[ab\ldots n]}} — التناظر المضاد $E_{[ab\ldots n]}$ (مع ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$ )

المحدد

يتم تكوين المحدد عن طريق تطبيق التناظر العكسي على المؤشرات.

المحدد $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

{\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)} — المحدد $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

معكوس المصفوفة $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

{\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}} — معكوس المصفوفة $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

المشتق المتغير

المشتق المتغير ( $\nabla$ يتم تمثيل ) بدائرة حول الموترات المراد تفاضلها وخط متصل من الدائرة يشير إلى الأسفل لتمثيل الدليل الأدنى للمشتقة.

المشتق المتغير $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$ $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

{\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)} — المشتق المتغير $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$ $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

معالجة الموترات

يُعدّ الترميز التخطيطي مفيدًا في التعامل مع جبر الموترات. وعادةً ما يتضمن عددًا قليلاً من " المتطابقات " البسيطة لعمليات معالجة الموترات.

على سبيل المثال، $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ ، حيث n هو عدد الأبعاد، هو "هوية" مشتركة.

موتر انحناء ريمان

توضح متطابقات ريتشي وبيانكي، المعطاة بدلالة موتر انحناء ريمان، قوة الترميز.

رمز موتر انحناء ريمان

موتر ريتشي $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

{\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}} — موتر ريتشي $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

هوية ريتشي $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$ $=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

{\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}} — هوية ريتشي $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$ $=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

هوية بيانكي $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

{\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0} — هوية بيانكي $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

الإضافات

تم توسيع نطاق الترميز ليشمل ^دعمًا للسبينورات والتويستورات . ^[⁴^] [ ⁵^]

انظر أيضاً

تدوين الفهرس المجرد
مخططات الزخم الزاوي (ميكانيكا الكم)
فئة أحادية مضفرة
تستخدم ميكانيكا الكم الفئوية تدوين مخطط الموتر
تستخدم حالة ضرب المصفوفة تدوين بنروز البياني
حساب ريتشي
شبكات سبين
مخطط التتبع

ملحوظات

↑ روجر بنروز ، " تطبيقات الموترات ذات الأبعاد السالبة "، في الرياضيات التوافقية وتطبيقاتها ، دار النشر الأكاديمية (1971). انظر فلاديمير توراييف، الثوابت الكمومية للعقد والمتشعبات ثلاثية الأبعاد (1994)، دار دي جرويتر، ص 71 لتعليق موجز.
↑ بريدراج سيفيتانوفيتش (2008). نظرية الجماعة: مسارات الطيور، ومجموعات لاي، والجماعات الاستثنائية . مطبعة جامعة برينستون.
↑ روجر بنروز ، الطريق إلى الواقع: دليل شامل لقوانين الكون ، 2005، رقم ISBN 0-09-944068-7، الفصل: متعددات الأبعاد ذات n بُعد .
↑ بينروز، ر.؛ ريندلير، و. (1984). السبينورات والزمكان: المجلد الأول، حساب السبينورات الثنائية والحقول النسبية . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 424-434 . ISBN 0-521-24527-3.
↑ بينروز، ر.؛ ريندلير، و. (1986). السبينورات والزمكان: المجلد الثاني، طرق السبينور والتويستور في هندسة الزمكان . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-25267-9.

فئات :

الموترات
الفيزياء النظرية
الترميز الرياضي
جبر المخططات
روجر بنروز

التصنيفات المخفية:

مقالات ذات وصف موجز
يتطابق الوصف المختصر مع بيانات ويكي
رابط فئة Commons موجود على ويكي بيانات