التبادل الرباعي

أول ما يُلاحظ عند العمل ضمن حلقة الأعداد الصحيحة Z هو أنه إذا كان العدد الأولي q يساوي 3 (mod 4)، فإن الباقي r يكون باقيًا تربيعيًا (mod q ) إذا وفقط إذا كان باقيًا تربيعيًا ثنائيًا (mod q ). في الواقع، ينص الملحق الأول لخاصية التبادل التربيعي على أن -1 هو باقي غير تربيعي (mod q )، وبالتالي، لأي عدد صحيح x، يكون أحد العددين x أو -x باقيًا تربيعيًا والآخر باقيًا غير تربيعي. وبالتالي، إذا كان ^{r ≡ a²} ( mod q ) باقيًا تربيعيًا، فإذا كان ^a ≡ b² باقيًا ، فإن r ≡ a² ≡ ^b⁴ (mod q ) باقيًا تربيعيًا مزدوجًا، وإذا كان a ليس باقيًا، ^فإن −a باقي، و− a ≡ b² ، ومرة ​​أخرى، ^فإن r ≡ ( −a ) ² ^≡ b⁴ ( ^mod q ) ^باقيًا تربيعيًا مزدوجًا. ^{[ 11} ]

لذلك، فإن الحالة الوحيدة المثيرة للاهتمام هي عندما يكون المعامل p ≡ 1 (mod 4).

Gauss proved^[12] that if p≡ 1 (mod 4) then the nonzero residue classes (mod p) can be divided into four sets, each containing (p−1)/4 numbers. Let e be a quadratic nonresidue. The first set is the quartic residues; the second one is e times the numbers in the first set, the third is e² times the numbers in the first set, and the fourth one is e³ times the numbers in the first set. Another way to describe this division is to let g be a primitive root (mod p); then the first set is all the numbers whose indices with respect to this root are ≡ 0 (mod 4), the second set is all those whose indices are ≡ 1 (mod 4), etc.^[13] In the vocabulary of group theory, the first set is a subgroup of index 4 (of the multiplicative group Z/pZ^×), and the other three are its cosets.

The first set is the biquadratic residues, the third set is the quadratic residues that are not quartic residues, and the second and fourth sets are the quadratic nonresidues. Gauss proved that −1 is a biquadratic residue if p≡ 1 (mod 8) and a quadratic, but not biquadratic, residue, when p≡ 5 (mod 8).^[14]

2 is a quadratic residue mod p if and only if p≡ ±1 (mod 8). Since p is also ≡ 1 (mod 4), this means p≡ 1 (mod 8). Every such prime is the sum of a square and twice a square.^[15]

Gauss proved^[14]

Let q = a² + 2b²≡ 1 (mod 8) be a prime number. Then

2 is a biquadratic residue (mod q) if and only if a≡ ±1 (mod 8), and

2 is a quadratic, but not a biquadratic, residue (mod q) if and only if a≡ ±3 (mod 8).

كل عدد أولي ^p ≡ 1 (mod 4) هو مجموع مربعين. ^{[ 16 ]} إذا كان ^p = a² + b² حيث a عدد فردي و b عدد زوجي، فقد أثبت غاوس ^{[ 17 ]} أن

ينتمي العدد 2 إلى الفئة الأولى (أو الثانية أو الثالثة أو الرابعة) المحددة أعلاه إذا وفقط إذا كان b ≡ 0 (أو 2 أو 4 أو 6) (mod 8). الحالة الأولى من ذلك هي إحدى تخمينات أويلر.

2 هو باقي تربيعي ثنائي لعدد أولي p ≡ 1 (mod 4) إذا وفقط إذا كان p = a ² + 64 b ² .

بالنسبة لعدد أولي فردي p وباقي تربيعي a (mod p )، ينص معيار أويلر على ما يلي:${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}},}$إذا كان p ≡ 1 (mod 4)،${\displaystyle a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.}$

عرّف رمز الباقي الرباعي النسبي للعدد الأولي p ≡ 1 (mod 4) والباقي التربيعي a (mod p ) كما يلي:${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.}$من السهل إثبات أن a هو باقي قسمة من الدرجة الثانية (mod p ) إذا وفقط إذا${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=1.}$

قام ديريشليه ^{[ 18 ]} بتبسيط برهان جاوس على الخاصية التربيعية المزدوجة للعدد 2 (يتطلب برهانه فقط التبادل التربيعي للأعداد الصحيحة) ووضع النتيجة في الشكل التالي:

ليكن p = a² + b² ≡ 1 (mod 4) عددًا أوليًا، وليكن i ≡ b / ^a (mod ^p ) . عندئذٍ

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.}$    (لاحظ أن i ² ≡ − 1 (mod p ).)

في الواقع، ^{[ 19 ] ليكن} p = a² + ^b² = c² + ^2d² = ^e² − ^2f² ≡ 1 ( mod 8 ) عددًا أوليًا، ولنفترض أن ^a عدد فردي . عندئذٍ

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg )}=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},}$  أين${\displaystyle ({\tfrac {x}{q}})}$هو رمز ليجندر العادي .

^{وبغض النظر عن} خاصية العدد 2، ليكن العدد الأولي ^p = a² + b² حيث b عدد زوجي، وليكن q عددًا أوليًا بحيث${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$ تنص قاعدة التبادلية التربيعية على أن${\displaystyle ({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,}$أين${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$ليكن σ ² ≡ p (mod q ). إذن ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma )}{q}}{\Bigg )}.}$وهذا يعني ^{[ 21 ]} أن

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ or }}\\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ and }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ or }}\\a\equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, and }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}}$

الأمثلة القليلة الأولى هي: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({\frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}\;\;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}}$

لقد افترض أويلر القواعد الخاصة بـ 2 و -3 و 5، لكنه لم يثبت أيًا منها.

أثبت ديريشليه ^{[ 23 ]} أيضًا أنه إذا كان p ≡ 1 (mod 4) عددًا أوليًا و${\displaystyle ({\tfrac {17}{p}})=1}$ثم

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}\end{cases}}}$

وقد تم توسيع هذا النطاق من 17 إلى 17 و73 و97 و193 بواسطة براون وليمر. ^{[ 24 ]}

هناك عدد من الطرق المكافئة لصياغة قانون التبادلية العقلاني ثنائي التربيع لبورد.

يفترضون جميعًا أن p = a² + b² ^و q = c² + ^d² عددان أوليان حيث ^b و d عددان ^زوجيان ، وأن${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$

نسخة جوسيت هي ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.}$

بوضع i ² ≡ − 1 (mod p ) و j ² ≡ − 1 (mod q )، فإن قانون فروليش هو ^{[ 25 ]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.}$

وقد ذكر بورد رأيه بالشكل التالي: ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.}$

لاحظ أن ^{[ 29 ]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.}$

ليكن p ≡ q ≡ 1 (mod 4) عددين أوليين، ولنفترض${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1}$إذن، فإن المعادلة e ² = pf ² + qg ² لها حلول صحيحة غير تافهة، و ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).}$

ليكن p ≡ q ≡ 1 (mod 4) عددين أوليين، ولنفترض أن p = r ² + qs ^2. إذن ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.}$

ليكن p = 1 + 4 × ² عددًا أوليًا، وليكن a أي عدد فردي يقسم x ، وليكن${\displaystyle a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.}$ثم ^{[ 32 ]} a ^* هو بقايا ثنائية التربيع (mod p ).

ليكن p = a² ⁺ 4b² = c² ⁺ 2d² ≡ 1 ^{(mod 8) عددًا أوليًا. عندئذٍ [33 ]} تكون ^جميع قواسم ^{c⁴ −} pa² بواقي تربيعية ( ^mod p ) . وينطبق الأمر نفسه على جميع قواسم ^d⁴ − ^{pb² .}

في دراسته الثانية حول التبادلية ثنائية التربيع، يعرض غاوس بعض الأمثلة ويطرح تخمينات تستلزم النظريات المذكورة أعلاه بشأن الخاصية ثنائية التربيع للأعداد الأولية الصغيرة. ويُدلي ببعض الملاحظات العامة، ويُقرّ بعدم وجود قاعدة عامة واضحة. ثم يقول:

تتألق نظريات البواقي التربيعية الثنائية بأقصى درجات البساطة والجمال الحقيقي فقط عندما يتم توسيع مجال الحساب ليشمل الأعداد التخيلية ، بحيث تشكل الأعداد من الشكل a + bi موضوع الدراسة دون أي قيود... ونطلق على هذه الأعداد اسم الأعداد المركبة الصحيحة . ^{[ 34 ]} [مُظلل في الأصل]

تُسمى هذه الأعداد الآن حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية ، ويرمز لها بـ Z [ i ]. لاحظ أن i هو الجذر الرابع للعدد 1.

ويضيف في حاشية سفلية

يجب أن تستند نظرية البواقي التكعيبية بطريقة مماثلة على دراسة الأعداد من الشكل a + bh حيث h هو جذر تخيلي للمعادلة h³ = ¹ ... وبالمثل، تؤدي نظرية البواقي ذات القوى الأعلى إلى إدخال كميات تخيلية أخرى. ^{[ 35 ]}

تُسمى الأعداد المُشتقة من الجذر التكعيبي للواحد الآن حلقة أعداد أيزنشتاين . أما "الكميات التخيلية الأخرى" اللازمة لـ"نظرية بواقي القوى العليا" فهي حلقات أعداد حقول الأعداد الدائرية ؛ وتُعد أعداد غاوس وأيزنشتاين أبسط الأمثلة عليها.

قام غاوس بتطوير النظرية الحسابية للأعداد المركبة الصحيحة، وأظهر أنها تشبه إلى حد كبير حساب الأعداد الصحيحة العادية. ^{[ 36 ]} ومن هنا تم إدخال مصطلحات الوحدة، والاقتران، والمعيار، والأساسي إلى الرياضيات.

الآحاد هي الأعداد التي تقسم 1. ^{[ 37 ]} وهي 1، و i ، و -1، و- i . وهي تشبه 1 و -1 في الأعداد الصحيحة العادية، حيث تقسم كل عدد. الآحاد هي قوى العدد i .

بالنظر إلى عدد λ = a + bi ، فإن مرافقه هو a − bi ومجموعاته هي الأعداد الأربعة ^{[ 37 ]} .

   λ = + a + bi

  i λ = − b + ai

 − λ = − a − bi

− i λ = + b − ai

إذا كان λ = a + bi ، فإن معيار λ ، ويكتب Nλ ، هو العدد a² + b² ^. إذا كان λ و μ عددين صحيحين غاوسيين، فإن Nλμ ⁼ NλNμ ؛ أي أن المعيار ضربي. ^{[ 37 ]} معيار الصفر يساوي صفرًا، ومعيار أي عدد آخر هو عدد صحيح موجب . ε هو وحدة إذا وفقط إذا كان Nε = 1. الجذر التربيعي لمعيار λ ، وهو عدد حقيقي غير سالب قد لا يكون عددًا صحيحًا غاوسيًا، هو القيمة المطلقة لـ λ.

يثبت جاوس أن Z [ i ] هو مجال تحليل فريد ويظهر أن الأعداد الأولية تقع في ثلاث فئات: ^{[ 38 ]}

• العدد 2 حالة خاصة: 2 = i³ (1 + i ) ^² . وهو العدد الأولي الوحيد في Z الذي يقبل القسمة على مربع عدد أولي في Z [ i ]. في نظرية الأعداد الجبرية، يُقال إن 2 متفرع في ^Z [ i ] .
• الأعداد الأولية الموجبة في Z ≡ 3 (mod 4) هي أيضًا أعداد أولية في Z [ i ]. في نظرية الأعداد الجبرية، يُقال إن هذه الأعداد الأولية تظل خاملة في Z [ i ].
• الأعداد الأولية الموجبة في Z ≡ 1 (mod 4) هي حاصل ضرب عددين أوليين مترافقين في Z [ i ]. في نظرية الأعداد الجبرية، يُقال إن هذه الأعداد الأولية تنقسم في Z [ i ].

وبالتالي، فإن الأعداد الأولية الخاملة هي 3، 7، 11، 19، ... ويكون تحليل الأعداد الأولية المنفصلة إلى عواملها الأولية هو

 5 = (2 + i ) × (2 − i ),

13 = (2 + 3 i ) × (2 − 3 i ),

17 = (4 + i ) × (4 − i ),

29 = (2 + 5 i ) × (2 − 5 i ), ...

الأعداد المرافقة والمرافقة لعدد أولي هي أيضاً أعداد أولية.

لاحظ أن معيار العدد الأولي الخامل q هو N q = q ² ≡ 1 (mod 4)؛ وبالتالي فإن معيار جميع الأعداد الأولية بخلاف 1 + i ومركباته هو ≡ 1 (mod 4).

يُطلق غاوس على أي عدد في Z [ i ] اسم "فردي" إذا كان معياره عددًا صحيحًا فرديًا. ^{[ 39 ]} وبالتالي، فإن جميع الأعداد الأولية، باستثناء 1 + i ومرافقه، هي أعداد فردية. حاصل ضرب عددين فرديين هو عدد فردي، ومرافق العدد الفردي ومرافقه هي أعداد فردية أيضًا.

لإثبات نظرية التحليل إلى عوامل وحيدة، لا بد من إيجاد طريقة لتمييز أحد مرافقات العدد. يُعرّف غاوس ^{[ 40 ]} العدد الفردي بأنه عدد أولي إذا كان ≡ 1 (mod (1 + i ) ³ ). من السهل إثبات أن لكل عدد فردي مرافقًا أوليًا واحدًا فقط. العدد الفردي λ = a + bi هو عدد أولي إذا كان a + b ≡ a − b ≡ 1 (mod 4)؛ أي أن a ≡ 1 و b ≡ 0، أو a ≡ 3 و b ≡ 2 (mod 4). ^{[ 41 ]} حاصل ضرب عددين أوليين هو عدد أولي، ومرافق أي عدد أولي هو أيضًا عدد أولي.

تنص نظرية التحليل الفريد ^{[ 42 ]} لـ Z [ i ] على ما يلي: إذا كان λ ≠ 0، فإن

${\displaystyle \lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

حيث 0 ≤ μ ≤ 3، ν ≥ 0، و π هي أعداد أولية أساسية وα ≥ 1 ، _وهذا التمثيل _فريد ، حتى رتبة العوامل.

يُعرَّف مفهوما التطابق ^{[ 43 ]} والقاسم المشترك الأكبر ^{[ 44 ]} بنفس الطريقة في Z [ i ] كما هو الحال في الأعداد الصحيحة العادية Z. ولأن الآحاد تقسم جميع الأعداد، فإن التطابق (mod λ ) يكون صحيحًا أيضًا بتردد أي عدد مرافق لـ λ ، وأي عدد مرافق للقاسم المشترك الأكبر هو أيضًا قاسم مشترك أكبر.

يثبت جاوس نظير نظرية فيرما : إذا لم يكن α قابلاً للقسمة على عدد أولي فردي π ، فإن ^{[ 45 ]}

${\displaystyle \alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}}$

بما أن N π ≡ 1 (mod 4)،${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}}$هذا منطقي، و${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}}$لوحدة فريدة i ^k .

تسمى هذه الوحدة بخاصية البقايا الرباعية أو ثنائية التربيع لـ α (mod π ) ويتم الإشارة إليها بـ ^{[ 46 ] [ 47 ]}

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {\pi }}.}$

له خصائص شكلية مشابهة لتلك الخاصة برمز ليجندر . ^{[ 48 ]}

التطابق  ${\displaystyle x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}}$  تكون المسألة قابلة للحل في Z [ i ] إذا وفقط إذا  ${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.}$^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

${\displaystyle {\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}}$    حيث يشير الخط إلى الاقتران المركب .

إذا كان π و θ مرتبطين،  ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}}$

إذا كان α ≡ β (mod π )،  ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

يمكن تعميم رمز التربيع المزدوج ليشمل الأعداد المركبة الفردية في "المقام" بنفس الطريقة التي يُعمم بها رمز ليجندر إلى رمز جاكوبي . وكما في تلك الحالة، إذا كان "المقام" عددًا مركبًا، فقد يساوي الرمز واحدًا دون أن يكون التطابق قابلاً للحل.

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right]^{\alpha _{2}}\dots }$  أين  ${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

إذا كان a و b عددين صحيحين عاديين، a ≠ 0، | b | > 1، gcd( a , b ) = 1، فإن ^{[ 50 ]}  ${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]=1.}$

وقد ذكر جاوس قانون التبادلية التربيعية الثنائية بهذا الشكل: ^{[ 2 ] [ 51 ]}

ليكن π و θ عددين أوليين مختلفين من Z [ i ]. عندئذٍ

إذا كان π أو θ أو كلاهما يساوي 1 (mod 4)، فإن${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],}$لكن

إذا كان كل من π و θ يساوي 3 + 2 i ( mod 4)، فإن${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right].}$

كما أن قانون التبادل التربيعي لرمز ليجندر ينطبق أيضًا على رمز جاكوبي، فإن شرط كون الأعداد أولية غير ضروري؛ يكفي أن تكون أعدادًا فردية غير آحادية ذات نسب أولية . ^{[ 52 ]} ولعل أشهر هذه العبارات هي:

ليكن π و θ عددين أوليين نسبيًا غير وحديين. إذن ^{[ 53 ]}

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

توجد نظريات تكميلية ^{[ 54 ] [ 55 ]} للوحدات والعدد الأولي نصف الزوجي 1 + i .

إذا كان π = a + bi عددًا أوليًا أوليًا، فإن

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {a-b-1-b^{2}}{4}},}$

وبالتالي

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.}$

أيضًا، إذا كان π = a + bi عددًا أوليًا أوليًا، و b ≠ 0 فإن ^{[ 56 ]}

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}}$   (إذا كانت b = 0 فإن الرمز هو 0).

عرّف جاكوبي π = a + bi على أنه عدد أولي إذا كان a ≡ 1 (mod 4). مع هذا التوحيد، يأخذ القانون الشكل ^{[ 57 ]}

ليكن α = a + bi و β = c + di حيث a ≡ c ≡ 1 (mod 4) و b و d عددان زوجيان أوليان فيما بينهما. عندئذٍ

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}}$

تم العثور على النسخة التالية في مخطوطات غاوس غير المنشورة. ^{[ 58 ]}

ليكن α = a + 2 bi و β = c + 2 di حيث a و c عددان فرديان أوليان فيما بينهما وليسا وحدتين.

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i}{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}}$

يمكن صياغة القانون دون استخدام مفهوم الأساسي:

إذا كان λ فرديًا، فليكن ε ( λ ) هو الوحدة الوحيدة المطابقة لـ λ (mod (1 + i ) ³ )؛ أي، ε ( λ ) = i ^k ≡ λ (mod 2 + 2 i )، حيث 0 ≤ k ≤ 3. ثم ^{[ 59 ]} بالنسبة للأعداد الفردية والأولية نسبيًا α و β ، والتي لا يمثل أي منهما وحدة،

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta )^{\frac {N\alpha -1}{4}}}$

بالنسبة لـ λ الفردية ، ليكن${\displaystyle \lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .}$ثم إذا كانت λ و μ أولية نسبياً غير وحدتين، فقد أثبت أيزنشتاين ^{[ 60 ]}

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.}$

• أويلر ، ليونارد (1849)، Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt ، تعليق. الحساب. 2

كُتب هذا النص في الفترة ما بين عامي 1748 و1750، ولكنه لم يُنشر إلا بعد وفاة مؤلفه؛ وهو موجود في المجلد الخامس، الصفحات من  182 إلى 283 من

• أويلر، ليونارد (1911-1944)، الأعمال الكاملة، السلسلة الأولى، المجلدات من الأول إلى الخامس ، لايبزيغ وبرلين: توبنر

يحتوي الكتابان اللذان نشرهما غاوس حول التبادلية الثنائية التربيعية على أقسام مرقمة بالتسلسل: الأول يتضمن الفقرات من 1 إلى 23، والثاني يتضمن الفقرات من 24 إلى 76. وتأتي الحواشي التي تشير إلى هذه الأقسام على النحو التالي: "غاوس، BQ، الفقرة ن ". أما الحواشي التي تشير إلى كتاب Disquisitiones Arithmeticae فتأتي على النحو التالي: "غاوس، DA، المادة ن ".

• غاوس ، كارل فريدريش (1828)، Theoria residuorum biquadraticorum، Commentatio prima ، غوتنغن: تعليق. شركة نفط الجنوب. العلوم الملكية، غوتنغن 6

• غاوس ، كارل فريدريش (1832)، Theoria residuorum biquadraticorum، Commentatio secunda ، غوتنغن: تعليق. شركة نفط الجنوب. العلوم الملكية، غوتنغن 7

هذه موجودة في أعمال جاوس ، المجلد الثاني، الصفحات  65-92 و93-148

توجد الترجمات الألمانية في الصفحات  511-533 و534-586 من الكتاب التالي، والذي يحتوي أيضًا على Disquisitiones Arithmeticae وأوراق جاوس الأخرى حول نظرية الأعداد.

• غاوس، كارل فريدريش (1965)، دراسات في الحساب العالي (Disquisitiones Arithmeticae وأوراق أخرى في نظرية الأعداد) (الطبعة الثانية) ، ترجمة ماسر، هـ.، نيويورك: تشيلسي، ISBN 0-8284-0191-8

• آيزنشتاين، فرديناند جوتهولد (1844)، “Lois de réciprocité” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik (مجلة Crelle) ، 1844 (28)، J. Reine Angew. الرياضيات. 28، الصفحات من 53 إلى 67 (مجلة كريل): 53-67 ، دوى : 10.1515/crll.1844.28.53 ، S2CID 120713971 

• آيزنشتاين، فرديناند جوتهولد (1844)، Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste ، J. Reine Angew. الرياضيات. 28 صفحة 223-245 (مجلة كريل)

• آيزنشتاين، فرديناند جوتهولد (1845)، تطبيق الجبر في الحساب المتعالي ، ج. رين أنجيو. الرياضيات. 29 ص 177-184 (مجلة كريلي)

• آيزنشتاين، فرديناند جوتهولد (1846)، نظرية الوظائف الإهليلجية الأولى: القدرة على النظريات الأساسية الثنائية من خلال نظرية الوظائف المتماثلة، أبرزها في عمليات الضرب والتحويلات ، ج. رين أنجيلو. الرياضيات. 30 صفحة 185–210 (مجلة كريلي)

جميع هذه الأوراق موجودة في المجلد الأول من أعماله .

• ديريشليت، بيير غوستاف لوجون (1832)، عرض ملكية تماثلية لقانون المعاملة بالمثل الموجود بين عددين من الأسماء الأولى ، جيه. رين أنجيو. الرياضيات. 9 ص 379-389 (مجلة كريل)

• Dirichlet، Pierre Gustave LeJeune (1833)، Unter suchungen über die Theorie der Quadratischen Formen , Abh. كونيجل. بريوس. أكاد. ويس. ص 101-121

كلاهما موجودان في المجلد الأول من أعماله .

• كوكس، ديفيد أ. (1989)، الأعداد الأولية من الشكل x² ⁺ ny² ^، نيويورك: وايلي، ISBN 0-471-50654-0

• أيرلندا، كينيث؛ روزن، مايكل (1990)، مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة (الطبعة الثانية) ، نيويورك: سبرينغر ، ISBN 0-387-97329-X

• ليمرمير، فرانز (2000)، قوانين التبادل: من أويلر إلى أيزنشتاين ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، برلين: سبرينغر، doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 ، ISBN 3-540-66957-4